(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C S(cid:215) PH(cid:132)M (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)
VANHNASONE THEPPHAVONG
T(cid:157)NH SI(cid:150)U L˙I, T(cid:157)NH TAUT V(cid:128) T(cid:157)NH K - (cid:30)(cid:134)Y C(cid:213)A C(cid:129)C T(cid:138)P M— KH˘NG B(cid:192) CH(cid:144)N TRONG Cn
LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C
TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N - 2017
(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C S(cid:215) PH(cid:132)M (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)
VANHNASONE THEPPHAVONG
T(cid:157)NH SI(cid:150)U L˙I, T(cid:157)NH TAUT V(cid:128) T(cid:157)NH K - (cid:30)(cid:134)Y C(cid:213)A C(cid:129)C T(cid:138)P M— KH˘NG B(cid:192) CH(cid:144)N TRONG Cn
Chuy¶n ng(cid:160)nh: GI(cid:131)I T(cid:157)CH M¢ sŁ: 60.46.01.02
LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C
NG(cid:215)˝I H(cid:215)˛NG D(cid:136)N KHOA H¯C: TS. TR(cid:134)N HU(cid:155) MINH
TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N - 2017
L(cid:237)i cam (cid:31)oan
T(cid:230)i cam (cid:31)oan (cid:31)¥y l(cid:160) c(cid:230)ng tr…nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng t(cid:230)i, d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng
d¤n t“n t…nh v(cid:160) chu (cid:31)¡o cıa TS. Trƒn Hu» Minh.
Trong khi nghi¶n cøu lu“n v«n t(cid:230)i (cid:31)¢ k‚ thła th(cid:160)nh qu£ khoa h(cid:229)c cıa
c¡c nh(cid:160) khoa h(cid:229)c v(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng nghi»p v(cid:238)i s(cid:252) tr¥n tr(cid:229)ng v(cid:160) bi‚t (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh.
H(cid:229)c vi¶n
i
Vanhnasone THEPPHAVONG
L(cid:237)i c£m (cid:236)n
Lu“n v«n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n t“n t…nh v(cid:160) s(cid:252) ch¿
b£o nghi¶m kh›c cıa TS. Trƒn Hu» Minh, t(cid:230)i xin gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n ch¥n
th(cid:160)nh v(cid:160) s¥u s›c (cid:31)‚n c(cid:230) gi¡o.
T(cid:230)i c(cid:244)ng xin k‰nh gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh (cid:31)‚n c¡c thƒy gi¡o, c(cid:230) gi¡o
tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m (cid:21) (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n c(cid:244)ng nh(cid:247) c¡c thƒy c(cid:230)
gi¡o tham gia gi£ng d⁄y kh(cid:226)a h(cid:229)c 2015-2017, nhœng ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ (cid:31)em h‚t
t¥m huy‚t v(cid:160) s(cid:252) nhi»t t…nh (cid:31)” gi£ng d⁄y v(cid:160) trang b(cid:224) cho ch(cid:243)ng t(cid:230)i nhi•u
ki‚n thøc v(cid:160) kinh nghi»m.
V(cid:160) cuŁi c(cid:242)ng, xin gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n gia (cid:31)…nh, c£m (cid:236)n c¡c (cid:31)(cid:231)ng nghi»p, b⁄n
b– (cid:31)¢ lu(cid:230)n (cid:31)(cid:231)ng h(cid:160)nh gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) t(cid:230)i trong suŁt qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p, nghi¶n
cøu c(cid:244)ng nh(cid:247) trong qu¡ tr…nh th(cid:252)c hi»n lu“n v«n n(cid:160)y.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2017
Ng(cid:247)(cid:237)i vi‚t lu“n v«n
ii
Vanhnasone THEPPHAVONG
M(cid:246)c l(cid:246)c
L(cid:237)i cam (cid:31)oan i
L(cid:237)i c£m (cid:236)n ii
M(cid:246)c l(cid:246)c iii
M(cid:240) (cid:31)ƒu 1
3 1 Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)
3 1.1 (cid:129)nh x⁄ ch¿nh h…nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 1.2 (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 1.3 H(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 1.4 H(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 1.5 H(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i peak v(cid:160) antipeak . . . . . . . . . .
6 1.6 Gi£ m¶tric vi ph¥n Royden (cid:21) Kobayashi . . . . . . . . . .
7 1.7 Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . .
8 1.8 T‰nh hyperbolic cıa mºt mi•n . . . . . . . . . . . . . . . .
9 1.9 Mi•n taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cn
2 T‰nh si¶u l(cid:231)i, t‰nh taut v(cid:160) t‰nh k-(cid:31)ƒy cıa c¡c t“p m(cid:240) trong
iii
10
2.1 T‰nh si¶u l(cid:231)i cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn . . . 10
2.2 T‰nh hyperbolic v(cid:160) t‰nh taut cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n
trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 T‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mºt mi•n trong Cn . . . . . . . . 20
2.4 T‰nh k - (cid:31)ƒy cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n
trong Cn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 C¡c mi•n Hartogs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
38 K‚t lu“n
iv
39 T(cid:160)i li»u tham kh£o
M(cid:240) (cid:31)ƒu
Nh(cid:247) ch(cid:243)ng ta (cid:31)¢ bi‚t l(cid:254) thuy‚t c¡c kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic ra (cid:31)(cid:237)i
v(cid:160)o cuŁi nhœng n«m 60 cıa th‚ k(cid:27) tr(cid:247)(cid:238)c, sau nhœng c(cid:230)ng tr…nh nghi¶n
cøu cıa nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c Nh“t B£n S. Kobayashi. Cho (cid:31)‚n nay, l(cid:254) thuy‚t
n(cid:160)y (cid:31)¢ tr(cid:240) th(cid:160)nh mºt ng(cid:160)nh nghi¶n cøu quan tr(cid:229)ng cıa gi£i t‰ch phøc
hyperbolic. Nhi•u k‚t qu£ s¥u s›c v(cid:160) (cid:31)(cid:181)p (cid:31)‡ (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh b(cid:240)i
nhœng nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c l(cid:238)n tr¶n th‚ gi(cid:238)i nh(cid:247) S. Kobayashi, M. Greene, J.
Noguchi,.... L(cid:254) thuy‚t n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc øng d(cid:246)ng rºng r¢i trong nhi•u l(cid:190)nh v(cid:252)c
kh¡c nhau nh(cid:247) H» (cid:31)ºng l(cid:252)c phøc, L(cid:254) thuy‚t ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) v(cid:160) x§p x¿
Diophantine. Tuy nhi¶n (cid:31)a sŁ c¡c k‚t qu£ ch¿ (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc trong (cid:31)i•u ki»n
c(cid:226) t‰nh compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi cıa c¡c mi•n. V(cid:238)i mong muŁn t…m hi”u v(cid:160)
nghi¶n cøu v• h…nh h(cid:229)c cıa c¡c mi•n kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n, em (cid:31)¢ l(cid:252)a ch(cid:229)n (cid:31)•
t(cid:160)i "T‰nh si¶u l(cid:231)i, t‰nh taut v(cid:160) t‰nh k- (cid:31)ƒy cıa c¡c t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng
b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn" nh‹m t…m hi”u mºt sŁ c¡c k‚t qu£ (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v•
t‰nh hyperbolic, t‰nh taut v(cid:160) t‰nh k- (cid:31)ƒy cıa c¡c t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n
trong Cn.
Lu“n v«n g(cid:231)m 39 trang, trong (cid:31)(cid:226) c(cid:226) phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu, hai ch(cid:247)(cid:236)ng nºi dung,
phƒn k‚t lu“n v(cid:160) danh m(cid:246)c t(cid:160)i li»u tham kh£o.
Ch(cid:247)(cid:236)ng 1: H» thŁng l⁄i c¡c kh¡i ni»m v(cid:160) c¡c k‚t qu£ cƒn thi‚t cho
ch(cid:247)(cid:236)ng sau.
1
Ch(cid:247)(cid:236)ng 2: Tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ k‚t qu£ v• t‰nh hyperbolic, t‰nh taut,
t‰nh si¶u l(cid:231)i cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn, nghi¶n cøu t‰nh
hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mºt mi•n kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn qua s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i cıa
mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh peak (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i mØi (cid:31)i”m bi¶n v(cid:160) t⁄i (cid:31)i”m ∞
cıa mi•n n(cid:160)y (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i t…m hi”u mŁi li¶n h» giœa t‰nh taut (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160)
t‰nh taut to(cid:160)n c(cid:246)c cıa mºt mi•n trong Cn. Phƒn cuŁi cıa ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh
b(cid:160)y øng d(cid:246)ng cıa c¡c k‚t qu£ tr¶n (cid:31)” nghi¶n cøu t‰nh hyperbolic cıa
mi•n Hartogs v(cid:160) ch¿ ra (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” mºt mi•n Hartogs l(cid:160) taut
(si¶u l(cid:231)i).
B£n lu“n v«n ch›c ch›n kh(cid:230)ng tr¡nh kh(cid:228)i nhœng khi‚m khuy‚t, em r§t
mong nh“n (cid:31)(cid:247)æc nhœng (cid:254) ki‚n (cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p cıa c¡c thƒy c(cid:230) v(cid:160) b⁄n (cid:31)(cid:229)c (cid:31)”
2
lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n thi»n h(cid:236)n.
Ch(cid:247)(cid:236)ng 1
Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)
Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n sß
d(cid:246)ng cho ch(cid:247)(cid:236)ng sau nh(cid:247): ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh, (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Ascoli, h(cid:160)m (cid:31)i•u
hÆa d(cid:247)(cid:238)i, h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i, h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i peak v(cid:160) antipeak,
gi£ m¶tri vi ph¥n, gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi, t‰nh hyperbolic cıa mºt
mi•n, mi•n taut. C¡c nºi dung trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc vi»t theo c¡c t(cid:160)i
li»u [1], [2], [5].
1.1 (cid:129)nh x⁄ ch¿nh h…nh
Gi£ sß X l(cid:160) mºt t“p m(cid:240) trong Cn v(cid:160) f : X → C l(cid:160) mºt h(cid:160)m sŁ.
H(cid:160)m f (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh£ vi phøc t⁄i x0 ∈ X n‚u t(cid:231)n t⁄i ¡nh x⁄ tuy‚n
t‰nh λ : Cn → C sao cho
2(cid:19)1/2
= 0, lim |h|→0 |f (x0 + h) − f (x0) − λ (h)| |h|
(cid:18) n (cid:80) i=1
. trong (cid:31)(cid:226) h = (h1, ..., hn) ∈ Cn v(cid:160) |h| = |hi|
H(cid:160)m f (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ch¿nh h…nh t⁄i x0 ∈ X n‚u f kh£ vi phøc trong mºt
l¥n c“n n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) cıa x0 v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ch¿nh h…nh tr¶n X n‚u f ch¿nh h…nh
3
t⁄i m(cid:229)i (cid:31)i”m thuºc X.
Mºt ¡nh x⁄ f : X → Cm c(cid:226) th” vi‚t d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng f = (f1, ..., fm), trong (cid:31)(cid:226) fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, ..., m l(cid:160) c¡c h(cid:160)m t(cid:229)a (cid:31)º. Khi (cid:31)(cid:226) f (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i
l(cid:160) ch¿nh h…nh tr¶n X n‚u fi ch¿nh h…nh tr¶n X v(cid:238)i m(cid:229)i i = 1, ..., m.
(cid:129)nh x⁄ f : X → f (X) ⊂ Cn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) song ch¿nh h…nh n‚u f l(cid:160) song
¡nh, ch¿nh h…nh v(cid:160) f −1 c(cid:244)ng l(cid:160) ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh.
1.2 (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Ascoli
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.1. Gi£ sß F l(cid:160) mºt h(cid:229) n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) c¡c ¡nh x⁄ tł kh(cid:230)ng gian
t(cid:230) p(cid:230) X v(cid:160)o kh(cid:230)ng gian t(cid:230) p(cid:230) Y . H(cid:229) F (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) li¶n t(cid:246)c (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)•u
(even continuous) tł x ∈ X t(cid:238)i y ∈ Y n‚u v(cid:238)i mØi l¥n c“n U cıa (cid:31)i”m y
(cid:31)•u t…m (cid:31)(cid:247)æc mºt l¥n c“n V cıa (cid:31)i”m x v(cid:160) l¥n c“n W cıa (cid:31)i”m y sao cho
n‚u f (x) ∈ W th… f (V ) ⊂ U v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ F.
N‚u F l(cid:160) li¶n t(cid:246)c (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)•u v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X v(cid:160) m(cid:229)i y ∈ Y th… F (cid:31)(cid:247)æc
g(cid:229)i l(cid:160) li¶n t(cid:246)c (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)•u tł X (cid:31)‚n Y .
