BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trịnh Anh Tuấn
SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
CHỈNH HÌNH VÀ CÁC SIÊU MẶT
HYPERBOLIC P-ADIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trịnh Anh Tuấn
SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
CHỈNH HÌNH VÀ CÁC SIÊU MẶT
HYPERBOLIC P-ADIC
Chuyên ngành : Hình học và tôpô
Mã số : 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi trên cơ sở các
công trình của GS.TSKH. Hà Huy Khoái. Các số liệu, kết quả nêu trong luận
văn là trung thực và chính xác.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2012
Trịnh Anh Tuấn
2
LỜI CẢM ƠN
Tôi vô cùng biết ơn
Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HÒA đã định hướng tôi nghiên cứu về sự suy
biến của các đường cong chỉnh hình và các siêu mặt hyperbolic p-adic,
một vấn đề còn đang rất mới và được quan tâm do những ứng dụng của
nó trong nhiều lĩnh vực của Toán học; thầy là người trực tiếp hướng
dẫn tôi thực hiện luận văn này.
Tôi gửi lời tri ân đến
các thầy cô giáo trong khoa Toán – Tin đã hướng dẫn tôi nghiên cứu Toán
học trong những năm học tại trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí
Minh.
gia đình và bạn bè đã chia sẻ và động viên tôi trong quá trình tôi thực hiện
đề tài.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!
Trịnh Anh Tuấn
3
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................. 1
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................... 2
MỤC LỤC ......................................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................... 4
NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN.......................................................... 8
NỘI DUNG ....................................................................................................................... 9
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ ................................................................................... 9
1.1. Trường số phức p-adic: ...................................................................................... 9
1.2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường số phức p-adic: ...................... 15
)
1.3. Độ cao của hàm chỉnh hình và đường cong chỉnh hình trên
. ............ 25
n ( p
1.4. Đường cong chỉnh hình trên
. Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai của
)n (
p
đường cong chỉnh hình: ........................................................................................... 32
1.5. Không gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic: .................................................. 41
Chương 2: Sự suy biến của đường cong chỉnh hình và siêu mặt hyperbolic p-adic ....... 45
2.1. Sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong
: ................................. 45
)
( n p
2.2. Các siêu mặt hyperbolic trong
: ......................................................... 51
)
( 3 p
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ......................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 59
4
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một đường cong chỉnh hình trên đa tạp xạ ảnh X được gọi là suy biến nếu
nó được chứa trong một tập con đại số thật sự của X. Vào năm 1979, M. Green
và Ph. Griffiths đã phỏng đoán rằng trong đa tạp xạ ảnh phức dạng tổng quát, mọi
đường cong chỉnh hình đều suy biến.
Cho tới bây giờ, điều phỏng đoán này vẫn chưa được chứng minh hoàn
toàn, tuy nhiên đã có một số bước tiến quan trọng. Chẳng hạn, M. Green đã
chứng minh được về sự suy biến của các đường cong khả tích trên đa tạp Fermat
với số chiều lớn. Để có được kết quả này, M. Green đã sử dụng định lý
Nevanlinna cho các đường cong chỉnh hình. Và A. M. Nadel đã chỉ ra được một
họ các siêu phẳng xạ ảnh mà trên đó điều phỏng đoán trên là đúng. Bằng cách sử
3
dụng kết quả về sự suy biến của các đường cong chỉnh hình, Nadel đã xây dựng
. Các kỹ thuật của Nadel
một số ví dụ chi tiết về các siêu mặt hyperbolic trong
đều dựa trên định lý Siu về liên thông phân hình.
Trong trường p-adic, sự suy biến của các đường cong chỉnh hình trên đa
tạp Fermat có số chiều lớn đã được trình bày chi tiết trong tài liệu tham khảo [2].
Và trong bài viết [1], Hà Huy Khoái đã chứng minh rằng “Nếu X là nhiễu của đa
)
( n p
tạp Fermat trong có số chiều đủ lớn đối với n và với số các hệ số khác 0
( ) f z , thì mọi đường cong chỉnh hình trên X đều
trong phương trình định nghĩa
suy biến”. Chứng minh điều này cung cấp đầy đủ thông tin chính xác về vị trí của
các đường cong trong X, những thông tin này sẽ rất hữu dụng cho các ứng dụng
về sau. Và như một hệ quả của việc chứng minh này, Hà Huy Khoái đã đưa ra
5
)
( 3 p
một số ví dụ cụ thể về các mặt hyperbolic p-adic trong và về các đường
)
( 2 p
cong trong với các phần bù hyperbolic. Bên cạnh đó còn có các ví dụ cụ
thể về các mặt hyperbolic với các phần bù hyperbolic. Nhắc lại, một đa tạp X
p vào X là ánh xạ
được gọi là hyperbolic p-adic nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ
hằng. Các ví dụ này khác với các ví dụ trong tài liệu [2] (được cho bằng cách sử
dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic). Trong khi số chiều của các mặt trong
[2] được chia bởi một số nguyên lớn hơn 1, số chiều này được cho tốt như trong
tất cả các ví dụ phổ biến về các mặt hyperbolic phức, số chiều d của các ví dụ
trong bài viết [1] chỉ yêu cầu không nhỏ hơn 50 cho các mặt hyperbolic với các
phần bù hyperbolic. Như trong [2], công cụ chủ yếu của [1] là hàm độ cao đã
được trình bày trong [2], [5], [6] và [7]. Hàm này có vai trò tương tự như một đa
thức đặc trưng Nevanlinna trong chứng minh của Green. Hơn nữa, độ cao của
( ) f z cung cấp thông tin về mật độ các không điểm
một hàm chỉnh hình p-adic
( ) f z . Trong nhiều trường
của f tại một điểm nào đó và mô tả cấp tăng của
hợp, ta có thể sử dụng độ cao để nghiên cứu về các hàm chỉnh hình p-adic tương
tự như sử dụng số chiều trong nghiên cứu về các đa thức phức.
Việc nghiên cứu tính suy biến của đường cong chỉnh hình và các siêu mặt trong
không gian xạ ảnh nhiều chiều là vấn đề thời sự đang được nhiều nhà toán học
trên thế giới quan tâm. Vì vậy, chúng tôi chọn việc nghiên cứu Sự suy biến của
đường cong chỉnh hình và siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh phức
p-adic làm đề tài của mình. Ở đây, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu sự suy biến
)n (
p
3(
của đường cong chỉnh hình trên và các siêu mặt hyperbolic trong
) p
không gian xạ ảnh đã công bố trong các công trình của Hà Huy Khoái,
6
W. Cherry, K. Masuda, J. Noguchi và A. Nadel từ 1996 đến nay, trên cơ sở đó,
xây dựng các ví dụ minh chứng trong các lớp siêu mặt cụ thể.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
)n (
p
3(
Nghiên cứu Sự suy biến của đường cong chỉnh hình trên và các
) p
. siêu mặt Hyperbolic trong không gian xạ ảnh
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức p-adic n chiều.
- Các siêu mặt hyperbolic p-adic bởi Hà Huy Khoái, W. Cherry, K.
Masuda, J. Noguchi và A. Nadel.
- Cụ thể hóa các kết quả trong một số trường hợp đặc biệt.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Tổng hợp và hoàn thiện những kết quả đã có từ những bài báo, tài liệu khoa
học có liên quan đến vấn đề cần nghiên cứu. Đưa ra các ví dụ minh họa cho các
kết quả đã trình bày.
Sử dụng phương pháp Nevanlinna p-adic.
5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Chương I: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1. Trường các số phức p-adic.
2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic.
)
3. Độ cao của hàm chỉnh hình và đường cong chỉnh hình trên
n ( p
.
7
)n (
p
4. Đường cong chỉnh hình trên . Định lý cơ bản thứ nhất và
thứ hai của đường cong chỉnh hình.
5. Không gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic.
Chương 2: SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ
SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC
)n (
p
3(
1. Sự suy biến của đường cong chỉnh hình .
) p
. 2. Các siêu mặt hyperbolic trong
8
NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
κlà một trường;
κ
O
0,1
x
[ = κ κ
] { = ∈ x
} ≤ ; 1
n
=
lim
A
( ) κ =
( ) f z
r
a r n
{
} 0
=
ρ
≤
baùn kính hoäi tuï
r
;
A
( ) κ
( ) f z
(
r
{
}
=
A
A
;
;κ
( ) κ
( ) κ∞
f ′ là đạo hàm bậc một của hàm f ;
R D là tập các hàm hữu tỉ h không có cực điểm trong tập D ;
(
)
là tập các hàm nguyên trên
R D theo tôpô sinh bởi chuẩn hội tụ đều trên D ;
)DH (
(
)
Hol D là tập các hàm giải tích địa phương trên D ;
(
)
là đầy đủ hóa của
)DM (
là tập các hàm phân hình trên D ;
)DH (
=
∈
≡
h
g h ,
,
M
) κ
( ) ( κ ρ 0;
)
p
( ( A
g h
0 ;
=
;
M
M
( ) ( κ ρ 0;
)
( ( ) p κ
)M (
là tập các hàm giải tích trên D ;
( )1O là đại lượng giới nội;
ln)=
log là hàm số logarit cơ số e (log :
là tập các hàm phân hình trên ;
.
9
NỘI DUNG
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ
Chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị cho những nội dung ở
chương 2. Đó là các khái niệm về trường số phức p-adic; hàm chỉnh hình; hàm
phân hình; không gian hyperbolic, ...
1.1. Trường số phức p-adic:
Trước tiên, ta nhắc lại ký hiệu trường số phức, số thực và số hữu tỉ lần lượt
, và , và ký hiệu vành số nguyên là . Nếu η là tập con của thì ta ký
là
η
η
>
η
η
≥
x
x
hiệu:
{ + = ∈ x
}0
{ + = ∈ x
}0 .
,a b sao cho a b≤ , ta ký hiệu:
,
η
≤ ≤
a b ,
a
.
[ η
] { = ∈ x
} x b
Với
{ } \ 0κ
*κ
là Cho κlà trường và ký hiệu nhóm nhân
⋅ → =
κ
+∞
:
0,
)
[
+
Định nghĩa 1.1.1. Cho κlà trường. Một chuẩn Acsimet trên κlà hàm:
x
0
= ⇔ = x 0,
thỏa các điều kiện sau:
=
∀
xy
x y
,
(1)
∈ x y κ , ,
+
≤
+
∀
x
y
x
y
,
∈ x y κ , .
(2)
(3)
+
≤
∀
x
y
max{ , },
x y
∈ x y κ , ,
Nếu thay (3) bởi điều kiện sau:
(4)
10
thì ⋅ thỏa mãn (1), (2), (4) gọi là chuẩn không Acsimet.
⋅ trên κ cảm sinh một hàm khoảng cách d được định nghĩa
Một chuẩn
∀
= − x
y
,
∈ . x y κ ,
( d x y ,
)
bởi:
≤
∀
max
,
,
,
∈ . x y z κ , ,
( d x y ,
)
) d x z d z y ,
(
(
{
} )
Nếu chuẩn ⋅ không Acsimet thì metric cảm sinh d thỏa:
Metric ứng với chuẩn không Acsimet được gọi là siêu metric.
⋅ → κ
:
+
∈
x
x
x
=
0 :
κ * 0
x
1 : =
Ví dụ 1.1.2. Xét hàm:
κ κ
× →
:
d
+
≠
, x y
(
)
( , d x y
)
=
0 :
x x
y y
1 : =
Khi đó ⋅ là chuẩn không Acsimet trên κ và metric cảm sinh:
là một siêu metric. Metric này được gọi là metric tầm thường.
Ta xét một số đặc trưng của tôpô sinh bởi chuẩn không Acsimet thông qua
các hình cầu sau:
Với mỗi số thực dương r và một điểm x κ∈ , ta định nghĩa quả cầu mở và
κ
<
,
κ
≤
x r ;
r
( ) d x y , ( ) d x y ,
( κ x r ; [ κ
) ]
{ = ∈ y { = ∈ y
} r } ,
quả cầu đóng bán kính r , tâm x lần lượt là:
κ
κ
=
=
x r ;
r
x r ;
\
x r ;
và ký hiệu đường tròn:
( d x y ,
)
( κ
)
[ κ
]
{ = ∈ y
}
.
