Luận văn Thạc sĩ toán học: Về một phương pháp giải toán sơ cấp

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

482
lượt xem 153
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình học cấp THPT số phức được đưa vào giảng dạy ở phần giải tích toán lớp 12. Toàn bộ phần số phức mới chỉ đưa ra định nghĩa số phức và một vài tíh chất đơn giản của nó. Trong chương trình học cấp THPT số phức được đưa vào giảng dạy ở phần giải tích toán lớp 12.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ toán học: Về một phương pháp giải toán sơ cấp

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C Bùi Đ c Dương V M T PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN SƠ C P Chuyên ngành:Phương Pháp Toán Sơ C p Mã s : 60 46 0113 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c GS.TSKH. Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 L i c m ơn Lu n văn đư c th c hi n và hoàn thành t i trư ng Đ i h c Khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên dư i s hư ng d n khoa h c c a GS. TSKH. Hà Huy Khoái. Qua đây, tác gi xin đư c g i l i c m ơn sâu s c đ n th y giáo, ngư i hư ng d n khoa h c c a mình, GS.TSKH. Hà Huy Khoái, ngư i đã đưa ra đ tài và t n tình hư ng d n trong su t quá trình nghiên c u c a tác gi . Đ ng th i tác gi cũng chân thành c m ơn các th y cô trong khoa Toán - Tin h c trư ng Đ i h c Khoa h c, Đ i h c Thái Nguyên, đã t o m i đi u ki n cho tác gi v tài li u và th t c hành chính đ tác gi hoàn thành b n lu n văn này. Tác gi cũng g i l i c m ơn đ n gia đình, BGH trư ng THPT Yên Th y B-Yên Th y-Hòa Bình và các b n trong l p Cao h c K4, đã đ ng viên giúp đ tác gi trong quá trình h c t p và làm lu n văn. 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 M cl c M đ u 3 1 Đ nh nghĩa và tính ch t c a s ph c 5 1.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tính ch t s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Các tính ch t liên quan đ n phép c ng . . . . . . . 6 1.2.2 Các tính ch t liên quan đ n phép nhân . . . . . . . 6 1.3 D ng đ i s c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Đ nh nghĩa và tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Gi i phương trình b c hai . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Ý nghĩa hình h c c a các s ph c và modun . . . . 12 1.3.4 Ý nghĩa hình h c c a các phép toán đ i s . . . . . 13 1.4 D ng lư ng giác c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 T a đ c c trong m t ph ng . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 T a đ c c c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3 Các phép toán s ph c trong t a đ c c . . . . . . 16 1.4.4 Ý nghĩa hình h c c a phép nhân . . . . . . . . . . 17 1.4.5 Căn b c n c a đơn v . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 S d ng s ph c trong gi i toán sơ c p 25 2.1 S ph c và các bài toán hình h c . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 M t vài khái ni m và tính ch t . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Đi u ki n th ng hàng , vuông góc và cùng thu c m t đư ng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.3 Tam giác đ ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.4 Tam giác đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 2.1.5 Hình h c gi i tích v i s ph c . . . . . . . . . . . . 