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1. ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Ascoli (cid:31)Łi v(cid:238)i h(cid:229) li¶n t(cid:246)c (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)•u)
Gi£ sß F l(cid:160) t“p con cıa t“p c¡c ¡nh x⁄ li¶n t(cid:246)c C(X, Y ) tł kh(cid:230)ng gian
ch‰nh qui compact (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng X v(cid:160)o kh(cid:230)ng gian Hausdorff Y v(cid:160) C(X, Y )
c(cid:226) t(cid:230) p(cid:230) compact m(cid:240). Khi (cid:31)(cid:226) F l(cid:160) compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi trong C(X, Y ) n‚u
v(cid:160) ch¿ n‚u hai (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n:
i.) F l(cid:160) h(cid:229) li¶n t(cid:246)c (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)•u;
ii.) V(cid:238)i mØi x ∈ X, t“p hæp Fx = {f (x)|f ∈ F } l(cid:160) compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi
4
trong Y .
1.3 H(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i
Gi£ sß G l(cid:160) mºt mi•n trong Cn. H(cid:160)m u : G → [ − ∞, ∞) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)
(cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i trong mi•n G ∈ Cn n‚u u th(cid:228)a m¢n hai (cid:31)i•u ki»n sau:
i) u l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n trong G, tøc l(cid:160) t“p {z ∈ G|u(z) < s} l(cid:160) t“p m(cid:240)
v(cid:238)i mØi sŁ th(cid:252)c s,
ii) V(cid:238)i mØi t“p con m(cid:240) compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi Ω cıa G v(cid:160) m(cid:229)i h(cid:160)m h : Ω → R l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa trong Ω v(cid:160) li¶n t(cid:246)c trong ¯Ω, ta c(cid:226) n‚u u ≤ h (cid:240) tr¶n ∂Ω
th… u ≤ h (cid:240) tr¶n Ω.
Ta c(cid:226) ti¶u chu'n (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i sau:
(cid:30)” h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n trong mi•n G l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i trong G, (cid:31)i•u
(cid:82) 0 2π u(z + reit)dt, v(cid:238)i m(cid:229)i r < r0(z).
ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı l(cid:160) v(cid:238)i mØi (cid:31)i”m z ∈ G, t(cid:231)n t⁄i r0(z) > 0 sao cho
u(z) ≤ 1 2π
1.4 H(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.1. Gi£ sß G l(cid:160) mºt mi•n trong Cn.
H(cid:160)m ϕ : G → [ − ∞, ∞) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i trong mi•n
G ⊂ Cn (k(cid:254) hi»u ϕ ∈ P SH(G)) n‚u
i) ϕ l(cid:160) h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n G sao cho ϕ (cid:54)= −∞ tr¶n mØi th(cid:160)nh
phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa G,
ii) V(cid:238)i mØi (cid:31)i”m a ∈ G, v(cid:238)i m(cid:229)i b ∈ Cn, b (cid:54)= 0, h(cid:160)m λ → ϕ(a + λb) l(cid:160) (cid:31)i•u
hÆa d(cid:247)(cid:238)i ho(cid:176)c (cid:31)(cid:231)ng nh§t b‹ng −∞ tr¶n mØi th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng
5
cıa t“p { λ ∈ C : a + λb ∈ G} .
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.4.1. Cho ϕ : G → [ − ∞, ∞) l(cid:160) mºt h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160)
ϕ (cid:54)= −∞ tr¶n b§t cø th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa G. Khi (cid:31)(cid:226) ϕ ∈ P SH(G)
khi v(cid:160) ch¿ khi v(cid:238)i mØi a ∈ G, b ∈ Cn m(cid:160) { a + λb : λ ∈ G, |λ| (cid:54) 1} ⊂ G,
ta c(cid:226)
(cid:82) 2π 0 ϕ(a + eitb)dt.
ϕ(a) (cid:54) l(ϕ; a, b),
trong (cid:31)(cid:226) l(ϕ; a, b) = 1 2π
1.5 H(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i peak v(cid:160) antipeak
Cho D l(cid:160) mºt mi•n trong Cn.
- Mºt h(cid:160)m ϕ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i peak (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i
mºt (cid:31)i”m p thuºc ∂D ∪ { ∞} n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U cıa p sao cho ϕ l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n D ∩ U , li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n ¯D ∩ U v(cid:160) th(cid:228)a m¢n
ϕ(p) = 0 ϕ(z) < 0, v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ ¯D ∩ U.
- Mºt h(cid:160)m ϕ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i antipeak t⁄i mºt (cid:31)i”m
p thuºc ∂D ∪ {∞} n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U cıa p sao cho ϕ l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n D ∩ U , li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n ¯D ∩ U v(cid:160) th(cid:228)a m¢n
ϕ(p) = −∞ ϕ(z) > −∞, v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ ( ¯D ∩ ¯U )\{p}.
1.6 Gi£ m¶tric vi ph¥n Royden (cid:21) Kobayashi
Cho D l(cid:160) mºt mi•n trong Cn. H(cid:160)m FG : G × Cn → [0, ∞) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i
FG(z; X) := inf{γ(λ)|α| : ∃ϕ ∈ Hol(∆, D), ∃λ ∈ ∆ : ϕ(λ) = z,
6
α.ϕ(cid:48)(λ) = X}
(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) gi£ m¶tric vi ph¥n Royden (cid:21) Kobayashi tr¶n D, (cid:240) (cid:31)(cid:226)
1 γ(λ) := 1 − |λ|2 , λ ∈ ∆.
Rª r(cid:160)ng
a) FD(z, X) = inf{α > 0 : ∃ϕ ∈ Hol(∆, D) : ϕ(0) = z, αϕ(cid:48)(0) = X}
= inf{α > 0 : ∃ϕ ∈ Hol( ¯∆, D) : ϕ(0) = z, αϕ(cid:48)(0) = X}.
b) FD(z, λX) = |λ|.FD(z, X), λ ∈ C, z ∈ D ⊂ Cn, X ∈ Cn.
c) FG(F (z); F (cid:48)(z)X) (cid:54) FD(z; X), F ∈ Hol(∆, G), z ∈ D ⊂ Cn, X ∈ Cn.
(cid:30)(cid:176)c bi»t, n‚u F : D → G l(cid:160) ¡nh x⁄ song ch¿nh h…nh, th…
d) FG(F (z); F (cid:48)(z)X) = FD(z; X), z ∈ D; X ∈ Cn.
e) F∆(λ, X) (cid:54) γ(λ).|X|, λ ∈ ∆, X ∈ C.
1.7 Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi
0, z(cid:48)(cid:48)
0 thuºc D. T(cid:231)n t⁄i
Cho D l(cid:160) mºt mi•n trong Cn, cŁ (cid:31)(cid:224)nh hai (cid:31)i”m z(cid:48)
0, z(cid:48)(cid:48)
0 . (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) x§p
mºt (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong α : [0, 1] → D nŁi hai (cid:31)i”m z(cid:48)
x¿ Weierstrass, ta t…m (cid:31)(cid:247)æc mºt ¡nh x⁄ (cid:31)a thøc P : [0, 1] → D m(cid:160)
0, P (1) = z(cid:48)(cid:48) 0 .
P (0) = z(cid:48)
D„ ch(cid:229)n (cid:31)(cid:247)æc mºt mi•n li¶n th(cid:230)ng G ⊂ C, [0, 1] ⊂ G sao cho P (λ) ∈ D
0, z(cid:48)(cid:48) 0
v(cid:238)i λ ∈ G. Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ¡nh x⁄ Riemann, ta c(cid:226) th” k‚t lu“n r‹ng z(cid:48)
n‹m tr¶n mºt (cid:31)(cid:190)a gi£i t‰ch ϕ : ∆ → G m(cid:160)
0 v(cid:160) ϕ(σ) = z(cid:48)(cid:48)
0 , (0 (cid:54) σ < 1).
ϕ(0) = z(cid:48)
0, z(cid:48)(cid:48)
0 ∈ D. Ta (cid:31)(cid:176)t
L§y z(cid:48)
7
lD(z(cid:48), z(cid:48)(cid:48)) := inf{p(λ(cid:48), λ(cid:48)(cid:48)) : λ(cid:48), λ(cid:48)(cid:48) ∈ ∆, ∃ϕ ∈ Hol( ¯∆, D) : ϕ(λ(cid:48)) = z(cid:48), ϕ(λ(cid:48)(cid:48)) = z(cid:48)(cid:48)}
= inf{p(0, λ(cid:48)(cid:48)) : λ(cid:48)(cid:48) ∈ ∆, ∃ϕ ∈ Hol( ¯∆, D) : ϕ(0) = z(cid:48), ϕ(λ(cid:48)(cid:48)) = z(cid:48)(cid:48)} ,
(cid:240) (cid:31)¥y
0 γ(α(t)|α(cid:48)(t)|dt.
p(z(cid:48), z(cid:48)(cid:48)) := inf{Lγ(α)| α : [0; 1] → ∆ l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong l(cid:238)p C 1, λ(cid:48) = α(0), λ(cid:48)(cid:48) = α(1)} , Lγ(α) := (cid:82) 1
Ta g(cid:229)i lD l(cid:160) h(cid:160)m Lempert cıa D.
- V(cid:238)i z(cid:48), z(cid:48)(cid:48) ∈ D, ta (cid:31)(cid:176)t
N (cid:80) j=1
lD(zj−1, zj) : N ∈ N, z0 = z(cid:48), z1, ..., zN −1 ∈ D, kD(z(cid:48), z(cid:48)(cid:48)) := inf{
zN = z(cid:48)(cid:48)}. H(cid:160)m kD (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n D.
Nh“n x†t 1.7.1. Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi kD(z(cid:48), z(cid:48)(cid:48)) cÆn (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh
(cid:90) 1
ngh(cid:190)a b(cid:240)i
0
kD(z(cid:48), z(cid:48)(cid:48)) = inf FD(γ(t), γ(cid:48)(t))dt,
trong (cid:31)(cid:226) inf l§y theo t§t c£ c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong kh£ vi nŁi z(cid:48) v(cid:160) z(cid:48)(cid:48).
1.8 T‰nh hyperbolic cıa mºt mi•n
- Mºt mi•n D ⊂ Cn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) k - hyperbolic n‚u kD l(cid:160) kho£ng c¡ch
tr¶n D.
- Mºt mi•n k - hyperbolic D (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) k - hyperbolic (cid:31)ƒy
(hay k - (cid:31)ƒy) n‚u n(cid:226) (cid:31)ƒy (cid:31)Łi v(cid:238)i kho£ng c¡ch kD. M.L.Royden [Ro] (cid:31)¢
chøng minh r‹ng mºt mi•n D l(cid:160) hyperbolic n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)i”m p ∈ D, t(cid:231)n
t⁄i mºt l¥n c“n U cıa p v(cid:160) mºt h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng c sao cho FD(y, x) (cid:62) c||x||
v(cid:238)i m(cid:229)i y ∈ U . Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp h(cid:229) c¡c ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh tł ∆ v(cid:160)o
D l(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng li¶n t(cid:246)c (cid:31)Łi v(cid:238)i kho£ng c¡ch dD, th… mi•n hyperbolic D l(cid:160)
hyperbolic (cid:31)ƒy n‚u v(cid:238)i mØi (cid:31)i”m z ∈ D v(cid:160) mØi sŁ th(cid:252)c d(cid:247)(cid:236)ng r, h…nh cƒu
8
{ y ∈ D : dD(z, y) (cid:54) r} l(cid:160) compact trong D.
1.9 Mi•n taut
Cho D l(cid:160) mºt mi•n trong Cn, tr¶n Hol(∆, D) ta trang b(cid:224) t(cid:230) p(cid:230) compact
j=1 trong Hol(∆, D) chøa mºt d¢y con { fjν } ho(cid:176)c
m(cid:240). - D¢y { fj} ∞ j=1 ⊂ Hol(∆, D) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph¥n k(cid:253) compact n‚u v(cid:238)i mØi t“p con compact K cıa ∆, mØi t“p con compact L cıa D, t(cid:231)n t⁄i f0 ∈ N sao cho fj(K) ∩ L = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i j (cid:62) j0. H(cid:229) Hol(∆, D) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:229) chu'n t›c n‚u mØi d¢y { fj} ∞
l(cid:160) hºi t(cid:246) (cid:31)•u tr¶n mØi t“p con compact t(cid:238)i ¡nh x⁄ f ∈ Hol(∆, D) (k(cid:254)
K→−→ f ) ho(cid:176)c l(cid:160) ph¥n k(cid:253) compact.
hi»u fjν
- Mi•n D (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mi•n taut n‚u h(cid:229) Hol(∆, D) l(cid:160) mºt h(cid:229) chu'n t›c.
- Mi•u D (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) taut (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i mºt (cid:31)i”m p ∈ ∂D n‚u t(cid:231)n t⁄i
9
mºt l¥n c“n U cıa p sao cho D ∩ U l(cid:160) mºt mi•n taut.