11
κ
O
0,1
x
[ = κ κ
] { = ∈ x
} ≤ 1
Nếu ⋅ không Acsimet, tập con:
là vành con của κ và được gọi là vành định giá của ⋅ .
y
x r ;
y r ;
Mệnh đề 1.1.3. Cho κ là trường định chuẩn không Acsimet. Ta có:
); ( x rκ∈
( κ
)
( κ=
)
thì , (1) Nếu
);x rκ (
vừa là tập mở vừa là tập đóng, (2) Hình cầu
(3) Hai hình cầu mở (đóng) hoặc rời nhau hoặc chứa nhau.
Sau đây, ta sẽ trình bày sơ lược khái niệm trường số phức p-adic (xem chi
tiết ở [11]):
Giả sử p ∈ , p là số nguyên tố. Khi đó, mọi số nguyên a đều được biểu
=
a
v p a′
diễn duy nhất dưới dạng:
,
{ } \ 0 .
a′ ∈
trong đó p không là ước của a′, Với mỗi p và a , số nguyên v được
v= , ta có hàm số:
)
( pv a
v
:
0,
)
{ } \ 0
[
p
a
+→ = ∩ +∞ )
( v a p
0
xác định duy nhất. Ký hiệu
( )0
= . Ta mở rộng hàm v lên như sau:
pv
x
và
= ∈ , đặt:
a b
−
≠
x
0
)
v b p
v
( ) x
p
( v a p +∞
=
( ) : :
0
x
=
Với
Với mỗi số nguyên tố p , xét:
12
⋅
:
} → ∪ +∞
{
p
−
v
=
=
vôùi
x
x
p
v
v
,
.
( ) x
p
p
⋅
p
là một chuẩn không Acsimet và được gọi là chuẩn p-adic. Khi đó,
⋅
Giá trị tuyệt đối thông thường trên có thể xem là chuẩn p-adic khi p là
= ⋅ , và hiển nhiên là Acsimet.
:∞
vô cực và được ký hiệu
⋅
Mệnh đề 1.1.4. (Ostrowski). Mọi chuẩn không tầm thường trên đều tương
p
đương với một chuẩn , với p là số nguyên tố hoặc p = ∞ .
⋅
Từ định lý này, suy ra rằng các chuẩn trên hoặc là chuẩn thông thường,
x ∈ , ta có: *
p
1
p
=∏ x
≤∞
p
x
hoặc là với p là số nguyên tố nào đó. Vì vậy, với mỗi
px với cả các số nguyên tố p trong , bao
p
∏ với nghĩa là ta lấy tích
≤∞
p
trong đó,
⋅
gồm cả p = ∞ .
p
⋅
là một trường, được Đầy đủ hóa của được tạo bởi tôpô cảm sinh từ
p , và chuẩn p
ký hiệu là trên được mở rộng thành một chuẩn không
⋅ và thỏa:
p , vẫn ký hiệu là
p
⋅
Acsimet trên
và chuẩn cảm sinh bởi
⊂→
p
p
(i) Tồn tại phép nhúng trên qua
phép nhúng là p-adic. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất với ảnh của nó qua phép
p ,
nhúng trong
p ,
(ii) trù mật trong
p đầy đủ.
(iii)
13
p thỏa (i), (ii), (iii) (thay phép nhúng trên bằng đẳng cấu đồng nhất).
p được gọi là trường các số p-adic.
p còn có tính chất sau:
( ) x
pv
−= p
Trường
( ) x sao cho
x ∈ , tồn tại một số nguyên
*p
pv
px
(iv) Với mỗi ,
pv trong được mở rộng lên
p . Nói cách khác, tập tất cả các giá trị của
⋅
tức là
{ }0
và
np n ∈ ∪
p qua
}
p
. là trùng nhau và đó là tập {
=
∈
∈
x
r
x ;
,
,
(
); x r
+ .
p
p
p
r p
=
O
0;
p
Từ (iv) dễ thấy:
(
)
[
] 0;1
p
p
=
p
vừa mở vừa đóng, và được gọi là Do đó vành định giá
+∈ , vành
p . Với mọi n
−
n
n
n
=
−
p
k
p
k p ;
0,1,...,
p
p
(
p được phủ bởi ) 1 .
= + k
vành số nguyên p-adic, ký hiệu
p compắc và do đó
p compắc địa phương. Như vậy, ta có
n
n
≅
p
p
p
p
, p
Tức là
n p trong
p
p là các quả cầu trong tôpô p-adic. Các tập
−
n
n
∈
0;
p
p
n
(
)
tạo thành một hệ tọa độ địa phương của 0
p
p
p∈ . Không
=
và lớp các
p không liên thông nhưng là không gian tôpô Hausdorff.
gian
p trên bao đóng đại số
p .
p của
Bây giờ ta mở rộng của chuẩn p-adic trong
x ∈ , khi đó x cũng thuộc mở rộng hữu hạn
( ) p x
p
Lấy và do đó ta có
( ) p x
px bằng cách mở rộng chuẩn p-adic trên
thể định nghĩa , cụ thể, ta có
⋅
:
. +
→ p
hàm:
14
p , và dễ chứng minh được rằng
Hàm trên là một mở rộng của chuẩn p-adic trên
p vẫn được gọi là chuẩn p-adic. Tuy
hàm này cũng là một chuẩn. Chuẩn trên
p không đầy đủ với chuẩn này.
⋅
nhiên,
p ứng với tôpô sinh bởi
p
⋅
Đầy đủ hóa của là một trường được ký hiệu
p , chuẩn
p được mở rộng thành một chuẩn không Acsimet trên
p
⋅
trên là
p , chuẩn này vẫn được ký hiệu là
p
⋅
và thỏa:
⊂→
p qua
p
p
p
và chuẩn sinh bởi
trên (i) Tồn tại phép nhúng
p với ảnh của nó qua phép
phép nhúng là p-adic. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất
p ,
nhúng trong
p trù mật trong
p ,
(ii)
p đầy đủ.
(iii)
p thỏa (i), (ii), (iii) (thay phép nhúng trên bằng đẳng cấu đồng nhất).
p còn có tính chất sau:
( ) x
pv
−= p
p gọi là trường các số phức p-adic.
Trường
( ) x sao cho
x ∈ , tồn tại một số hữu tỉ
*p
pv
px
(iv) Với mỗi ,
p được mở rộng trong
pv trong
p . Và ảnh của
*p qua
pv là ,
tức là
p đóng đại số nhưng không compắc địa phương.
(v)
15
1.2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường số phức p-
adic:
⋅ và có
Cho κlà trường đóng đại số, đầy đủ với chuẩn không Acsimet
đặc số 0. Trong phần này ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm chỉnh
hình và hàm phân hình. Các khái niệm về dãy, chuỗi và sự hội tụ của dãy, chuỗi
giống như trong trường định chuẩn Acsimet. Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet
)nx
)nx
là dãy Cauchy nếu và chỉ ta có một số tính chất đặc biệt sau: Bổ đề 1.2.1. Giả sử ( là một dãy trong κ. Dãy (
−
= . 0
+ 1
x n
x n
lim →∞ n
nếu
Chứng minh:
Điều kiện đủ hiển nhiên theo định nghĩa dãy Cauchy.
,n p∀
∈ ta có:
−
=
+
−
−
+ + ...
+ −
+ − 1
+ − 1
2
+ 1
x + n p
x n
x + n p
x n p
x n p
x n p
x n
x n
≤
−
−
−
max
,
,...,
+ −
+ − 1
+ − 1
2
+ 1
x + n p
x n p
x n p
x n p
x n
x n
}
− {
−
0
Ta chứng minh điều kiện cần:
= nên suy ra điều cần chứng minh.
x n
+ 1
x n
lim →∞ n
Vì
Từ tính chất trên và theo định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số, chuỗi lũy thừa ta có
∞
a
= . 0
các tính chất sau:
,n
a κ ∈ n
a n
∑
n
=
0
n
∞
a
Mệnh đề 1.2.2. Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi lim →∞
n
n
≤∑ a
max n
=
0
n
. Khi đó ta có:
16
∞
n
=
,n
= . 0
( ) f z
a z n
∈ a κ n
a z n
∑
n
=
0
n
1
ρ=
Chuỗi lũy thừa hội tụ tại z khi và chỉ khi lim →∞
lim sup n
na
0ρ= thì
z = , 0
Mệnh đề 1.2.3. Đặt , khi đó ta có:
( ) f z chỉ hội tụ tại
(1) Nếu
( ) f z hội tụ tại mọi z κ∈ ,
n
0
< +∞ và
(2) Nếu ρ= +∞ thì
( ) f z hội tụ khi và chỉ khi z ρ≤ ,
na ρ → thì
n
0
z ρ< .
(3) Nếu 0 ρ<
< +∞ và
( ) f z hội tụ khi và chỉ khi
na ρ → thì
(4) Nếu 0 ρ<
( ) f z . Nếu ρ= ∞ thì
.κ
( ) f z gọi là hàm nguyên trên
∞
=
,n
Khi đó ρ được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
( ) f z
a z n
a κ ∈ n
∑
=
0
n
n
lim
A
cùng với phép cộng và nhân hai Tập các chuỗi lũy thừa
( ) κ =
( ) f z
a r n
r
=
ρ
≤
baùn kính hoäi tuï
,
r
A
( ) κ
( ) f z
(
r
{
}
=
A
A
, chuỗi lũy thừa lập thành một vành. } { = Kí hiệu 0
.κ
( ) κ
( ) κ∞
là tập các hàm nguyên trên
A
A
( ) κ
( ) κ
r
s
= ∩ ≤ s r
∞
n
=
A
Ta có: .
( ) f z
( ) ρ κ
∈∑ a z n
=
n
0
n
=
r f ,
và 0 r ρ< < , ta định nghĩa: Định nghĩa 1.2.4. Với
( ) f z là
( µ
)
a r n
max ≥ 0 n
n
=
=
r f ,
max
n a r
r f ,
.
Số hạng lớn nhất của và chỉ số ứng với số hạng lớn
( υ
)
( µ
n
{
} )
0
nhất là
r = , ta định nghĩa:
Với
17
=
=
0,
f
r f ,
,
0,
f
r f ,
( µ
)
( µ
)
( υ
)
( υ
)
+
+
lim → r 0
lim → r 0
.
⋅
,
:
0
A
r > , hàm
Từ định nghĩa của số hạng lớn nhất, ta có kết quả sau:
( rµ
)
( ) κ
→
+
r
r f ,
r f ,
0
0
thỏa mãn: Mệnh đề 1.2.5. Với
= ⇔ = , f
( µ
)
( µ≥ 0;
)
=
=
r fg ,
r f ,
r g ,
r f ,
,
(i)
∀ ∈ , λ κ
( µ
)
( µ
)
( µ
)
( µ λ f r ,
)
( λµ
)
+
≤
r f ,
g
max
r f ,
,
r g ,
và (ii)
( µ
)
)
( µ
{ ( µ
} )
(iii) .
),rµ ⋅ (
( ) r κA
Khi đó là một chuẩn không Acsimet trên và:
),rµ ⋅ (
( ) r κA
đầy đủ với chuẩn , (iv)
),rµ ⋅ (
[ ]zκ trù mật trong
) ( r κA
>
f
r
0
(v) Vành đa thức theo .
) { } \ 0 ,
( κ∈ A r
=
+
+ + ...
b zυ
,r f
tồn tại đa thức: Định lý 1.2.6. (Định lý Weierstrass). Với
( ) g z
( υ υ=
)
υ
b 0
b z 1
với ,
∞
= + 1
,n
( ) h z
c z n
c κ ∈ n
∑
= 1
n
và một chuỗi lũy thừa:
=
thỏa mãn:
( ) f z
( ) h z g z
( ),
=
r g ,
b rυ ,
(i)
( µ
)
υ
h
(ii)
), ( κ∈ A r
−
<
1
,
r f ,
g
r f ,
(iii)
) r hµ − < và 1
(
( µ
)
( µ
)
(iv) .
:f U κ→ được gọi là khả vi tại
0z U∈ nếu tồn tại:
Định nghĩa 1.2.7. Với U κ⊂ là tập mở, hàm
18
+
−
( f z
( f z
)
0
0
z
′= f :
(
)
0
lim → h 0
) h h
.
Hàm f ′ được gọi là đạo hàm của f . Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f
khả vi tại mọi z U∈ .
∞
n
0ρ≠ và z κ∈ .
Ta có mối liên hệ giữa hàm f và đạo hàm f ′ như sau:
( ) f z
a z n
= ∑ có bán kính hội tụ
=
n
0
n
1
′
f
na z −
f
Mệnh đề 1.2.8. Giả sử chuỗi
( ) z
( ) f z hội tụ thì
( ) z′
n
= ∑
n
≥ 1
tồn tại và . Nếu
r f ,
r f ,
,
∀ r
: 0
r
< < . ρ
( µ
)
( µ
) ′ ≤
1 r
Hơn nữa, f và f ′ có cùng bán kính hội tụ ρ và thỏa mãn:
)
nz
κ⊂ , nếu *
nz → ∞ thì tích vô hạn
∞
=
( ) f z
∏
z n z
− 1
n
= 1
Mệnh đề 1.2.9. Với dãy (
là một hàm nguyên.