35 2.1.6 Tích th c c a hai s ph c . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.7 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 S ph c và các bài toán đ i s , lư ng giác . . . . . . . . . 45 2.2.1 Các bài toán lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.2 Các bài toán đ i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.3 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3 S ph c và các bài toán t h p . . . . . . . . . . . . . . . 55 K t lu n 62 Tài li u tham kh o 63 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 M Đ U 1. Lí do ch n đ tài Trong chương trình toán h c c p THPT s ph c đư c đưa vào gi ng d y ph n gi i tích toán l p 12. Toàn b ph n s ph c m i ch đưa ra đ nh nghĩa s ph c và m t vài tính ch t đơn gi n c a nó. ng d ng s ph c trong gi i toán m i ch d ng l i m t vài bài t p hình h c đơn gi n. Nh m giúp các em h c sinh khá gi i có cái nhìn toàn di n hơn v s ph c, đ c bi t s d ng s ph c đ gi i m t s bài toán sơ c p: hình h c, đ i s , t h p, lư ng giác nên tôi đã ch n đ tài lu n văn: V m t phương pháp gi i toán sơ c p. 2. M c đích nghiên c u H th ng hóa các d ng bài t p hình h c, đ i s , t h p, lư ng giác đư c gi i b ng phương pháp s ph c đ ng th i n m đư c m t s kĩ thu t tính toán liên quan. 3. Nhi m v đ tài Đưa ra đ nh nghĩa và tính ch t c a s phưc. Đ c bi t s d ng s ph c đ gi i m t s d ng toán: hình h c, đ i s , t h p, lư ng giác. 4. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u Nghiên c u các bài toán hình h c, đ i s , t h p, lư ng giác trên t p h p s ph c và các ng d ng liên quan. Nghiên c u các tài li u b i dư ng h c sinh gi i, k y u h i th o chuyên toán, t sách chuyên toán... 5. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n c a đ tài T o đư c m t đ tài phù h p cho vi c gi ng d y, b i dư ng h c sinh trung h c ph thông. Đ tài đóng góp thi t th c cho vi c h c và d y các chuyên đ toán trong trư ng THPT, đem l i ni m đam mê sáng t o trong vi c d y và h c toán. 6. C u trúc lu n văn Lu n văn g m 3 chương Chương 1: Đ nh nghĩa và tính ch t c a s ph c Chương 2: Các d ng bi u di n s ph c Chương 3: S d ng s ph c trong gi i toán sơ c p 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 Do th i gian và kh i lư ng ki n th c l n, ch c ch n b n lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót, tác gi r t mong nh n đư c s ch b o t n tình c a các th y cô và b n bè đ ng nghi p, tác gi xin chân thành c m ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác gi 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 Chương 1 Đ nh nghĩa và tính ch t c a s ph c 1.1 Đ nh nghĩa Gi thi t ta đã bi t đ nh nghĩa và các tính ch t cơ b n c a t p s th c R Ta xét t p h p R2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R } . Hai ph n t (x1 , y1 ) và (x2 , y2 ) b ng nhau khi và ch khi x1 = x2 y1 = y 2 Các phép toán c ng và nhân đư c đ nh nghĩa trên R2 như sau : z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 . và z1 .z2 = (x1 , y1 ) . (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 . v i m i z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 và z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 . Ph n t z1 + z2 g i là t ng c a z1 , z2 , ph n t z1 .z2 ∈ R2 g i là tích c a z1 , z2 . Nh n xét 1) N u z1 = (x1 , 0) ∈ R2 và z2 = (x2 , 0) ∈ R2 thì z1 z2 = (x1 x2 , 0). 