Ch(cid:247)(cid:236)ng 2
T‰nh si¶u l(cid:231)i, t‰nh taut v(cid:160) t‰nh k-(cid:31)ƒy cıa c¡c t“p m(cid:240) trong Cn
2.1 T‰nh si¶u l(cid:231)i cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn
Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta nh›c l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m sau:
- Mºt (cid:31)i”m bi¶n a cıa mºt t“p m(cid:240) D trong Cn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt (cid:31)i”m ch›n
u(z) = 0, cıa D n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ¥m ϕ tr¶n D m(cid:160) lim z→a
ϕ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt h(cid:160)m ch›n cıa D t⁄i a.
(cid:30)i”m a g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)i”m ch›n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng cıa D n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n m(cid:240)
U cıa a sao cho a l(cid:160) mºt (cid:31)i”m ch›n cıa D ∩ U .
- Mºt (cid:31)i”m bi¶n a cıa mºt t“p m(cid:240) D trong Cn g(cid:229)i l(cid:160) mºt (cid:31)i”m peak (cid:31)a
(cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i cıa D n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ϕ tr¶n D m(cid:160)
z→b
ϕ(z) = 0 v(cid:160) lim sup ϕ(z) < 0 v(cid:238)i b§t k(cid:253) b ∈ ∂D\{a}. H(cid:160)m ϕ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i
lim z→a l(cid:160) h(cid:160)m peak (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i cıa D t⁄i a.
- Mºt t“p m(cid:240) D trong Cn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) si¶u l(cid:231)i n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m v†t
ϕ(z) = 0. c⁄n (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i li¶n t(cid:246)c, ¥m tr¶n D, tøc l(cid:160) lim z→∂D
Nh“n x†t 2.1.1. [6] D l(cid:160) si¶u l(cid:231)i n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u m(cid:229)i th(cid:160)nh phƒn li¶n
10
th(cid:230)ng cıa n(cid:226) l(cid:160) si¶u l(cid:231)i.
Th“t v“y, ta x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp khi D c(cid:226) v(cid:230) sŁ th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng
D1, D2, ... Gi£ sß m(cid:229)i Dj l(cid:160) si¶u l(cid:231)i v(cid:160) ϕj l(cid:160) c¡c h(cid:160)m v†t c⁄n (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ¥m t(cid:247)(cid:236)ng øng cıa Dj. Khi thay ϕj, j ∈ N b(cid:240)i ˜ϕ := max{ϕj, −j−1}
:= ˜ϕj. th… D l(cid:160) si¶u l(cid:231)i v(cid:238)i h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ˜ϕ tr¶n D, (cid:240) (cid:31)(cid:226) ˜ϕ|Dj
Ta c(cid:226) m»nh (cid:31)• sau:
M»nh (cid:31)• 2.1.1. [6] N‚u ∞ l(cid:160) mºt (cid:31)i”m ch›n cıa mºt t“p m(cid:240) (kh(cid:230)ng
b(cid:224) ch(cid:176)n) D trong Cn th… tr¶n D c(cid:226) mºt h(cid:160)m ch›n (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ng(cid:176)t
b(cid:224) ch(cid:176)n t⁄i ∞. (cid:30)(cid:176)c bi»t, b§t k(cid:253) th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng n(cid:160)o cıa D (cid:31)•u l(cid:160)
hyperbolic.
Chøng minh. Gi£ sß ψ l(cid:160) mºt h(cid:160)m ch›n cıa D t⁄i ∞. Ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t
r‹ng −1 < ψ < 0 . L§y {Dj} l(cid:160) mºt d¢y c¡c t“p m(cid:240) sao cho Dj ⊂⊂ Dj+1
∞ (cid:83) j=1
B(0, rj) = {z ∈ Cn : (cid:107)z(cid:107) ≤ rj}, j ∈ N,
v(cid:160) Dj = D. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i c¡c h…nh cƒu
ψ.
ψ(z), ψ > βj := sup Dj z ∈ D\B(0, rj) sao cho αj := inf D\B(0,rj) (cid:30)(cid:176)t ϕj(z) :=
max{ψ(z), r−2
j (αj − βj)||z||2 + βj} , z ∈ D ∩ B(0, rj). ∞ (cid:80) ϕi 2j l(cid:160) h(cid:160)m cƒn t…m. j=1
D„ ki”m tra (cid:31)(cid:247)æc h(cid:160)m ϕ :=
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.1. [6] Cho D l(cid:160) mºt t“p con m(cid:240) cıa Cn v(cid:160) a l(cid:160) mºt
(cid:31)i”m thuºc D. Ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh h(cid:160)m
gD(a, · ) := sup{u( · ) : u ∈ La, u ≤ 0},
trong (cid:31)(cid:226) La = {u ∈ P SH(D) : u( · ) − log (cid:107) · − a(cid:107) ≤ o(1) , khi · → a}.
H(cid:160)m gD (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m Green (cid:31)a phøc v(cid:238)i c(cid:252)c t⁄i a. Rª r(cid:160)ng gD(a, ·)
11
l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i.
N‚u D l(cid:160) mºt mi•n b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn, a ∈ D th… ta c(cid:226) k‚t qu£ sau:
M»nh (cid:31)• 2.1.2. [2] N‚u D l(cid:160) mºt mi•n b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn v(cid:160) a ∈ D th…
D l(cid:160) si¶u l(cid:231)i khi v(cid:160) ch¿ khi
gD(a, z) = 0 , b ∈ ∂D. lim z→b
Trong phƒn ti‚p theo, ta s‡ tr…nh b(cid:160)y mºt k‚t qu£ v• t‰nh si¶u l(cid:231)i cıa
mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn. Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t ta c(cid:226) bŒ (cid:31)• sau:
BŒ (cid:31)• 2.1.1. [6] Cho D2 ⊂ D1 ⊂ D l(cid:160) c¡c t“p m(cid:240) trong Cn v(cid:238)i D1 (cid:54)= D
v(cid:160) ∂D2 ∩ D ⊂ D1. Gi£ sß ψ l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ¥m tr¶n D sao
cho
D∩∂D1
α := inf ψ. ψ > β := sup D∩∂D2
gD1(a, ·). Khi (cid:31)(cid:226) V(cid:238)i a ∈ D2, (cid:31)(cid:176)t d(a) := inf D∩∂D2
d(a) n‚u z ∈ D1, gD(a, z) ≥ gD1(a, z) + α β − α
v(cid:160)
gD(a, z) ≥ d(a) n‚u z ∈ D\D1. ψ(z) β − α
Chøng minh. Ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng d(a) > ∞. Khi (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m
d(a), z ∈ D u(a, z) := ψ(z) − α β − α
th(cid:228)a m¢n
u(a, z) ≤ gD1(a, z), z ∈ D ∩ ∂D2,
v(cid:160)
12
gD1(a, ζ), z ∈ D ∩ ∂D1. u(a, z) ≥ 0 ≥ lim sup D1(cid:127) ζ→z
Do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)
, z ∈ D2 gD1(a, z)
v(a, z) := max{gD1(a, z), u(a, z)}, z ∈ D1\D2
u(a, z) , z ∈ D\D1
l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø hai v(cid:238)i c(cid:252)c logarit t⁄i a.
H(cid:236)n nœa
v(a, z) ≤ d(a), z ∈ D. α α − β
V… v“y, tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa gD , ta c(cid:226)
α−β d(a).
gD(a, z) ≥ v(a, z) + α
Tł bŒ (cid:31)• tr¶n, ta chøng minh (cid:31)(cid:247)æc m»nh (cid:31)• sau v• t‰nh si¶u l(cid:231)i cıa
mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn. Ta c(cid:226) m»nh (cid:31)•:
M»nh (cid:31)• 2.1.3. [6] Cho D l(cid:160) mºt t“p con m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn
v(cid:160) D l(cid:160) si¶u l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i b§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n hœu h⁄n (tøc l(cid:160) v(cid:238)i b§t
k(cid:253) (cid:31)i”m hœu h⁄n a ∈ ∂D, t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U cıa a sao cho m(cid:229)i th(cid:160)nh
phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa D ∩ U l(cid:160) si¶u l(cid:231)i). N‚u ∞ l(cid:160) mºt (cid:31)i”m peak (cid:31)a (cid:31)i•u
hÆa d(cid:247)(cid:238)i, th… D l(cid:160) si¶u l(cid:231)i.
Chøng minh. Ta ch¿ cƒn chøng t(cid:228)
(2.1) gD(z, w) = 0, lim D(cid:127) w→a
v(cid:238)i m(cid:229)i a ∈ ∂D v(cid:160) z ∈ D.
Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, l§y a = ∞. Ta s‡ chøng minh (2.1) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n y‚u h(cid:236)n
r‹ng ∞ l(cid:160) mºt (cid:31)i”m ch›n. Theo m»nh (cid:31)• 2.1.1, t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m ch›n (cid:31)a
13
(cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ng(cid:176)t ϕ t⁄i ∞. Ch(cid:229)n mºt h(cid:160)m tr(cid:236)n χ sao cho χ = 1 gƒn z
v(cid:160) sup pχ ⊂⊂ D. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i mºt h‹ng sŁ c > 0 sao cho
uz(w) := cϕ(w) + χ(w) log (cid:107)w − z(cid:107) , w ∈ D
l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n D v(cid:238)i c(cid:252)c logarit t⁄i z. V… v“y
gD(z, w) ≥ uz(w), w ∈ D,
do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) (2.1).
B¥y gi(cid:237), gi£ sß a ∈ ∂D ∩ Cn. L§y r > 0 sao cho a, z ∈ B(0, r). N‚u ψ l(cid:160)
mºt h(cid:160)m peak (cid:31)a di•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i cıa D t⁄i ∞, th… ψ < 0. sup D∩∂B(0,r)
Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i r(cid:48) > r sao cho
D∩∂B(0,r)
2 ψ > sup ψ. inf D∩∂B(0,r(cid:48))
(cid:30)(cid:176)t ˆD := D ∩ B(0, r(cid:48)). Khi (cid:31)(cid:226), ¡p dung bŒ (cid:31)• 2.1.1, ta c(cid:226)
(cid:98)D(z, ω) + inf
(cid:98)D(z, ·) (cid:62) g
(cid:98)D(z, ω) + inf
D∩∂B(0,r)
D∩∂B(0,r)
g gD(z, ω) (cid:62) g gD(z, ·).
K‰ hi»u ˜D l(cid:160) th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa ˆD chøa z. V… ˜D l(cid:160) mi•n si¶u
l(cid:231)i (trong [6]), n¶n ta c(cid:226)
g ˆD(z, w) = 0. lim ˜D(cid:127) w→a
M(cid:176)t kh¡c, g ˆD(z, w) = 0 n‚u w /∈ ˜D. Do (cid:31)(cid:226)
D∩∂B(0,r)
inf gD(z, w) ≥ inf gD(z, ·). lim w→a
V… r l(cid:160) t(cid:242)y (cid:254) v(cid:160) theo tr(cid:247)(cid:237)ng hæp thø nh§t ta chøng minh (cid:31)(cid:247)æc
g(z, ·) → 0 khi r → ∞. inf D∩∂B(0,r)
14
Do (cid:31)(cid:226) (2.1) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.
2.2 T‰nh hyperbolic v(cid:160) t‰nh taut cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n
trong Cn
Trong phƒn n(cid:160)y ta s‡ tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ k‚t qu£ v• t‰nh hyperbolic v(cid:160)
t‰nh taut cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn.
Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ta nh›c l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m sau:
- Mºt t“p m(cid:240) D trong Cn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) taut n‚u h(cid:229) Hol(∆, D) c¡c ¡nh x⁄
ch¿nh h…nh tł (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) ∆ = { z ∈ C | |z| < 1} v(cid:160)o D l(cid:160) mºt h(cid:229) chu'n
t›c, tøc l(cid:160) b§t k(cid:253) d¢y {fj} ⊂ Hol(∆, D) (cid:31)•u chøa mºt d¢y con { fjk}
hºi t(cid:246) (cid:31)•u tr¶n c¡c t“p con compact (cid:31)‚n mºt ¡nh x⁄ f ∈ Hol(∆, D) ho(cid:176)c
chøa mºt d¢y con ph¥n k(cid:253) compact.
Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng t“p m(cid:240) D trong Cn l(cid:160) taut n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u m(cid:229)i th(cid:160)nh phƒn
li¶n th(cid:230)ng cıa n(cid:226) l(cid:160) taut. Th“t v“y, gi£ sß D c(cid:226) v(cid:230) h⁄n c¡c th(cid:160)nh phƒn li¶n
th(cid:230)ng D1, D2, ... v(cid:160) {fj} ⊂ Hol(∆, D) sao cho #{j : fj(∆) ⊂ Dk} < ∞, k ∈ N, th… { fj} ph¥n k(cid:253) compact.
Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) phı cıa Lebesgue, b§t k(cid:253) t“p K ⊂⊂ D (cid:31)•u c(cid:226) giao hœu
h⁄n v(cid:238)i c¡c th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa D.