Ngược lại, nếu f là một hàm nguyên khác đa thức thì f có thể được biểu diễn
∞
m
=
az
dưới dạng:
( ) f z
∏
z n z
− 1
n
= 1
>
∈
≠
m
0,
a
κ ,
z
0,
z
→ ∞ và
,
) 0 ( f z = .
n
n
n
f
với
[ ] zκ∈
0z κ∈ và
0
. Định nghĩa 2.10. Cho
)0 ( f z = .
0z được gọi là không điểm của hàm f khi và chỉ khi
Điểm
= ∞ .
( ) f z
0z κ∈ được gọi là cực điểm của hàm f khi và chỉ khi
lim → z z
0
Điểm
19
Hệ quả 1.2.11.
Nếu f là hàm nguyên khác đa thức thì f có vô số không điểm.
f g ,
Nếu f là hàm nguyên không có không điểm thì f là hàm hằng.
( κ∈ A
f g ,
,
. Nếu fg là hàm hằng thì f và g là Hệ quả 1.2.12. Giả sử Tồn tại ước chung lớn nhất của một họ hữu hạn các hàm nguyên. ) { } \ 0
∈ A
( d a r
)
) { } \ 0
,κ đặt
R D là tập các hàm hữu
Giả sử, . Nếu fg bị chặn thì f và g là những hàm bị chặn. những hàm hằng. (
(
)
h R D∈
Định nghĩa 1.2.13. Giả sử D là tập vô hạn trong
(
)
=
h
tỉ h không có cực điểm trong D . Khi đó, với mọi , đặt:
( ) h z
D
sup ∈ z D
.
R D theo tôpô sinh bởi chuẩn hội tụ đều trên
)DH (
(
)
D . Mỗi phần tử của
là đầy đủ hóa của Ký hiệu
)DH (
)DH (
được gọi là một hàm giải tích trên D . Khi đó,
là một κ- không gian vectơ và mỗi hàm giải tích trên D là giới hạn đều của một
) ( R D .
=
dãy các hàm hữu tỉ thuộc
H
A
( ) κ
+∈ , ta có
]
r
( [ rκ 0;
)
Mệnh đề 1.2.14. Với r .
Chứng minh:
[ ]zκ trù mật trong
( ) r κA
0;
r
A
( ) κ
( ) ∗
Vì vành các đa thức
r
( [ κ⊂ H
)
∀ ∈ a
0;
nên ta suy ra: ]
∈ ta có:
[ κ κ \
] r k ,
+
Ngược lại,
20
k
n
∞
∑
=
1 a
z a
1 − z a
n
0
= −
k
n
∞
∈
vôùi
,
.
+
b n
b n
∑
=
1 a
z a
= −
n
0
r> nên suy ra:
n
n
n
≤
→∞ →
r
0
Vì a
b n n a
r a
k
∈
⊂
∗∗
R
A
.
A
( ) κ
( ) κ
(
)
]
r
r
( [ rκ 0;
)
1 − z a
, suy ra . Do đó
( ,r fµ
)
=
r f ,
,
∀ r
: 0
r
≤ ≤ . ρ
( µ
)
( ) f z
sup ≤ r z
Mặt khác, vì liên tục tại r nên suy ra:
=
f
r f ,
,
f
Do đó ta có:
∈ A
( µ
)
( ) κ
r
r
0;
[ κ
]
⋅
.
( ,rµ ⋅
)
( ) r κA
( ) r κA
]0;rκ [
r
0;
A
Vì đầy đủ với chuẩn nên cũng đầy đủ với chuẩn . Do
)∗∗ ta suy ra
( ) κ
]
r
( [ κ⊃ H
)
đó, từ ( . Kết hợp với ( )∗ ta có điều cần chứng
:f D κ→ được gọi là
minh.
+
⊂
κ
∃ ∈ r
,
Định nghĩa 1.2.15. Cho D κ⊂ không có điểm cô lập. Hàm
(
)
a n
∞
n
=
−
,
∀ ∈ ∩ z D
giải tích địa phương nếu với mỗi a D∈ , sao cho:
( ) f z
)
[ a rκ ;
]
( a z a n
∑
=
n
0
Hol D là tập các hàm giải tích địa phương trên D .
.
(
)
Ký hiệu
Mệnh đề 1.2.16. Nếu hàm f giải tích địa phương trên tập mở D thì nó có đạo
0z D∈ là nghiệm bội q của f nếu và chỉ nếu:
hàm mọi cấp trên D . Điểm
21
=
( qf
0
z
0,
n
∀ < và q
) (
( ) ( nf
)0 z ≠ .
)0
+∈ và đặt:
∞
n
n
− 1
=
∈
=
>
,
s
0
A
Định lý 1.2.17. Cho r
( ) f z
( ) κ
a z n
r
a r n
∑
sup ≥ n 1
=
n
0
.
− 1
n
>
,
1,
n
∀ >
Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
a 1
a r n
−
∀
∈
= − x
y a
x y ,
,
(1)
( ) f x
( f y
)
[ rκ 0;
]
1 ,
′
≠
f
0,
∀ ∈ z
(2)
( ) z
]0; rκ [
[ rκ 0;
]
(3) f đơn ánh trong và .
( ) 2⇒ :
n
0
Do
na r → khi n → ∞ nên từ (1) ta có:
n
1
>
a r −
a 1
n
max ≥ n 2
Lại có:
∞
n
− 1
n
− − 1
j
−
=
−
x
y
j x y
( ) f x
( f y
)
(
)
n
∑ ∑ a
=
=
n
2
j
0
+ a 1
n
− − 1
j
j x y
−≤ 1 n r
và
nên:
∞
− 1
n
− 1
− − 1
n
n
j
>
j x y
,
a 1
a r n
≥ ∑ ∑ a n
max ≥ 2 n
=
=
2
0
n
j
−
= − x
và do đó
.
( ) f x
( f y
)
y a 1
Chứng minh ( ) 2
( ) 3⇒ :
0
s > nên f không là hàm hằng, và do đó từ (2) suy ra
Do
a ≠ . 0 1
Chứng minh: Chứng minh ( ) 1
22
≠
Cũng từ (2) suy ra
khi x
y≠ , nghĩa là f đơn ánh trong
( ) f x
( f y
)
]0; rκ [
′
=
≠
f
0,
∀ ∈ x
và cho y
x→ ta có
.
( ) x
[ rκ 0;
]
a 1
Chứng minh ( ) 3
( ) 1⇒ :
−
0
0
z
Do f đơn ánh trong
nên
= ⇔ = . Khi đó từ định lý
( ) f z
]0; rκ [
a 0
,
1
Weierstrass ta có
( r fν
)
= và hiển nhiên (1) thỏa.
∈
f Hol D
f ′
≠ . 0
(
)
( )0
Định lý 1.2.18. Cho D là tập mở trong κvà 0 D∈ . Lấy với
1f − giải tích toàn
+∈ sao cho f là song ánh trong
]0; rκ [
f
Khi đó tồn tại số r và
]
( [ rκ 0;
)
n
. cục trong
( ) f z
+∈ và đặt
a z n
= ∑ là chuỗi lũy thừa với các hệ số
Bổ đề 1.2.19. Cho r
f
,
thuộc κ. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
∈ A
( ) κ
(
r
f
(1)
( ), κ
s
∈ ∩ A < s r
(2)
)0;rκ (
:f D κ→ ∪ ∞ được
. (3) Chuỗi f hội tụ trong
{ }
Định nghĩa 1.2.20. Cho D κ⊂ không có điểm cô lập. Hàm
f
D S \
∈ H
gọi là hàm phân hình trên D nếu tồn tại một tập không quá đếm được S D⊂ , S
(
)
. không có điểm giới hạn trong D và thỏa
)DM (
:f D κ→ ∪ ∞ được
Ký hiệu là tập các hàm phân hình trên D .
{ }
∈
∈
r
q+ ,
Định nghĩa 1.2.21. Cho D κ⊂ không có điểm cô lập. Hàm
∀ ∈ , tồn tại
và +
na κ∈ sao cho:
gọi là hàm phân hình địa phương trên D nếu a D
23
∞
n
=
−
,
∀ ∈ ∩ z D
( ) f z
)
[ a rκ ;
]
( a z a n
∑
=−
n
q
Mer D là tập các hàm phân hình địa phương trên D .
.
(
)
Ký hiệu
:f D κ→ được gọi là giải tích
;a
D
Định nghĩa 1.2.22. Cho tập mở D κ⊂ . Một hàm
κ ρ ⊂ ,
)
(
{ } ρ +∈ ∪ ∞
na κ∈ sao cho
′
\
D
,
≠ ∅ ∀ > và thỏa: ρ ρ
[ ′ κ ρ a ;
]
∞
n
=
−
,
∀ ∈ z
và tại điểm a D∈ nếu tồn tại
( ) f z
)
( ) aκ ρ ;
( a z a n
∑
=
n
0
.
Nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D thì f được gọi là giải tích trên D .
)DH (
là tập các hàm giải tích trên D . Ký hiệu
;aκ ρ được gọi là đĩa giải tích cực đại của f tại a . Các hàm giải tích trong
(
)
⊂
⊂
D
D
H
Đĩa
D đều có thể có giải tích cực đại trên D . Và ta có: ( Hol D
)
(
(
)
)
.
H
f
D
∈ M
)DM (
(
)
)DH (
Trường các phân thức của được ký hiệu là . Một hàm
được gọi là hàm phân hình trên D . Nếu f không có điểm cực trên D thì f còn
được gọi là hàm chỉnh hình trên D .
,g h là các hàm chỉnh hình
Mệnh đề 1.2.23. Nếu f là hàm phân hình thì tồn tại
=
f
g h
sao cho:
=
, 0
, r f
r
ρ ≤ ≤ .
( µ
)
, r g , r h
( µ ( µ
) )
và
Đặc biệt:
24
=
r
,
1 f
1 , r f
)
( µ
µ
f
.
f tại mỗi điểm
∈ H
( ( ) κ ρ 0;
)
∈
0;
thì đĩa cực đại của Lấy ρ +∈ . Nếu
= A
( ) a κ ρ
) 0;κ ρ . Ta có
(
) κ
chính là nên:
H
( ( ) κ ρ 0;
)
p
( (
=
∈
≡
h
g h ,
,
0
M
) κ
( ) ( κ ρ 0;
)
p
( ( A
g h
=
M
M
( ) ( κ ρ 0;
)
.
Để tiện cho việc trình bày, ta viết: ( ( ) p κ
0;
r
M
M
Và dễ thấy:
]
( ( ) κ ρ 0;
)
( [ κ
)
=
<
ρ
r
.
=
0;
M
M
M
( ) κ
) κ
( ( κ
) ) ∞ =
∞
( (
Đặt biệt, mỗi phần tử thuộc:
)M (
là tập các hàm phân được gọi là hàm phân hình trên κ. Ta cũng ký hiệu
)κM (
( )zκ .
,r
M
chứa tập các hàm hữu tỉ hình trên . Hiển nhiên,
( µ
) ⋅ =
( ) κ
→
+
ρ
(
r f ,
0,
0
= ⇔ = f
Mệnh đề 1.2.24. Với 0 r ρ< < , hàm thỏa:
( µ
)
+
≤
f
max
,
r f ,
,
(i)
( µ
)
)
( µ
{ ( µ
} )
r f , 1
2
r f , 1
2
=
.
f
r f ,
(ii)
)
( µ .
)
( µ
)
( µ
r f , 1
2
r f , 1
2
. (iii)
25
1.3. Độ cao của hàm chỉnh hình và đường cong chỉnh hình trên
)
.
n ( p
Có thể xem chi tiết trong [ ] [ ] 1 , 4 .
