Luận văn Thạc sĩ Toán ứng dụng: Bài toán Sturm-Liouville ngược

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn "Bài toán Sturm-Liouville ngược" được hoàn thành với mục tiêu nhằm trình bày những kiến thức cơ bản về không gian L 2 và các bất đẳng thức, định nghĩa thặng dư, nguyên lý cực đại, phương trình tích phân Volterra; y tập trung vào việc giới thiệu công thức tiệm cận của các giá trị riêng trong bài toán Sturm-Liouville, phân tích tính chất của các hàm riêng tương ứng, xem xét toán tử biến đổi, và nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của bài toán ngược.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán ứng dụng: Bài toán Sturm-Liouville ngược

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ———————————— NGUYỄN THỊ DUNG BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN ỨNG DỤNG HÀ NỘI - 2023
MỤC LỤC MỞ ĐẦU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. Không gian L2 và các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Định nghĩa thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE NGƯỢC . . . . . . . . . . . 6 2.1. Công thức tiệm cận của giá trị riêng của bài toán Sturm-Liouville . . . . .6 2.2. Tính chất của các hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.2.1. Định lý về tính đầy đủ và định lý về khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2. Dao động của các hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Toán tử biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2.4. Tính duy nhất nghiệm của bài toán ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.1. Định lý Ambarzumian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2.4.2. Tính duy nhất của việc khôi phục các phương trình vi phân từ dữ liệu phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP GELFAND-LEVITAN . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2. Khôi phục các toán tử vi phân từ dữ liệu phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
KÝ HIỆU Ký hiệu Tên gọi R Tập hợp các số thực C Tập hợp các số phức Z+ Tập hợp các số nguyên không âm ∥·∥ Chuẩn của một vectơ hoặc ma trận C([c, d]) Không gian các hàm liên tục trên [c, d] C k ([c, d]) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục trên [c, d] Cc (Ω) Không gian các hàm liên tục và có giá compact trong Ω k Cc (Ω) Không gian các hàm khả vi liên tục k lần và có giá compact trong Ω ∞ Cc (Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω α Dt Đạo hàm Riemann-Liouville D(A) Miền của toán tử tuyến tính A X′ Không gian đối ngẫu của không gian Banach X A′ Toán tử tuyến tính đối ngẫu của toán tử tuyến tính A
1 MỞ ĐẦU Lý thuyết toán tử là một lĩnh vực quan trọng của Toán học. Ngày nay, nhiều ngành Khoa học như Vật lý, Khoa học dữ liệu,... đều liên quan đến lý thuyết toán tử. Trong số đó, bài toán Sturm-Liouville ngược là bài toán cổ điển của lý thuyết toán tử. ¨ Bài toán Sturm-Liouville ngược được nhà vật lý Viktor Ambarzumian (Uber Einige Fragen der Eigenwerttheorie. Z. Phys., 53 (1929), 690-695) đề xuất nghiên cứu vào năm 1928. Đó là bài toán xác định hàm thế vị qua phổ của toán tử. Bài toán này sau đó được G¨ran Borg (Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe. Bes- o timmung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte. Acta Math. 78 (1946), 1–96) nghiên cứu và kể từ đó tới nay có hàng ngàn bài báo và sách chuyên khảo viết về bài toán này. Bởi tầm quan trọng của toán tử Sturm-Liouville và được sự gợi ý, hướng dẫn của GS. TSKH. Đinh Nho Hào nên tôi đã thực hiện đề tài "Bài toán Sturm-Liouville" để hoàn thành luận văn tốt nghiệp cao học của mình. Luận văn bao gồm ba chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về không gian L2 và các bất đẳng thức, định nghĩa thặng dư, nguyên lý cực đại, phương trình tích phân Volterra. Chương 2: Bài toán Sturm-Liouville ngược. Chương này tập trung vào việc giới thiệu công thức tiệm cận của các giá trị riêng trong bài toán Sturm-Liouville, phân tích tính chất của các hàm riêng tương ứng, xem xét toán tử biến đổi, và nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của bài toán ngược. Chương 3: Phương pháp Gelfand-Levitan. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ và khôi phục các toán tử vi phân từ dữ liệu phổ.