- D l(cid:160) mºt t“p m(cid:240) trong Cn, mºt (cid:31)i”m a ∈ ∂D (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)i”m taut (cid:31)(cid:224)a
ph(cid:247)(cid:236)ng cıa D n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U cıa a sao cho t“p D ∩ U l(cid:160) taut.
D (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) taut (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng n‚u b§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n hœu h⁄n cıa D.
Ng(cid:247)æc l⁄i, b§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n cıa mºt t“p m(cid:240) taut (cid:31)•u l(cid:160) (cid:31)i”m taut (cid:31)(cid:224)a
ph(cid:247)(cid:236)ng.
- Mºt h(cid:160)m lD x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i ∀z, w ∈ D,
lD(z, ω): = inf{ |λ| : ∃ϕ ∈ Hol(∆, D) m(cid:160) ϕ(0) = z, ϕ(λ) = w}
15
(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m Lempert cıa D.
N‚u z, ω c(cid:242)ng thuºc mºt th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng ˜D cıa D, th… ta (cid:31)(cid:176)t
lD(z, w) := l ˜D(z, w),
n‚u kh(cid:230)ng th… ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a lD(z, w) := 1.
- Mºt (cid:31)i”m a ∈ ∂D (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m cıa D n‚u
lD (z, w) = 1, lim z→a w→b
v(cid:238)i b§t k(cid:253) b ∈ D.
(cid:30)i”m a ∈ ∂D g(cid:229)i l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng cıa D n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt
l¥n c“n U cıa a sao cho a l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m cıa D ∩ U . Do v“y mºt (cid:31)i”m
taut (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.
(cid:30)i•u ng(cid:247)æc l⁄i kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng, th“t v“y, ta c(cid:226) th” ch¿ ra mºt v‰ d(cid:246) chøng
t(cid:228) t(cid:231)n t⁄i c¡c t - (cid:31)i”m m(cid:160) kh(cid:230)ng l(cid:160) c¡c (cid:31)i”m taut (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.
Chflng h⁄n, v(cid:238)i ε > 0 (cid:31)ı nh(cid:228), mi•n
(cid:12)sin |w−1|(cid:12)
(cid:12) < 1, |z| < 2, |w| < ε}
Dε := {(z, w) ∈ C2 : |z + 1|2 + |w|2 · (cid:12)
l(cid:160) mi•n kh(cid:230)ng gi£ l(cid:231)i t⁄i (0, 0) do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) kh(cid:230)ng l(cid:160) taut t⁄i (0, 0) nh(cid:247)ng
|ez| − 1 l(cid:160) mºt h(cid:160)m ch›n cıa Dε t⁄i gŁc do v“y (0, 0) l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m cıa
Dε.
Nh“n x†t 2.2.1. [6] (cid:30)i”m a l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u v(cid:238)i b§t k(cid:253)
d¢y {fj} ⊂ Hol(∆, D) m(cid:160) fj(0) → a th… fj ph¥n k(cid:253) compact.
- Ta n(cid:226)i r‹ng mºt t“p m(cid:240) D ⊂ Cn l(cid:160) hyperbolic n‚u b§t k(cid:253) th(cid:160)nh phƒn
li¶n th(cid:230)ng n(cid:160)o cıa D c(cid:244)ng l(cid:160) hyperbolic.
K‚t qu£ sau chøng t(cid:228) t‰nh taut cıa D suy ra t‰nh hyperbolic cıa n(cid:226).
16
Ta c(cid:226) m»nh (cid:31)• sau:
M»nh (cid:31)• 2.2.1. [6] B§t k(cid:253) th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng
b(cid:224) ch(cid:176)n D trong Cn l(cid:160) hyperbolic khi v(cid:160) ch¿ khi
lD(z, w) > 0, lim z→∞ ω→b
v(cid:238)i b§t k(cid:253) b ∈ D.
Chøng minh. Ta (cid:31)¢ bi‚t D l(cid:160) hyperbolic n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u h(cid:229) Hol(∆, D) l(cid:160)
li¶n t(cid:246)c (cid:31)(cid:231)ng (cid:31)•u (xem [4] ), tøc l(cid:160) v(cid:238)i b§t k(cid:253) b ∈ D v(cid:160) b§t k(cid:253) l¥n c“n U
cıa b, t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n V cıa b v(cid:160) s ∈ (0, 1) sao cho n‚u f (0) ∈ V , th…
f (s∆) ⊂ U v(cid:238)i b§t k(cid:253) f ∈ Hol(∆, D). Ch‰nh v… v“y, n‚u D l(cid:160) hyperbolic
th… ta lu(cid:230)n c(cid:226)
inf lD(z, ω) > 0, v(cid:238)i b ∈ D. lim z→∞ ω→b
(cid:30)” chøng minh chi•u ng(cid:247)æc l⁄i, ta gi£ sß D kh(cid:230)ng l(cid:160) hyperbolic, khi (cid:31)(cid:226)
ta c(cid:226) th” t…m (cid:31)(cid:247)æc mºt (cid:31)i”m b ∈ D v(cid:160) d¢y {sj} ⊂ ∆, {fj} ⊂ Hol(∆, D)
m(cid:160) sj → 0 v(cid:160) fj(0) → b, fj(sj) (cid:54)→ b.
inf lD(z, w) th… fj(0) → b, do v“y {fj} l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)(cid:224)a N‚u 0 < s := lim z→∞ w→b
ph(cid:247)(cid:236)ng tr¶n r∆, theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Montel ta c(cid:226) fj(sj) → b. (cid:30)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u
thu¤n. V“y m»nh (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.
K‚t qu£ ti‚p theo s‡ tr…nh b(cid:160)y v• t‰nh taut cıa mºt t“p m(cid:240) trong Cn,
ta c(cid:226) m»nh (cid:31)• sau:
M»nh (cid:31)• 2.2.2. [6] Cho D l(cid:160) mºt t“p m(cid:240) trong Cn. Gi£ sß r‹ng ∞ l(cid:160)
mºt t-(cid:31)i”m n‚u D kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c (cid:31)i•u ki»n sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:
i) D l(cid:160) taut;
ii) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n hœu h⁄n cıa D (cid:31)•u l(cid:160) (cid:31)i”m taut (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng;
17
iii) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n hœu h⁄n cıa D (cid:31)•u l(cid:160) t - (cid:31)i”m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng;
iv) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n hœu h⁄n cıa D l(cid:160) t - (cid:31)i”m.
Chøng minh.
+(iv) ⇒ (i):
j=1 ∈ Hol(∆, D) l(cid:160) mºt d¢y c¡c h(cid:160)m ch¿nh fj(0) = a, do D l(cid:160) taut n¶n suy ra
Gi£ sß D l(cid:160) taut v(cid:160) {fj}∞
j=1 l(cid:160) ph¥n k(cid:253) compact. V“y theo nh“n x†t 2.2.1, ta c(cid:226) a l(cid:160) mºt
h…nh. L§y a ∈ ∂D\{∞}, gi£ sß lim j→∞ d¢y {fj}∞
t - (cid:31)i”m.
Ng(cid:247)æc l⁄i, gi£ sß m(cid:229)i (cid:31)i”m a ∈ ∂D\ {∞} (cid:31)•u l(cid:160) t - (cid:31)i”m. L§y mºt h(cid:229)
j=1 ∈ Hol(∆, D), n‚u t(cid:231)n t⁄i λ ∈ ∆ sao cho
c¡c h(cid:160)m ch¿nh h…nh {fj}∞
fj(λ) = a ∈ ∂D, lim j→∞
th… t(cid:231)n t⁄i θj ∈ Aut(∆) sao cho fj ◦ θj ∈ Hol(∆, D),
gj(0) = a. V… a l(cid:160) t - (cid:31)i”m n¶n theo (cid:31)(cid:224)nh N‚u (cid:31)(cid:176)t gj = fj ◦ θj th… lim j→∞
j=1 l(cid:160) ph¥n k… compact. Do θj l(cid:160) (cid:31)flng c§u ch¿nh h…nh j=1 l(cid:160) ph¥n k… compact. V“y D l(cid:160) taut.
ngh(cid:190)a h(cid:229) h(cid:160)m {gj}∞ tr¶n ∆ n¶n ta suy ra {fj}∞
+(i) ⇒ (ii): Hi”n nhi¶n, v… ch¿ cƒn l§y l¥n c“n U cıa a l(cid:160) taut, suy ra D ∩U
l(cid:160) taut v(cid:238)i m(cid:229)i a ∈ ∂D\ {∞}.
+(ii) ⇒ (iii): Hi”n nhi¶n.
B¥y gi(cid:237) ta ch¿ cƒn chøng minh (iii) ⇒ (i):
j=1 ∈ Hol(∆, D) l(cid:160) mºt d¢y b§t k… kh(cid:230)ng ph¥n k(cid:253) compact.
Gi£ sß {fj}∞
V… ∞ l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m cıa D n¶n
{inf{|λ| , ∃ϕ ∈ Hol(∆, D) : ϕ(0) = z, 1 = lim z→∞ w→b lD(z, w) = lim z→∞ w→b
ϕ(λ) = w}}.
fj(λ) = ∞ v(cid:238)i λ ∈ ∆ n(cid:160)o (cid:31)(cid:226), ta l§y θ ∈ Aut(∆) sao cho N‚u lim j→∞
18
θ(0) = λ th… fj ◦θ(0) = fj(λ) → ∞. D o (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i gj = fj ◦θ ∈ Hol(∆, D)
l(cid:160) h(cid:160)m x¡c (cid:31)(cid:224)nh cho h(cid:160)m Lempert lD(z, ω) v(cid:238)i z → ∞, ω → b ∈ D.
lD(z, w) < 1, v(cid:238)i m(cid:229)i b ∈ D, do (cid:31)(cid:226) ∞ kh(cid:230)ng l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m, V“y lim z→∞ w→b
tr¡i gi£ thi‚t. V“y {fj}∞
j=1 l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng tr¶n ∆. Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Montel suy ra j=1 hºi t(cid:246) (cid:31)•u (cid:31)‚n h(cid:160)m f ∈ Hol(∆, D). Ta ch¿ cƒn chøng minh r‹ng
{fj}∞
n‚u a = f (0) ∈ ∂D th… f (∆) ⊂ ∂D.
Ta l§y U l(cid:160) mºt l¥n c“n cıa a sao cho a l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m cıa D ∩ U , ta
th§y r‹ng t(cid:231)n t⁄i r ∈ (0, 1] sao cho fj(r∆) ⊂ U v(cid:238)i j (cid:31)ı l(cid:238)n.
Do v“y, theo nh“n x†t 2.2.1, f (r∆) ⊂ ∂D. L§y r0 ∈ (0, 1] l(cid:160) mºt sŁ l(cid:238)n
nh§t th(cid:228)a m¢n, tøc l(cid:160)
r0 := sup{r ∈ (0, 1] : f (r∆) ⊂ ∂D}.
Gi£ sß r0 < 1, th‚ th… f (r ◦ ∆) ⊂ ∂D. V(cid:238)i b§t k(cid:253) s m(cid:160) |s| = r0, f (s)
l(cid:160) mºt t - (cid:31)”m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng, tł gi£ thi‚t v• t‰nh compact ta suy ra t(cid:231)n t⁄i
r1 ∈ (r0, 1] sao cho f (r, ∆) ⊂ ∂D, (cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n n¶n ta c(cid:226) (cid:31)i•u
ph£i chøng minh.
M»nh (cid:31)• sau ch¿ ra mºt (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı cho mºt t - (cid:31)i”m.
M»nh (cid:31)• 2.2.3. [6] B§t k(cid:253) (cid:31)i”m ch›n n(cid:160)o cıa mºt t“p m(cid:240) hyperbolic D
trong Cn (cid:31)•u l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m.
j=1 ⊂ Hol(∆, D) v(cid:160) d¢y
Chøng minh. L§y a ∈ ∂D v(cid:160) l§y ϕ l(cid:160) mºt h(cid:160)m ch›n t⁄i a. Gi£ sß r‹ng a kh(cid:230)ng l(cid:160) t - (cid:31)i”m. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i d¢y {fj}∞
{tj} ⊂ ∆ m(cid:160) fj(0) → a, tj → t0 ∈ ∆ v(cid:160) fj(tj) → b ∈ D.
V… D l(cid:160) hyperbolic n¶n v(cid:238)i mØi l¥n c“n V cıa b, t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U
cıa t0 sao cho fj(U ) ⊂ V v(cid:238)i j (cid:31)ı l(cid:238)n. Ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng
19
V ⊂⊂ D, U ⊂ r∆ v(cid:238)i r ∈ (0, 1) v(cid:160) fj(U ) ⊂ V
v(cid:238)i b§t k(cid:253) j. Khi (cid:31)(cid:226) ta t…m (cid:31)(cid:247)æc ε < 0 m(cid:160) (cid:82) r∆ ϕ◦fj < ε v(cid:238)i j t(cid:242)y (cid:254). M(cid:176)t kh¡c, t‰nh ph¥n tr¶n l(cid:160) l(cid:238)n h(cid:236)n ho(cid:176)c b‹ng πr2ϕ (fj(0)). Do ϕ (fj(0)) → 0
n¶n ta c(cid:226) m¥u thu¤n. V“y a l(cid:160) t- (cid:31)i”m.
