BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
————————————
NGUYỄN THỊ DUNG
BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE NGƯỢC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN ỨNG DỤNG
HÀ NỘI - 2023
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU..................................................................1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1. Không gian L2và các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Định nghĩa thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE NGƯỢC ...........6
2.1. Công thức tiệm cận của giá trị riêng của bài toán Sturm-Liouville . . . . .6
2.2. Tính chất của các hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.2.1. Định lý về tính đầy đủ và định lý về khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2. Dao động của các hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Toán tử biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.4. Tính duy nhất nghiệm của bài toán ngược . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 26
2.4.1. Định lý Ambarzumian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.4.2. Tính duy nhất của việc khôi phục các phương trình vi phân từ dữ
liệu phổ ...................................................................27
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP GELFAND-LEVITAN .............30
3.1. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Khôi phục các toán tử vi phân từ dữ liệu phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35