2))N u z1 = (0, y1 ) ∈ R2 và z2 = (0, y2 ) ∈ R2 thì z1 z2 = (−y1 y2 , 0). Đ nh nghĩa 1.1.1. T p h p R2 cùng v i phép c ng và nhân g i là t p s ph c, kí hi u C. M i ph n t z = (x, y) ∈ C đư c g i là m t s ph c. Kí hi u C∗ đ ch t p h p C\ {(0, 0)} . 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 1.2 Tính ch t s ph c 1.2.1 Các tính ch t liên quan đ n phép c ng Phép c ng các s ph c th a mãn các đi u ki n sau đây Tính giao hoán : z1 + z2 = z2 + z1 v i m i z1 , z2 ∈ C. Tính k t h p :(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) v i m i z1 , z2 , z3 ∈ C. Ph n t đơn v : Có duy nh t m t s ph c 0 = (0, 0) ∈ C đ z + 0 = 0 + z v i m i z = (x, y) ∈ C. Ph n t đ i : M i s ph c z = (x, y) ∈ C có duy nh t s ph c −z = (−x, −y) ∈ C sao cho z + (−z) = (−z) + z = 0. 1.2.2 Các tính ch t liên quan đ n phép nhân Phép nhân các s ph c th a mãn các đi u ki n sau đây Tính giao hoán: z1 z2 = z2 z1 v i m i z1 , z2 ∈ C. Tính k t h p: (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) v i m i z1 , z2 , z3 ∈ C. Ph n t đơn v : Có duy nh t s ph c 1 = (1, 0) ∈ C th a mãn z.1 = 1.z = z . S ph c 1 = (1, 0) g i là ph n t đơn v v i m i z ∈ C. Ph n t ngh ch đ o:M i s ph c z = (x, y) ∈ C,z = 0 có duy nh t s ph c z −1 = (x, , y , ) ∈ C sao cho z.z −1 = z −1 z = 1 s ph c z −1 = (x, , y , ) g i là ph n t ngh ch đ o c a s ph c z = (x, y) ∈ C. Lũy th a v i s mũ nguyên c a s ph c z ∈ C∗ đư c đ nh nghĩa như sau z 0 = 1 ; z 1 = z ; z 2 = z.z ,và z n = z.z...z v i m i s nguyên n > 0 n lâ n n −1 −n và z = (z ) v i m i s nguyên n < 0. M i s ph c z1 , z2 , z3 ∈ C∗ và m i s nguyên m, n ta có các tính ch t sau 1) z m .z n = z m+n ; zm 2) n = z m−n ; z 3) (z m )n = z mn ; 4) (z1 z2 )n = z1 z2 ; n n z1 n z1 n 5) = n; z2 z2 Khi z = 0 ta đ nh nghĩa 0n = 0 v i m i s nguyên n > 0. 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 Tính phân ph i : z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 v i m i z1 , z2 , z3 ∈ C∗ . Trên đây là nh ng tính ch t c a phép c ng và phép nhân,th y r ng t p h p C các s ph c cùng v i các phép toán trên l p thành m t trư ng. 1.3 D ng đ i s c a s ph c 1.3.1 Đ nh nghĩa và tính ch t M i s ph c đư c bi u di n như m t c p s s p th t , nên khi th c hi n các bi n đ i đ i s thư ng không đư c thu n l i. Đó là lí do đ tìm d ng khác khi vi t Ta s đưa vào d ng bi u di n đ i s m i. Xét t p h p R × {0} cùng v i phép toán c ng và nhân đư c đ nh nghĩa trên R2 . Hàm s f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) là m t song ánh và ngoài ra (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0).(y, 0) = (xy, 0). Ngư i đ c s không sai l m n u chú ý r ng các phép toán đ i s trên R × {0} đ ng nh t v i các phép toán trên R; vì th chúng ta có th đ ng nh t c p s (x, 0) v i s x, v i m i x ∈ R. Ta s d ng song ánh trên và kí hi u (x, 0) = x. Xét i = (0, 1) ta có z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0) T trên ta có m nh đ M nh đ 1.3.1. M i s ph c z = (x, y) có th bi u di n duy nh t dư i d ng z = x + yi V i x, y ∈ R. H th c i2 = −1 đư c suy ra t đ nh nghĩa phép nhân i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 Bi u th c x + yi đư c g i là bi u di n đ i s (d ng) c a s ph c z = (x, y). Vì th ta có th vi t C = x + yi |x ∈ R, y ∈ R , i2 = −1 . T gi ta kí hi u z = (x, y) b i z = x + yi. S th c x = Re(z) đư c g i là ph n th c c a s ph c z, y = Im(z) đư c g i là ph n o c a z . S ph c có d ng yi , y ∈ R∗ g i là s thu n o, s phưc i g i là s đơn v o. T các h th c trên ta d dàng có các k t qu sau: a) z1 = z2 khi và ch khi Re(z1 ) = Re(z2 ) và Im(z1 ) = Im(z2 ). b) z ∈ R khi và ch khi Im(z) = 0. c) z ∈ C\R khi và ch khi Im(z) = 0. S d ng d ng đ i s , các phép toán v s ph c đư c th c hi n như sau: Phép c ng z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i ∈ C. D th y t ng hai s ph c là m t s ph c có ph n th c là t ng các ph n th c, có ph n o là t ng các ph n o: Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ); Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ). Phép tr z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i ∈ C. Ta có Re(z1 − z2 ) = Re(z1 ) − Re(z2 ); Im(z1 − z2 ) = Im(z1 ) − Im(z2 ). Phép nhân z1 .z2 = (x1 + y1 i).(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) i ∈ C. Ta có Re(z1 z2 ) = Re(z1 ) Re(z2 ) − Im(z1 ) Im(z2 ); Im(z1 z2 ) = Im(z1 ) Re(z2 ) + Im(z2 ) Re(z1 ). M i s th c λ, s ph c z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C là tích c a m t s th c v i m t s ph c. Ta có các tính ch t sau 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 1) λ(z1 + z2 ) = λz1 + λz2 ; 2) λ1 (λ2 z) = (λ1 λ2 )z; 3)(λ1 + λ2 )z = λ1 z + λ2 z. Lũy th a c a s i Các công th c cho s ph c v i lũy th a là s nguyên đư c b o toàn đ i v i d ng đ i s z = x + yi. Xét z = i, ta thu đư c i0 = 1 ; i1 = i ; i2 = −1 ; i3 = i2 .i = −i i4 = i3 .i = 1; i5 = i4 .i = i ; i6 = i5 .i = −1; i7 = i6 .i = −i Ta có th t ng quát các công th c trên đ i v i s mũ nguyên dương n i4n = 1 ; i4n+1 = i ; i4n+2 = −1 ; i4n+3 = −i Vì th in ∈ {−1 , 1 , −i , i} v i m i s nguyên n 0. N u n là s nguyên âm ta có: −n −1 −n 1 i n = i = = (−i)−n . i S ph c liên h p M i s ph c z = x + yi đ u có s ph c z = x − yi, s ph c đó đư c g i là s ph c liên h p ho c s ph c liên h p c a s ph c z. M nh đ 1.3.2. 1) H th c z = z đúng khi và ch khi z ∈ R; 2)M i s ph c z ta luôn có đ ng th c z = z; 3)M i s ph c z ta luôn có z.z là m t s th c không âm ; 4)z1 + z2 = z1 + z2 (s ph c liên h p c a m t t ng b ng t ng các s ph c liên h p); 5)z1 .z2 = z1 .z2 (s ph c liên h p c a m t tích b ng tích các s ph c liên h p); 6)M i s ph c z khác 0 đ ng th c sau luôn đúng z −1 = z −1 ; 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 z1 z1 7) = , z2 = 0 (liên h p c a m t thương b ng thương các liên z2 z2 h p); z+z z−z 8)Công th c Re(z) = và Im(z) = , đúng v i m i s ph c 2 2i z ∈ C. Ghi chú a) ph n t ngh ch đ o c a s ph c z ∈ C∗ có th đư c tính như sau 1 z x − yi x y = = 2 = 2 − 2 i. z z.z x + y2 x + y2 x + y2 b) S ph c liên h p đư c s d ng trong vi c tìm thương c a hai s ph c như sau: z1 z1 .z2 (x1 + y1 i) (x2 − y2 i) x1 x2 + y1 y2 −x1 y2 + x2 y1 = = 2 + y2 = + i. z2 z2 z2 x2 2 x2 + y2 2 2 x 2 + y2 2 2 Modun c a s ph c S |z| = x2 + y 2 đư c g i là modun c a s ph c z = x + yi. M nh đ 1.3.3. 1) − |z| Re(z) |z| và − |z| Im(z) |z|; 2) |z| 0 , ∀ z ∈ C,ngoài ra |z| = 0 khi và ch khi z = 0; 3) |z| = |−z| = |z|; 4) z.z = |z|2 ; 5)|z1 z2 | = |z1 | . |z2 | (mô đun c a m t tích b ng tích các mô đun); 6) |z1 | − |z2 | |z1 + z2 | |z1 | + |z2 |; −1 −1 7) z = |z| , z = 0; z1 |z1 | 8) = , z2 = 0 (mô đun c a m t tích b ng tích các mô đun); z2 |z2 | 9)|z1 | − |z2 | |z1 − z2 | |z1 | + |z2 | . 