H» qu£ 2.2.1. [6] N‚u b§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n hœu h⁄n cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng
b(cid:224) ch(cid:176)n D trong Cn l(cid:160) mºt (cid:31)i”m taut (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) ∞ l(cid:160) mºt (cid:31)i”m ch›n,
th… D l(cid:160) taut.
(cid:30)(cid:176)c bi»t, n‚u b§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n hœu h⁄n cıa D l(cid:160) mºt (cid:31)i”m ch›n (cid:31)(cid:224)a
ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) ∞ l(cid:160) mºt (cid:31)i”m ch›n, th… D l(cid:160) taut.
2.3 T‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mºt mi•n trong Cn
Trong phƒn n(cid:160)y, ta s‡ ch¿ ra s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i cıa mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh peak
(cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i mØi (cid:31)i”m bi¶n cıa mºt mi•n kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n v(cid:160) t⁄i (cid:31)i”m ∞
suy ra t‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mi•n n(cid:160)y, h(cid:236)n nœa ta s‡ ch¿ ra mŁi li¶n h»
giœa t‰nh taut (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) t‰nh taut to(cid:160)n c(cid:246)c cıa mºt mi•n trong Cn.
BŒ (cid:31)• 2.3.1. [1] Cho Ω l(cid:160) mºt mi•n trong Cn, gi£ sß p l(cid:160) mºt (cid:31)i”m tr¶n
∂Ω ∪ {∞} . Gi£ sß t(cid:231)n t⁄i c¡c h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i peak v(cid:160) antipeak (cid:31)(cid:224)a
ph(cid:247)(cid:236)ng ϕ v(cid:160) ψ t⁄i p, c(cid:242)ng x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n mºt l¥n c“n Vp cıa p. Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i
m(cid:229)i l¥n c“n U cıa p, t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U (cid:48) cıa p sao cho m(cid:229)i (cid:31)(cid:190)a gi£i
t‰ch trong Ω (cid:31)•u th(cid:228)a m¢n
2
) ⊂ U, f (0) ∈ U (cid:48) ⇒ f (∆ 1
2}.
2
= {ξ ∈ ∆ : |ξ| < 1 trong (cid:31)(cid:226) ∆ 1
Chøng minh. V… ϕ l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i peak (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i p, n¶n t(cid:231)n
20
t⁄i hai l¥n c“n U, V cıa p(U ⊂ V ⊂ Vp) v(cid:160) hai h‹ng sŁ (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng c, c(cid:48) (c > c(cid:48))
sao cho
ϕ(z) = −c(cid:48) inf z∈ ¯Ω∩bU
ϕ(z) = −c.
sup z∈ ¯Ω∩bV Khi (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m ˜ϕ x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n Ω b(cid:240)i
2
ϕ(z), − (c+c(cid:48)) ˜ϕ(z) = sup n‚u z ∈ ¯Ω ∩ (V \ ¯U )
2
˜ϕ(z) = ϕ(z) n‚u z ∈ ¯Ω ∩ U (cid:16) (cid:17) ˜ϕ(z) = −c+c(cid:48) n‚u z ∈ ¯Ω\V,
l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i peak kh(cid:230)ng ¥m to(cid:160)n c(cid:246)c t⁄i p.
L§y f l(cid:160) mºt (cid:31)(cid:190)a gi£i t‰ch tr¶n D. V… h(cid:160)m ˜ϕ ◦ f l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa suy ra
v(cid:238)i m(cid:229)i α m(cid:160) ( ˜ϕ ◦ f )(0) > α, (cid:31)º (cid:31)o cıa t“p
Eα = {θ ∈ [0, 2π]| ( ˜ϕ ◦ f )(eiθ) ≥ 2α},
k‰ hi»u b(cid:240)i mes(Eα), th(cid:228)a m¢n
(2.2) mes(Eα) ≥ π.
X†t mºt h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng ε (cid:31)ı nh(cid:228) sao cho
(ϕ + εψ) = − c1 < 0, inf D∩bU
(ϕ + εψ) = − c2 < − c1.
inf D∩bV H(cid:160)m ρ x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n ¯D b(cid:240)i
2
) n‚u z ∈ ¯D\(V \ ¯U )
2
ρ(z) = −c1+c2 ρ(z) = (ϕ + εψ)(z) n‚u z ∈ ¯D ∩ U ρ(z) = sup((ϕ + εψ)(z), − (c1+c2) n‚u z ∈ ¯D\V,
l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ¥m li¶n t(cid:246)c tr¶n D th(cid:228)a m¢n
21
ρ−1(−∞) = {p}.
2
2π (cid:90)
Ng(cid:247)æc l⁄i, sß d(cid:246)ng t‰ch ph¥n Poisson v(cid:238)i b§t k(cid:253) (cid:31)i”m ξ ∈ ∆ 1 ta c(cid:226)
0
(ρ ◦ f )(ξ) ≤ (ρ ◦ f )(eiθ)dθ. (2.3) 3 10π
V… ˜ϕ l(cid:160) mºt h(cid:160)m peak t⁄i p v(cid:160) ρ th(cid:228)a m¢n ρ(p) = −∞ , v(cid:238)i mØi h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng L t(cid:231) t⁄i mºt h‹ng sŁ ¥m α sao cho v(cid:238)i b§t k(cid:253) z ∈ ¯D, b§t (cid:31)flng
thøc ˜ϕ(z) ≥ 2α k†o theo ρ(z) < −L. Ng(cid:247)æc l⁄i sß d(cid:246)ng (1) v(cid:160) (2) v(cid:160) h(cid:160)m
2
, ρ l(cid:160) ¥m, ta c(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)(cid:190)a gi£i t‰ch f trong D v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)i”m ξ ∈ ∆ 1
˜ϕ(f (0)) > α ⇒ (ρ ◦ f )(ξ) ≤ − L. (2.4)
3 10 V… ρ−1(−∞) = {ρ}, h(cid:229) (Un = {z ∈ ¯D : ρ(z) < −( 3 10)n})n l(cid:160) mºt c(cid:236) s(cid:240) l¥n c“n cıa p trong ¯D. X†t v(cid:238)i mØi sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n, t(cid:231)n t⁄i mºt h‹ng sŁ
¥m αn sao cho
˜ϕ(z) ≥ 2αn ⇒ ρ(z) < −n.
n l(cid:160) mºt l¥n c“n cıa p trong ¯Ω x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i
n = {z ∈ ¯Ω : ˜ϕ(z) > αn}. U (cid:48)
L§y U (cid:48)
Sß d(cid:246)ng (2.4) ta c(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i n th…
n ⇒ f (∆ 1
2
f (0) ∈ U (cid:48) ) ⊂ Un.
BŒ (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.
BŒ (cid:31)• 2.3.2. [1] Cho Ω l(cid:160) mºt mi•n trong Cn. Gi£ sß t(cid:231)n t⁄i h(cid:160)m (cid:31)a
(cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i peak v(cid:160) antipeak (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i ∞. Khi (cid:31)(cid:226) Ω l(cid:160) mºt mi•n
hyperbolic.
Chøng minh. Gi£ sß Ω kh(cid:230)ng l(cid:160) hyperbolic. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i mºt (cid:31)i”m
22
z0 ∈ Ω v(cid:160) mºt d¢y (yν)ν c¡c (cid:31)i”m trong Ω hºi t(cid:246) t(cid:238)i z0, v(cid:160) mºt d¢y (yν)ν
c¡c v†ct(cid:236) (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) trong Cn sao cho
. FΩ(yν, vν) ≤ 1 ν
Do v“y, t(cid:231)n t⁄i mºt d¢y (fν)ν c¡c (cid:31)(cid:190)a gi£i t‰ch t¥m t⁄i yν sao cho
ν(0)| ≥ ν. Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Montel, t(cid:231)n t⁄i mºt d¢y (pν)ν c¡c (cid:31)i”m cıa ∆ |fν(pν)| = ∞, khi (cid:31)(cid:226) c(cid:226) h(cid:229) ( ˜fν)ν c¡c (cid:31)(cid:190)a gi£i t‰ch
|f (cid:48)
hºi t(cid:246) v• 0 sao cho lim ν→∞ sao cho ˜fν(0) = fν(pν) v(cid:160) ˜fν(pν) = yν.
(cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i bŒ (cid:31)• 2.3.1. V“y Ω l(cid:160) mºt mi•n hyperperbolic.
BŒ (cid:31)• 2.3.3. [1] Cho Ω l(cid:160) mºt mi•n trong Cn. Gi£ sß t(cid:231)n t⁄i h(cid:160)m ch¿nh
h…nh peak (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i mØi (cid:31)i”m p ∈ ∂Ω ∪ {∞}. Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i l¥n c“n
Ω(z, z(cid:48)) = ∞; dk
U cıa p trong Cn ta c(cid:226)
lim z→p
Ω l(cid:160) kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n Ω.
v(cid:238)i b§t k(cid:253) z(cid:48) ∈ ¯Ω ∩ ∂U ; trong (cid:31)(cid:226) dk
Chøng minh. L§y h l(cid:160) mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh peak (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i p x¡c
(cid:31)(cid:224)nh tr¶n mºt l¥n c“n Vp cıa p. V… h(cid:160)m ψ(z) = ln |1 − h(z)| l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a
(cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i antipeak (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i p, theo bŒ (cid:31)• 2.3.1 ta c(cid:226) v(cid:238)i mØi
l¥n c“n U cıa p, t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U (cid:48) cıa p sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)(cid:190)a gi£i t‰ch
f tr¶n Ω
2
f (0) ∈ U (cid:48) ⇒ f (∆ 1 ) ⊂ U.
(cid:30)(cid:176)c bi»t, v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ U (cid:48) v(cid:160) X ∈ Cn, ta c(cid:226)
FΩ(z, X) ≥ FU (z, X). 1 2
L§y z(cid:48) l(cid:160) mºt (cid:31)i”m trong Ω∩∂U . N‚u γ l(cid:160) mºt (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong kh£ vi trong
Ω nŁi z(cid:48) t(cid:238)i z, th… t(cid:231)n t⁄i t0 ∈ [0, 1] sao cho (cid:31)i”m γ(t0) ∈ Ω ∩ ∂U (cid:48) v(cid:160) t“p
23
γ(]t0, 1]) ⊂ Ω ∩ U (cid:48).
1 (cid:90)
1 (cid:90)
Ta c(cid:226)
0
t0
FU (γ(t), γ(cid:48)(t))dt. FΩ(γ(t), γ(cid:48)(t))dt ≥ 1 2
z∈Ω∩∂U
1 (cid:90)
1 (cid:90)
|h(z)| = c < 1, ta c(cid:226) V… ¡nh x⁄ l(cid:160) ch¿nh h…nh tł Ω ∩ Vp v(cid:160)o ∆ v(cid:160) sup
0
t0
FΩ(γ(t), γ(cid:48)(t))dt ≥ F∆(h(γ(t)), dh(γ(t)))γ(cid:48)(t)dt 1 2
ln . ≥ 1 2 1 − c 1 − |h(z)|
Khi cho z → p th… (cid:31)flng thøc cuŁi dƒn (cid:31)‚n ∞.
Ω(z, z(cid:48)) = ∞. dk
V“y lim z→p
Tł ba bŒ (cid:31)• tr¶n ta chøng minh (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau v– t‰nh hyperbolic
(cid:31)ƒy cıa mºt mi•n trong Cn.
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1. [1] Cho Ω l(cid:160) mºt mi•n trong Cn. Gi£ sß t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m
ch¿nh h…nh peak (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i mØi (cid:31)i”m p ∈ ∂Ω ∪ {∞}. Khi (cid:31)(cid:226) Ω l(cid:160) mi•n
hyperbolic (cid:31)ƒy.
Chøng minh. Tł bŒ (cid:31)• 2.3.1 ta c(cid:226) Ω l(cid:160) hyperbolic. Tł bŒ (cid:31)• 2.3.2 ta
Ω(z, y) ≤ r} l(cid:160) compact trong Ω v(cid:238)i
chøng minh (cid:31)(cid:247)æc h…nh cƒu {y ∈ Ω : dk
m(cid:229)i (cid:31)i”m z ∈ Ω v(cid:160) m(cid:229)i h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng r. Do (cid:31)(cid:226) Ω l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy.