( ) f z là một hàm chỉnh hình p-adic trên
p và:
∞
n
( ) f z
= ∑ . a z n
=
n
0
Cho
+
= ∞
∀ ∈ z
,
( v a
)
( ) nv z
n
. p
lim →∞ n
nt+
Khi đó, ta có:
( v a
( ) v z
t= ∈ tồn tại n để cho
)n
là cực tiểu. Suy ra, với
( ) f z được xác định bởi công thức:
=
+
nt
Định nghĩa 1.3.1. Độ cao của
)
( h f t ,
)
{ ( v a n
}
min ≤ ≤∞ 0 n
.
nΓ của
)n
. Đồ thị này là một đường thẳng với độ Với mỗi n , ta vẽ đồ thị Sau đây, ta sẽ mô tả biểu diễn hình học của độ cao hàm chỉnh hình. ( v a z n
( h f t là biên của giao tất cả các nửa mặt phẳng nằm bên dưới
),
r s ,
r s< ,
dốc n . Khi đó
< +∞ , chỉ có
)
] ( , 0
nΓ . Trong bất kỳ đoạn thẳng hữu hạn [
đường thẳng
( h f t . Do đó,
),
( h f t là một đa giác. Điểm t
),
nΓ nằm trong
hữu hạn điểm trên
( ) f z .
( h f t được gọi là điểm tới hạn của
),
nΓ
), ( h f t
t
tại các đỉnh của
26
( ) f z .
],r s chỉ có thể chứa hữu hạn điểm tới hạn của
nt+
Một đoạn thẳng hữu hạn [
( v a
)n
Dễ thấy, nếu t là một điểm tới hạn thì đạt cực tiểu tại ít nhất hai giá trị
( ), h f t
0
p−=
t= không phải là điểm tới hạn thì
của n .
( ) v z
( ) f z ≠ và
( ) f z
...
t> > là dãy các điểm tới hạn; số các
( ) f z có không điểm khi
( ) v z
i
t= , với 0 t
1
. Và Nếu
t= bằng hiệu
( ) v z
), ( h f t tại
+ − giữa độ dốc của
i
n 1i
n i
không điểm ứng với
{ } \ 0
), ( h f t tại
{ }0
it
it ∪
in và
1in + lần lượt là giá trị
nt+
và độ dốc của . Dễ thấy rằng
( v a
)n
lớn nhất và nhỏ nhất của n để là cực tiểu.
( ) f z là hàm chỉnh hình khác hằng trên
p . Khi đó, với t đủ
−
′ ,
t
Bổ đề 1.3.2. Cho
≥ − . t
( h f
)
( h f t ,
)
nhỏ, ta có
( ) f z là hàm chỉnh hình khác hằng trên
p , khi đó:
( h f t → −∞ khi t → −∞ .
),
,
Bổ đề 1.3.3. Cho
( ) f z g z là các hàm chỉnh hình trên
( )
p . Khi đó ta có:
+
≥
g t ,
min
,
Bổ đề 1.3.4. Cho
( h f
)
) ( h f t h g t , ,
(
{
} )
=
+
.
(i) ,
( h fg t ,
)
( h f t ,
)
( h g t ,
)
(ii)
p vào
)
( n p
và f được Định nghĩa 1.3.5. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ
=
f
,
f
,...,
cho bởi:
(
)
f 1
2
f + 1 n
,
27
p và không có chung không điểm.
if là các hàm chỉnh hình trong
trong đó,
Khi đó, f được gọi là một đường cong chỉnh hình p-adic trên không gian xạ ảnh
)
( n p
.
=
t
Định nghĩa 1.3.6. Độ cao của đường cong chỉnh hình f được xác định bởi:
( h f
)
( h f t ,
)
,i
min ≤ ≤ + 1 1 i n
=
f
f
,
f
,...,
,...,
.
(
)
)
i
2
f + 1 n
g g , 1
2
g + 1 n
Bổ đề 1.3.7. Cho là một biểu diễn và giả sử (
ig là các hàm chỉnh hình. Khi đó:
=
+ , với C là hằng số.
( h f t ,
)
) ( h g t C ,i
min ≤ ≤ + 1 1 i n
tương tự khác của f , trong đó
Chứng minh:
( )zλ thỏa:
λ=
∀ = i
1,...,
n
+ . 1
( ) z f
( ), z
( ) g z i
i
Từ giả thuyết ta có một hàm phân hình
( )
( ) z không có cùng không điểm nên λ là một
ig z là hàm chỉnh hình và
if
h
Do
),
h
0
Do đó hàm chỉnh hình. ( tλ → −∞ khi t → −∞ (Bổ đề 1.3.3).
( tλ < khi t đủ nhỏ, hoặc
),
( )zλ là hàm hằng.
Suy ra
Kết hợp định nghĩa độ cao đường cong chỉnh hình, ta có điều cần chứng minh.
Như vậy, từ Bổ đề 1.3.6, ta thấy định nghĩa độ cao của đường cong chỉnh hình là
một định nghĩa tốt.
Để kết thúc phần này và chuẩn bị cho những nội dung sau, chúng ta sẽ
nhắc lại khái niệm các hàm đặc trưng Nevanlinna, hai định lý cơ bản của lý
thuyết Nevanlinna và một số nội dung liên quan:
28
∞
n
f
≤ ∞ và
∈ A
( ) f z
( ) ρ κ
a z n
(
= ∑ . Lấy a κ∈ , ta
=
n
0
Định nghĩa 1.3.8. Giả sử , 0 ρ<
,
định nghĩa:
1 −
f
a
n r
là hàm đếm số không điểm (kể cả bội) của f tại a trong
a− với giá trị tuyệt đối
]0;rκ [
(nghĩa là đếm số không điểm (kể cả bội) của f
,
nhỏ hơn hoặc bằng r ).
f tại a trong
1 −
f
a
n r
là hàm đếm số không điểm phân biệt của
]0;rκ [
<
.
< , hàm:
oρ ρ
,
r
n t
1 − a
dt
< < r
,
= :
,
(
) ρ
ρ o
∫
1 −
f
a
f t
N r
ρ o
Với 0
]0;rκ [
f
được gọi là hàm giá trị của f tại a trên .
∈ A
( ) κ
]0;rκ [
(r
b
f
1k ≥ . Khi đó với
có k – không điểm (kể cả bội) trong , Mệnh đề 1.3.9. Giả sử
b− cũng có k – không điểm (kể cả bội)
[
]
( rκ∈ 0;
)
thì f
]0;rκ [
trong .
∞
n
Chứng minh:
( ) f z
a z n
= ∑ . Theo định lý Weierstrass (định lý 1.2.6) ta có:
=
n
0
n
k
n
k
≤
<
k
,
,
n
k
,
n
k
Giả sử
∀ ≤ ;
∀ > .
( r fυ=
)
a r n
a r k
a r n
a r k
b
f
và
[
]
( rκ∈ 0;
)
Với , ta có:
29
k
−
=
− = b
f
− ≤ b
b
( ) 0
( ) r f z ,
( µ
)
a r k
a 0
−
r f ,
b
= = k
r f ,
.
b− có k – không
( = υ υ
)
( υ
)
. Theo định lý Weierstrass, f Do đó
]0;rκ [
0 ρ<
f
điểm trong .
≤ ∞ không bị chặn và b κ∈ , ta có:
∈ A
)
(
=
+
→
,
,
O
r
Hệ quả 1.3.10. Giả sử , ( Từ Mệnh đề 1.3.9 ta có một số tính chất về hàm giá trị như sau: ( ) ρ κ
( ) 1 ,
(
) ρ
1 −
f
b
1 f
N r
N r
.
( )1O là đại lượng giới nội.
trong đó,
=
+
→
,
,
O
r
Hệ quả 1.3.11. Giả sử f là hàm nguyên khác hằng và b κ∈ , ta có:
( ) 1 ,
(
) ρ
1 −
f
b
1 f
N r
N r
.
f
f
,
Ta xây dựng các hàm đặc trưng cho hàm phân hình:
≤ ∞ và
∈ M
∈ A
( ) κ
( ) ρ κ
(
0
f 1
(
r
=
f
Cố định r , 0 r ρ< < . Khi đó tồn tại sao
f không có nhân tử chung trong vành
1,f 0
( ) r κA
f 1 f
0
, với . cho
a κ∈ ∪ ∞ , ta định nghĩa:
{ }
Định nghĩa 1.3.12. Với
]0;rκ [
neáu
=
= ∞
,
,
a
( n r f ,
)
1 f
0
n r
,
1 −
f
a
n r
neáu
≠ ∞
,
,
a
1 −
af
f 1
0
n r
=
: Hàm đếm số không điểm (kể cả bội) của f tại a trong
]0;rκ [
Hàm giá trị của f tại a trên :
30
neáu
=
= ∞
,
,
,
a
( N r f
)
1 f
0
N r
,
1 −
f
a
N r
neáu
≠ ∞
,
,
a
1 −
af
f 1
0
N r
=
f
∈ M
( ) ρ κ
(
−
=
−
<
,
,
log
r f ,
log
,
f
0
, ta có: Mệnh đề 1.3.13. (Công thức Jensen) Với
< ≤ . ρ
)
( N r f
)
( µ
)
( µ ρ 0
rρ 0
1 f
N r
f
, với
∈ M
( ) ρ κ
(
Định nghĩa 1.3.14. Giả sử , với r ρ< ta định nghĩa:
]0;rκ [
+
=
=
,
log
r f ,
r f ,
: Hàm xấp xỉ của f trên
( m r f
)
( µ
)
( µ
{ max 0;log
} )
.
]0;rκ [
=
+
,
,
,
Hàm đặc trưng của f trên :
( T r f
)
( m r f
)
( N r f
)
.
Chú ý:
+
+
=
−
log
r f ,
log
r f ,
log
( µ
)
( µ
)
1 r f ,
( µ
)
=
,
,
.
( m r f
)
1 f
− m r
Ta có:
=
−
,
,
log
,
f
Do đó công thức Jensen có thể viết lại như sau:
)
( T r f
)
( µ ρ 0
1 f
T r
.
=
+
,
,
O
Hay
( T r f
)
( ) 1
1 f
T r
.
31
0,κ ρ . Khi đó với mọi a κ∈ ,
Mệnh đề 1.3.15. (Định lý cơ bản thứ nhất của lý thuyết Nevanlinna).
(
)
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên
+
=
+
→
,
,
,
O
r
ta có:
( T r f
)
( ) 1 ,
(
) ρ
1 −
1 −
f
a
f
a
m r
N r
.
Mệnh đề 1.3.16. (Định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna).
) 0,κ ρ và
(
a là các điểm q
a 1,...,
δ
=
−
=
,
a
A
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên
a i
j
a i
{ max 1;
}
}
≠
i
. phân biệt thuộc κ. Định nghĩa: { min 1; j i
q
′
−
≤
−
+
−
−
,
,
,
,
,
log
q
+ r S
(
) 1
( T r f
)
( N r f
)
( N r f
)
f
∑
1 −
f
a
1 ′ f
= 1
j
j
N r
N r
q
≤
+
−
,
,
log
,
+ r S
( N r f
)
f
∑
1 −
f
a
= 1
j
j
N r
q
′
=
−
−
+
−
S
log
,
f
a
log
,
f
q
Khi đó với 0 r ρ< < , ta có:
)
(
) 1 log
f
j
( µ ρ 0
( µ ρ 0
)
∑
A δ
j
= 1
với .
Có thể xem chi tiết các chứng minh trong [11].
32
1.4. Đường cong chỉnh hình trên
. Định lý cơ bản thứ nhất
)n (
p
và thứ hai của đường cong chỉnh hình:
Trước tiên, chúng ta sẽ nhắc lại một công cụ cần thiết cho phần này, đó là định
thức Wronski:
Cho hai hàm số
( ) x . Định thức:
( ) 1y x và
2y
=
=
−
,
( W y y
)
1
2
′ y y 1 2
′ y y 2 1
y y
y 1 ′ y 1
2 ′ 2
được gọi là định thức Wronski của
,y y . (Bạn đọc có thể xem chi tiết hơn về định thức 1
2
Wronski trong các tài liệu liên quan đến phương trình vi phân. Vì khuôn khổ luận văn
không cho phép nên chúng tôi không trình bày chi tiết ở đây.)
Sau đây, chúng ta sẽ nhắc lại về đường cong chỉnh hình trên
và hai định
)
( n p
lý cơ bản của đường cong chỉnh hình:
⋅ không Acsimet, không tầm thường. Gọi V là không gian vectơ định chuẩn
=
e
Định nghĩa 1.4.1. Cho κ là trường đóng đại số có đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn
(
)
(
)1n + - chiều trên κ và
e 0,..., n e
là một cơ sở của V . Một đường cong chỉnh
:f
hình (không Acsimet) là hàm:
( V
)
κ→
.
1
=
f
:
n → ,
f 0,..., n
(
) f κ κ +
f
Hay nói cách khác:
0,...,
n
không có nhân tử chung trong vành các hàm nguyên trên κ và sao cho f
if không đồng thời bằng 0.