2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi tổng hợp một số kiến thức hiện có về không gian Lebesgue L2 , định nghĩa thặng dư, nguyên lý cực đại, phương trình tích phân Volterra. 1.1. Không gian L2 và các bất đẳng thức Định nghĩa 1.1 (Không gian L2 [1]). Đối với tập Ω mở ra trong Rn , ta định nghĩa không gian L2 (Ω) là không gian các hàm g đo được trên Ω thỏa mãn điều kiện sau 1 2 2 ∥g∥L2 (Ω) = |g(t)| dt < ∞. Ω Ta định nghĩa không gian L∞ (Ω) là không gian các hàm g đo được trên Ω thỏa mãn điều kiện ∥g∥L∞ (Ω) = ess sup |g| < ∞, trong đó ess sup |g| := inf{M > 0 : µ(t ∈ Ω : |g(t)| > M ) = 0} với µ là độ đo Lebesgue. Trong không gian L2 , hai hàm được coi là đồng nhất khi chúng bằng nhau hầu khắp nơi. Định nghĩa 1.2 (Không gian L2 [1]). Giả sử Ω là tập mở trong Rn . Chúng ta định loc nghĩa không gian L2 (Ω) là không gian của các hàm g đo được trên Ω sao cho đối với loc mọi tập mở H nằm trong tập mở Ω, thì g ∈ L2 (H). Định lý 1.1 (Định lý hội tụ đơn điệu [1]). Giả sử Ω là tập mở trong Rd và {gn }∞ n=1 là một dãy hàm trong không gian L1 (Ω) thoả mãn (i) gh (t) ≤ gh+1 (t) h.k.n trong Ω với mọi h ∈ N. (ii) supn∈N g (t)dt Ω n < ∞. Khi đó gn (t) hội tụ h.k.n trong Ω khi n dần tới ∞. Ta đặt lim gn (t) = g(t), n→∞
3 h.k.n trong Ω thì hàm g thuộc vào L1 (Ω) và khi đó lim gn (t)dt = g(t)dt. n→∞ Ω Ω Định lý 1.2 (Định lý hội tụ chặn [1]). Giả sử Ω là tập mở trong Rd và {gn }∞ là n=1 một dãy hàm trong không gian L1 (Ω), thoả mãn (i) Hàm gn (t) tiến tới hàm g(t) h.k.n trong Ω khi n dần tới ∞. (ii) Tồn tại một hàm f thuộc vào L1 (Ω) sao cho |gn (t)| nhỏ hơn hoặc bằng f (t) h.k.n trong Ω với mọi n thuộc N. Khi đó, hàm g thuộc L1 (Ω) và giới hạn của g (t)dt Ω n khi n dần tới ∞ và Ω g(t)dt bằng nhau. Bổ đề 1.1 (Bổ đề Fatou [1]). Giả sử Ω là tập mở trong Rd và {gn }∞ là một dãy n=1 hàm trong không gian L1 (Ω), thoả mãn (i) Hàm gn (t) lớn hơn hoặc bằng 0 h.k.n trong Ω với mọi n thuộc N. (ii) supn∈N g (t)dt Ω n < ∞. Ta đặt lim inf gn (t) = g(t), n→∞ với hầu khắp t trong Ω. Khi đó, hàm g thuộc L1 (Ω) và g(t)dt ≤ lim inf gn (t)dt. Ω n→∞ Ω Định lý 1.3 (Định lý Fubini [1]). Với Ω1 là tập mở trong Rn và Ω2 là tập mở trong Rm và giả sử G thuộc không gian L1 (Ω1 × Ω2 ), thì đối với hầu hết các t trong Ω1 , G(t, z) ∈ L1 (Ω2 ) và z G(t, z)dz ∈ L1 (Ω1 ) . t Ω2 Tương tự như vậy, với hầu hết các z trong Ω2 , G(t, z) ∈ L1 (Ω1 ) và t G(t, z)dz ∈ L1 (Ω2 ) . z Ω1 Ta cũng có dt G(t, z)dz = dz G(t, z)dt = G(t, z)dtdz. Ω1 Ω2 Ω2 Ω1 Ω1 ×Ω2