K‚t qu£ ti‚p theo s‡ tr…nh b(cid:160)y mŁi li¶n h» giœa t‰nh taut (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng
v(cid:160) t‰nh taut to(cid:160)n c(cid:246)c cıa mºt mi•n. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta c(cid:226) bŒ (cid:31)• sau:
BŒ (cid:31)• 2.3.4. [1] V(cid:238)i b§t k(cid:253) t“p compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi K trong ∆, t(cid:231)n t⁄i
mºt h‹ng sŁ th(cid:252)c d(cid:247)(cid:236)ng rk sao cho m(cid:229)i t(cid:252) (cid:31)flng c§u g cıa ∆ th(cid:228)a m¢n
g(0) ∈ K ⇒ ∆(g(0), rk) ⊂ g(∆1/2),
24
(cid:240) (cid:31)(cid:226) ∆(g(0), rk) = {λ ∈ ∆ : |λ − g(0)| < rk}.
Chøng minh. L§y ζ l(cid:160) mºt (cid:31)i”m thuºc K, θ l(cid:160) mºt sŁ th(cid:252)c thuºc [0, 2π[
|gζ,θ(λ) − v(cid:160) gζ,θ l(cid:160) t(cid:252) (cid:31)flng c§u cıa ∆ . Ta ch¿ cƒn chøng minh r‹ng inf |λ|= 1 2
gζ,θ(0)| l(cid:160) b(cid:224) ch‹n (cid:31)•u tr¶n K.
2.|λ|.(1 − |ζ|2)
V… |gζ,θ(λ) − gζ,θ(0)| ≥ 1
4 min ζ∈K
(1 − |ζ|2). ta c(cid:226) th” (cid:31)(cid:176)t rk = 1
Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) (cid:31)i•u cƒn chøng minh.
M»nh (cid:31)• 2.3.1. [1] Cho Ω l(cid:160) mºt mi•n trong Cn, gi£ sß r‹ng Ω l(cid:160) taut
(cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i mØi (cid:31)i”m tr¶n ∂Ω v(cid:160) t(cid:231)n t⁄i c¡c h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i peak
v(cid:160) antipeak t⁄i (cid:31)i”m ∞. Khi (cid:31)(cid:226) Ω l(cid:160) mºt mi•n taut.
Chøng minh. Ta x†t hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp.
- Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: T(cid:231)n t⁄i mºt (cid:31)i”m ζ thuºc ∆ v(cid:160) mºt d¢y con {fνk}k
cıa {fν}ν sao cho
|fνk(ζ)| = ∞}. lim k→∞
(cid:30)(cid:176)t E = {λ ∈ ∆ : |fνk(ζ)| = ∞}. V… v(cid:238)i b§t k(cid:253) (cid:31)i”m ζ thuºc E ta lim k→∞
|fνk ◦ gζ,θ| = ∞ (cid:31)•u tr¶n ∆1/2 theo bŒ (cid:31)• 2.3.1.
c(cid:226) lim k→∞ Theo bŒ (cid:31)• 2.3.4, t(cid:231)n t⁄i mºt sŁ th(cid:252)c d(cid:247)(cid:236)ng rζ sao cho
|fνk(∆(ζ, rζ))| = ∞. lim k→∞
Khi (cid:31)(cid:226) E l(cid:160) m(cid:240) trong ∆. H(cid:236)n nœa n‚u (ζn)n l(cid:160) mºt d¢y c¡c (cid:31)i”m trong
E hºi t(cid:246) t(cid:238)i (cid:31)i”m ζ thuºc ∆, tł t‰nh compact cıa t“p {ζn, n ≥ 0} ∪ {ζ} v(cid:160)
tł bŒ (cid:31)• 2.3.4 suy ra t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng r sao cho, v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n
d(cid:247)(cid:236)ng n, |fνk(ζ)| = ∞, |fνk(ζ)| = ∞ (cid:31)•u tr¶n ∆(ζn, r) v(cid:160) do d(cid:226) lim k→∞
lim k→∞ t“p E l(cid:160) (cid:31)(cid:226)ng trong ∆.
Do (cid:31)(cid:226) E = ∆, v… v“y v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)i”m ξ thuºc ∆, t(cid:231)n t⁄i mºt sŁ th(cid:252)c
25
|fνk| = ∞ (cid:31)•u tr¶n ∆(ζ, rζ). (cid:30)(cid:176)c bi»t (cid:31)¢y (|fνk|)k d(cid:247)(cid:236)ng rζ sao cho lim k→∞
ph¥n k(cid:253) t(cid:238)i ∞ (cid:31)•u tr¶n c¡c t“p con compact cıa ∆, do v“y d¢y {fνk}k l(cid:160)
ph¥n k(cid:253) compact.
- Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: V(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)i”m ζ thuºc ∆ , d¢y {fν(ζ)}ν l(cid:160) compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi trong Cn.
Theo tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1, E l(cid:160) (cid:31)(cid:226)ng suy ra d¢y {fν}ν l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng
trong ∆. Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Montel, (cid:31)(cid:226) l(cid:160) mºt h(cid:229) compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi v… v“y t(cid:231)n
t⁄i mºt d¢y con {fνk}k cıa {fν}ν hºi t(cid:246) t(cid:238)i mºt ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh f tł
∆ v(cid:160)o Ω.
Ta chøng t(cid:228) n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt (cid:31)i”m ζ ∈ ∆ sao cho f (ζ) ∈ ∂D th… t“p
f (∆) b(cid:224) chøa trong ∂∆.
Th“t v“y, l§y E l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng.
E = {λ ∈ ∆ : f (λ) ∈ ∂∆}.
Ta gi£ thi‚t t“p E kh¡c rØng. L§y λ l(cid:160) mºt (cid:31)i”m thuºc E. V… Ω l(cid:160) taut
(cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i f (λ) n¶n t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n V cıa f (λ) sao cho Ω ∩ V l(cid:160)
taut. V… f l(cid:160) gi(cid:238)i h⁄n li¶n t(cid:246)c (cid:31)•u cıa {fνk}k n¶n t(cid:231)n t⁄i hai l¥n c“n U cıa λ v(cid:160) V (cid:48) cıa f (λ) (V (cid:48) ⊂⊂ V ) sao cho t“p fνk(U ) b(cid:224) chøa trong Ω ∩ V (cid:48)
v(cid:238)i k (cid:31)ı l(cid:238)n. Do Ω ∩ V l(cid:160) taut n¶n f (U ) ⊂ ∂Ω do (cid:31)(cid:226) E l(cid:160) t“p m(cid:240). V“y
E = ∆.
Ta (cid:31)¢ ch¿ ra trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1 r‹ng d¢y {fν}ν chøa mºt d¢y con
ph¥n k(cid:253) compact v(cid:160) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2 ta ch¿ ra d¢y {fν}ν ho(cid:176)c ph¥n k(cid:253)
compact ho(cid:176)c hºi t(cid:246) (cid:31)•u tr¶n c¡c t“p con compact cıa ∆.
26
V“y m»nh (cid:31)• 2.3.1 (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.
2.4 T‰nh k - (cid:31)ƒy cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n
trong Cn.
T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) (cid:31)Łi v(cid:238)i h(cid:160)m Lempert, ta c(cid:226) th” (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a gi£ kho£ng c¡ch
Kobayashi cho mºt t“p m(cid:240) D trong Cn. N‚u z, w thuºc c(cid:242)ng mºt th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng ˜D cıa D, th… ta (cid:31)(cid:176)t kD(z, w) := k ˜D(z, w), tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cÆn l⁄i, ta (cid:31)(cid:176)t kD(z, w) := ∞.
Rª r(cid:160)ng D l(cid:160) k- (cid:31)ƒy (tøc l(cid:160) (cid:31)ƒy (cid:31)Łi v(cid:238)i gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi)
khi v(cid:160) ch¿ khi b§t k(cid:253) th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa n(cid:226) l(cid:160) k- (cid:31)ƒy.
Cho D l(cid:160) mºt t“p m(cid:240) trong Cn. Ta g(cid:229)i (cid:31)i”m a ∈ ∂D l(cid:160) mºt k- (cid:31)i”m
cıa D n‚u
kD(z, b) = ∞; lim z→a
trong (cid:31)(cid:226) b l(cid:160) (cid:31)i”m t(cid:242)y (cid:254) D.
Ta g(cid:229)i (cid:31)i”m a ∈ ∂D l(cid:160) mºt k(cid:48)- (cid:31)i”m cıa D n‚u kh(cid:230)ng c(cid:226) d¢y kD-Cauchy
n(cid:160)o hºi t(cid:246) t(cid:238)i a.
Rª r(cid:160)ng (cid:31)i”m peak ch¿nh h…nh (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng l(cid:160) mºt k- (cid:31)i”m, m(cid:229)i k- (cid:31)i”m
l(cid:160) k(cid:48)- (cid:31)i”m.
Ta c(cid:226) m»nh (cid:31)• sau v• t‰nh k- (cid:31)ƒy cıa mºt t“p m(cid:240) trong Cn.
M»nh (cid:31)• 2.4.1. [6] Cho D l(cid:160) mºt t“p m(cid:240) trong Cn. Gi£ sß ∞ l(cid:160) mºt k(cid:48)
(cid:21) (cid:31)i”m n‚u D l(cid:160) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n. Ta c(cid:226) c¡c (cid:31)i•u ki»n sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:
i) D l(cid:160) k- (cid:31)ƒy;
ii) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n hœu h⁄n cıa D (cid:31)•u c(cid:226) mºt l¥n c“n U sao cho D ∩ U
l(cid:160) k(cid:48)- (cid:31)ƒy;
iii) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n hœu h⁄n cıa D l(cid:160) k(cid:48)- (cid:31)i”m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng;
27
iv) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n hœu h⁄n cıa D l(cid:160) mºt k(cid:48)- (cid:31)i”m;
v) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n cıa D l(cid:160) mºt k- (cid:31)i”m d(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng;
vi) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n cıa D l(cid:160) mºt k- (cid:31)i”m.
Chøng minh. D„ th§y (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) v(cid:160) (iv) ⇒ (v) ⇒ (iii)
Ta c(cid:244)ng c(cid:226) (i) ⇒ (vi) ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 7.3.2[2]).
Tł gi£ thi‚t ∞ l(cid:160) k(cid:48)-(cid:31)i”m suy ra
inf kD(z, w) > 0, z ∈ D. lim w→∞
Do v“y, D l(cid:160) hyperbolic v(cid:160) v… th‚ b§t k(cid:253) d¢y kD- cauchy (cid:31)•u c(cid:226) nhi•u
nh§t mºt (cid:31)i”m t(cid:246) trong D. V… b§t k(cid:253) (cid:31)i”m bi¶n n(cid:160)o (cid:31)•u l(cid:160) k(cid:48)- (cid:31)i”m n¶n
mØi d¢y nh(cid:247) v“y kh(cid:230)ng c(cid:226) c¡c (cid:31)i”m t(cid:246) tr¶n ∂D, do v“y (iv) ⇒ (i)
Ta ch¿ cƒn chøng minh (iii) ⇒ (iv).
Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, th… t(cid:231)n t⁄i mºt d¢y kD- Cauchy
{zj} ⊂ D, zj → a ∈ ∂D\{∞}.
Ta s‡ chøng t(cid:228) t(cid:231)n t⁄i sŁ r > 0 sao cho
(∗) 3ε := inf{kD(zj, w) : j ∈ N, w ∈ D\B(0, r)} > 0.
M(cid:176)t kh¡c, v(cid:238)i b§t k(cid:253) l, t(cid:231)n t⁄i jl ∈ N v(cid:160) wl ∈ D m(cid:160)
. ||wl|| > l v(cid:160) kD(zjl, wl) < 1 l
Khi (cid:31)(cid:226)
+ kD(wl , wm) < + kD(zjl, zjm), l, m ∈ N. 1 l 1 m
N‚u d¢y {jl} ch¿ gƒm mºt sŁ hœu h⁄n c¡c phƒn tß cıa N, th… b‹ng c¡ch
x†t mºt d¢y con n‚u cƒn, ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng jl = jm, v(cid:238)i b§t k(cid:253) l v(cid:160)
m, do (cid:31)(cid:226) {wl} l(cid:160) mºt d¢y kD- Cauchy. M(cid:176)t kh¡c, ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng
jl → ∞. Khi (cid:31)(cid:226) {wl} l⁄i l(cid:160) mºt d¢y kD- Cauchy, do v“y {zjl} c(cid:242)ng l(cid:160) d¢y
28
kD- Cauchy. (cid:30)i•u n(cid:160)y l(cid:160) v(cid:230) l(cid:254) v… ∞ l(cid:160) mºt k’-(cid:31)i”m.
V“y (∗) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.
B¥y gi(cid:237), ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng kD(zl, zm) < ε, v(cid:238)i b§t k(cid:253) l, m, ta x†t
mºt (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong l(cid:238)p C 1
1 (cid:90)
γl,m : [0, 1] → D nŁi zl v(cid:160) zm sao cho
l,m(t))dt < 2kD(zl, zm) < 2ε.