=
+ + ...
:
Vκ
→ và gọi là biểu diễn thu gọn của f . Đặt:
các
f e n n
Đặt f e f 0 0
33
=
k
( µ r f ,
)
( µ r f ,
)
max ≤ ≤ 0 k n
=
z
f
.
( µ f z ,
)
( ) ( ) = z f max k ≤ ≤ 0 k n
. Ghi chú,
,
log
( T r f
)
( r fµ= ,
)
0
r > , sai khác
Khi đó hàm đặc trưng:
( )1O .
:f
đúng với mọi
( V
)
κ→
Định nghĩa 1.4.2. Một đường cong chỉnh hình được gọi là siêu việt
)
= ∞ .
lim sup →∞ r
( T r f , r log
nếu:
=
+ + ...
:
h
Vκ →
Tổng quát, đặt:
h e 0 0
h e n n
,
1n + các hàm phân hình sao cho các
jh không đồng
h h 0,..., n
)
là bộ trong đó, (
sao cho h
0,..., h
j
=
f
nhất bằng 0. Từ Hệ quả 1.2.10 tồn tại ước chung lớn nhất h của
h h
=
:f
là một biểu diễn thu gọn của đường cong chỉnh hình không Acsimet
( V
)
κ→
h
r h ,
r h ,
r f ,
( µ
)
( µ
) =
( µ
) .
. Ta gọi h là biểu diễn của f và ta viết f . Chú ý rằng:
+
=
,
log
( T r f
)
( ) 1
(
) 4.1
( ) N r f
( µ
) + , r h O
=
−
,
,
Từ công thức Jensen ta được:
( N r h
)
( ) fN r
1 h
N r
trong đó, .
34
=
=
,
,
,
,
,
( N r h
)
( N r h
)
1 h
1 h
N r
N r
:f
Ta còn có thể viết: .
( V
)
κ→
=
f
+ + ...
:
→ Vκ
f e 0 0
f e n n
Gọi là một đường cong chỉnh hình và đặt:
∧ ∧ ∧
( ) Wn =
f
′∧ f
∧ ∧ ...
f
...
là một biểu diễn thu gọn của f . Khi đó:
e 1
e n
e f e , o
,
,W e f
...
W
W
,...,
, e f
trong đó, là định thức Wronski của f ứng với cơ sở e :
f 0
f n
(
)
=
... ...
f 0 ′ f 0 ... ( ) n
f n ′ f n ... ( ) n
...
f 0
f 1 ′ f 1 ... ( ) n f 1
f n
=
,
( ) n
′
=
∧
W
e f ,
f
f
∧ ∧ ...
f
và, do đó ta có
.
′
=
∧
∧ ∧ ∧
W
e f ,
f
f
∧ ∧ ...
...
,
Và ta cũng được:
( ) n f ε ε 1 o
ε n
=
,...,
,
(
)
ε ε ε ε 1, o n
là cơ sở đối ngẫu của e . trong đó,
Κ
= Κ
e f ,
,...,
= :
...
, f
f 0
f 0
f n
n
(
)
Ta định nghĩa hàm nguyên:
W
e f ,
S
S
e f ,
,...,
= :
và hàm phân hình:
f 0
f n
(
)
=
Κ e f ,
.
Từ bổ đề về đạo hàm logarit, ta có:
35
) + 1
−
( n n 2
≤
=
S
;
S
r
,
e f ,
r
m
e f ,
O
4.2
( ) 1
(
)
( µ
)
(
)
,...,
V và W là các không gian vectơ trên κ. Đặt:
1, V V 0
s
...
: V 0
× × → Ws V
Kí hiệu
)1s + − tuyến tính trên κ. Và các đường cong chỉnh hình không
là ánh xạ (
κ→
=
f
j
s
:
,
0,1,...,
j
j
( V
)
Acsimet sau:
κ→
=
,
0,1,...,
: f
V
j
s
cùng với các hàm biểu diễn thu gọn:
j
j
f
,...,
f
0
.
)
...
0
f 1,
s
0
f ≡ s
f
. Định nghĩa 1.4.3. ( được gọi là độc lập với nếu f
0,...,
f độc lập với . Khi đó ta có: s
=
r f ,
f
Giả sử
( µ
)
...
0
s
...
0
s
( µ ... f r f , s 0 ( ) ( µ µ r f r f , ,
) )
=
,
z
f
f
f
f
.
( ) z
( ) z
...
...
( µ
)
0
0
s
s
f
f
Nhận xét: .
)
0,...,
s
= −
m
log
r f ,
f
Giả sử ( độc lập với và ta có hàm xấp xỉ:
( µ
)
( ) r
...
f
f
0
s
...
0
s
W
f
:
.
...
0
f κ→ s
...
là một đường cong chỉnh hình không Acsimet với biểu Lưu ý,
.
f s
j
diễn thu gọn f
)4.1 ta được định lý cơ bản thứ nhất của đường cong chỉnh hình:
:f
Khi đó, từ (
( V
)
κ→
là đường cong chỉnh hình không Acsimet. Khi Định lý 1.4.4. Cho
đó ta có :
36
s
=
+
+
,
N
,
f
O
( T r f
)
( ) + r m
( ) r
( ) 1
(
) 4.3 .
...
j
f
f
f
f
s
...
...
0
( T r f
)
0
s
0
s
∑
=
j
0
,
...
f
1W = thì
( T r f
)
là hàm hằng.
0
s
∗
κ
:g
là một điểm và Nếu dim
)W ( ( V
)
→
là một đường cong chỉnh hình không Acsimet với biểu Cho
∗
=
→
+ + ...
V
diễn thu gọn:
g
g
g
ε 0 0
ε κ : n n
=
,...,
,
)
(
ε ε ε ε 1, o n
,f g được gọi là độc lập nếu chúng độc lập với ∠, nghĩa là
)
trong đó là cơ sở đối ngẫu của e .
=
≡
+ + ...
0
Định nghĩa 1.4.5. (
∠ = f g
, f g
g f 0 0
g f n n
,f g độc lập, khi đó định lý cơ bản thứ nhất được viết lại như sau:
.
)
+
=
+
+
N r g m r g O
,
,
,
( T r f
)
( T r g ,
)
)
)
(
(
( ) 1
(
) 4.4 ,
f
f
Giả sử (
=
=
=
,
,
,
,
N
m
trong đó:
( N r g
)
( ) r
( m r g
)
( ) r
f
∠ f g
f
∠ f g
1 , f g
N r
.
,
f
= −
g
Số khuyết của f đối với g được xác định bởi công thức:
(
)
δ f
1 limsup →∞
r
,
( ) N r g ( ) + T r g ,
)
( T r f
0
,
≤ . 1
)
( f gδ≤
= . 0
với
lim →∞ r
( T r g , ( T r f ,
) )
Ta nói g tăng chậm hơn f nếu
,
= −
g
Như vậy, ta có:
(
)
δ f
1 limsup →∞
r
,
( ) N r g f ( ) T r f
.
37
a= là hằng số thì (
)4.4 trở thành:
=
+
+
,
N r a m r a O
,
,
4.5
Đặc biệt, nếu g
( T r f
)
)
)
(
(
( ) 1
(
)
f
f
.
,
= −
a
và số khuyết của f đối với a được cho bởi:
(
)
δ f
1 limsup →∞
r
,
( ) N r a f ) ( T r f
.
Tiếp theo, ta sẽ trình bày về Định lý cơ bản thứ 2 của đường cong chỉnh
)1n +
hình: Gọi V là không gian vectơ (
)
κ→
Bổ đề 1.4.6. Đường cong chỉnh hình là không suy biến tuyến tính - chiều trên κ. ( V :f
,W e f
của một biểu diễn thu gọn f của f khi và chỉ khi định thức Wronski
với cơ sở e đồng nhất bằng 0.
:f
(Có thể xem chứng minh chi tiết trong [11])
( V
)
κ→
=
f
+ + ...
:
r f ,
với Cho đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính
(
)
→ Vκ ∗
RamN
f e 0 0
f e n n
biểu diễn thu gọn . Khi đó số hạng rẽ nhánh
1
=
,
, r f
(
)
RamN
,
W e f
N r
được định nghĩa:
:f
Định lý 1.4.7. (Định lý cơ bản thứ hai của đường cong chỉnh hình)
( V
)
,...,
a
là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính và Cho
q
a a 1, 0
ja
{ A =
κ→ }
( V ∗
)
∈
là một họ các điểm được chọn tổng quát. Khi đó lấy
q
+
) 1
−
≤
−
−
,
,
log
N
, r f
+ r O
ta có:
(
) q n T r f
(
)
(
)
( ) 1
f
j
Ram
( N r a
)
∑
=
( n n 2
0
j
.
38
V ∗∈ ja
j
)j ( a= a
=
=
+ + ...
,
j
0,...,
q
a
a
a
Lấy với . Ta có: Chứnh minh: { } \ 0
j
ε 0 0
j
ε jn n
=
=
i
0,1,...,
q
,
(
)
ε ε ε n
0,...,
=
=
+
+ + ...
là cơ sở đối ngẫu của e . Với đặt: trong đó
F i
f a , i
a f 0 0 i
a f 1 1 i
a f in n
0
.
iF ≡ . Do A được chọn tổng quát, ta có
λ≠ ∀ ∈
det
0,
J
Vì f không suy biến tuyến tính nên
q n
a λ
j
( ) i
(
)
λ
λ
λ
0
( ) i
( ) i 1
( ) i n
=
+
=
+ + ...
,
i
0,1,...,
n
a
a
a
F λ
F λ
F λ
f i
( ) 0
( ) 1
( ) n
j
q
và do đó:
( ) aλ i
nJλ∈ ta có:
j
aλ ( ) i
(
)
)
≤
∈
=
A
,
z
κ ,
i
0,1,...,
n
trong đó là ma trận nghịch đảo của . Do đó với mọi
( ) z
f i
F λ
i
( ) ( ) z
( }
,
{
max ≤ ≤ 0 j n
j
=
∈
≤
≤
A
max
( ) λ λ i :
J
,0
i
,
j
n
a
q n
}
{
. trong đó
=
,
Ta viết ngắn gọn định thức Wronski như sau:
f n
( = 0,..., W W f
)
W e f
,
,...,
,
λ
F λ
F λ
( ) 1
( ) n
( ) 0
( = W W F λ
)
.
=
=
,
Khi đó:
W c W c λ
λ
λ
j
( ) i
( det a λ
)
0,
.
[
]0 ∈ z κ κ ρ \
≠
≠
=
≠
=
0,
f
i
0
0,1,...,
,
0
j
0,1,...,
q
Tiếp theo, ta cố định thỏa:
( ) W z
( ) z
(
(
)
i
( ) ) n F z j
=
,...,
,...,
,
.
(
)
α α β β β −
q n
n
1
0
0
Khi đó ta có thể lấy hai chỉ số phân biệt sao cho:
39
<
≤
0
≤ ≤ ...
≤ ≤ ...
< ∞ .
( ) z
( ) F z α 0
( ) F z α n
( ) F z β 1
F β − q n
q
=
Im
,...,
{
}
λ α α n 0
nJλ∈ với
≤
≤
A
Lấy
( ) z
( ) A F zβ
F λ
f k
i
( ) ( ) z
l
max ≤ ≤ 0 j n
=
=
k
n l 0,1,... ;
0,1,...,
q n
, . Khi đó ta có: } {
≤
=
=
,
l
0,1,...,
− q n
với
( ) z
( ) f z
f k
( ) A F z β l
− . Từ đó, ta được: }
{
max k
.
λ=
=
−
+
log
log
...
log
log
, ta được: Từ W c W λ
( ) z
F β
( ) D z λ
c λ
− q n
( ) F z β 1
( ) ( ) F z F z ... q 0 ( ) W z
,
)
)
( ( ) i n F ( ) λ n
( ( ) i 0 F ( ) λ 0
W λ
=
...
trong đó
( ) sign i
D λ
= ∑
n
∈ i J
F λ
F λ
...
( ) n
( ) 0
F λ
F λ
( ) 0
( ) n
F
F=
nJ là nhóm giao hoán trong
,
]0, n [
( )0 j
j
≤
+
−
log
...
log
log
log
và . Suy ra: với
( ) z
F β
( ) D z λ
c λ
− q n
( ) F z β 1
( ) ( ) F z F z ... 0 q ( ) W z
.
≤
+
+
−
− q n
− q n
A
′ A
log
log
log
log
log
4.6
Do đó ta có:
(
)
(
)
(
)
( ) f z
( ) D z λ
( ) ( ) F z F z ... q 0 ( ) W z
′ =
A
,
cλ
λ∈
minq nJ
z=
trong đó .
) + 1
−
( n n 2
≤
≤
r
...
, từ Định lý 1.2.8 ta được: Đặt r
( ) D z λ
n
max ∈ i J
F λ
F λ
0
n
) ( ) ( ( ) i n z F ( ) λ n ( ) ( ) z
) ( ) ( ( ) i 0 z F ( ) λ 0 ( ) ( ) z
,
40
+
−
)1
≤
log
log
r
( ) D z λ
( n n 2
và do đó: .
=
+
log
log
,
log
,
W
Theo công thức Jensen ta có:
)
( ) W z
( µ
) = r W N r ,
( µ ρ 0
1 W
=
=
+
log
log
,
log
,
,
( µ
)
)
)
( ) F z i
r F , i
( N r a i
f
( µ ρ 0
F i
=
=
+
i
0,1,...,
q
log
,
O
,
( ) f z
( T r f
)
( ) 1
q
+
) 1
−
≤
−
−
,
,
,
log
4.7
+ r O
(
)
( ) 1
(
)
(
) q n T r f
f
j
( N r a
)
∑
=
1 W
( n n 2
N r
0
j
)
và kết hợp , ta được: với
)4.7 trù mật trong (
)4.7
0,ρ ∞ . Do đó (
Chú ý rằng tập hợp các r trong (
rρ < < ∞ , do tính liên tục của các hàm trong bất phương trình
0
cũng thỏa với mọi
:f
trên.
)
κ→
là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến
,...,
ja
( V ∗
)
1, a a 0
a q
∈
( V }
là một họ các điểm được chọn tổng tính và lấy Hệ quả 1.4.8. Cho { A =
q
+
) 1
−
≤
−
,
N
r a ,
log
+ r O
quát. Khi đó:
(
) q n T r f
(
)
( ) 1
, f n
j
(
)
∑
=
( n n 2
0
j
=
,
N
, r a
,
j
f n ,
(
)
1 F
j
N r n
+
∗
∈
∈
k
,
a
. trong đó
( V
)
N
j
)
= −
a k ,
, ta định nghĩa: Với mỗi
(
)
δ f
1 lim →∞ r
,
( f k , ( T r f
r a , )
≤
≤
0
a
a k ,
1
a
a
,
,
≤ . Và ta có thể xem
(
)
(
)
(
)
(
) ∞ .
δ f
δ f
δ f
δ= f
với
41
:f
κ→
,...,
a
là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến
a a 1, 0
q
) ( V }
ja
( V ∗
)
∈
tính và lấy là một họ các điểm được chọn tổng Bổ đề 1.4.9. Cho { A =
q
q
≤
a
≤ + n
1
quát. Khi đó:
δ f
j
δ f
a n , j
(
)
(
)
∑
∑
=
=
0
0
j
j
.
1.5. Không gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic:
∆ =
{
z
1}
Trước hết, chúng ta cần có những khái niệm cơ bản sau:
< . Metric Poincare ρ∆ là metric
Định nghĩa 1.5.1. Cho đĩa tròn đơn vị
2
=
ds
Riemann đầy đủ trên ∆ được định nghĩa như sau:
dzdz − (1 | z
2 2 | )
.
Kết quả sau đây còn được gọi là tính chất giảm khoảng cách của Metric Poincare:
:f ∆ → ∆ là ánh xạ chỉnh hình. Khi
2
2
Mệnh đề 1.5.2. (Schwartz-Alhfors) Giả sử
* f ds
ds≤
,p q ∈ ∆ .
,
p q ,
( f p
)
( f q
)
(
)
ρ ∆
∆≤ ρ
(
)
đó , nghĩa là với hai điểm
Định nghĩa 1.5.3. (Giả metric Kobyashi-Royden) Cho X là đa tạp phức (không
Xρ
=
… = và các ánh xạ
nhất thiết là compắc). Giả metric Kobyashi-Royden được định nghĩa như sau:
,p q X∈ , chọn một dãy các điểm
q
,
,
p 0
p p , 1
p n
∆ → sao cho
∈ ∆ . Khi đó:
Với
X
f
(
)
:if
p i
1, −
p i
i
n
− 1
=
f
f
p q ,
,
(
)
(
)
(
)
) 5.1
− 1
ρ X
p i
i
p i
( ρ − 1 ∆ i
) (
∑
f
inf { },{ } p i
i
= 1
i
chỉnh hình
42
Chúng ta cũng có thể định nghĩa giả metric Kobyashi-Royden theo hướng sau
đây:
XT
· : XT → trên không gian tiếp xúc chỉnh hình
Định nghĩa 1.5.4. Chuẩn
của X được định nghĩa như sau:
v T∈
,X p
là vectơ tiếp xúc chỉnh hình tại p. Ta xét tất cả những Giả sử p X∈ và
p= và
f
∂ ∂ = . z )
v
/
{|
< z R | }
( )0f
∆ = R
*(
ánh xạ chỉnh hình f từ vào X thỏa mãn
=
v
5.2
(
)
inf f
1 R
Khi đó:
Xρ được định nghĩa ở trên.
Giả metric sinh bởi · chính là
Theo ý nghĩa hình học, ta đang cố kéo giãn đĩa tròn lớn đến mức có thể trong X.
Xρ thỏa mãn những tính chất sau:
+
≥
p q ,
q r ,
p r ,
Mệnh đề 1.5.5. Giả metric Kobyashi-Royden
,p q r X∈ , ,
(
)
(
)
(
)
ρ X
ρ X
ρ X
(1) Bất đẳng thức tam giác: với
:f X
Y→ là ánh xạ chỉnh hình. Khi đó:
(2) Giảm khoảng cách: Cho
,
p q ,
(
)
( f p
)
( f q
)
(
)
ρ Y
ρ≤ X
.
ρ
0
Ta nhận thấy giả metric Kobayashi-Royden chưa là một metric, nghĩa là nó
= với p
q≠ ).
)
( X p q ,
có thể suy biến (
0z ∈ và số R 0> , ta xét ánh xạ
= + . Từ định nghĩa 1.5.4, ta có
Ví dụ 1.5.6. Giả sử X = . Cho trước điểm
z
z
( ) f z
:
v = với 0
v T∈
f ∆ → với
0
R
0,X z
.
43
Định nghĩa 1.5.7. Một đa tạp phức là hyperbolic theo quan điểm của Kobayashi
Xρ là một metric.
nếu
Một đa tạp phức X là hyperbolic Brody (B-hyperbolic) nếu mọi ánh xạ chỉnh
:f
X→
đều là ánh xạ hằng. hình
Nếu đa tạp phức X là hyperbolic thì X là B-hyperbolic. Chiều ngược lại chỉ đúng
đối với đa tạp phức compắc:
Định lý 1.5.8. (R.Brody). Một đa tạp phức compắc là hyperbolic khi và chỉ khi
nó là B-hyperbolic.
n ,
n là compắc. Do đó trên không gian xạ ảnh phức
Nhận xét 1.5.9. Ta có
khái niệm hypberbolic theo quan điểm của Kobayashi và Bordy là trùng nhau,
nên ta gọi chung hai khái niệm này là hypberbolic.
Thông thường, chúng ta không dễ để xây dựng những ví dụ đa tạp
hyperbolic. Thậm chí cũng khó để chứng minh một đa tạp X cho trước là
1X = thì X là hyperbolic. Giả sử X là mặt Riemann
X
hyperbolic. Nhưng với dim
1
thể là (có thể không compắc). Cho 1 hay hay ∆ . Nếu
:f
π → là phủ phổ dụng của X. Khi đó Y chỉ có :Y Y = hay Y = , hiển nhiên tồn tại những ánh xạ → → Y
X
và vì vậy X không là hyperbolic. Nếu chỉnh hình khác hằng
Y = ∆ , ta dễ thấy rằng
ρ π ρ=
X
Y
không suy biến. Vì vậy X là hyperbolic khi và
chỉ khi phủ phổ dụng của X là ∆ .
1 \{3 điểm} là hyperbolic.
Mệnh đề 1.5.10.
Mệnh đề này tương đương với định lý Little Picard.
44
n
n
n
+
=
x
y
z
=
=
=
Ví dụ 1.5.11. Cho phương trình , mỗi nghiệm của phương trình này
x
à
( ) x t , y
( ) y t v z
( ) z t
n
n
n
+
=
⊂
. Mỗi trong trường hàm phân hình trên có dạng:
:
{
}
f
→ = C
x
y
z
2
.
nghiệm trên xác định một ánh xạ chỉnh hình
Nghiệm của phương trình trên là tầm thường nếu và chỉ nếu f là ánh xạ hằng. Khi
đó, phương trình có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ nếu giống của C lớn
4= .
hơn hoặc bằng 2, nghĩa là n
Như vậy, trong chương này chúng ta đã làm rõ được những kiến thức quan
trọng nhất để chuẩn bị cho chương tiếp theo, đó là hàm phân hình, hàm chỉnh
hình, đường cong chỉnh hình, các siêu mặt hyperbolic cùng các nội dung liên
quan. Sau đây là nội dung chính của luận văn:
45
Chương 2: Sự suy biến của đường cong chỉnh
hình và siêu mặt hyperbolic p-adic
( n p
và các siêu mặt hyperbolic trong của đường cong chỉnh hình trong Chương này là nội dung chính của luận văn, gồm hai phần: sự suy biến )
)
( 3 p
. Phần thứ nhất trình bày cơ sở để xem xét một hàm chỉnh hình có suy
)
( n p
. Phần thứ hai nêu ra một phương pháp xây dựng biến hay không trong
)
( 3 p
siêu mặt hyperbolic trong .
2.1. Sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong
:
)
( n p
,1
...
, 1
s
j
≤ ≤ ,
α = M z j 1 j
α + z , 1 j n + 1 n
Đặt:
Là các đơn thức phân biệt bậc d với số mũ không âm. Gọi X là siêu mặt trong
)
( n p
+
+
:
...
= , 0
X c M c M 1
2
1
2
c M s
s
, có số chiều d và xác định bởi phương trình:
c ∈ .
* p
i
s
trong đó
n≥ + và 1
=
,
j
1,...,
n
+ . 1
= M z j
d j
=
f
,...,
Ta gọi X là nhiễu của siêu mặt Fermat số chiều d nếu
(
)
f 1
f + n 1
0
là một đường cong chỉnh hình và đặt M là một Bổ đề 2.1.1. Cho
k ≥ , ta có:
đơn thức như trên. Khi đó với mọi
46
k
)
(
=
)( M f M f
k f 1
Q k k f + ... 1 n
,
kQ là một hàm chỉnh hình và
n
+ 1
≥
−
k
,
t
kt
trong đó
)
( h f
)
( h Q t , k
i
∑
i
= 1
,
với t đủ nhỏ.
Chứng minh:
0
k = là hiển nhiên đúng.
Ta chứng minh quy nạp theo k .
Với
Giả sử mệnh đề trên đúng với k .
ϕ
=
Để đơn giản ta đặt:
f ... n
f 1
+ 1
.
n
+ 1
t
h
,
t
( h f
)
( ϕ ,
)
( ) 1
i
= ∑
i
= 1
Khi đó ta có:
k
)
k
=
Theo giả thiết quy nạp ta có:
(
)(
M f
. Q M f k ϕ
.
k
)1 +
(
=
Khi đó:
+ 1 + 1
Q k k ϕ
)( M f M f
,
′ )
(
=
+
−
.
′ ϕ .
trong đó
Q k
′ ϕ ϕ Q Q k k
kQ k
+ 1
M f M f
.
47
(
′ )M f M f
′ )
(
,...,
ϕ .
Chú ý rằng hàm chỉ có một cực điểm duy nhất tại không điểm của
f 1
f + . Do đó, hàm n
1
1kQ + là hàm chỉnh hình.
M f M f
là chỉnh hình. Suy ra
′
+
,
t
h
( ϕ ,
)
, h Q t k
≥
+
+
−
min
,
,
t
h
t
Mặt khác, từ Bổ đề 1.3.3 và 1.3.4 ta có:
)
.
) )
( ϕ ,
)
( h M f
′ )
)
( , h M f t
( ( , h Q t k
( , h Q t k
+ 1
(
)
+
+
t
h
)
( v k
)
)
( ′ ϕ ,
( , h Q t k
+
−
,
h
t
t
t
)
( , h Q t k
≥
min
)
+ 1
( , h Q t k
) +
) +
−
h
) t
Khi đó, từ Bổ đề 1.3.2 ta có:
− , t h ( ϕ ,
( ϕ , ) t
=
t
t
h
( ϕ ,
( ϕ , ( ) v k ) +
( ) 2
( + , h Q t k ( ) , h Q t k ) ( − , h Q t k
1k + .
.
Từ (1) và (2) suy ra mệnh đề trên cũng đúng tại
Vậy theo quy nạp ta có điều cần chứng minh.
)
( n p
Bổ đề 2.1.2. Gọi X là nhiễu của siêu phẳng Fermat số chiều d trong
+
−
−
n
s
s
2
(
)( 1
)( 1
)
≥
d
và f là một đường cong chỉnh hình trong X . Giả sử:
2
=
−
,
j
1,...,
s
.
jM f
} 1
độc lập tuyến tính thì f là ánh xạ hằng. Nếu {
Chứng minh:
j
=
=
−
,
1,...,
1
j
s
Để đơn giản, ta đặt:
( ) g z j
( ) c M f z j c M f s s
.
48
,...,
}
g 1
g − 1 s
+ + ...
≡ − . 1
g 1
g − 1 s
,...,
thỏa: Khi đó các hàm phân hình {
}
g 1
g − 1 s
phụ thuộc tuyến tính. Để chứng minh điều này ta Ta sẽ chứng minh {
sẽ sử dụng kĩ thuật Wronski của Nevanlinna:
1
1
...
1
′ − 1
...
′ g 2 g
g s g
=
Ta có định thức Wronski logarit như sau:
)
( L g s
...
2
2
2
s
)
)
)
g
...
2 ... ( − s 2 g
− 1 s ... ( − s g − 1 s g
s
′ g 1 g 1 ... ( − g 1 g 1
2
− 1
=
,...,
,
)
L i
( L g 1 i
g − 1 s
1
1
...
1
′ − 1
0
...
′ g 2 g
g s g
=
=
g
,...,
xác định bởi: Và các
)
L 1
( L g 1 1
− 1
s
...
2
2
)
)
g
0
...
2 ... ( − s 2 g
− 1 s ... ( − s g − 1 s g
2
− 1
s
...
=
i
2,...,
s
,
1,0,...,0 là cột thứ i .
− trong đó cột { 1
}
,...,
và tương tự với
}
g 1
g − 1 s
=
L
,...,
M f M f ,...,
độc lập tuyến tính thì các ánh xạ xạ ảnh Nếu {
)
(
)
(
1
s
L L , 1 2
L s
và đều trùng nhau.
Áp dụng Bổ đề 2.1.1 cho các định thức. Cụ thể, hạng tử thứ nhất trong
(
)
1L g có thể được viết dưới dạng:
=
khai triển của
−
s
R )( − 1 s
) 2 2
Q Q ... − 2 1 s − 2 s ϕ ϕ ...
( ϕ
.
49
−
s
) 2 2
( )( sϕ − 1
=
=
M f M f ,...,
,...,
,...,
Với là mẫu thức chung của tất cả các hạng tử trong khai triển các định
)
(
)
(
)
(
)
1
s
L 1
L s
R 1
R s
iL g . Do đó ta có (
thức , trong đó, theo
jR là các hàm chỉnh hình và thỏa điều kiện sau (với t đủ nhỏ):
−
s
2
=
)
j
( h Q t , k
( h R t ,
)
∑
k
= 1
−
s
2
≥
−
t
h
t
k
( ϕ ,
)
(
)
∑
k
= 1
−
−
−
−
s
s
s
s
2
2
(
)
(
)
=
−
t
h
t
( ϕ ,
)
+
−
−
−
−
n
s
s
s
s
2
2
)
)( 1 2 (
)( 1 2 )( 1
(
)( 1
)
≥
−
t
.
( h f t ,
)
)( 1 2
2
M f M f ,...,
Bổ đề 2.1.1,
s
1
≥
+
( ) 0 1
( h M f t , j
)
)
min j
min ≤ ≤ s j 1
+
−
−
−
−
n
s
s
s
s
2
2
(
)
(
( h R t , j )( 1
)( 1
)
≥
−
+
t
( ) 0 1 .
( h f t ,
)
2
)( 1 2
=
=
d
t
,
( dh f t ,
)
( ) 3
j
không có chung không điểm nên từ Bổ đề 1.3.6 ta có: Do
( h M f t , j
( h f
)
min ≤ ≤ + 1 1 j n
min ≤ ≤ + 1 1 j n
Do X là nhiễu của siêu phẳng Fermat số chiều d nên ta có: )
n
+ 1
=
≥
,
t
Lại có:
( h f
)
( dh f t ,
)
α jk
k
( h M f t , j
)
∑
= 1
k
.
+
−
−
−
−
n
s
s
2
s
s
2
(
)( 1
)( 1
)
(
)
≥
−
+
t
( dh f t ,
)
( h f t ,
)
( ) 0 1 .
( ) 4
)( 1 2
+
−
−
n
s
s
2
(
)( 1
)( 1
2 )
=
d
Từ đó, ta được:
2
Khi ta có điều vô lý là t → −∞ .
50
+
−
−
n
s
s
2
(
)( 1
)( 1
)
≥
d
2
≥ −
+
Nt
Khi , từ (4) ta có:
( h f t ,
)
( ) 0 1
,
trong đó N là một số dương. Do đó, từ Bổ đề 1.3.4 ta có f là ánh xạ hằng.
Vậy Bổ đề 2.1.2 được chứng minh.
)
( n p
Định lý 2.1.3. Cho X là nhiễu của siêu mặt Fermat số chiều d trong và
+
−
−
n
s
s
2
(
)( 1
)( 1
)
≥
d
2
gọi f là một đường cong chỉnh hình trong X . Nếu
≡
0
0,
∀ . i
thì ảnh của f nằm trong một tập con thực sự của X .
if ≡ thì f suy biến, và ta có thể giả sử rằng
if
Nếu tồn tại
Chứng minh :
Từ Bổ đề 2.1.2, ảnh của f nằm trong tập con thật sự của X , với X được xác
+
+
+ + ...
+ + ...
= , 0
+
n
s
d a z 1 1
d a z 2 2
a z + n 1
d + n 1
a M + n 1
2
a M − s 1
− 1
định bởi phương trình:
ja ≠ . 0
trong đó tồn tại ít nhất một
Ghi chú 2.1.1. Không có kết quả tương tự trong trường số phức.
51
2.2. Các siêu mặt hyperbolic trong
:
)
( 3 p
Trong phần này, ta sẽ áp dụng Định lý 2.1.3 để đưa ra một số ví dụ chi tiết về các
)
( 3 p
mặt hyperbolic trong cũng như các ví dụ về các đường cong trong
)
( 2 p
với phần bù hyperbolic và các ví dụ về các siêu mặt hyperbolic với phần
bù hyperbolic của chúng.
=
=
1,
i
1,...,
n
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử trong phương trình của X các
+ . 1
ic
hệ số đầu tiên
Sau đây chúng ta sẽ trình bày một phương pháp xây dựng các siêu phẳng
hyperbolic, trước tiên, ta nhắc lại kết quả sau:
)
( n p
=
f
,...,
Bổ đề 2.2.1. Gọi X là siêu mặt Fermat số chiều d trong , và
(
)
f 1
f + 1 n
d
n≥
2 1
i
n
≡ ∀ = 0,
1,...,
1
+ . Nếu
− thì hoặc f là đường cong hằng hoặc tồn tại
if
1,...,
là một đường cong chỉnh hình trong X . Giả sử
} + 1n
Iξ
= ∪ sao cho mỗi Iξ chứa ít nhất 2
2
j
f
f=
một phân hoạch của tập chỉ số {
n = thì chỉ tồn tại một
Iξ∈ thì
i
j
phần tử, và nếu ,i tại một số điểm (nếu
lớp).
)
( 3 p
3
1
+
+
+
+
=
z
z
z zα
0
( ) 1
d X z : 1
d 2
d z 3
d 4
α α cz z 2 1 2
3
α 4 4
4
≠
=
c
0,
α ≠ ∀ ≠ 1,
j
i
,
j
1, 2,3, 4
Định lý 2.2.2. Gọi X là một mặt trong và có phương trình:
iα = thì 0
j
=∑ dα i
i
= 1
d ≥
24
trong đó , và nếu có . Khi đó,
X là hyperbolic nếu
=
f
f
,
,
f
,
f
:
X
.
)
f 1
2
3
4
→ p
là đường cong chỉnh hình trong X . Gọi Chứng minh: (
52
0
0
0α = thì ánh xạ
f = . Nếu 4
4
,
f
,
f
Giả sử tồn tại i sao cho
(
)
f 1
2
3
p vào
if = , chẳng hạn )
( 2 p
,
f
,
f
từ có ảnh nằm trên một đường cong xạ ảnh giống
)
f 1
2
3
là ánh xạ hằng. Kết hợp dương. Từ Định lý Berkovich (xem [12]), (
0
với ( )1 ta suy ra f là ánh xạ hằng.
if ≡ . Từ chứng minh của Định lý 2.1.3
,...,
f
Hiển nhiên, ta có thể giả sử mọi
d f 1
d 4
}
+ + ...
≡ , 0
d a f 1 1
d a f 4 4
phụ thuộc tuyến tính. Giả sử: ta có {
ia không đồng thời bằng 0. Ta xét các trường hợp sau:
=
i≠ 0,
1, 2,3, 4.
trong đó các
ia
=
=
,
f
Từ Bổ đề 2.2.1, ta có hoặc f là ánh xạ hằng hoặc ta (i)
∗ . Và thay ( )∗ vào ( )1 ta có f là ánh xạ ( )
f 1
c f 1 2
3
c f 2 4
có thể giả sử rằng
hằng,
,
f
,
f
0
(ii) Có duy nhất một hệ số bằng 0, không mất tính tổng quát ta có thể giả
a = . Khi đó, theo Bổ đề 2.2.1, ta có (
)
f 1
2
3
f là ánh xạ hằng,
=
a=
0
f
là ánh xạ hằng. Và như vậy sử 4
= . Khi đó ta có
3
c f 3 4
a 1
2
(iii) Có hai hệ số bằng 0, giả sử . Thay
3
1
+
+
ε
+
ε
f
α α f 2
f α
≡ , 0
d f 1
d 2
d f 1 3
f 2 1
2
3
,
f
,
f
:
vào ( )1 ta được:
0ε ≠ thì ảnh của ánh xạ (
)
f 1
2
3
→ p
p
0ε ≠ . Nếu 1
2
)
( 2
,
f
,
f
nằm trên trong đó
)
f 1
2
3
f cũng là ánh xạ hằng (Định lý Berkovich).
là ánh xạ hằng, và do đó một đường cong xạ ảnh có giống dương và (
53
,
f
,
f
0ε = thì ảnh của (
)
f 1
2
3
)
( 2 p
+
3
4
+
+
ε
z
zα α
= . 0
d Y z : 1
d 2
α α z z 1 2 2 1 2
3
nằm trong đường cong trong sau: Giả sử 1
Ta sẽ chứng minh theo giả thuyết của Định lý 2.2.2, giống của Y nhỏ nhất là
d
d
< . Như vậy, dễ thấy tam giác
,α α , và hiển nhiên
bằng 1, khi đó từ định lý Berkovich ta sẽ có điều cần chứng minh.
d và ( )
)
1
2
α α+ 1 2
1d
là ( Ta có giống của Y bằng số các điểm nguyên nằm trên tam giác với ba đỉnh ) ( ,0 , 0,
= − . Trường hợp
α α+ 1 2
này chứa ít nhất một điểm nguyên, trừ trường hợp
này đã được loại từ giải thuyết của Định lý 2.2.2. Vậy định lý được chứng minh.
Ghi chú 2.2.1. Trong [2], bằng cách sử dụng phương pháp của K.Masuda và
)
( 3 p
d
d
d
+
=
≥
=
≥
+ + ...
0,
4
z
d
X
d
t
)
( 6 deg
) 24 ,
4 z 1
4 4
( t z z z z 1 2 3 4
∗ ∈ . p
: J.Noguchi [8], ta có các ví dụ sau về các siêu mặt hyperbolic trong
Trong khi đó, các siêu mặt hyperbolic được xây dựng theo Định lý 2.2.2 như
trên có số chiều lớn hơn hoặc bằng 24 (không nhất thiết phải là bội của 4). Chú ý
rằng, hầu hết các siêu mặt hyperbolic trong trường số phức trước đó đều cho với
số chiều d chia hết cho một số lớn hơn 1 (chia hết cho 2 trong ví dụ của Brody-
Green, cho 3 trong ví dụ của Nadel, cho 3 và 4 trong ví dụ của Noguchi). Trong
d ≥
24
[8] đã trình bày một thuật toán để xây dựng các siêu mặt hyperbolic có số chiều
tùy ý đủ lớn d . Ở đây ta có các siêu mặt hyperbolic với số chiều .
iα , hai trong chúng
Ghi chú 2.2.2. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng nếu giữa các số mũ
24
+
+
+
+
z
z
= 0
25 X z : 1
25 2
25 z 3
25 4
z z 1 2
là 0,1 thì X không thể là hyperbolic. Mặt:
54
25
25
+
− − 1
z
,1,1
z
,
z
)
. chứa đường cong chỉnh hình (
Bây giờ ta sẽ dùng Định lý 2.1.3 để đưa ra một số ví dụ về các đường cong
)
( 2 p
với các phần bù hyperbolic: trong
)
( 2 p
Định lý 2.2.3. Cho X là một đường cong trong xác định bởi phương
3
1
+
+
+
z
zα
= , 0
d X z : 1
d 2
d z 3
α α cz z 2 1 2
3
≥
>
≥
d
24,
d
0,
d
trình:
α i
=∑ α i
trong đó . Khi đó phần bù của X là một hyperbolic
)
( 2 p
p-adic trong .
2
=
f
,
f
,
f
:
Chứng minh:
(
)
f 1
2
3
→ p
là một đường cong giải tích có ảnh nằm trong phần
Gọi
3
1
+
+
+
f
f
f α
0
≠ với
z ∈ ,
d f 1
d 2
d 3
α α f cf 2 1
2
3
p
0
a ≠ . Do đó, ảnh của đường cong chỉnh hình sau:
bù của X . Khi đó, hàm số:
3
,
f
,
f
(
) ,1 :
f 1
2
3
→ p
3
và bằng một hằng số
, với Y xác định bởi phương trình:
3
1
+
+
−
+
z
az
zα
= . 0
d Y z : 1
d 2
d 4
3
,
,
f
f
nằm trong mặt Y của
d f 1
d 2
d 3
d z 3 Từ chứng minh của Định lý 2.1.3, {
α α cz z 2 1 2 } ,1
+
+
+
≡ , 0
d c f 1 1
d c f 2 2
d c f 3 3
c 4
phụ thuộc tuyến tính:
,
f
,
0,
i
≠ ∀ . Theo Bổ đề 2.2.1, có ít nhất một trong các hàm
trong đó các ic không đồng thời bằng 0. Ta xét các trường hợp sau:
ic
f 1
2
f là 3
(i)
hàm hằng. Suy ra f là ánh xạ hằng,
55
0
ic = . Khi đó theo Bổ đề 2.2.1, ta có f là ánh xạ
(ii) Tồn tại duy nhất một
0
hằng,
ic = thì hoặc một trong các
if là hàm hằng, hoặc hàm
f
(iii) Nếu có hai
,i
f là hàm hằng. Trong cả hai điều trên, ta đều có f là j
thương của hai hàm
,
f
,
f
hàm hằng.
) ,1 :
f 1
2
3
Y→ p
là ánh xạ Vậy Định lý 2.2.3 được chứng minh. Ghi chú 2.2.3. Ta chứng minh được rằng ánh xạ (
hằng mặc dù Y không là hyperbolic.
Bây giờ ta sẽ dùng chứng minh của Định lý 2.2.2 và Định lý 2.2.3 để đưa
)
( 3 p
với các phần bù ra một số ví dụ cụ thể về các mặt hyperbolic trong
d ≥
50
hyperbolic.
)
( 3 p
có số chiều và xác Định lý 2.2.4. Cho X là một siêu mặt trong
3
1
+
=
+ + ...
z
z zα
0
( ) 6
d X z : 1
d 4
α α cz z 2 1 2
3
α 4 4
0
0
c ≠ và nếu có một
định bởi phương trình:
iα = thì những
trong đó
)
jα còn lại nhỏ nhất là bằng 2. Khi ( 3 p
đó X là hyperbolic và phần bù của X trong cũng là hyperbolic.
Chứng minh:
=
f
,...,
f
Ta sẽ dùng Định lý 2.2.2 để chứng minh phần bù của X là hyperbolic.
(
)
f 1
4
0
Đặt là đường cong có ảnh nằm trong phần bù của X . Như trong
a ≠ sao cho ánh xạ
,
f
,
f
,
f
chứng minh Định lý 2.2.3 tồn tại một hằng số
(
) ,1
f 1
2
3
4
)
( 4 p
có ảnh nằm trong siêu mặt Y có số chiều d trong xác
định bởi phương trình:
56
3
1
+
+
+
+
+
=
z
z
z zα
0
( ) 7
d Y z : 1
d 2
d z 3
d 4
d az 5
α α cz z 2 1 2
3
α 4 4
+
−
(
)(
)(
)
≥
=
d
50
− 4 1 6 1 6 2 2
,
f
,
f
,
f
thì Từ chứng minh của Định lý 2.1.3 ta có khi
d f 1
d 2
d 3
d 4
{
} ,1
4
d
+
≡
0
phụ thuộc tuyến tính. Do đó:
ε 5
fε i
i
∑
= 1
i
,
iε không đồng thời bằng 0.
0ε = thì ta có thể lặp lại phần chứng minh của Định lý 2.2.2 và ta có
trong đó các
5
f là ánh xạ hằng.
0ε ≠ , từ Bổ đề 2.2.1 ta suy ra hoặc f là ánh xạ hằng hoặc tồn tại ít nhất
Nếu
5
Giả sử
if , giả sử
4f , là hàm hằng. Thay
4f bằng hằng số vào ( )7 , ta thấy ảnh của
,
f
,
f
một
) ,1
f 1
2
3
3
1
+
+
+
+
z
′ a z
z zα
= , 0
d : Z z 1
d 2
d z 3
d 4
α α ′ c z z 2 1 2
3
β 4 4
′ ≠
= −
+
+
′ , a c
0,
nằm trong một mặt phẳng được xác định bởi phương trình: ánh xạ (
)
dβ 4
( α α α 2 3
1
,
f
,
f
. trong đó
d f 1
d 2
d 3
} ,1
δ
+
δ
+
δ
+
≡ . 0
d f 1 1
d f 2 2
d f 3 3
δ 4
phụ thuộc tuyến tính. Do đó: Và cũng từ Định lý 2.1.3, {
0δ = thì tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2.2, ta có f là ánh xạ
4
0α = thì các số mũ còn lại ít
Nếu
1
0δ ≠ . Từ Bổ đề 2.1.1, ta có hoặc f là
hằng. Để chỉ ra được lý do ta cần giả thuyết nếu
4
nhất phải bằng 2, ta sẽ xét trường hợp
if , chẳng hạn
3f , là hàm hằng. Thay
,f 3
f 4
fε=
ánh xạ hằng hoặc tồn tại ít nhất một
f 1
2
,
f
,
f
,
f
, với ε là hằng số nào đó. Cuối cùng, do ánh là hằng số vào ( )6 ta được
) ,1
f 1
2
3
4
có ảnh nằm trên Y nên ta có: xạ (
57
+
+
Bf
C
≡ , 0
dAf 2
α α+ 1 2 2
,
,A B C là hằng số và
0B ≠ . Từ giả thuyết của Định lý 2.2.4,
≠
0, d
trong đó
α α+ 2
1
2f là hàm hằng.
nên ta có
Vậy Định lý 2.2.4 được chứng minh.
Ghi chú 2.2.4. Định lý 2.2.3 và 2.2.4 cho ta các ví dụ đầu tiên về các siêu
mặt hyperbolic với các phần bù hyperbolic trong trường p-adic. Trong trường số
2
phức, sự tồn tại của các siêu mặt này được chứng minh bởi M. G. Zaidenberg
3
[10]. A.Nadel [7]đã đưa ra các ví dụ đầu tiên của các đường cong này trong
được đưa ra bởi K.
và các ví dụ cụ thể về các siêu mặt hyperbolic trong
Masuda và J. Noguchi [8].
iα bằng không hoặc bằng d thì phần bù của X có thể không là hyperbolic. Xét
Ghi chú 2.2.5. Ví dụ sau chứng tỏ rằng khi tổng của hai trong số các số mũ
+
+
+
+
z
z
= . 0
51 X z : 1
51 2
51 z 3
51 4
25 26 z z 3
4
mặt X được cho bởi phương trình:
)
( 3 p
Khi đó, X là hyperbolic (Định lý 2.2.2), nhưng phần bù của X trong
=
−
f
z
,
z
chứa đường cong chỉnh hình sau:
(
) ,1,1
.
Vậy, với chương 2, chúng ta đã có được phương pháp nghiên cứu về sự
suy biến của đường cong chỉnh hình cùng với phương pháp kiểm tra và xây dựng
một siêu mặt hyperbolic (nhờ định lý 2.1.3, định lý 2.2.3 và định lý 2.2.4 )
-----------------------------------------------------------------------------------
58
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Luận văn đã làm rõ những kết quả của Hà Huy Khoái trong công trình của
ông công bố năm 1997 và các tác giả có liên quan như W. Cherry, K. Masuda, J.
Noguchi và A. Nadel. Luận văn cũng đã có những đóng góp sau đây:
( n p
(Định lý 2.1.3). Từ đó chỉ ra một phương pháp xét sự suy biến của một - Đưa ra một điều kiện đủ về sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong )
)
( n p
đường cong chỉnh hình trong .
- Áp dụng Định lý 2.2.3, xây dựng một số lớp các siêu mặt hyperbolic cụ
)
( 3 p
. thể trong
Vì lí do thời gian và vì khuôn khổ luận văn, chúng tôi không nêu chi tiết một
số khái niệm và chứng minh một số kết quả của đường cong đại số, giống đường
cong đại số và một số kết quả của lý thuyết Nevanlinna mà chỉ ra các tài liệu có
trình bày chi tiết các nội dung này.
Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài:
- Tìm và vận dụng độ cao của hàm chỉnh hình vào xét sự suy biến của
)
( n p
đường cong chỉnh hình trong . Xây dựng một phương pháp đơn giản
nhất có thể được để xét sự suy biến nói trên.
n > . 3
( n p
siêu phẳng hyperbolic p-adic trong với - Tìm ra một phương pháp xây dựng và đưa ra được các ví dụ cụ thể về các )
59
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Hà Huy Khoái
(1997), p-adic Hyperbolic Surfaces, ACTA
[2] Hà Huy Khoái và Mai Văn Tư (1995), p-adic Nevanlinna-Cartan
MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 22, Number 2, 501-514.
[3] Hà Huy Khoái(1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math.
Theorem, Internat, 719-731.
[4] Hà Huy Khoái (1993), Height of p-adic holomorphic functions and
J. 50, 695-711.
applications, Diophantine Geometry and Related topics, RIMS Lect
[5] Hà Huy Khoái and Mỵ Vinh Quang (1988),p-adic Nevanlinna theory,
Notes Ser 819, Kyoto, 96-105.
[6] Hà Huy Khoái and Vũ Hoài An (2003), Value distribution for p-adic
Lecture Notes in Math, 1351, 138-152.
hypersurfaces, Taiwanese journal of mathematics, Vol 7, No 1, pp 51-
[7] A. Nadel(1989), Hyperbolic surfaces in
3P , Duke Math. J. 58, 749-
67.
[8] K. Masuda and J. Noguchi(1996), A construction of hyperbolic
771.
(
)
nP , Math Ann 304, 339-362.
[9] M. Green(1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to
hypersurfaces of
algebraic varieties, Amer. J. Math. 97, 43-75.
60
[10] M. G. Zaidenberg (1993), Hyperbolicity
in projective spaces,
Diophantine Geometry and Relatedtopics, RIMS Lect, Notes Ser 819,
[11] Pei-Chu Hu and Chung-Chun Yang (1999), Meromorphic functions
Kyoto, pp 136-156.
[12] R. Brody and M. Green(1977), A family of smooth hyperbolic
over Non-Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers.
[13] V. Berkovich (1990), Spectral Theory and Analytic Geometry over
hypersurfacesin 3P , Duke Math. J. 44, 873-874.
[14] William Fulton (2008), Algebraic curves -An introduction to algebraic
Non-Archimedean Fields, AMS Surveys and Monographs 33.
[15] W. A. Cherry (1994), Hyperbolic p-adic analytic spaces, Math. Ann.
geometry, January 28.
300, 393- 404.