4 Định lý 1.4 (Định lý Tonelli [1]). Giả sử Ω1 là tập mở trong Rn và Ω2 là tập mở trong Rm và giả sử G : Ω1 × Ω2 → R là một hàm đo được thoả mãn các điều kiện sau (i) Ω2 |G(t, z)|dz < ∞ với hầu khắp t trong Ω1 . (ii) Ω1 Ω2 |G(t, z)|dz dt < ∞. Khi đó G thuộc L1 (Ω1 × Ω2 ). Định lý 1.5 (Bất đẳng thức H¨lder [2]). Giả sử g thuộc không gian L2 (Ω) và f cũng o thuộc không gian L2 (Ω). Khi đó |g(t)f (t)|dt ≤ ∥g∥L2 (Ω) ∥f ∥L2 (Ω) . Ω Định nghĩa 1.3 (Định nghĩa tích chập [1]). Với g và f là các hàm đo được từ Rd vào R, chúng ta định nghĩa tích chập của g và f như sau: (g ∗ f )(t) := g(t − z)f (z)dz. Rd Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Young [1]). Giả sử g thuộc L2 (Rd ) và f thuộc Lq (Rd ) với 1 ≤ q ≤ ∞. Khi đó ta có g ∗ f thuộc Lr (Rd ) và ∥g ∗ f ∥Lr (Rd ) nhỏ hơn hoặc bằng 1 1 1 ∥g∥L2 (Rd ) ∥f ∥Lq (Rd ) , trong đó r = 2 + q − 1 ≥ 0. Mệnh đề 1.1 (xem Mệnh đề IV.19 trong [1]). Giả sử hàm g thuộc Cc (Rd ) (trong đó Cc (Rd ) là không gian các hàm liên tục và có giá compact trong Rd ) và hàm f thuộc L1 (Rd ). Khi đó (g ∗ f )(t) luôn được xác định với mọi t thuộc vào Rd và g ∗ f thuộc loc trong C(Rd ). Mệnh đề 1.2 (xem Mệnh đề IV.20 trong [1]). Giả sử g thuộc Cc (Rd ) với k thuộc N k và f thuộc L1 (Rd ). Khi đó (g ∗ f )(t) luôn được xác định với mọi t thuộc Rd và g ∗ f loc thuộc C(Rd ). Hơn nữa Dα (g ∗ f ) = (Dα g) ∗ f, với mọi α thuộc Zd sao cho |α| nhỏ hơn hoặc bằng k. + ∞ Hơn nữa, nếu g thuộc Cc (Rd ) và f thuộc L1 (Rd ) thì ta có g ∗ f cũng thuộc trong loc C ∞ (Rd ). Hệ quả 1.1 (xem Hệ quả IV.23 trong [1]). Giả sử Ω là một tập mở trong Rd thì ∞ Cc (Ω) là trù mật trong L2 (Ω). 1.2. Định nghĩa thặng dư Trong giải tích phức, thặng dư là một số phức tỷ lệ với tích phân đường của hàm phân hình dọc theo một đường cong kín bao quanh một điểm kì dị của nó.
5 Định nghĩa 1.4 (Định nghĩa thặng dư (giải tích phức)). Thặng dư của hàm phân hình g tại một điểm kì dị b, thường được kí hiệu Res(g, b) hoặc Resb (g), là 1 1. Giá trị 2πi C g(y)dy , với C là một đường cong kín định hướng dương bao quanh một điểm kì dị cô lập b. R 2. Cũng là giá trị duy nhất R sao cho g(y) − y−b có một nguyên hàm giải tích trong một đĩa bị thủng 0 < |y − b| < δ . 3. Cũng là giá trị hệ số b−1 của khai triển Laurent của hàm g tại điểm b. Ví dụ: Tại một điểm cực điểm đơn c, thặng dư của hàm g thỏa mãn Res(g, c) = lim (y − c)g(y). y→c 1.3. Nguyên lý cực đại Nguyên lý 1.7 (Nguyên lý cực đại). Cho g : D → R là hàm điều hòa, trong D là miền (mở, liên thông) bị chặn trong Rn được bao quanh bởi biên C . Giả sử thêm g liên tục đến tận biên C . Khi đó, hàm g hoặc là hàm hằng hoặc chỉ đạt giá trị lớn nhất trên biên C . 1.4. Phương trình tích phân Volterra Định lý 1.8. Cho H là một ánh xạ liên tục từ [0, c] × [0, c] vào R. Đặt E là không gian các ánh xạ liên tục từ [0, c] vào Rm với chuẩn ||t|| = sup (|t(x)|) 0≤x≤c với mọi t trong E . Cho b là một phần tử trong E và µ trong R. Khi đó phương trình tích phân Volterra tuyến tính sau đây có một nghiệm duy nhất trong E x t(x) = b(x) + µ 0 H(x, s)t(s)ds.