0
kD(zl, zm) ≤ kD(γl,m(t); γ(cid:48)
V… kD(zl; γl,m(t)) < 2ε n¶n, γl,m([0, 1]) ⊂ ˜D, ˜D := D ∩ B(0, r)
v(cid:160)
tanh−1lD(γl,m(t), w) ≥ kD(γl,m(t)), w) > ε, t ∈ [0, 1], w ∈ D\B(0, r).
B§t (cid:31)flng thøc
lD(z, ω) ≤ FD(z, X), z ∈ ˜D F ˜D(z, X) inf ω∈D\B(0,r)
suy ra k ˜D(zl, zm) < 2(coth ε)kD(zl, zm).
V… v“y {zj} l(cid:160) mºt d¢y k ˜D - Cauchy. Ch(cid:229)n r(cid:48) > 0 sao cho a l(cid:160) mºt
k(cid:48)-(cid:31)i”m cıa ˜D := ˆD ∩ B(a, r(cid:48)). V… ˆD l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n n¶n ta c(cid:226):
inf{F ˜D(z, w) : j (cid:29) 1, w ∈ ˜D\B(a, r(cid:48))} > 0
v(cid:160) l(cid:176)p l⁄i l“p lu“n nh(cid:247) phƒn tr(cid:247)(cid:238)c, ta th§y d¢y k ˆD - Cauchy {zj} c(cid:244)ng l(cid:160) mºt d¢y k ˜D - Cauchy, (cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) v(cid:230) l(cid:254). V“y (iii) ⇒ (iv).
N‚u ∞ l(cid:160) mºt (cid:31)i”m peak (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng ta c(cid:226) m»nh (cid:31)• sau
M»nh (cid:31)• 2.4.2. [6] N‚u ∞ l(cid:160) mºt (cid:31)i”m peak (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) l(cid:160) mºt
k(cid:48)(cid:21) (cid:31)i”m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n D trong Cn, th… ∞ l(cid:160)
29
mºt k(cid:48)(cid:21) (cid:31)i”m.
Chøng minh. L§y r > 0 sao cho ∞ l(cid:160) mºt k(cid:48)- (cid:31)i”m cıa ˜D := D\B(0, r).
Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)
lD(z, w) (cid:54) FD(z, X), z ∈ ˜D. F ˜D(z, X) inf w∈D∩B(0,r)
M(cid:176)t kh¡c, n‚u r2 > r1 > r th…
inf{tanh−1lD(z, w) :z ∈ D\B(0, r1), w ∈ D ∩ B(0, r)} (cid:62) inf{kD(z, w) :z ∈ D ∩ ∂B(0, r1), w ∈ D ∩ ∂B(0, r)} (cid:62) min{kD∪B(0,r2)(z, w) :z ∈ ∂B(0, r1), w ∈ ∂B(0, r)} = :ε.
V… kh¡i ni»m (cid:31)i”m peak (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i l(cid:160) kh¡i ni»m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng n¶n
ta c(cid:226) ∞ l(cid:160) mºt (cid:31)i”m peak (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i cıa D ∪ B(0, r2).
Theo m»nh (cid:31)• 2.1.1, b§t k(cid:253) th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa t“p n(cid:160)y l(cid:160)
hyperbolic v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) ε > 0.
V… v“y
F ˜D(z, X) (cid:54) (coth ε)FD(z, X), z ∈ D\B(0, r1).
Gi£ sß r‹ng t(cid:231)n t⁄i mºt d¢y kD - Cauchy hºi t(cid:246) (cid:31)‚n ∞. L(cid:176)p l⁄i l“p
lu“n cıa chøng minh cıa m»nh (cid:31)• 2.3.1, ta c(cid:226) m(cid:229)i d¢y con cıa d¢y n(cid:160)y thuºc ˜D (cid:31)•u l(cid:160) d¢y k ˆD - Cauchy. (cid:30)i•u n(cid:160)y l(cid:160) v(cid:230) l(cid:254). V“y ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.
2.5 C¡c mi•n Hartogs.
Trong phƒn n(cid:160)y ta s‡ tr…nh b(cid:160)y c¡c øng d(cid:246)ng cıa c¡c k‚t qu£ tr¶n cho
c¡c mi•n lo⁄i Harstogs. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a sau.
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.5.1. [6] Cho G l(cid:160) mºt mi•n trong Cn. Mºt mi•n D ⊂
30
G × Cm (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt mi•n Hartogs tr¶n G v(cid:238)i th(cid:238) c¥n b‹ng m chi•u
n‚u
D = {(z, w) ∈ G × Cm : h(z, w) < 1},
trong (cid:31)(cid:226) h : G × Cm → [0, ∞) l(cid:160) mºt h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:238)i
h(z, λ) = |λ|.h(z, w), z ∈ G, λ ∈ ∆, w ∈ Cm.
h > 0, trong Rª r(cid:160)ng D l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u G l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n v(cid:160) inf G×S
(cid:31)(cid:226) S l(cid:160) h…nh cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) trong Cm, l(cid:160) mi•n gi£ l(cid:231)i n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u G l(cid:160)
∞ (cid:88)
mi•n gi£ l(cid:231)i v(cid:160) log h l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i.
j=1
N‚u θ(z1) : = 2−j log |1 − 22j−1z1| ,
ϕ(z1) : = max{|z1|, 1 + θ(z1)},
th… D := {(z1, z2) ∈ ∆ × C : |z2|eϕ(z1) < 1}
l(cid:160) mºt mi•n Hartogs gi£ l(cid:231)i b(cid:224) ch(cid:176)n tr¶n ∆ v(cid:238)i th(cid:238) mºt chi•u.
G(cid:229)i E0 l(cid:160) t“p c¡c (cid:31)i”m bi¶n (a1, a2) cıa D v(cid:238)i a1 (cid:54)= 0.
(cid:12)e−1 < |a2| < 1},
(cid:30)(cid:176)t
E1 := {(0, a2) ∈ C2 | |a2| = 1}, E2 := {(0, a2) ∈ C2 (cid:12) E3 := {(0, a2) ∈ C2 : |a2| = e−1}.
3 (cid:83) j=0
Nh“n x†t r‹ng ∂D = Ej.
Ta c(cid:226) v‰ d(cid:246) sau:
V‰ d(cid:246) 2.5.1. i) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m n(cid:160)o cıa E0 ∪ E1 (cid:31)•u l(cid:160) (cid:31)i”m ch›n v(cid:160) do (cid:31)(cid:226),
theo m»nh (cid:31)• 2.2.3, n(cid:226) l(cid:160) mºt t- (cid:31)i”m.
ii) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m n(cid:160)o cıa E2 (cid:31)•u l(cid:160) (cid:31)i”m ch›n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng nh(cid:247)ng kh(cid:230)ng l(cid:160)
t- (cid:31)i”m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng, do (cid:31)(cid:226) theo m»nh (cid:31)• 2.2.3, mºt t-(cid:31)i”m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng
kh(cid:230)ng l(cid:160) mºt (cid:31)i”m ch›n to(cid:160)n c(cid:246)c. (cid:30)(cid:176)c bi»t, theo m»nh (cid:31)• 2.2.2, kh(cid:230)ng
31
l(cid:160) mºt mi•n taut.
iii) B§t k(cid:253) (cid:31)i”m n(cid:160)o cıa E3 (cid:31)•u kh(cid:230)ng l(cid:160) t- (cid:31)i”m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) do (cid:31)(cid:226)
kh(cid:230)ng l(cid:160) (cid:31)i”m ch›n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng. Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t l(cid:160) t“p c¡c
t- (cid:31)i”m (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng. Do v“y, theo m»nh (cid:31)• 2.2.2, v(cid:238)i mºt l¥n c“n
cıa b§t k(cid:253) c¡c (cid:31)i”m n(cid:160)y ∂D\E3, c(cid:244)ng l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c (cid:31)i”m taut (cid:31)(cid:224)a
ph(cid:247)(cid:236)ng.
Chøng minh. i.) Ta c(cid:226) ϕ l(cid:160) mºt h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c tr¶n Cn, do v“y c¡c (cid:31)i”m cıa
E0 l(cid:160) c¡c (cid:31)i”m ch›n. H(cid:236)n nœa, 0 > log |z2| → 0 khi D (cid:127) (z1, z2) → E1.
Suy ra c¡c (cid:31)i”m cıa E1 c(cid:244)ng l(cid:160) (cid:31)i”m ch›n.
ii.) (cid:30)(cid:176)t a := (0, a2) ∈ E2. Ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng a2 > 0. Ch(cid:229)n c ∈ (a2, 1)
v(cid:160) nh“n x†t r‹ng c¡c (cid:31)(cid:190)a fj(t) := (21−2j, ct) thuºc v(cid:160)o Hol(∆, D) n‚u
21−2j ≤ − log c.
c ) = a
V… fj(t) → f (t) := (0, ct) (cid:31)•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng, f (0) ∈ D v(cid:160) f ( a2
n¶n a l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m.
(cid:30)” th§y r‹ng a l(cid:160) mºt (cid:31)i”m ch›n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng, nh“n x†t (cid:31)ƒu ti¶n l(cid:160)
n‚u F l(cid:160) hæp cıa c¡c (cid:31)(cid:190)a r(cid:237)i nhau ∆(21−2j, 2−2j), j = 1, 2, .... th…
θ(z1) = 0. lim F (cid:54)(cid:127)z1→0
Th“t v“y, log |1−22j−1z1| ≥ log 2 v(cid:238)i b§t k(cid:253) z1 /∈ F v(cid:160) b§t k(cid:253) j ≥ 1,
k (cid:88)
∞ (cid:88)
do (cid:31)(cid:226)
j=1
j=k+1
2−j, k ≥ 1. θ(z1) ≥ 2−j log |1 − 22j−1z1| − log 2
(cid:30)(cid:176)t F (cid:54)(cid:127) z1 → 0, k → ∞, do θ l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n n¶n ta c(cid:226) (cid:31)flng thøc mong muŁn. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng n‚u C l(cid:160) th(cid:160)nh phƒn cıa (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:226)ng r ¯∆
v(cid:238)i e−1 < r < 1 v(cid:160) z ∈ D ∩ (∆ × C), th…
32
θ(z1) < − log(re) < 0.
Theo tr¶n, t(cid:231)n t⁄i ε > 0 sao cho n‚u z1 th(cid:228)a m¢n b§t (cid:31)flng thøc
n(cid:160)y v(cid:160) |z1| < ε, th… z1 ∈ F .
Do v“y
D ∩ (ε∆ × C) ⊂ F × C.
Ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a p(z) := −j−1 tr¶n ∆(21−2j, 2−2j) × C, (cid:31)•u n(cid:160)y ch¿ ra
r‹ng p l(cid:160) mºt h(cid:160)m ch›n tr¶n D ∩ (ε∆ × C) t⁄i b§t k(cid:253) a v(cid:238)i a1 = 0 v(cid:160)
r < |a2| < 1.
V… r ∈ (e−1, 1) (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n t(cid:242)y (cid:254), ta c(cid:226) (cid:31)i•u cƒn chøng minh.
iii.) Tł (i), (ii) v(cid:160) m»nh (cid:31)• 2.2.2, t“p c¡c (cid:31)i”m bi¶n m(cid:160) kh(cid:230)ng l(cid:160) t- (cid:31)i”m
l(cid:160) kh¡c rØng v(cid:160) n(cid:226) b(cid:224) chøa trong E3.
V… E3 l(cid:160) mºt qu(cid:255) (cid:31)⁄o øng v(cid:238)i ph†p quay n¶n ta c(cid:226) (cid:31)i•u cƒn chøng
minh.
Trong [3] ta c(cid:226) k‚t qu£ sau:
h > 0 v(cid:238)i b§t k(cid:253) N‚u D l(cid:160) hyperbolic, thi G l(cid:160) hyperbolic v(cid:160) inf K×S
K ⊂⊂ G (∗)
h = 0 Th“t v“y, v… G × {0} ⊂ D n¶n G l(cid:160) hyperbolic. Gi£ sß r‹ng inf K×S
v(cid:238)i K ⊂⊂ G th… t(cid:231)n t⁄i mºt d¢y {aj} ⊂ D v(cid:160) mºt (cid:31)i”m a := (a(cid:48), a(cid:48)(cid:48)) ∈
G × Cn, a(cid:48)(cid:48) (cid:54)= 0, sao cho
(cid:48)(cid:48)(h(aj)))−1 thuºc v(cid:160)o Hol(∆, D),
(cid:48), taj
aj → a v(cid:160) h(aj) → 0 khi j → ∞.
Do c¡c (cid:31)(cid:190)a fj(t) := (aj
fj(0) → ˜a := (a(cid:48), 0) ∈ D
v(cid:160) fj(t) → ∞ v(cid:238)i b§t k(cid:253) t ∈ ∆\{ 0}.
33
inf lD(z, w) = 0 n¶n (cid:31)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n. V… v“y lim z→∞ w→˜a
Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t c¡c mi•n Hartogs tr¶n ∆ v(cid:238)i th(cid:238) c¥n b‹ng
mºt chi•u, chi•u ng(cid:247)æc l⁄i cıa (∗) (cid:31)(cid:247)æc ch¿ ra trong [8]. B‹ng c¡c øng
d(cid:246)ng cıa c¡c k‚t qu£ (cid:240) phƒn tr(cid:247)(cid:238)c, ta chøng minh (cid:31)(cid:247)æc m»nh (cid:31)• sau:
M»nh (cid:31)• 2.5.1. [6] N‚u (∗) (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc, th… D l(cid:160) hyperbolic.
Chøng minh. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, th… tł m»nh (cid:31)• 2.2.1, ta c(cid:226) th” t…m (cid:31)(cid:247)æc d¢y
{tj} ⊂ ∆ v(cid:160) {fj} ⊂ Hol(∆, D), v(cid:238)i tj → 0, fj(tj) → ∞ v(cid:160) fj(0) → a ∈ D.
(cid:48)(tj) ⊂ K v(cid:238)i K ⊂⊂ D n¶n f (cid:48)(cid:48)
j(tj) → a(cid:48). V… fj f (cid:48)
j (tj) → ∞ v(cid:160) ta c(cid:226)
L§y a = (a(cid:48), a(cid:48)(cid:48)) v(cid:238)i a(cid:48) ∈ G v(cid:160) a(cid:48)(cid:48) ∈ Cn. Do t‰nh hyperbolic cıa G ta c(cid:226)
h → ∞, 1 > h(f (tj)) = ||f (cid:48)(cid:48)(tj)||h(f (cid:48)(tj), ) (cid:62) ||f (cid:48)(cid:48) (tj)|| . inf K×S f (cid:48)(cid:48)(tj) ||f (cid:48)(cid:48)(tj)||
(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. V“y ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.
V‰ d(cid:246) sau ch¿ ra gi(cid:238)i h⁄n trong m»nh (cid:31)• 2.2.1 c(cid:226) th” d(cid:247)(cid:236)ng nh(cid:247)ng nh(cid:228)
h(cid:236)n 1
V‰ d(cid:246) 2.5.2. T(cid:231)n t⁄i mºt mi•n b(cid:224) ch(cid:176)n hyperbolic trong C3 v(cid:238)i ∞ kh(cid:230)ng
l(cid:160) mºt t - (cid:31)i”m.
Th“t v“y, theo v‰ d(cid:246) tr¶n, h(cid:160)m
max{|z1|, 1 − |ez2|}, |z2| < e−1 Φ(z1, z2) :=
(cid:107)z1|, |z2| (cid:62) e−1
l(cid:160) d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) li¶n t(cid:246)c tr¶n mi•n D.
Do v“y, theo m»nh (cid:31)• 2.5.1
˜D := {(z, w) ∈ D× : C|w|Φ(z) < 1}
34
l(cid:160) mºt mi•n Hartogs hyperbolic.
B¥y gi(cid:237) cŁ (cid:31)(cid:224)nh c ∈ (e−1, 1). Gi£ sß r‹ng (cid:31)(cid:190)a fj(t) := (21−2j, ct) thuºc
v(cid:160)o Hol(∆, D) v(cid:238)i b§t k(cid:253) j (cid:31)ı l(cid:238)n. N‚u gj(t) := (cet)j, th…
|gj(t)| < 1 ≤ min{22j−1, (1 − ce|t|)−1}
khi ce|t| < 1, v(cid:160) |gj(t)| < 22j−1 v(cid:238)i t ∈ ∆ v(cid:160) j ≥ 2, tøc l(cid:160)
|gj(t)|Φ(fj(t)) < 1 tr¶n ∆.
Do v“y, hj := (fj, gj) ∈ Hol(∆, ˜D) v(cid:238)i hj(0) → 0 ∈ ˜D. H(cid:236)n nœa, v(cid:238)i
b§t k(cid:253) t m(cid:160) ce|t| > 1, ta c(cid:226) hj(t) → ∞. Suy ra
inf l ˜D(u, v) ≤ (ce)−1. lim u→∞ v→0
Cho c → 1 ta c(cid:226)
inf l ˜D(u, v) ≤ (e)−1. lim u→∞ v→0
Suy ra ∞ kh(cid:230)ng l(cid:160) t- (cid:31)i”m tr¶n D.
Ch(cid:243) (cid:254) 2.5.1. Gi(cid:238)i h⁄n cuŁi c(cid:242)ng b‹ng e−1.
1 → 0 v(cid:160)
Th“t v“y, n‚u ˜D ⊃ ((zj, wj))j → ∞, th… d„ th§y r‹ng zj
2| ≥ e−1. V… D ⊂ ∆2 n¶n n‚u
|zj lim inf j→∞
((ˆzj, ˆwj))j → 0, th…
j→∞
lD(zj, ˆzj) l ˜D((zj, wj), (ˆzj, ˆwj))j ≥ lim inf lim inf j→∞
l∆2(zj, ˆzj) ≥ lim inf j→∞
2| ≥ e−1.
|zj = lim inf j→∞
M»nh (cid:31)• ti‚p theo ch¿ ra mºt (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” mºt mi•n Hartogs
35
l(cid:160) taut (si¶u l(cid:231)i). Ta c(cid:226) m»nh (cid:31)• sau:
M»nh (cid:31)• 2.5.2. [6] Mºt mi•n Hartogs D l(cid:160) taut (si¶u l(cid:231)i) n‚u v(cid:160) ch¿
n‚u G l(cid:160) taut (si¶u l(cid:231)i) v(cid:160) log h l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i li¶n t(cid:246)c, (cid:240)
(cid:31)¥y
log h−1(−∞) = G × {0}.
Chøng minh. ⇐) Gi£ sß h c(cid:226) c¡c t‰nh ch§t nh(cid:247) ti¶n. Gi£ sß G l(cid:160) si¶u
l(cid:231)i, tøc l(cid:160) n(cid:226) nh“n mºt h(cid:160)m v†t c⁄n (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i kh(cid:230)ng ¥m ϕ.
G(cid:229)i ˜ϕ(z, w) := ϕ(z) l(cid:160) m(cid:240) rºng tƒm th(cid:247)(cid:237)ng cıa ϕ t(cid:238)i D; d„ th§y r‹ng
max{ ˜ϕ, log h} l(cid:160) mºt h(cid:160)m m(cid:240) rºng (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ¥m cıa D, suy ra D
l(cid:160) si¶u l(cid:231)i.
Gi£ sß G l(cid:160) taut v(cid:160) t(cid:231)n t⁄i mºt d¢y {fi} ∈ Hol(∆, D) sao cho h(cid:226) kh(cid:230)ng
j → f (cid:48) ∈ Hol(∆, D).
ph¥n k(cid:253) compact. Khi (cid:31)(cid:226) ta gi£ thi‚t r‹ng f (cid:48)
∞ (cid:91)
(cid:30)(cid:176)c bi»t, v(cid:238)i b§t k(cid:253) r ∈ (0, 1),
j(r∆) := Kr ⊂⊂ D.
j=1
f (cid:48)
j }j, l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)•u tr¶n r∆.
V… h > 0 n¶n {f (cid:48)(cid:48) inf Kr×S
j → f (cid:48)(cid:48) ∈ Hol(∆, Cn).
Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Montel ta c(cid:226) th” gi£ sß r‹ng f (cid:48)(cid:48)
(cid:30)(cid:176)t f := (f (cid:48), f (cid:48)(cid:48)). Do f (cid:48)(∆) ⊂ G v(cid:160) do h li¶n t(cid:246)c, ta c(cid:226) h(f (t)) ≤ 1 v(cid:238)i
b§t k(cid:253) t ∈ ∆.
Theo nguy¶n l(cid:254) c(cid:252)c (cid:31)⁄i ta c(cid:226) ho(cid:176)c h ◦ f < 1 ho(cid:176)c h ◦ f ≡ 1, tøc l(cid:160) ho(cid:176)c
f (∆) ⊂ D ho(cid:176)c f (∆) ∈ ∂D.
⇒) (cid:30)” chøng minh ta ch(cid:243) (cid:254) r‹ng n‚u D l(cid:160) gi£ l(cid:231)i v(cid:160) l(cid:160) hyperbolic, th…
log h l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) h > 0 tr¶n G × S.
H(cid:236)n nœa, ta th§y tł t‰nh taut (t‰nh hyperbolic) cıa D k†o theo t‰nh
taut (t‰nh hyperbolic) cıa G.
B¥y gi(cid:237) ta gi£ sß r‹ng h l(cid:160) kh(cid:230)ng li¶n t(cid:246)c t⁄i (cid:31)i”m a ∈ D.
36
Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) th” t…m (cid:31)(cid:247)æc mºt d¢y {aj} ⊂ D v(cid:160) r > 1 sao cho aj → a khi
j → ∞ v(cid:160) (h(a))−1 < r ≤ (h(aj))−1 v(cid:238)i m(cid:229)i j.
j, ra(cid:48)(cid:48)
Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng c¡c (cid:31)(cid:190)a fj(t) := (a(cid:48)
j, ra(cid:48)(cid:48)
j t) thuºc Hol(∆, D). M(cid:176)t kh¡c, v(cid:238)i j t) ta c(cid:226) f (0) ∈ D v(cid:160) f ((h(a)r)−1) ∈ ∂D. (cid:30)i•u
(cid:31)(cid:190)a gi(cid:238)i h⁄n fj(t) := (a(cid:48)
n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i t‰nh taut (t‰nh si¶u l(cid:231)i) cıa D.
37
V“y ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.
K(cid:152)T LU(cid:138)N
Lu“n v«n "T‰nh si¶u l(cid:231)i, t‰nh taut v(cid:160) t‰nh k - (cid:31)ƒy cıa c¡c t“p
m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n trong Cn" (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc c¡c k‚t qu£ sau:
1. Tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ kh¡i ni»m v(cid:160) t‰nh ch§t li¶n quan nh(cid:247): ¡nh x⁄ ch¿nh
h…nh, (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Ascoli, h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i, h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i, h(cid:160)m
(cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i peak v(cid:160) antipeak, gi£ kho£ng c¡ch kobayashi, t‰nh
hyperbolic cıa mºt mi•n,. . .
2. Tr…nh b(cid:160)y v• kh¡i ni»m v(cid:160) chøng minh c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) v• t‰nh si•u l(cid:231)i,
t‰nh k- (cid:31)ƒy, t‰nh hyperbolic v(cid:160) t‰nh taut cıa mºt t“p m(cid:240) kh(cid:230)ng b(cid:224)
ch(cid:176)n trong Cn.
3. Nghi¶n cøu v• t‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mºt mi•n trong Cn qua s(cid:252) t(cid:231)n
t⁄i cıa c¡c h(cid:160)m ch¿nh h…nh peak (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng t⁄i mØi (cid:31)i”m bi¶n v(cid:160) t⁄i
(cid:31)i”m ∞ cıa mi•n v(cid:160) mŁi li¶n h» giœa t‰nh taut (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) t‰nh
taut to(cid:160)n c(cid:246)c cıa mi•n trong Cn.
4. Tr…nh b(cid:160)y v• t‰nh hyperbolic cıa mi•n Harstogs v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160)
38
(cid:31)ı (cid:31)” mºt mi•n Hartogs l(cid:160) taut (si¶u l(cid:231)i).
T(cid:160)i li»u tham kh£o
[1] Gaussier H. (1999), "Tautness and complete hyperbolicity of domains
in Cn", Proc. Amer. Math. Soc, 127, pp. 105-116.
[2] Jarnicki M. and Flug P. P. (1993), "Invariant Distances and Metrics in
Complex Analysis", De Gruyter Exp. Math., vol. 9, Walter de Gruyter,
Berlin.
[3] Jarnicki M. and Flug P. P. (2005), "Invariant Distances and metrics in
Complex Analysis- revisited", Dissertationes Math. 430, 1-192.
[4] Kerzman N. and Rosay J. P. (1981), "Fonctions plurisousharmoniques
d’exhaustion borne’es et domaines taut", Math. Ann 257, 171-184.
[5] Kobayashi S. (1998), "Hyperbolic complex spaces", Grundleheren
Math. Wiss., vol. 318, Springer - Verlag, Berlin.
[6] Nikolov N. and Flug P. P. (2005), "Local vs. global hyperconvexity,
tautness or k - completeness for unbounded open sets in Cn", Ann,
Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 5 Vol IV, 601-618.
[7] Royden H. L. (1971), "Remarks on the Kobayashi metric", Lect. Notes
in Math. 185, Springer, Berlin, pp.125 - 137.
[8] Thai D. D. and Trang P. N. T. (2004), "Tautness of locally taut do-
39
mains in complex spaces", Ann, Polon. Math, 83, 141-148. .