1.3.2 Gi i phương trình b c hai Bây gi chúng ta có th gi i phương trình b c hai v i h s th c: ax2 + bx + c = 0 , a = 0 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 trong trư ng h p bi t th c ∆ = b2 − 4ac nh n giá tr âm. B ng cách bi n đ i, d dàng đưa phương trình v d ng tương đương sau b 2 −∆ a x+ + 2 = 0. 2a 4a Do đó √ 2 2 b 2 −∆ x+ −i = 0. 2a 2a Vì th √ √ −b + i −∆ −b − i −∆ x1 = , x2 = . 2a 2a Các nghi m trên là các s ph c liên h p c a nhau và ta có th phân tích thành th a s như sau ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) . Bây gi chúng ta xét phương trình b c hai t ng quát v i h s ph c az 2 + bz + c = 0 , a=0 S d ng các bi n đ i đ i s như trư ng h p phương trình b c hai v i h s th c ta đư c: b 2 −∆ a z+ + 2 = 0. 2a 4a Đ ng th c trên tương đương v i 2 b ∆ z+ = 2a 4a2 ho c (2az + b)2 = ∆. V i ∆ = b2 − 4ac cũng đư c g i là bi t th c c a phương trình b c hai. Đ t y = 2az + b phương trình trên đư c rút g n v d ng y 2 = ∆ = u + vi 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 v i u,v là các s th c Phương trình trên có l i gi i r+u r−u y1,2 = ± + (sgn v) i , 2 2 V i r = |∆| ,và sgnv là d u c a s th c v Nghi m ban đ u c a phương trình là: 1 z1,2 = (−b + y1,2 ) . 2a Ta có m i liên h gi a các nghi m và h s : b c z1 + z2 = − , z1 .z2 = . a a Khi phân tích ra th a s az 2 + bz + c = a (z − z1 ) (z − z2 ). Như v y các tính ch t trên đư c b o toàn khi các h s c a phương trình thu c trư ng s ph c C. 1.3.3 Ý nghĩa hình h c c a các s ph c và modun Ý nghĩa hình h c c a s ph c Chúng ta đ nh nghĩa s ph c z = (x, y) = x + yi là m t c p s th c s p th t (x, y) ∈ R × R, vì th hoàn toàn t nhiên khi xem m i s ph c z = x + yi là m t đi m M (x, y) trong không gian R × R. Xét P là t p h p các đi m c a không gian v i h tr c t a đ xOy và song ánh φ : C → P , φ (z) = M (x, y) . Đi m M (x; y)đư c g i là d ng hình h c c a s ph c z = x + yi. S ph c z = x + yi đư c g i là t a đ ph c c a đi m M (x; y). Chúng ta kí hi u M (z) đ ch t a đ ph c c a đi mM là s ph c z. D ng hình h c c a s ph c liên h p z c a sô ph c z = x + yi là đi m M (x, −y) đ i x ng v i M (x, y) qua truc t a đ Ox. 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 D ng hình h c c a s đ i -z c a s ph c z = x+yi là đi m M (−x, −y) đ i x ng v i M (x, y) qua g c t a đ . Song ánh φ t t p R lên tr c Ox ta g i là tr c th c, lên tr c Oy ta g i là tr c o. Không gian cùng v i các đi m đư c đ ng nh t v i s ph c g i là không gian ph c. −→ − Ta cũng có th đ ng nh t các s ph c z = x + yi v i véc tơ → = OM −v , v i M (x, y) là d ng hình h c c a s ph c z. G i V0 là t p h p các véc tơ có đi m g c là g c t a đ O. Ta có th đ nh −→ − → − → − → → − − nghĩa song ánh φ : C → V0 , φ (z) = OM = x i + y j , v i i , j là các véc tơ đơn v trên tr c t a đ Ox, Oy. Ý nghĩa hình h c c a modun Xét s ph c z = x + yi bi u di n hình h c trong m t ph ng làM (x, y). Kho ng cách Ơclit OM cho b i công th c OM =(xM − xO )2 + (yM − yO )2 . Vì th OM = x2 + y 2 = |z| = |→| mô đun |z| c a s ph c z = x + yi − v → − → − là đ dài c a đo n th ng OM ho c là đ l n c a véc tơ → = x i + y j . − v Chú ý a) M i s th c dương r, t p h p các s ph c có mô đun r tương đương v i đư ng trònC (O; r) tâm O bán kính r trong m t ph ng. b) Các s ph c z v i |z| < r là các đi m n m bên trong đư ng tròn C(O; r). Các s ph c z v i|z| > r là các đi m n m bên ngoài đư ng tròn C(O; r). 