6 Chương 2 BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE NGƯỢC 2.1. Công thức tiệm cận của giá trị riêng của bài toán Sturm-Liouville Xét bài toán giá trị biên D= D(q(t), k, K): ′′ dz = −z + q(t)z = mz, 0 < t < π, (2.1.1) ′ ′ U (z) = z (0) − kz(0) = 0, V (z) = z (π) + Kz(π) = 0 (2.1.2) Ở đây, m là tham số phổ; k và K là số thực; q(t) ∈ L2 (0, π), q được gọi là thế vị. Toán tử d được gọi là toán tử Sturm-Liouville. Chúng ta quan tâm đến nghiệm không tầm thường của bài toán giá trị biên (2.1.1)- (2.1.2). Định nghĩa 2.1. [3] Các giá trị của tham số m mà D có các nghiệm khác 0 được gọi là các giá trị riêng, và nghiệm không tầm thường tương ứng được gọi là hàm riêng. Tập tất cả các giá trị riêng được gọi là phổ của D. Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các tính chất phổ đơn giản nhất của D, cũng như dáng điệu tiệm cận của các giá trị riêng và hàm riêng. Lưu ý rằng chúng ta cũng có thể nghiên cứu cho các loại điều kiện biên khác, như (i) U (z)= 0, z(π) = 0; (ii) z(0)= 0, V (z) = 0; (iii) z(0) = z(π) = 0. Gọi S(t, m),C(t, m), u(t, m), v(t, m) là các nghiệm của (2.1.1) với điều kiện ban đầu tương ứng là ′ ′ S(0, m) = 1, S (0, m) = 0, C(0, m) = 0, C (0, m) = 1, ′ ′ u(0, m) = 1, u (0, m) = k , v(π, m) = 1 , v (π, m) = −K.
7 Với mỗi t cố định, u(t, m), v(t, m), S(t, m),C(t, m) là các hàm nguyên theo m. Rõ ràng rằng, ′ ′ U (u) = u (0, m) − ku(0, m) = 0, V (v) = v (π, m) + Kv(π, m) = 0. (2.1.3) Kí hiệu ∆(m) = ⟨v(t, m), u(t, m)⟩, (2.1.4) ′ ′ trong đó ⟨z(t), y(t)⟩ = z(t)y (t) − z (t)y(t) là Wronskian của z và y . Theo công thức Liouville ⟨v(t, m), u(t, m)⟩ không phụ thuộc vào t. Hàm ∆(m) được gọi là hàm đặc trưng của D. Thay t = 0 và t = π vào (2.1.4), ta được ∆(m) = V (u) = −U (v). (2.1.5) Do ∆(m) là hàm nguyên theo m, nên nó có nhiều nhất là tập đếm được các không điểm {mn }: ∆(mn ) = 0. Định lý 2.1. [3] Các không điểm {mn } của hàm đặc trưng trùng các giá trị riêng của bài toán giá trị biên D. Các hàm u(t, mn ) và v(t, mn ) là hàm riêng và tồn tại dãy {βn } sao cho v(t, mn ) = βn u(t, mn ), βn ̸= 0. (2.1.6) Chứng minh. 1) Giả sử m0 là không điểm của ∆(m). Khi đó, theo (2.1.3)-(2.1.5), ta có v(t, m0 ) = β0 u(t, m0 ) và hàm v(t, m0 ), u(t, m0 ) thỏa mãn điều kiện biên (2.1.2). Do đó, m0 là một giá trị riêng, và v(t, m0 ), u(t, m0 ) là các hàm riêng tương ứng với m0 . 2) Cho m0 là một giá trị riêng của D, và z0 là hàm riêng tương ứng. Khi đó, ta có ′ U (z0 ) = z0 (0) − kz0 (0) = 0, ′ V (z0 ) = z0 (0) + Kz0 (0) = 0. Nên U (z0 ) = V (z0 ) = 0. ′ Rõ ràng z0 (0) ̸= 0. Vì nếu z0 (0) = 0 thì z0 (0) = 0, theo định lý duy nhất nghiệm cho ′ (2.1.1) , z0 (t) ≡ 0. Không mất tính tổng quát, ta đặt: z0 (0) = 1. Khi đó z0 (0) = k và do đó, z0 (t) ≡ u(t, m0 ). Vậy nên, từ (2.1.5) ta có ∆(m0 ) = V (u(t, m0 )) = V (z0 (t)). Chúng ta chứng minh được rằng đối với mỗi giá trị riêng chỉ tồn tại một hàm riêng theo một nhân tố hằng số. ■ Trong toàn bộ chương này, chúng ta sử dụng kí hiệu π αn = u2 (t, mn )dt. (2.1.7) 0
8 Các số {αn } được gọi là số trọng số và các số {mn , αn } được gọi là "dữ liệu phổ của D". Bổ đề 2.1. Ta có ˙ βn αn = −∆(mn ), (2.1.8) ˙ trong đó các số βn được xác định bởi (2.1.6) và ∆(m) = d dm ∆(m). Chứng minh. Vì −v ” (t, m)+q(t)v(t, m) = mv(t, m) và −u” (t, mn )+q(t)u(t, mn ) = mn u(t, mn ) ′ ′ Hơn nữa ⟨v(t, m), u(t, mn )⟩ = v(t, m)u (t, mn ) − v (t, m)u(t, mn ) nên chúng ta có ′′ ′′ d dt ⟨v(t, m), u(t, mn )⟩ = v(t, m)u (t, mn ) − v (t, m)u(t, mn ) = v(t, m) · [q(t)u(t, mn ) − mn u(t, mn )] − [q(t)v(t, m) − mv(t, m)] · u(t, mn ) = (m − mn ) · v(t, m) · u(t, mn ). Từ (2.1.5), ta có π (m − mn ) 0 v(t, m)u(t, mn )dt = ⟨v(t, m), u(t, mn )⟩ |π 0 ′ ′ = u (π, mn ) + Ku(π, mn ) + v (0, m) − kv(0, m) = −∆(m). Khi m dần tới mn , ta nhận được rằng π ˙ 0 v(t, mn )u(t, mn )dt = −∆(mn ). Sử dụng (2.1.6) và (2.1.7), ta được (2.1.8). ■ Định lý 2.2. [3] Các giá trị riêng {mn } và các hàm riêng u(t, mn ), v(t, mn ) là thực. ˙ Tất cả các không điểm của ∆(m) đều là nghiệm đơn, tức là ∆(mn ) ̸= 0. Các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao trong L2 (0, π). Chứng minh. Cho mn và mh (mn ̸= mh ) là các giá trị riêng tương ứng với các hàm riêng zn (t) và zh (t). Lấy tích phân từng phần ta nhận được π π 0 dzn (t)zh (t)dt = 0 n z (t)dzh (x)dt. π π π Do vậy mn 0 n z (t)zh (t)dt = mh 0 n z (t)zh (t)dt, hay là 0 n z (t)zh (t)dt = 0. Hơn nữa, giả sử m0 = φ + iψ, ψ ̸= 0 là một giá trị riêng không thực ứng với hàm riêng z 0 (t) ̸= 0. Vì k và K là thực nên ta có: m0 = φ − iψ cũng là giá trị riêng ứng với hàm riêng z 0 (t). Vì m0 ̸= m0 , nên ta có
9 2 π 0 ||z 0 ||L2 = 0 z (t)z 0 (t)dt = 0. Mà điều này không thể xảy ra. Vậy tất cả các giá trị riêng {mn } của D là thực, và do đó, các hàm riêng u(t, mn ) và ˙ v(t, mn ) cũng là thực. Vì αn ̸= 0, βn ̸= 0, nên từ (2.1.8) ta nhận được ∆(mn ) ̸= 0. ■ Bổ đề 2.2. Khi |τ | → ∞, ta có các công thức tiệm cận sau đây  1  u(t, m) = cos τ t + O |τ | exp(|ρ|t) = O (exp(|ρ|t)) ,   (2.1.9) u′ (t, m) = −τ sin τ t + O (exp(|ρ|t)) = O (|τ | exp(|ρ|t)) ,     1  v(t, m) = cos τ (π − t) + O |τ | exp(|ρ|(π − t)) = O (exp(|ρ|(π − t))) ,   (2.1.10) v ′ (t, m)  = τ sin τ (π − t) + O (exp(|ρ|(π − t))) = O (|τ | exp(|ρ|(π − t))) ,   đều đối với t ∈ [0, π]. Ở đây và phần tiếp theo, m = τ 2 , ρ = Imτ , còn O là kí hiệu Landau. Nhắc lại về ký hiệu O: Giả sử g(t) và f (t) là hai hàm số định nghĩa trên tập số thực. Ta viết như sau g(t) = O(f (t)) khi t → ∞ khi và chỉ khi tồn tại một hằng số M khác 0 sao cho với mọi giá trị đủ lớn của t, g(t) nhỏ hơn M lần f (t) về giá trị tuyệt đối. Có nghĩa là, g(t) = O(f (t)) khi và chỉ khi tồn tại số thực dương M và số thực t0 sao cho |g(t)| ≤ M |f (t)| với mọi t > t0 . Trong nhiều trường hợp, giả thiết t tiến đến vô cùng là ngầm hiểu, và ta chỉ cần viết g(t) = O(f (t)). Ký hiệu này cũng có thể dùng để mô tả giá trị của g xung quanh giá trị b (thông thường, b = 0), ta nói g(t) = O(f (t)) khi t → b khi và chỉ khi tồn tại các số thực dương δ và M sao cho |g(t)| ≤ M |f (t)| khi |t − b| < δ. Nếu f (t) là khác không khi t đủ gần b, cả hai định nghĩa đều có thể được viết bằng giới hạn trên: g(t) = O(f (t)) khi t → b khi và chỉ khi g(t) lim sup | | < ∞. t→b f (t)
10 Chứng minh. Ta chứng minh rằng t sin τ t sin τ (t − x) u(t, m) = cos τ t + k + q(x)u(x, m)dx. (2.1.11) τ 0 τ Thật vậy, phương trình tích phân Volterra t sin τ (t−x) z(t, m) = cos τ t + k sin τ t + τ 0 τ q(x)z(x, m)dx có một nghiệm duy nhất. Mặt khác, nếu một hàm z(t, m) thỏa mãn phương trình này thì bằng cách lấy đạo hàm chúng ta sẽ có ′′ ′ z (t, m) + τ 2 z(t, m) = q(t)z(t, m), z(0, m) = 1, z (0, m) = k, tức là z(t, m) ≡ u(t, m) và (2.1.11) là đúng. Lấy đạo hàm (2.1.11), ta được t ′ u (t, m) = −τ sin τ t + k cos τ t + cos τ (t − x)q(x)u(x, m)dx. (2.1.12) 0 Kí hiệu µ(m) = max (|u(t, m)| exp(−|ρ|t)). 0≤t≤π Vì | sin τ t| ≤ exp(|ρ|t) và | cos τ t| ≤ exp(|ρ|t), từ (2.1.11) ta có với |τ | ≥ 1, t ∈ [0, π], 1 t C2 |u(t, m)| exp(−|ρ|t) ≤ 1 + |τ | (k + µ(m) 0 |q(x)|dx) ≤ C1 + |τ | µ(m), và do đó C2 µ(m) ≤ C1 + µ(m). |τ | Với |τ | đủ lớn, bất đẳng thức này chứng tỏ µ(m) = O(1). Vậy u(t, m) = O(exp(|ρ|t)). Thay đánh giá này vào vế phải của (2.1.11) và (2.1.12), chúng ta có (2.1.9). Tương tự, ta có (2.1.10). Chú ý rằng (2.1.10) cũng có thể suy ra từ (2.1.9). Thật vậy, vì −v ′′ (t, m) + q(t)v(t, m) = mv(t, m), v(π, m) = 1, v ′ (π, m) = −K, nên hàm u(t, m) := v(π − t, m) thỏa mãn hệ ˜ −˜′′ (t, m) + q(π − t)˜(t, m) = m˜(t, m), u u u u(0, m) = 1, ˜ u′ (0, m) = K. ˜ Vì vậy, các công thức tiệm cận (2.1.9) cũng đúng cho hàm u(t, m). Từ đó, ta có ˜ (2.1.10). ■ Kết quả sau đây nói về sự tồn tại và tiệm cận của các giá trị riêng và hàm riêng của D.
11 Định lý 2.3. [3] Tập giá trị riêng {mn }n≥0 của bài toán giá trị biên D đếm được. Với n ≥ 0, √ κ ωn τn = mn = n + + , {ωn } ∈ d2 , (2.1.13) πn n ξn (t) u (t, mn ) = cos nt + , |ξn (t)| ≤ C, (2.1.14) n trong đó π 1 κ=k+K + q(x)dx. 2 0 Bắt đầu từ đây {ωn } kí hiệu các chuỗi d2 , và còn C kí hiệu các hằng số dương không phụ thuộc vào t, m và n. (Nhắc lại về định lý Rouchè trong giải tích phức: Nếu g(z) và f (z) là hai hàm giải tích bên trong và trên một đường cong đóng đơn X sao cho |g(z)| > |f (z)| tại mỗi điểm trên X , thì cả hai g(z) và g(z) + f (z) có cùng các không điểm bên trong X .) Chứng minh. 1) Thay các công thức tiệm cận của u(t, m) từ (2.1.9) vào vế phải của (2.1.11) và (2.1.12), ta nhận được  t exp(|τ |t) u(t, m) = cos τ t + q1 (t) sin τ t + 1  q(x) sin τ (t − 2x)dx + O   τ 2τ 0 τ2 (2.1.15) t exp(|ρ|t) u′ (t, m) = −τ sin τ t + q1 (t) cos τ t + 1  q(x) cos τ (t − 2x)dx + O   2 0 τ trong đó t 1 q1 (t) = k + q(x)dx. 2 0 Theo (2.1.5), ∆(m) = u′ (π, m) + Ku(π, m). Nên từ (2.1.15), ta có ∆(m) = −τ sin τ π + κ cos τ π + ω(τ ), (2.1.16) với π 1 1 ω(τ ) = q(x) cos τ (π − 2x)dx + O exp(|ρ|π) . 2 0 τ 2) Kí hiệu Fδ = {τ : |τ − h| ≥ δ, h = 0, ±1, ±2, . . .}, δ > 0. Ta sẽ chứng minh | sin τ π| ≥ Cδ exp(|ρ|π), τ ∈ Fδ , (2.1.17) |∆(m)| ≥ Cδ |τ | exp(|ρ|π), τ ∈ Fδ , |τ | ≥ τ ∗ , (2.1.18) với τ ∗ = τ ∗ (δ) đủ lớn. Giả sử τ = σ + iρ. Ta chỉ cần chứng minh (2.1.17) cho tập 1 1 Lδ = τ : σ ∈ − , , ρ ≥ 0, |τ | ≥ δ . 2 2
12 Kí hiệu θ(τ ) = | sin τ π| exp(−|ρ|π). Giả sử τ ∈ Lδ . Với ρ ≤ 1, θ(τ ) ≥ Cδ . Vì sin τ π = (exp(iτ π) − exp(−iτ π))/(2i), ta có với τ ≥ 1, θ(τ ) = |1 − exp(2iσπ) exp(−2ρπ)|/2 ≥ 1/4. Do đó, (2.1.17) được chứng minh. Ngoài ra, sử dụng (2.1.16) ta nhận được với τ ∈ Fδ , 1 ∆(m) = −τ sin τ π 1 + O τ và do đó (2.1.18) được chứng minh. 3) Kí hiệu Γn = m : |m| = (n + 1/2)2 . Theo (2.1.16), ∆(m) = g(m) + f (m), g(m) = −τ sin τ π, |f (m)| ≤ C exp(|ρ|π). Theo (2.1.17), |g(m)| > |f (m)|, m ∈ Γn , với n (n ≥ n∗ ) đủ lớn. Khi đó theo định lý Rouchè, số các không điểm của ∆(m) trong Γn trùng với số các không điểm của g(m) = −τ sin τ π , và do vậy bằng n + 1. Do đó, trong hình tròn |m| < (n + 1/2)2 tồn tại đúng n + 1 giá trị riêng của D : m0 , . . . , mn . Áp dụng định lý Rouchè cho hình tròn γn (δ) = {τ : |τ − n| ≤ δ}, ta kết luận rằng với n đủ lớn, trong γn (δ) có đúng một không √ điểm của ∆ τ 2 , đó chính là τn = mn . Vì δ > 0 tùy ý, nên ta có τ n = n + εn , εn = o(1), n → ∞. (2.1.19) Thay (2.1.19) vào (2.1.16) ta có 2 0 = ∆ τn = − (n + εn ) sin (n + εn ) π + κ cos (n + εn ) π + ωn , và do đó − n sin εn π + κ cos εn π + ωn = 0. (2.1.20) 1 1 Nên sin εn π = O n , tức là εn = O n . Sử dụng (2.1.20) một lần nữa chúng ta thu được chính xác hơn εn = κ πn + ωn , tức là (2.1.13) được chứng minh. Thay (2.1.13) vào n (2.1.15) ta thu được (2.1.14), với t t 1 κ 1 1 ξn (t) = k+ q(x)dx − t − tωn sin nt+ q(x) sin n(t−2x)dx+O (2.1.21) 2 0 π 2 0 n Do đó |ξn (t)| ≤ C , và Định lý 2.3 được chứng minh. ■ Theo (2.1.6) với t = π , thì βn = (u (π, mn ))−1 .
13 Khi đó, sử dụng (2.1.7), (2.1.8), (2.1.14) và (2.1.21) ta tính được π ωn ωn ˙ π ωn αn = + , βn = (−1)n + , ∆ (mn ) = (−1)n+1 + (2.1.22) 2 n n 2 n ˙ Vì ∆(m) = 0 chỉ có các nghiệm đơn giản, ta có sign ∆ (mn ) = (−1)n+1 với n ≥ 0. Kí N hiệu W2 là không gian Sobolev của các hàm g(t), t ∈ [0, π], với g (j) (t), j = 0, N − 1 liên tục tuyệt đối, và g (N ) (t) ∈ L2 (0, π). N Nhận xét 2.4. Nếu q(t) ∈ W2 , N ≥ 1, thì ta có thể thu được các công thức tiệm cận chính xác hơn các công thức trước. Đặc biệt,  N +1 κj ωn κ  τn = n + + nN +1 , κ2p = 0, p ≥ 0, κ1 =   j=1 nj π (2.1.23) + N +1 κj π + nωn , κ+ = 0, p ≥ 0, αn > 0.   αn = +  2 j=1 nj N +1 2p+1 1 Thật vậy, giả sử q(t) ∈ W2 . Lấy tích phân từng phần ta thu được  1 t sin τ t 1 t ′  q(x) cos τ (t − 2x)dx = 4τ (q(t) + q(0)) + 4τ q (x) sin τ (t − 2x)dx   2 0 0 (2.1.24) 1 t cos τ t 1 t ′  q(x) sin τ (t − 2x)dx = 4τ 2 (q(t) − q(0)) − 4τ 2 q (x) cos τ (t − 2x)dx.   2τ 0 0 Từ (2.1.15) và (2.1.24) ta suy ra rằng t 1 sin τ t exp(|ρ|t) u(t, m) = cos τ t + k+ q(x)dx +O . 2 0 τ τ2 Thay công thức tiệm cận này vào vế phải của (2.1.11)-(2.1.12), rồi sử dụng (2.1.24) và (2.1.5), có thể thu được các tiệm cận chính xác hơn với u(ν) (t, m) và ∆(m) so với (2.1.15)-(2.1.16): t sin τ t cos τ t 1 exp(|ρ|t) u(t, m) = cos τ t + q1 (t) + q20 (t) 2 − 2 q ′ (x) cos τ (t − 2x)dx + O τ τ 4τ 0 τ3 t ′ sin τ t 1 exp(|ρ|t) u (t, m) = −τ sin τ t + q1 (t) cos τ t + q21 (t) + q ′ (x) sin τ (t − 2x)dx + O τ 4τ 0 τ2 sin τ π ω0 (τ ) ∆(m) = −τ sin τ π + κ cos τ π + κ0 + (2.1.25) τ τ trong đó t 1 q1 (t) = k + q(x)dx, κ0 = q21 (π) + Kq1 (π), 2 0 t 1 (−1)j+1 q2j (t) = q(t) + (−1)j+1 q(0) + q(x)q1 (x)dx, j = 0, 1, 4 2 0 π 1 exp(|ρ|π) ω0 (τ ) = q ′ (x) sin τ (π − 2x)dx + O . 4 0 τ