1.3.4 Ý nghĩa hình h c c a các phép toán đ i s a) Phép c ng và phép tr Xét hai s ph c z1 = x1 + y1 i và z2 = x2 + y2 i tương đương v i hai véc → = x → + y → và → = x → + y →. − tơ v1 − − − − − 1 i 2 j v2 2 i 2 j 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 T ng c a hai s ph c là z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) i. T ng hai véc tơ → + → = (x + x ) → + (y + y ) →. − − v1 v2 − − 1 2 i 1 2 j Vì th z1 + z2 tương đương v i → + →. − − v1 v2 Hoàn toàn tương t đ i v i phép tr Hi u c a hai s ph c là z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) i. Hi u hai véc tơ → − → = (x − x ) → + (y − y ) →. − − v1 v2 − − 1 2 i 1 2 j Vì th z1 − z2 tương đương v i → − →. − − v1 v2 Chú ý Kho ng cách gi a M1 (x1 , y1 ) và M2 (x2 , y2 ) b ng mô đun c a s ph c z1 − z2 ho c đ dài c a véc tơ → − →. V y : − − v1 v2 M1 M2 = |z1 − z2 | = |→ − →| = − − v1 v2 (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . b) Tích c a s th c và s ph c → − → − Xét s ph c z = x + yi tương đương v i véc tơ → = x i + y j . N u −v λ là s th c , thì tích s th c λz = λx + λyi tương đương v i véc tơ − → → − → − λv = λx i + λy j . − → Chú ý: N u λ > 0 thì véc tơ λv và → cùng hư ng và |λ→| = λ |→|, −v −v −v − → → ngư c hư ng và |λ→| = −λ |→|. T t nhiên − − − n u λ < 0 thì véc tơ λv và v v v → = →. − λ = 0 thì λ v − 0 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 1.4 D ng lư ng giác c a s ph c 1.4.1 T a đ c c trong m t ph ng Xét m t ph ng t a đ v i M (x, y) không trùng g c t a đ . S th c r = x2 + y 2 g i là bán kính c c c a đi m M . Góc đ nh hư ng t∗ ∈ [0, 2π) −→ − gi a véc tơ OM v i chi u dương c a tr c t a đ Ox g i là argumen c c c a đi m M . C p s (r, t∗ ) g i là t a đ c c c a đi m M . Ta s vi t M (r, t∗ ). Chú ý hàm s h : R × R\ {(0, 0)} → (0, ∞) x [0, 2π) , h ((x, y)) = (r, t∗ ) là song ánh. G c t a đ O là đi m duy nh t sao cho r = 0 , argumen t∗ c a g c không đư c đ nh nghĩa. M i đi m M trong m t ph ng , có duy nh t giao đi m P c a tia v i đư ng tròn đơn v g c O. Đi m P gi ng như argument c c t∗ . S d ng đ nh nghĩa hàm sin và cos ta có x = r cos t∗ , y = r sin t∗ . Vì th ta d dàng có t a đ Đ Các c a m t đi m t t a đ c c Ngư c l i, xét đi m M (x, y). Bán kính c c là r = x2 + y 2 . Ta xác đ nh argument c c trong các trư ng h p sau y a)N u x = 0 , t tan t∗ = ta suy ra x y t∗ = arctan + kπ x V i  0 khi x > 0 , y 0   k = 1 khi x < 0 , y ∈ R  2 khi x > 0 , y < 0  b)N u x = 0 và y = 0 thì π  khi y > 0 2  ∗ t = 3π   khi y < 0 2 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 1.4.2 T a đ c c c a s ph c M i s ph c z = x + yi ta có th vi t dư i d ng c c z = r (cos t∗ + i sin t∗ ) , v i r ∈ [0, ∞) và t∗ ∈ [0, 2π) đó là t a đ c c d ng hình h c c a s ph c z. Argument c c c a d ng hình h c c a s ph c z đư c g i là argument c a z , kí hi u là arg z . Bán kính c c c a d ng hình h c c a s ph c z b ng mô đun cua z . Khi z = 0 mô đun và argument c a z đư c xác đ nh m t cách duy nh t. Xét z = r (cos t∗ + i sin t∗ ) và t = t∗ + 2kπ v i k là s nguyên thì z = r (cos (t − 2kπ) + i sin (t − 2kπ)) = r (cos t + i sin t) . M i s ph c z có th bi u di n như z = r (cos t + i sin t) v i r 0 và ∗ t ∈ R. T p h p Arg z = {t = t + 2kπ , k ∈ Z} đư c g i là arguent m r ng c a s ph c z. Vì th , hai s ph c z1 , z2 = 0 có d ng z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) v à z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 ) b ng nhau khi và ch khi r1 = r2 v à t1 − t2 = 2kπ , v i k là s nguyên. Chú ý Các d ng sau nên nh π π 1 = cos0 + i sin 0 , i = cos + i sin 2 2 3π 3π −1 = cosπ + i sin π , −i = cos + i sin . 2 2 1.4.3 Các phép toán s ph c trong t a đ c c Phép nhân Gi s r ng z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) v à z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 ) thì z1 z2 = r1 r2 (cos (t1 + t2 ) + i sin (t1 + t2 )) . 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 Lũy th a c a m t s ph c (De moirve) Cho z = r (cos t + i sin t) , n ∈ N, ta có z n = rn (cos nt + i sin nt) . Phép chia Gi s r ng z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) v à z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 ) thì z1 r1 = (cos (t1 − t2 ) + i sin (t1 − t2 )) . z2 r2 1.4.4 Ý nghĩa hình h c c a phép nhân Xét z1 = r1 (cos t∗ + i sin t∗ ) 1 1 và z2 = r2 (cos t∗ + i sin t∗ ) . 2 2 Bi u di n hình h c c a chúng là M1 (r1 , t∗ ) , M2 (r2 , t∗ ). G i P1 , P2 l n 1 2 lư t là giao đi m c a C(O, 1) v i các tia (OM1 và (OM2 . L y P3 ∈ C(O, 1) v i argument c c là t∗ +t∗ v à ch n M3 ∈ (OP3 sao cho OM3 = OM1 .OM2 . 1 2 L y z3 có t a đ M3 . Đi m M3 (r1 r2 , t∗ + t∗ ) là d ng hình h c z1 .z2 1 2 L y A là d ng hình h c c a s ph c 1 . Vì OM3 OM2 OM3 OM2 = ⇔ = OM1 1 OM2 OA và M2 OM3 = AOM1 nên hai tam giác M2 OM3 và AOM1 đ ng d ng. Khi bi u di n d ng hình h c c a m t thương chú ý r ng d ng hình h c z3 c a là đi m M1 . z2 1.4.5 Căn b c n c a đơn v Cho s nguyên dương n 2 và s ph c z0 = 0, gi ng như trên trư ng s th c, phương trình Z n − z0 = 0 19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18 đư c s d ng đ nh nghĩa căn b c n c a s z0 . Vì v y m i m t giá tr Z th a mãn phương trình trên là m t căn b c n c a z0 . Đ nh lý 1.4.1. Cho z0 = r (cos t∗ + i sin t∗ ) là s ph c v i r > 0 và t∗ ∈ [0, 2π) S ph c z0 có n căn b c n phân bi t cho b i công th c √ n t∗ + 2kπ t∗ + 2kπ Zk = r cos + i sin n n v i k = 0, n − 1. Ch ng minh:S d ng d ng c c c a s ph c v i argument xác đ nh Z = ρ (cosφ + i sin φ) . Theo đ nh nghĩa Z n = z0 hay ρn (cosnφ + i sin nφ) = r (cos t∗ + i sin t∗ ) . √ Ta có ρn = r và nφ = t∗ + 2kπ v i k ∈ Z . Vì th ρ = n r và t∗ 2π φk = + k. v i k ∈ Z. Do đó nghi m c a (1) là n n √ n t∗ + 2kπ t∗ + 2kπ Zk = r cos + i sin n n v i k ∈ Z. Nh n th y r ng 0 φ0 < φ1 ... < φn−1 , vì th các s φk , k ∈ {0, 1...., n − 1} chính là các argument và φ∗ = φk . Ta có n giá tr căn phân k bi t c a z0 :Z0 , Z1 , ...., Zn−1 . Cho k là s nguyên và r ∈ {0, 1, ..., n − 1}, thì r đ ng dư v i k theo modn. Khi đó k = nq + r ∈ Z và t∗ 2π t∗ 2π φk = + (nq + r) = + r + 2qπ = φr + 2qπ. n n n n Nh n th y Zk = Zr do đó {Zk : k ∈ Z} = {Z0 , Z1 , ..., Zn−1 } . V y có chính xác n giá tr phân bi t c a căn b c n. Bi u di n hình h c các giá tr c a căn b c n là các đ nh c a m t n giác √ đ u n i ti p trong đương tròn có tâm là g c t a đ , bán kính là n r. 20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn