V Ớ
Đ Ạ I
I
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I
H
à
N
P H Ạ M T H
ộ
Ị
i
I
2
0
L U Ậ N V Ă N T H Ạ C S Ĩ
1
2
K M T H O A
H Ằ N G S Ố H Ấ P D Ẫ N
H Ọ C Q U Ố C G I A H À N Ộ
I
K H O A H Ọ C
H Ọ C K H O A H Ọ C T Ự N H
T R Ư Ờ N G V Ô H Ư Ớ N G H Ấ P D Ẫ N
I Ê N
1
M
ã s ố
C h u y ê n
n g à n h :
:
6 0
V ậ
.
4 4
t l ý
.
l ý
0 1
V Ớ
Đ Ạ I
I
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I
t h u y ế
t
H
à
N
P H Ạ M T H
ộ
Ị
v à V ậ
i
P
–
G
I
t l ý
S
2
.
0
L U Ậ N V Ă N T H Ạ C S Ĩ
T
1
S
2
.
t o á n
P
H
K M T H O A
A
N
H Ọ C Q U Ố C G I A H À N Ộ
H Ằ N G S Ố H Ấ P D Ẫ N
I
H
N G Ư Ờ
Ồ
I
H Ọ C K H O A H Ọ C T Ự N H
N
T R Ư Ờ N G V Ô H Ư Ớ N G H Ấ P D Ẫ N
K H O A H Ọ C
G
L
I Ê N
I
Ê
N
H Ư Ớ N G D Ẫ N K H O A H Ọ C
:
2
Ờ Ả Ơ L I C M N
ử ờ ả ơ ắ ế ầ Đ u tiên, em xin g i l i c m n chân thành và sâu s c đ n cô giáo
ồ ườ ầ ệ ướ ạ ẫ PGS. TS Phan H ng Liên, ng i th y đã nhi t tình h ả ng d n, gi ng d y và
ậ ợ ọ ề ệ ự ố ệ ạ t o m i đi u ki n thu n l i cho em trong su t quá trình th c hi n và hoàn
ậ thành lu n văn.
ả ơ ậ ậ ầ Em xin chân thành c m n các th y, cô trong khoa V t lý đã t n tình
ứ ớ ữ ỡ ế ể ả ạ ế gi ng d y, giúp đ em có thêm ki n th c m i, nh ng hi u bi ắ ơ t sâu s c h n
ự ậ ề ả ố ề ề v lĩnh v c V t lý, đó là n n t ng t t cho em v sau.
ạ ọ ườ ả ơ ạ ọ Xin chân thành c m n phòng Sau đ i h c tr ọ ng Đ i h c Khoa h c
ự ổ ứ ậ ợ ề ệ ạ T nhiên đã t ạ ch c đào t o và t o đi u ki n thu n l ố i cho tôi trong su t
ọ ậ ạ ườ ờ th i gian h c t p t i tr ng.
ế ứ ố ắ ư ờ ề ệ ế ặ ứ M c dù đã c g ng h t s c nh ng vì đi u ki n th i gian, ki n th c,
ạ ế ứ ọ ệ ậ kinh nghi m nghiên c u khoa h c còn h n ch nên lu n văn không tránh
ự ỉ ả ữ ủ ỏ ế ầ kh i nh ng thi u sót, Em kính mong s ch b o quý báu c a các th y cô giáo
và các b n.ạ
ả ơ ọ Xin trân tr ng c m n!
ộ Hà N i, tháng 11 năm 2012
ọ H c viên
ạ ị Ph m Th Kim Thoa
3
Ụ
Ụ
M C L C
Trang
Ở Ầ ............................................................................................................3 M Đ U
ươ ..........................................................................................................6 Ch ng 1:
Ế ƯƠ Ấ Ố Ộ ƯƠ Ấ Ẫ B T BI N T NG Đ I R NG VÀ T NG TÁC H P D N
ế ấ 1.1. Metric Minkowski và B t bi n Lozentz .....................................................10
1.1.1. Metric Minkowski........................................................................10
ế ấ 1.1.2. B t bi n Lorentz ...........................................................................12
ế ươ ố ộ ấ 1.2. B t bi n t ng đ i r ng và Metric Riemann ............................................14
1.2.1. Tensor............................................................................................15
ờ 1.2.2. Metric Riemann không – th i gian cong .......................................19
ộ 1.3. Tensor đ cong ............................................................................................25
ườ 1.4. Tr ấ ng h p d n ẫ .........................................................................................28
ươ ụ ấ 1.5. Ph ng trình Einstein và tác d ng b t bi n ế ...............................................29
ươ .........................................................................................................38 Ch ng 2
Ế Ổ Ố Ẫ Ệ NGUYÊN LÝ Đ I NG U HI P BI N T NG QUÁT
ƯỜ ƯỚ Ẫ VÀ CÁC TR NG VÔ H Ấ NG H P D N
ậ ứ 2.1. Hình th c lu n Tetrad ................................................................................38
2.1.1. Tetrad............................................................................................38
ố ệ ữ 2.1.2. M i liên h gi a Metric và Tetrad ...............................................40
ấ 2.1.3. Nguyên lý b t bi n ế ......................................................................42
4
ứ ủ ể 2.1.4. Bi u th c c a Tetrad ...................................................................43
ế ổ ệ ẫ ố 2.2. Tính đ i ng u hi p bi n t ng quát ............................................................45
ươ ủ ườ ướ 2.3. Các ph ng trình c a tr ng vô h ấ ng h p d n ẫ ......................................48
ươ ........................................................................................................51 Ch ng 3:
Ố Ấ Ề Ằ Ụ Ẫ V H NG S H P D N VŨ TR Λ
ề ằ ẫ 3.1. V h ng s h p d n vũ tr Λ ố ấ ụ ....................................................................51
ứ ự ằ ố 3.2. Các quan sát b ng ch ng cho s gia t c Vũ tr ụ........................................57
Ế Ậ ......................................................................................................62 K T LU N
Ệ Ả …………………………………………………….63 TÀI LI U THAM KH O
5
M Đ UỞ Ầ
ọ ề 1. Lý do ch n đ tài
ươ T ng tác c b n ơ ả hay l c c b n ự ơ ả là các lo i ạ l cự c a tủ ự nhiên mà t t cấ ả
ế ạ ự ề ề ậ m i ọ l cự , khi xét chi ti t, đ u quy v các lo i l c này. Mô hình v t lý hi n ệ đ iạ
ạ ươ ấ ố ự ươ ấ cho th y có b n lo i t ơ ả ng tác c b n trong t nhiên: t ng tác h p d ẫn, t ngươ
ệ ừ ươ ươ tác đi n t , t ạ ng tác m nh và t ế . ng tác y u
ậ ườ ươ ệ ừ Cu iố th p niên 1960, ng ố i ta đã th ng nh t đ ấ ượ t c ng tác đi n t và
ế ế ệ ế ươ t ng tác y u trong mô hình Glashow Weinberg Salam (lý thuy t đi n y u). V ề
ớ ươ ế ợ ạ sau, mô hình này k t h p thêm v i t ẩ ng tác m nh, ta có mô hình chu n
ươ ị ằ ệ ấ ẫ ẫ (Standard model) [5]. T ự ố ng tác h p d n hi n v n đang b n m ngoài s th ng
ấ nh t này.
ươ ẫ ự ữ ấ ể ậ ẫ ậ T ấ ng tác h p d n là
ươ ượ ự ẫ ố ượ ớ s hút l n nhau gi a b t kì hai v t th v t lí nào, do ệ ủ c th c hi n ấ ng tác h p d n đ ng c a chúng gây ra. T liên quan v i kh i l
ự ộ ườ ề ấ ẫ ấ ẫ ể qua m t th c th trung gian là tr ớ ậ ng h p d n lan truy n (sóng h p d n) v i v n
ườ ế ể ậ ấ ẫ ậ ộ ạ ố ữ t c h u h n. Trong tr ớ ể ng h p d n y u, các v t th chuy n đ ng ch m so v i
ẫ ủ ệ ự ậ ạ ậ ấ ị ớ ậ ố v n t c ánh sáng (c) thì đ nh lu t v n v t h p d n c a Newton có hi u l c. V i
ườ ậ ố ể ằ ầ ậ ấ ạ ẫ các tr ả ử ụ ng h p d n m nh và v t th có v n t c g n b ng c thì ph i s d ng
ế ươ ố ổ ủ ươ ẫ ươ Thuy t t ng đ i t ng quát c a A. Einstein. T ấ ng tác h p d n là t ế ng tác y u
ấ ấ ả ươ ạ ơ ả ữ ư ạ nh t trong t t c các t ng tác gi a các h t c b n, nh ng l i là nguyên nhân chi
ấ ươ ủ ể ể ộ ố ấ ph i chuy n đ ng c a các thiên th . Trên Trái Đ t, t ẫ ng tác h p d n là nguyên
ạ ọ ượ ủ ậ ữ ậ ỏ ờ nhân t o nên tr ng l ng c a các v t, gi ặ ấ cho các v t không r i kh i m t đ t.
ư ộ ạ ự ơ ọ ự ệ ấ ẫ ấ ộ Trong c h c c đi n, ổ ể l c h p d n xu t hi n nh m t ngo i l c tác đ ng lên
ế ươ ự ấ ố ộ ả ẫ ể ậ v t th . Trong thuy t t ng đ i r ng l c h p d n là b n ch t c a ấ ủ không – th iờ
ị ố ố ượ ủ ệ ộ ở ự ệ gian b u n cong b i s hi n di n c a kh i l ạ ả ng, và không ph i là m t ngo i
ế ấ ẫ ượ ượ ự l c. Trong thuy t h p d n l ng t ử, h tạ graviton đ c cho là ạ h t truy n t ề ươ ng
ẫ . ủ ự ấ tác c a l c h p d n
ư ế ườ ậ ấ ậ ạ ẫ ị N u nh Isaac Newton là ng i tìm ra Đ nh lu t v n v t h p d n vũ tr ụ
ế ỷ ứ ầ ế ỷ ứ ổ ế n i ti ng th k th XVII thì đ u th k th XX, Albert Einstein đã phát minh ra
ế ươ ố ẹ ở ộ ế ươ ố ổ Thuy t t ng đ i h p (1905) và m r ng thành Thuy t t ng đ i t ng quát
ặ ề ế ấ ẫ ượ ử ế ấ (1916) đ t n n móng cho Lý thuy t h p d n l ng t ẫ . Cho đ n nay H p d n
6
ử ự ố ấ ố ạ ươ ề ớ ủ ộ ấ ẫ ậ ượ l ng t và s th ng nh t b n lo i t ng tác v n là m t v n đ l n c a V t lý
ế ỷ ọ h c th k 21.
ế ươ ố ổ ượ Einstein đã xây d ng ự Lý thuy t t ng đ i t ng quát (còn đ ọ c g i là Lý
ươ ế ề ườ ố ộ thuy t ế t ộ ng đ i r ng) là m t lý thuy t v tr ấ ng h p d n ẫ . Theo lý thuy tế
ố ộ ậ ượ ự ố ờ ươ t ng đ i r ng, các v t hút nhau đ ủ c là do s u n cong c a không – th i gian
ế ố ậ ế ị ể ượ ự ổ ấ và v t ch t là y u t quy t đ nh s cong này. Nó có th đ ầ c coi là ph n b sung
ề ự ế
ủ
ề
ả
ạ
ờ
Hình nh hai chi u v s bi n d ng c a không – th i gian.
ẫ ủ ế ấ ở ộ ủ ở ầ ớ ậ ố ớ và m r ng c a lý thuy t h p d n c a Newton t m vĩ mô và v i v n t c l n.
ế ươ ố ộ ủ ề ấ Lý thuy t t ậ ng đ i r ng c a Einstein đã có r t nhi u đóng góp cho V t
ả ượ ủ ủ ể ể ậ ộ lý, gi i thích đ ậ c chuy n đ ng c a đi m c n nh t sao Th y, tiên đoán đ ượ ự c s
ử ụ ế ể ầ ặ ờ ệ l ch tia sáng khi đi g n M t Tr i. Sau đó ông còn s d ng lý thuy t này đ mô t
ủ ể ấ ụ ệ ấ ằ ố mô hình c u trúc c a toàn th vũ tr khi cho xu t hi n thêm h ng s vũ tr ả Λ ụ
ươ ườ ủ ữ ứ ặ vào ph ng trình tr ng c a mình. M c dù nh ng nghiên c u ngay sau đó đã bác
ư ữ ả ố ỏ ỏ ằ b h ng s này và chính b n thân Einstein cũng bác b nó nh ng nh ng nghiên
ậ ạ ế ắ ạ ằ ố ứ c u trong vài th p niên nay l ấ ầ i th y c n thi t nh c l i h ng s này.
ấ ừ ề ề ậ ở ữ ấ ề ậ ấ Xu t phát t nh ng v n đ đ c p trên, chúng tôi nh n th y đ tài “
ườ ướ ớ ằ ố ấ ẫ ấ ẫ ộ ấ ề Tr ng vô h ụ L ng h p d n v i h ng s h p d n vũ tr ” là m t v n đ hay và
ờ ự ứ ể ố th i s nên mu n tìm hi u, nghiên c u.
ụ ề ươ ứ 2. M c tiêu đ tài và ph ng pháp nghiên c u
ụ M c tiêu
ươ ứ ườ ặ ằ ủ ố ng trình tr ng c a Einstein khi có m t h ng s vũ tr ụ
ể ự ề ự ồ ạ ủ ộ ườ ướ ố ượ Nghiên c u ph L đ d đoán v s t n t i c a m t tr ng vô h ng mà kh i l ng liên quan
7
ằ ẫ ượ ờ ướ ầ ở ể ố ấ ế đ n h ng s h p d n vũ tr c nói ồ trên, đ ng th i b c đ u tìm hi u v ề
ố ấ ẫ ụ ọ ủ ể ụ L ằ h ng s h p d n vũ tr ụ L đ theo quan đi m c a Vũ tr h c ngày nay.
ươ ứ Ph ng pháp nghiên c u
ậ ượ ơ ở ế ươ ự ứ ố ộ Lu n văn đ c nghiên c u d a trên c s lý thuy t t ủ ng đ i r ng c a
ớ ề ả ự ọ ọ Albert Einstein xây d ng cùng v i n n t ng toán h c cho nó là hình h c Riemann
ừ ề ậ ờ ườ trong khôngth i gian 4 chi u Minkowski. T hình th c lu n Tetrad xét tr ng vô
ố ấ ế ằ ẫ ấ ẫ ứ ụ L ng h p d n liên quan đ n h ng s h p d n vũ tr ướ h .
ậ ấ 3. C u trúc lu n văn
ở ầ ế ệ ả ầ ấ ầ ủ ậ Ngoài ph n M đ u và ph n K t lu n, Tài li u tham kh o, c u trúc c a
ậ ồ ươ lu n văn g m 3 ch ng:
ươ ớ ệ ổ ế ươ ề ố ổ Gi i thi u t ng quan v lý thuy t t ủ ng đ i t ng quát c a Ch ng I.
ươ ẫ Einstein và t ấ ng tác h p d n.
ươ ứ ứ ệ ề ẫ ậ ố ế Nghiên c u v hình th c lu n tetrad, tính đ i ng u hi p bi n Ch ng II.
ơ ở ự ươ ườ ướ ổ t ng quát, trên c s đó xây d ng các ph ng trình cho tr ng vô h ấ ng h p
d n.ẫ
ươ ố ấ ề ằ ụ ẫ Trình bày khái quát v h ng s h p d n vũ tr liên quan t ớ i Ch ng III.
ữ ả ủ ở nh ng gi ụ ụ ọ ề i thích c a Vũ tr h c v giãn n vũ tr .
8
ƯƠ CH NG 1
Ế ƯƠ Ấ Ố Ộ ƯƠ Ẫ Ấ B T BI N T NG Đ I R NG VÀ T NG TÁC H P D N
ậ ố ớ ề ậ ữ ữ ế ả ớ ị ậ Khi đ c p đ n nh ng kho ng cách l n, v n t c l n thì nh ng đ nh lu t
ế ơ ọ ổ ể ụ ượ ữ mà ta đã bi t trong c h c c đi n không còn áp d ng đ ụ ể ơ c n a. Nói c th h n,
ệ ữ ấ ậ ậ ờ ộ ở quan h gi a không gian, th i gian, v t ch t, v n đ ng tr nên khác đi, không còn
ư ướ ả ơ đ n gi n nh tr c đây.
ượ ở ộ ụ ể ạ ớ ơ ọ ổ ể C h c c đi n đ c m r ng ra đ áp d ng cho ph m vi m i: đó là môn
ơ ọ ươ ệ ứ ơ ọ ủ ứ C h c t ố ng đ i tính ế ể ế , t c là môn c h c có k đ n các hi u ng c a thuy t
ẻ ủ ế ố ọ ườ ứ ươ t ng đ i. Cha đ c a lý thuy t này là nhà bác h c ng i Đ c Albert Einstein
[7].
ế ươ ặ ố ệ ơ ả ự Thuy t t ng đ i đ c bi t (h p) ẹ d a trên hai nguyên lý c b n mà
ả ự ơ ở ủ ệ ế Einstein nêu ra (1905), trên c s k t qu th c nghi m c a Mikenson v s ề ự
ậ ố ụ ủ ế ệ ộ không ph thu c vào h quy chi u quán tính c a v n t c ánh sáng trong chân
ệ ướ ư không và các thí nghi m khác trong thiên văn tr c đó, là nh sau:
ọ ơ ả ậ ậ ư ễ ề ệ ế 1. Các quy lu t v t lí h c c b n đ u di n ra nh nhau trong h quy chi u
ươ ng đ i quán tính (nguyên lí t ố ).
ươ ả ậ ậ ế ấ ị Nói cách khác, các ph ng trình mô t ố ớ các đ nh lu t v t lí b t bi n đ i v i
ổ ọ ế ộ ờ ừ ệ ệ phép bi n đ i t a đ và th i gian t h quán tính này sang h quán tính khác (h ệ
ế ổ ố ơ quy chi u không gia t c). T ng quát h n nguyên lí Galilei trong c h c c đi n, ơ ọ ổ ể ở
ậ ơ ọ ậ ậ ữ ề ả ỉ ị ị ấ đây không nh ng ch các đ nh lu t c h c, mà c các đ nh lu t v t lí đ u b t
ệ ế ế bi n trong các h quy chi u quán tính.
ậ ố ậ ố ề ươ ề 2. V n t c ánh sáng (v n t c truy n t ằ ng tác) trong chân không đ u b ng
8
=
ọ ệ ố ớ ị ủ ế ằ nhau đ i v i m i h quy chi u quán tính, giá tr c a nó b ng
c
2,99793.10
m s /
8 3.10
m s . /
(cid:0)
9
ộ ạ ầ ớ ố Cũng c n nói rõ thêm là ánh sáng v i góc đ h t là các photon không kh i
ớ ậ ố ố ể ộ ượ l ng, các photon này luôn luôn chuy n đ ng v i v n t c t i đa c, không ph ụ
ộ ườ ố ượ ạ ộ thu c vào ng ơ i quan sát. Nói r ng h n, các h t có kh i l ể ề ng m=0 đ u chuy n
(cid:0) ớ ậ ố ố ượ ữ ạ ẽ ộ ộ đ ng v i v n t c c. Còn nh ng h t có kh i l ng m ớ ể 0 s chuy n đ ng v i
ể ấ ầ ỏ ơ ớ ậ ố v n t c V luôn luôn nh h n c, dù có th r t g n v i c.
ổ ọ ế ộ ờ ừ ệ ệ Phép bi n đ i t a đ và th i gian t h quán tính này sang h quán tính
ế ổ khác chính là phép bi n đ i Lorentz [1].
ế ươ ạ ỏ ố ẹ ệ ỏ ọ Thuy t t ng đ i h p đã lo i b kh i khoa h c các khái ni m không gian
ệ ố ệ ố ệ ố ứ ờ tuy t đ i, th i gian tuy t đ i, và ête đ ng yên trong không gian tuy t đ i. Nó đã
ở ộ ươ ễ ố ậ ơ ả ủ c h c m r ng nguyên lí t ng đ i Galilei (các quy lu t c b n c a ề ơ ọ đ u di n ra
ư ệ ế ươ nh nhau trong các h quy chi u quán tính khác nhau) thành nguyên lí t ố ng đ i
ơ ả ề ễ ệ ậ Einstein (Các quy lu t ậ v t lí h c ế ọ c b n đ u di n ra nh nhau trong h quy chi u ư
ườ ưở ệ quán tính). Einstein là ng i tin t ng mãnh li ố ậ t vào tính quy lu t và tính th ng
ấ ủ ằ nh t c a thiên nhiên. Ông đã nêu lên r ng trong thiên nhiên không có cái gì là tùy
ậ ấ ổ ộ ố ệ ề ấ ti n, thiên nhiên tuân theo m t s không nhi u các quy lu t r t t ng quát và r t
ưở ấ ủ ấ ọ ừ ữ ả ơ đ n gi n, lí t ng cao nh t c a khoa h c là xu t phát t nh ng quy lu t b ậ ộ
ư ờ ạ ẻ ậ ậ ổ ữ ả ấ ph n có v nh r i r c, l ẻ ẻ t ớ , ph i tìm ra nh ng quy lu t t ng quát nh t đó. V i
ự ượ ơ ả ữ ủ ể ậ ư ưở t t ng đó, ngay sau khi xây d ng đ ế c nh ng lu n đi m c b n c a thuy t
ế ụ ố ẹ ế ủ ở ộ ươ t ng đ i h p, ông đã ti p t c suy nghĩ tìm cách m r ng lí thuy t c a mình, c ụ
ở ộ ể ươ ứ ữ ụ ố ộ th là m r ng nguyên lí t ng đ i thêm m t m c n a và áp d ng nó cho các h ệ
ế ụ ứ ữ ế ể quy chi u không quán tính. Einstein ti p t c nghiên c u phát tri n nh ng ý t ưở ng
ự ế ộ ớ ọ ế ươ thuy t t ng đ i r ng trên, và xây d ng m t lí thuy t m i mà ông g i là ố ộ (thuy tế
mm
2
=
ố ổ ươ t ng đ i t ng quát).
F
2
1 r
ẫ ủ ậ ấ ậ ạ ự ậ ị ị D a trên hai đ nh lu t: đ nh lu t v n v t h p d n c a Newton ,
F mw=
ố ượ ư ẫ ậ ấ ị ớ v i ớ m là kh i l ng h p d n và đ nh lu t Newton th hai , v i m là
ố ượ ơ ả ậ ộ ượ ậ ằ kh i l ng quán tính – m t quy lu t thiên nhiên c b n đ ự c xác l p b ng th c
10
m
ọ ậ ỉ ệ ữ ố ượ ệ ố ượ ố ớ nghi m là đ i v i m i v t t l gi a kh i l ấ ng h p d n ẫ m và kh i l ng quán
m
ư ộ ằ ấ ườ ở ộ tính m là nh nhau: ố là m t h ng s nào đ y. Ng i ta m r ng tính ch t c ấ ơ
ủ ườ ấ ẫ ấ ả ố ượ ụ ậ ộ ả b n c a tr ng h p d n: t t c các v t, không ph thu c vào kh i l ủ ng c a
ể ộ ườ ề ề ấ ẫ ố ớ chúng, chuy n đ ng trong tr ệ ng h p d n đ u gi ng nhau (v i các đi u ki n
ướ ấ ủ ự ồ ố ượ ố ượ ấ ầ ban đ u cho tr c). S đ ng nh t c a kh i l ẫ ng h p d n và kh i l ng quán
ộ ệ ư ế ẫ ả ắ ấ ượ tính, cũng nh tính ch t nêu trên d n đ n m t h qu sâu s c đã đ c Einstein
ơ ở ủ ế ươ ố ộ ươ ươ nguyên lý t ng đ ng: ấ l y làm c s c a lý thuy t t ng đ i r ng. Đó là
ấ ủ ể ệ ế ộ Nguyên lý. Các tính ch t c a chuy n đ ng trong h quy chi u không quán
ặ ủ ớ ự ư ệ ố ọ ườ tính cũng gi ng nh trong h quán tính v i s có m t c a tr ng tr ộ ng. Nói m t
ệ ế ươ ươ ớ ọ cách khác, h quy chi u không quán tính t ng đ ộ ng v i m t tr ng tr ườ ng
ườ ấ (tr ẫ ng h p d n) nào đó.
ề ế ậ ự ữ ộ Đi u này có nghĩa là thi t l p đ ượ ự ươ c s t ng t ủ ể gi a chuy n đ ng c a
ậ ọ ườ ủ ể ậ ặ ớ ộ các v t trong tr ng tr ộ ng v i chuy n đ ng c a các v t không đ t trong m t
ạ ườ ư ượ ướ ủ ệ ể ế ngo i tr ng nào, nh ng đ ả c kh o sát d i quan đi m c a h quy chi u không
ằ ườ ươ ươ ớ ệ quán tính. Chú ý r ng các tr ng t ng đ ế ng v i h quy chi u không quán tính
ấ ớ ườ ồ ạ ự ấ ẫ ồ không hoàn toàn đ ng nh t v i các tr ng h p d n “th c”, t n t ả i ngay c trong
ườ ươ ươ ớ ệ ế ệ h quán tính. Tr ng t ng đ ẽ ế ng v i h quy chi u không quán tính s bi n
ề ệ ể ấ m t khi ta chuy n v h quán tính [1].
ệ ữ ấ ớ ơ ả ậ ố ờ ộ ủ M i quan h gi a v t ch t v i không th i gian là n i dung c b n c a
ế ươ ố ổ Ở thuy t t ng đ i t ng quát , mà Einstein hoàn thành vào năm 1915. đây ông đã
ữ ụ ủ ệ ộ ọ ọ ơ ả ử ụ s d ng r ng rãi nh ng khái ni m c b n và công c toán h c c a hình h c
ườ ẫ ấ ấ ờ ọ ộ ế Riemann. Trong tr ng h p d n b t kì (bi n thiên theo t a đ và th i gian), thì
ề ộ ộ ờ ỏ ả trong m t mi n không gian dV và m t kho ng th i gian dt vô cùng nh , bao gi ờ
0H t
ể ọ ượ ươ ươ ớ ta cũng có th ch n đ ộ ộ ệ ọ c m t h t a đ ng đ ộ ệ ng v i m t h quán tính
11
0H đó thì kho ng cách gi a hai ả
ở ơ ườ ẫ ấ ữ n i không có tr ố ớ ệ ng h p d n. Đ i v i h
2
=
+
+
+
dS
dx
2 dx 1
2 dx 2
2 dx 3
2 4
ề ượ ể ậ ở đi m lân c n trong không gian 4 chi u đ ị c xác đ nh b i:
ọ ệ ọ ộ ố ớ ượ ộ ệ ứ ở ị Đ i v i m i h t a đ H khác thì dS đ ứ c xác đ nh b i m t h th c ph c
4
2
= (cid:0)
dS
g dx dx i
ik
k
i k ,
= 1
ơ ạ t p h n:
ệ ọ ứ ủ ể ặ ộ M c dù bi u th c c a dS là khác nhau trong các h t a đ khác nhau,
ệ ọ ộ ư ụ ả ổ ộ ọ ị nh ng b n thân dS có giá tr không đ i, không ph thu c cách ch n h t a đ , và
ộ ấ ủ ế ề ể ớ ỗ ấ ả ệ là m t b t bi n v i m i đi m c a không gian 4 chi u. Trong t t c các h H (tr ừ
0H ), các hi n t
ệ ượ ư ệ ễ ậ ố h ệ ng v t lí di n ra không gi ng nhau nh trong các h quán
ơ ọ ủ ụ ườ ẫ ấ tính. Theo c h c Newton, đó là do tác d ng c a tr ế ng h p d n. Theo thuy t
ố ộ ề ọ ị ươ t ng đ i r ng, đó là do không gian 4 chi u b cong đi. Tensor G g i là tensor
ề ạ ừ ủ ủ ộ ị metric, xác đ nh đ cong c a không gian 4 chi u t ể i t ng đi m c a nó. Ở ề mi n
ườ ẫ ớ ề Ở ề ấ ị có tr ng h p d n l n thì không gian b cong nhi u. mi n không có tr ườ ng
ẳ Ở ề ẫ ườ ế ấ ẫ ấ h p d n thì không gian là ph ng. mi n có tr ng h p d n y u thì không gian
ẳ ầ ườ ế ẫ ấ ượ đ c coi g n đúng là ph ng. Tr ậ ơ ng h p d n là y u khi nó làm cho các v t r i
ớ ậ ố ị ở ậ ự
t do v i v n t c v< ề ẳ ẳ ồ ượ
đ c coi là không gian ph ng. Không gian 4 chi u ph ng bao g m không gian 3 ề Ơ ư ề ề ấ ặ ờ chi u clit và th i gian trôi đ u đ n nh trên Trái Đ t. Không gian 4 chi u cong ề ồ Ơ ờ ơ bao g m không gian 3 chi u phi ậ
clit và th i gian trôi ch m h n. Không gian 4 ọ ủ ọ Ơ ề ề chi u càng cong nhi u thì hình h c c a nó càng khác xa hình h c ờ
clit, và th i ư ậ ế ươ ấ ậ ơ ờ gian càng ch m h n th i gian trên Trái Đ t. Nh v y thuy t t ố ộ
ng đ i r ng nêu ườ ụ ề ấ ẫ ằ
lên r ng tr ng h p d n có tác d ng làm cho không gian 4 chi u cong đi. Ng ườ
i ế ườ ế ọ ẫ ươ ấ ộ ướ ố ta còn g i thuy t này là lí thuy t tr ng h p d n t ng đ i tính, là m t b c m ở 12 ế ườ ệ ứ ể ế ủ ủ ẫ ấ ộ
r ng lí thuy t tr ế
ng h p d n c a Newton, có k đ n các hi u ng c a thuy t ươ
t ố
ng đ i [8]. ế ấ 1.1. Metric Minkowski và B t bi n Lozentz ấ ủ ữ ậ ộ ọ ả
ọ
M t trong nh ng phát minh quan tr ng nh t c a V t lí h c vào kho ng ể ệ ạ ủ ế ỉ ậ ấ ế
ầ
đ u th k 20 là tính ch t sóng và h t c a ánh sáng, th hi n trong lu n thuy t ề ượ ư ử ề ề ủ
c a Planck đ a ra năm 1900 v l ng t ộ
ánh sáng. Đó chính là ti n đ cho m t ơ ả ủ ơ ượ ẫ ủ ậ ử ấ ố nguyên lý c b n c a C l ng t tính đ i ng u c a v t ch t do De Broglie đ ề ằ ổ ưở ủ ằ ị ướ
x ng năm 1924 nh m t ng quát hóa ý t ọ
ẳ
ng c a Planck, kh ng đ nh r ng m i ề ự ể ệ ấ ươ ể ồ ả ậ
v t th vi mô đ u t ờ ớ
th hi n đ ng th i v i hai tính ch t t ng ph n nhau là ệ ừ ồ ạ ạ ờ sóng và h t. Ánh sáng là sóng đi n t đ ng th i cũng là dòng h t photon. Ta nói ạ ươ ớ ườ ứ ệ ừ ượ ử ủ ườ ằ
r ng h t photon t ng ng v i tr ng đi n t và các l ng t c a tr ệ
ng đi n ộ ạ ấ ạ ộ ổ ừ
t chính là các h t photon. M t cách t ng quát, b t kì m t h t vi mô nào cũng ( )xj ộ ườ ượ ử ủ ườ ạ ươ ứ
t ớ
ng ng v i m t tr ng và các l ng t c a tr ng này chính là các h t đó. ỗ ườ ượ ả ằ ụ ọ ộ M i tr ề
ng đ u đ c mô t ộ
b ng m t hàm ph thu c vào t a đ ộ ọ ờ ườ ườ ể không th i gian x g i là hàm tr ng, nói chung hàm tr ứ
ng có th là hàm ph c 13 j = i n 1, 2,..., i x
( ), ể ổ ề ầ ế nhi u thành ph n, do đó đ t ng quát hóa ta vi t ố
(n là s thành ph n).ầ ấ ủ ơ ả ế ườ ữ ộ M t trong nh ng nguyên lý c b n nh t c a lý thuy t tr ng nói riêng và ế ươ ệ ấ ạ ậ ọ ố ủ
c a V t lý h c hi n đ i nói chung là nguyên lý b t bi n t ẳ
ng đ i tính, kh ng ọ ệ ư ế ễ ằ ươ ị
đ nh r ng m i h quy chi u di n ra nh nhau, cũng có nghĩa là các ph ng trình ư ề ế ạ ờ ệ ớ
ệ
ậ
v t lý đ u có d ng nh nhau, trong h quy chi u không th i gian liên h v i ế ổ ở nhau b i phép bi n đ i Lorentz. 1.1.1. Metric Minkowski ư ưở ề ấ ố Minkowski đã đ a ra ý t ng th ng nh t không gian ba chi u thông ườ ề ờ ờ ờ ượ th ng và th i gian thành không th i gian 4 chi u. Trong đó th i gian đ c xem ứ ư ề
là chi u th t . ọ ộ ủ ề ờ Kí hi u ệ xm là các t a đ c a vector 4 chi u không th i gian x: { } m x ; ; x x x x
;
0
1
3 2 (cid:0) ọ ộ ờ ậ ố ờ trong đó: x0= ct là t a đ th i gian (c là v n t c ánh sáng, t là th i gian) m = 0,1,2,3 ọ ộ x1; x2; x3 là các t a đ không gian = { x ỉ ố
là các ch s Lorentz r
trong đó x r
}
x x
0, Đôi khi ta còn vi t: ế là vector không gian 3 chi uề ườ thông th ng. ệ ể ườ ườ ệ ơ ằ ị ậ
Đ thu n ti n ng i ta th ng dùng h đ n v trong đó c=1 và h ng s ố t 1=h 0x (cid:0) Planck , khi đó . mn h= xy x y
n
m ướ ủ ượ ị Tích vô h ng c a hai vector x và y đ c đ nh nghĩa là: mnh (1.1.1) ầ v i ớ ớ
là tensor metric v i các thành ph n 14 22 33 00 h
11 = h = = - h = 1 mn h n h
1,
=
m
0, mnh = (1.1.2) (cid:0) diag (1, 1, 1, 1) - - - đôi khi còn vi t: ế Ở ướ ằ ứ ư ề
đây, cũng nh v sau ta quy ể
c r ng khi trong bi u th c có các ch s ỉ ố 3 mn = h = ấ ổ ư ậ ể ả ầ ặ ạ
l p l ỉ ố
i hai l n thì l y t ng theo các ch s đó. Nh v y (1.1.1) ph i hi u là: xy x y
n
m r r
x y
. x y
0 0 mn , =
1 - (cid:0) ỉ ố ướ ớ ệ ặ
Tensor metric liên h vector (ho c tensor nói chung) có các ch s d i v i m mn h= ắ ỉ ố
các vector có các ch s trên theo quy t c: A A
n mnh mnh (1.1.3) ạ ể ế ứ Bên c nh tensor ta còn dùng tensor đ vi t ra công th c ng ượ
c mnh= A
m n
A ủ
c a (1.1.3): (1.1.4) i = 1,2,3 0
A i
A A= - , i A=
0, ườ Vi ng minh là: (ta th ng dùng các ch ỉ , ... ế ườ
t t
mn ạ ỉ ố ố
s Hy L p cho 0, 1, 2, 3 và các ch s Latinh cho 1, 2, 3). mn mn m m = h =
h = nm m =
m xy x y
n
m y m
x y x y h
x
.
m . . ớ V i (1.1.4) ta vi ế ạ
t l i (1.1.1) thành: mn mn h =
h d
nr m
=
r h h
;
mn ằ ừ
t đây ta suy r ng: m rd (1.1.5) ệ ườ trong đó là kí hi u Dirac thông th ng 15 d = (cid:0) m
r m
m =
r
r (cid:0) 1,
0, (cid:0) (cid:0) ế ấ 1.1.2. B t bi n Lorentz ộ ố ơ ả ế ổ M t s phép bi n đ i Lorentz c b n: = L ế ấ ổ ồ Phép bi n đ i Lorentz đ ng nh t: m m n
n x x x
'
m (cid:0) (1.1.6) { } m x ; ; x x x x
;
0
1
3 2 (cid:0) ọ ộ ủ ề ờ trong đó: là các t a đ c a vector 4 chi u không th i gian. n
m L ệ ố ự ể ướ ủ ấ là các h s th c và đ tích vô h ng c a hai vector b t kì không thay đ i:ổ x’y’=xy (1.1.7) ễ ế ế ấ ổ ọ ổ ồ Các phép bi n đ i này g i là phép bi n đ i Lorentz đ ng nh t. D dàng n
m mn r h rs
h L ấ ằ ệ ứ ỏ ệ ố
th y r ng các h s th a mãn h th c: s
L =
.
m
n L (1.1.8) n
m m , c t ộ n 0 0 0 L ế ầ ử ậ ệ L
N u kí hi u: là ma tr n 4x4 có ph n t hàng là = h là ma tr n có các ph n t h
: 1
0 0
1 0 0 1
�
�
0
�
�
0
�
0
� �
�
0
�
�
0
�-
1
� - ầ ử mnh ậ - ể ế ạ ướ ạ ươ ư ậ Ta có th vi t l i (1.1.8) d i d ng ph ng trình ma tr n nh sau: L =
h h T T L L ể ậ ( ị ủ L
là ma tr n chuy n v c a ) (1.1.9) ế ủ
Nhân hai v c a (1.1.9) v i ớ h , ta đ c:ượ 2 h h L = h = I T L 16 ị ấ ậ ơ ừ ớ
v i I là ma tr n đ n v c p 4 và t đó suy ra: 1 h h = L sr n T - L 1 h h = L r mn s
m ( ) - L ệ ứ ế ợ ế ậ ớ Dùng h th c này k t h p v i quy lu t bi n đ i c a ổ ủ xm ta suy ra quy lu tậ m nh sau:
ư m ml n n r ế bi n đ i c a ổ ủ x 1 = h ml
=
h h l n r
l nr x ml
=
h
x m
= L
x x ' '
l (
r ) - L L m 1 r r
x x x
= L
( m
) ' (1.1.10) - (cid:0) 1 m
r ( ) - L ừ ấ ả ỏ ệ ố
T (1.1.7) và (1.1.10) ta th y các h s ề
ph i th a mãn các đi u ệ ươ ự ki n t ng t (1.1.10): h mn 1
r s h
rs ( m
) ( n
=
1
) L = (cid:0) - - L L (1.1.11) 1 L = + ấ ằ ừ T đó ta th y r ng: det 1 L = - ế ấ ậ ợ ổ ồ ườ T p h p các phép bi n đ i Lorentz đ ng nh t có det th ng đ ượ
c 1 ệ kí hi u b i L ở +, có det ở
ệ
kí hi u b i L ế ấ ạ ồ ổ Bên c nh các phép bi n đ i Lorentz đ ng nh t (1.1.6) ta còn xét các phép n = L m m n m +
x a 'x ấ ạ ế ổ ồ bi n đ i không đ ng nh t d ng: (1.1.12) ị ự ể ọ ượ ọ ị trong đó thông số am có th nh n m i giá tr th c tùy ý và đ
ậ c g i là vector t nh ti n.ế L = ế ấ ổ ồ ượ ọ ế Các phép bi n đ i Lorentz không đ ng nh t còn đ ổ
c g i là phép bi n đ i 1 ậ ợ ổ ớ ế
Poincare’. T p h p các phép bi n đ i Poincare’ (1.1.12) v i det ngườ 1 th
L = - ế ậ ợ ổ ớ ượ
đ ệ
c kí hi u b i P ở +. T p h p các phép bi n đ i Poincare’ (1.1.12) v i det ườ ượ ậ ổ ợ th ng đ ệ
c kí hi u b i P ứ
ở . T p h p các phép bi n đ i Poincare’ không ch a
ế 17 ộ ượ ế ọ ượ ả ọ
phép đ o t a đ đ ổ
c g i là phép bi n đ i Poincare’ riêng và đ ở
ệ
c kí hi u b i + .
P (cid:0) ư ế ữ ể ề ả Nh đã bi ạ
t, kho ng cách gi a hai đi m trong không gian 3 chi u là đ i ố ớ ế ế ấ ờ ổ ượ
l ề
ng b t bi n đ i v i phép bi n đ i Galilei. Còn trong không th i gian 4 chi u, ữ ể ả ượ ể ở ị ượ kho ng cách S gi a đi m M đ c xác đ nh b i 4 vector x và đi m N đ c xác mn 2 = h ạ ượ ở ượ ị ư ị
đ nh b i 4 vector y là đ i l ng đ c đ nh nghĩa nh sau: ( ) 2
= m n S x y x y
m x y ( )(
n ) - - - (1.1.13) 2S là b t bi n đ i v i phép bi n đ i (1.1.12). ố ớ ế ế ấ ổ Ta th y ấ mn h= mnh= 2dS dx dx
n
m 2dS n
m
dx dx ế ể ầ ở N u M và N là hai đi m vô cùng g n nhau thì (1.1.13) tr thành: hay (1.1.14) 2dS g i là kho ng c c vi gi a hai đi m trong không th i gian ph ng
ẳ ự ữ ể ả ọ ờ V i ớ ( ) 2 Minkowski. y- x ổ ạ ượ ế ế ổ Chú ý, các phép bi n đ i (1.1.12) không làm bi n đ i đ i l ng 2. ổ ạ ượ ư ế nh ng làm bi n đ i đ i l ng x ế ươ ố ộ ấ
1.2. B t bi n t ng đ i r ng và Metric Riemann ế ươ ấ ố ổ ẳ ằ ọ Nguyên lý b t bi n t ậ
ị
ng đ i t ng quát kh ng đ nh r ng m i quá trình v t ọ ệ ư ề ễ ế lý đ u di n ra nh nhau trong m i h quy chi u quán tính, và do đó các ph ươ
ng m = ươ ứ ả ấ ổ ổ ế ế ớ ậ
trình v t lý t ng ng ph i b t bi n v i phép bi n đ i t ng quát: ( ) m
f x x m
x
' (cid:0) (1.2.1) m m m = L ộ ườ ế ổ ỉ ợ ủ Phép bi n đ i Lorentz ch là m t tr ng h p c a (1.2.1) n
n x +
x a m
x
' m m n m (cid:0) n= L f +
x a x
( ) khi , 18 m là thông s t nh ti n hay vect m
n a L ố ế ổ ố ị ế ơ ị trong đó là thông s bi n đ i Lorentz, t nh ti n.ế ạ ượ ể ế ậ ấ ỏ ự
Đ xây d ng các đ i l ư
ng v t lý th a mãn nguyên lý b t bi n trên, ta đ a ệ ệ ọ ượ vào khái ni m tensor. Đây là khái ni m quan tr ng giúp ta tìm đ c Lagrangian ự ế ượ ế ậ ỏ ấ
b t bi n và do đó xây d ng đ ấ
c các lý thuy t v t lý th a mãn nguyên lý b t bi n.ế 1.2.1. Tensor ự ế ổ ượ ị ư D a vào phép bi n đ i (1.2.1) tensor đ c đ nh nghĩa nh sau: (cid:0) (cid:0) (cid:0) n 1 ...2 ế ậ ấ ả ợ ầ
Tensor ph n bi n (Contravariant) c p n là t p h p các thành ph n T x
)( m m 1 2 ế ậ ổ bi n đ i theo quy lu t: mm n
nn ... ... n n m
1 2 1 2 = T n
T ' x
( ') ... x
( ) n 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1.2.2) x
'
n
x m
x
'
n
x x
'
n
x (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ế ậ ấ ợ ầ
Tensor hi p bi n (Covariant) c p n là t p h p các thành ph n x
( ) n T
m
mm
1 2 ... n 1 2 ế ậ ổ bi n đ i theo qui lu t: = n nn ... ... T T ' x
( ') ... x
( ) m m n n m
m m
1 2 1 2 n 1 2 n
x
'
x n
x
x
' n
x
m
x
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1.2.3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m mm
nn ế ế ệ ả ấ ấ ộ ổ ợ ỗ M t cách t ng quát, tensor h n h p ph n bi n c p m và hi p bi n c p n T x
( ) ...
n m
1 2
n
...
1 2 ậ ầ ọ ợ (còn g i là Mixed (m, n) tensor) là t p h p các thành ph n bi nế m m s s m n 1 2 1 2 ậ ổ
đ i theo qui lu t: m m = mm
nn ll
s s T ' x
( ') ... ... x
( ) n m
...
1 2
n
...
n
1 2 l
...
T
1 2
s
...
n
1 2 ' ' ' m n 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x
'
l
x m
x
'
l
x x
'
l
x x
n
x x
x s
x
n
x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1.2.4) 19 l l n m n 1 2 1 2 ' ' . ... . . ... m m '
s 2 m n 1 2 1 n
x
s
x x
x n
x
s
x x
x
' l
x
m
x
' x
x
' �
�
� �
�
� (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ủ ớ Nhân 2 v c a (1.2.4) v i (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) l l n m n 1 2 1 2 ứ ế ổ ượ ta suy ra công th c bi n đ i ng c: ' ' ' m m 1 2 ll
=
ss T l
T
s ... ... mm
'
nn x
( ') x
( ) m m s ...
... ...
... n n m
1 2
n
1 2 1 2 m n 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n
x
s
x x
x n
x
s
x x
x
' l
x
m
x
' x
x
' l l n m n 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ' ' ' m m 1 2 = mm
T
nn x
( ) ... ... m
'
n x
( ') m m s ...
... ...
... n n ll
l
T
1 2
s
ss
1 2 1 2 m n 1 2 1 2 n
x
s
x x
x n
x
s
x x
x
' l
x
m
x
' x
x
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) hay (1.2.5) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ượ ứ ừ ữ ẳ Công th c (1.2.5) cũng có th đ c suy ra t tính bình đ ng gi a x và x’. mm ... p s ậ Ta có nh n xét: mm
S
nn x
( ) T
nn x
( ) q m
...
1 2
n
...
1 2 r m
1 2
n
...
1 2 ợ N u ế và ỗ
là tensor h n h p c p ấ (s,r) và (p,q) m mm + ... +
s p s s +
s p m
+
1 s thì: nn F
nn T
n x
( ) x S
( ).
n
n
n x
( ) + m
1 2
... m
...
2
... +
r q r r r +
r p m
m m
...
1 2
n
...
1 2 1 2 +
1 2 (cid:0) (1.2.6) ợ ấ (s+p, r+q). ỗ
là tensor h n h p c p n s r 1 1 ứ Ch ng minh: Ta có ... s s = T m
T
n aa
'
bb x
( ') ... . ... x
( ) ...
... 1 2
... r r a
1 2
b
1 2 1 2 s mm
nn
r 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
x
'
m
x a
x
'
m
x n
x
b
x
' x
b
x
' +
s p +
r q s +
1 r +
1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + s s +
s p s s +
s p = S m
S
n a
'
b x
( ') ... . ... x
( ) b + + ...
... ...
2
... r r +
r p r r +
r p a
+
1
b
+
1 a
+
2
b
2 m
+
1
n
+
1 2 +
s p m
n
+
r q s +
1 r +
1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
x
'
m
x n
x
x
' a
x
'
m
x n
x
b
x
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Nên 20 s s +
s p a
+
2 s = T aa
'
bb x S
( ').
b a
'
b x
( ') + ...
... ...
... r r r +
r p a
1 2
b
1 2 a
+
1
b
+
1 2 +
s p +
r q 1 1 m mm + ... s s +
s p s = T
nn ... . ... x S
( )
n
n x
( ) + m
...
2
... r r r +
r q m
1 2
n
...
1 2 m
+
1
n
+
1 2 +
s p +
r q 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
x
'
m
x a
x
'
m
x +
s p +
r q 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) +
s p +
s p a
1 2 = = F
nn F
bb ... . ... x
( ) aa
'
b x
( ') b b ...
... +
r q +
r q m
m m
...
1 2
n
...
1 2 1 2 +
s p +
r q 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
x
'
m
x n
x
b
x
'
n
x
x
' a
x
'
m
x n
x
b
x
'
n
x
x
' mm ... r s nn
mm (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) T
nn S x
( ) x
( ) s r m
1 2
n
...
1 2 n
...
1 2
m
...
1 2 ạ ượ ế ừ ấ ể ậ
Có th l p đ i l ng b t bi n t hai tensor và như mm ... r s sau: ( )G x = nn
mm T
nn S x
( ) x
( ) s r m
1 2
n
...
1 2 n
...
1 2
m
...
1 2 (1.2.7) mm ... r s ( )G x = nn
mm T
nn S x
( ) x
( ) s r m
1 2
n
...
1 2 n
...
1 2
m
...
1 2 s m s s r 1 1 ự ậ ổ ổ ế Th c v y, theo phép bi n đ i t ng quát: r = x
( ) ... ...
... s l
ll
T
1 2
s
ss
1 2 s r 1 1 x
'
l
x m
x
'
l
x x
n
x x
x ' n
' s r 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) … . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) s 1 t
r S . ... ... x
( ) t
...
r
... r 1 s r 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m s r r r 1 1 n
1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = ... n m r r 1 1 t
1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) r
x
m
x
'
m
x
'
l
x x
x x
'
x r
x
m
x
'
x
x
' ' s s (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t s 1 r ... x S
( ).
r
r x
( ) ...
... t
...
... s r ll
l
T
1 2
s
ss
1 2 1 s s (cid:0) (cid:0) n
x
'
t
x
x
'
l
x
s
x
x n
x
'
t
x
r
x
m
x
'
n
x
'
t
x n
' (cid:0) (cid:0) l m ệ ứ ử ụ và s d ng h th c: l ' = d =
d l
s s , m s (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m
x
'
s
x l
x
m
x x
x
' x
x
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) s t l 1 r s r s 1 t
1 = d r
d s
d d t t l r
l G x '( ') d
... . ... l
T
.
s
s x
( ).
r
r x
( ) s 1 ...
1
... ...
... r s r 1 1 1 r r s = thì s
r T
s x S
( ).
r x G x
( )
( ) r
...
1
s
... s
...
1
... r r 1 1 (cid:0) 21 mm ... r s n
1 2 = nn
m T
nn G x
( ) x S
( )
mm x
( ) ...
... s r m
1 2
n
...
1 2 1 2 ộ ạ ượ ế ư ậ
Nh v y là m t đ i l ấ
ng b t bi n. ộ ố ườ ợ ủ M t s tr ng h p c a tensor: ( )xf ạ ượ ượ ọ ướ ế ạ ấ Đ i l ng đ c g i là vô h ế
ng – tensor h ng (0,0) n u b t bi n f f= x
'( ') x
( ) ổ ế
ớ
v i phép bi n đ i (1.1.1): (1.2.8) m
F x
( ) ạ ượ ượ ọ ế ế ả ả ạ 1 Đ i l ng đ c g i là tensor ph n bi n – tensor ph n bi n h ng m ế ậ ổ
ế
n u nó bi n đ i theo quy lu t: = F m
x
' ( ') n
F x
( ) x
'
n
x m (cid:0) (1.2.9) (cid:0) m m không ph i là vector ph n bi n vì x m
x ' x
'
n
x m (cid:0) (cid:0) ư ế ả ả L u ý r ng , ằ x (cid:0) m là vector ph n bi n có các thành ph n là vi phân c a các t a đ dx ủ ế ầ ả ọ nh ng ư ộ x m vì: m = dx n
dx ' x
'
n
x ( )G xm (cid:0) (1.2.10) (cid:0) ạ ượ ệ ế ế ệ ọ ạ 1 Đ i l ng ượ
đ c g i là vector hi p bi n – tensor hi p bi n h ng ế ậ ổ
ế
n u nó bi n đ i theo quy lu t: = G x
' ( ')
m G x
( )
n m n
x
x
' (cid:0) (1.2.11) (cid:0) m
T x
( )
n ạ ượ ượ ọ ế ế ạ ỗ ợ Đ i l ng đ ổ
c g i là tensor h n h p (1,1)h ng 1 n u nó bi n đ i m theo quy lu t: ậ = T m
x
' ( ')
n l
T x
( )
s x
'
l
x s
x
n
x ' (cid:0) (cid:0) (1.2.12) (cid:0) (cid:0) 22 n md l ỗ ệ
Ký hi u Dirac là tensor h n h p ợ (1,1) vì: l ' d d = d = n
m s n
m ' n
'
l m x
x n
x
l
x x
x
' s
x
m
x
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) [19] (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mnh mnh ờ 1.2.2. Metric Riemann không – th i gian cong mnh ế ươ ố ộ Trong thuy t t ng đ i r ng, metric Minkowski , không ph i làả mn g x
( ) ườ ổ ổ ế ợ ậ
tensor. Vì v y, trong tr ng h p bi n đ i t ng quát (1.2.1) thay vì ta dùng mn nm= g g x
( ) x
( ) ố ứ tensor metric cũng có tính đ i x ng: (1.2.13) l ế ậ ổ bi n đ i theo qui lu t tensor: = g
ls g x
( ) '
mn x
( ') m s
x
n
x x
x
' ' (cid:0) (cid:0) (1.2.14) (cid:0) (cid:0) ự ứ ở (d a theo công th c (1.2.6) trên) m 2 ds ab=
g b
a
x dx dx ) ( ươ ế ố ộ ộ ạ ượ ạ ổ ế ấ Bình ph ng y u t đ dài d ng t ng quát là m t đ i l ng b t bi n: m = ds g 2' '
mn n
x dx dx
( ').
' ' l ậ ậ
Th t v y: m = ls ds g 2' . x dx
( ). ' n
dx
. ' . m a
x
n
x x
x
' ' l (cid:0) (cid:0) theo (1.2.14) (cid:0) (cid:0) m ls g n
dx x
( ). dx
. ' ' m s
x
n
x x
x
' ' �
�
� ��
.
��
�� �
�
� 2 = = (cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) ls g ds v s
l
x dx dx
( ). . in mà theo (1.2.10) nó chính là 23 2 ds mn=
g n
m
x dx dx
( ). . mn g x
( ) m là tensor. ư ậ ạ ượ ượ ấ ọ Nh v y, đ i l ng: , đ ế
ả
c g i là kho ng b t bi n, và dx = ỉ ố ệ ể ạ ỉ ố ế ế ắ ả ố Ch s ph n bi n có th h xu ng thành ch s hi p bi n theo quy t c: mn
g m
A x
( ) x A x
( )
( )
n mn=
g A x
( )
m n
x A x
( )
( ) mn mn g x
( ) (1.2.15) g x
( ) ạ Bên c nh tensor metric ta dùng tensor metric ố ứ
đ i x ng mn m ệ ứ ỏ th a mãn h th c: ld= g x g
( )
nl x
( ) (1.2.16) m ế ậ ổ và bi n đ i theo quy lu t: mn ' = g ' x
( ') . ls
g
. x
( ) x
'
l
x n
x
s
x ms (cid:0) (cid:0) (1.2.17) (cid:0) (cid:0) mn=
g A x
( )
m n
x A x
( ).
( ) g x
( ) ms n = = =
n d g ms
g x A x
( ).
( )
m x g
( ).
mn s
n
x A x
( ).
( ) s
A x
( ) . A x
( ) = ế ủ ượ ứ ể Nhân 2 v c a v i ớ ta đ c bi u th c: mn
g m
A x
( ) x A x
( ).
( )
n mn m = = m
=
ms g mn
g x A x
( ).
( )
n x g
( ).
nm m
x A x
( ).
( ) m
A x
( ) A x
( ) suy ra ( )G xm (vì ) m
F x
( ) m ả ử ạ ườ ủ Gi s ta có vector và . Đ o hàm bình th ng c a chúng n G x
( )
m n m
F x
( ) G
m
n
x F
n
x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ả ; ổ
không ph i là tensor, vì không bi n đ i (cid:0) (cid:0) ậ theo quy lu t (1.2.4). n m
F x
( ) (cid:0) ậ ậ ế Th t v y: N u là tensor thì: 24 l = n l m
F x
( ) . s
F x
( ) . x
n
x m
x
s
x m
F
n
x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n ( )G x
m n m
F x
( ) (cid:0) (cid:0) V y ậ ; ả
không ph i là tensor. n m
F x
( ) (cid:0) ể ạ ượ ả ậ ế ệ ạ ế Đ t o đ c tensor ta ph i l p đ o hàm hi p bi n ổ
bi n đ i theo m ụ ể ư ậ quy lu t (1.2.4). C th nh sau: = F �
'
n m
x
' ( ') �
.
b a
F x
( ) . (cid:0) (cid:0) x
'
a
x b
x
n
x ' (cid:0) (cid:0) ế ượ ị ệ ạ ặ M t khác: Đ o hàm hi p bi n đ c đ nh nghĩa: n m
ns n m
+ GѺ�
F x
( ) m
F x
( ) s
x F x
( )
( ) (1.2.18) m
ns ( )x G ượ Trong đó đ ọ
c g i là liên thông Affine ho c ặ kí hi uệ Christoffel. m
ns n m
F x
( ) G (cid:0) ả ượ ọ ứ không ph i là tensor mà đ c ch n sao cho là tensor, t c là khi n m
ns F s
F + GѺ�
F
'
n m
x
' ( ') m
x
' ( ') ' ' x
' ( ') m ệ ọ ộ ể chuy n sang h t a đ khác, ta có: = b . a
F x
( ) . x
'
a
x b
x
n
x ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1.2.19) (cid:0) (cid:0) ộ
cũng là m t tensor. ổ ủ ư ậ ậ ả ừ
ế
Nh v y ta ph i đi tìm quy lu t bi n đ i c a liên thông Affine, ta th a m
ns ( )x m b G ồ ừ ể ậ ứ ể ế ổ ứ
nh n bi u th c (1.2.19), r i t đó suy ra . Bi n đ i bi u th c (1.2.19): g = = a
+ G
bg F a
F F �
'
n m
x
' ( ') �
.
b a
F x
( ) �
.(
b ) . . n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x
'
a
x b
x
n
x m
x
'
a
x x
x ' ' m b m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = + a
bg g
F n a x
'
a
x b
x
n
x a
F
b
x x
'
x x
x ' ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) G (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 25 m b = + a
bg g
F n x
'
a
x m
x
'
a
x x
x a
F
n
x
' ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) G (1.2.20) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m ế ụ ế ổ Ti p t c bi n đ i (1.2.19): m g = + G ns F a
F F �
'
n m
x
' ( ') ' ) ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x
'
a
x s
x
'
g
x n
' m s 2 a m x ' = + + G F g
F '
ns g a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1.2.21) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x a
x x
'
x m
x
'
x n
' a
F
n
x
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m b m a m 2 So sánh (1.2.20) và (1.2.21): m g x ' + = + + G a
bg g
F a
F F s
' n n n ns
g x
'
a
x m
x
'
a
x x
x x x x
'
x x
'
x a
F
n
x
' ' a
' F
a
x
' g (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) G (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x
s
x
' g m g (cid:0) ế ớ ả Nhân c hai v v i ta đ c:ượ (cid:0) g a ' = a
bg g
F F F m
'
ns m
2
x
a n s x
'
a
x b
x
n
x x x x
s
x
' ' ' x
x
' g m b g g (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) G G - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ' = a
bg g
F a
F m
2
x
g n b s x x x
x ' m b g (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) G - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ' = a
bg g
d
a g
F a
F '
m
2
x
g n b s x
a
x
'
x
x
' m x
b x
x
x
x
g (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) G - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = a
bg g
F ( ) x
'
m
2
x
'
g s n b x
'
a
x
x
'
a
x
x
'
a
x b
x
n
x
b
x
n
x
'
b
x
n
x x
x x x x
s
x
'
g
x
s
x
'
g
x
s
x
' ' x
x
' ' m b g g (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) G - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a ' bg m
'
ns =
x
( ) s m
2
x
g n b x
'
a
x b
x
n
x x
x x x ' x
x
' ' x
s
x
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) G G - suy ra (1.2.22) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ổ ủ ứ ế ậ Công th c trên chính là quy lu t bi n đ i c a liên thông Affine. s = ươ ự ạ ệ ế Cũng hoàn toàn t ng t , đ o hàm hi p bi n: �
n �
m n mn s G x
( )
m G x
( ) G x
( ) - G (1.2.23) 26 n ( )G x
m s
mn = (cid:0) G ượ ọ ứ ộ (x) đ c ch n sao cho là m t tensor, t c là: mn �
'
n �
'
n G x
' ( )
m s
'
s G x
' ( ) - G = g G x
( )
b m G x
' ( )
m
g
b
x
n
x
' x
x
' (1.2.24) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g b g s
2 ế ổ ươ ự ư ượ Bi n đ i (1.2.24) t ng t nh (1.2.21) ta đ c: a gb s
'
mn =
x
( ) m x
g b s
x
'
a
x b
x
m
x '
x x ' x
n
x
' ' x
n
x
' ' x
x
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) G G - (1.2.25) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m sm mm ... s s s 1 2 1 ế ủ ệ ạ ạ ổ ỗ ợ T ng quát hóa, đ o hàm hi p bi n c a tensor h n h p có d ng: =
r mm
�
n
nn n �
T
r nn T x
( ) + G
x
( )
nn
rs ...
... ...
2
... r r m
mm
1 2
n
...
1 2 1 2 1 2 mm r
m s ... s s s ms
2 +G G n m
nn n n m
rs T
1
nn mm
T m
T + + G
...
rs ...
... 1 2
... r r r s
...
1 2
sn
rn
...
1 2 1 2 m 1 2
mm s ... ... s s - G (1.2.26) nn s s
rn mm
T ....
rn m
1 2
... 1 2
... r r T
ns n
2 1 1 2 mn g - G - - G x
( ) ứ ủ ể ế Ta tính bi u th c c a liên thông affine qua tensor metric ổ
bi n đ i ề ệ ậ ỏ
theo quy lu t (1.2.14) th a mãn các đi u ki n sau: m ố ứ ề ệ
1, Đi u ki n đ i x ng: m
G = G
ns sn (1.2.27) =�
gr
mn 0 ệ ươ ề 2, Đi u ki n t ng thích metric: ms m (1.2.28) r ld= g x g
( ).
sl x
( ) m
d = �
r =
r �
l (cid:0) ế ủ ệ ứ ả L y ấ c hai v c a h th c: ms
g g
sl 0 mn ln r =�
g 0 ượ ta đ c: ) ế ệ ứ
Nhân hai v h th c này v i , ta có ớ g mn r
, , ươ ớ ư ị Ta có ph ỉ ố (
ng trình metric v i các ch s hoán v vòng nh sau: 27 s s = �
m =
m �
nr mn sr mr g
nr g g
ns g 0 s s = - G - G (1.2.29) �
n =
n nr sm nm g
rm �
g
rm g
rs g 0 s s = - G - G (1.2.30) �
r =
r rn sm rm g
mn �
g
mn g
ns g 0 - G - G (1.2.31) ế ớ ế ử ụ ừ ớ ộ C ng (1.2.29) v i (1.2.30) và tr (1.2.31) v v i v cho nhau, s d ng tính s s s ấ ố ứ ch t đ i x ng (1.2.25) ta có: m + (cid:0)
n rm r sr rs mr ns mn nm g
nr g g
mn g g g s s (cid:0) - (cid:0) - G - G - G s
rm ns nr sm rn g g g ( ) =
(
sm ) 0 s - - G - G - - G m + (cid:0)
n rm r mn mn sr g
nr g g =
g 2 0 (cid:0) - (cid:0) - G suy ra (1.2.32) ( ) s
G =
mn + (cid:0)
rm r nr g
sr g
n g
mn g 1
m
2 lr (cid:0) - (cid:0) hay (1.2.33) ả ượ ế ế ủ
Nhân c 2 v c a (1.2.33) v i ta đ ả
c k t qu : ớ g ) ( s
G =
mn + (cid:0)
rm r nr lr
g g
sr g
n g
mn g g lr
. 1
m
2 (cid:0) - (cid:0) d suy ra ( ) l
s s
G =
mn m + (cid:0)
n
rm rn mn lr
g g g
r g 1
2 (cid:0) - (cid:0) do đó ( ) l
G =
mn m rn + (cid:0)
n rm mn lr
g g g
r g 1
2 (cid:0) - (cid:0) (1.2.34) gmn ph thu c x ta ạ ườ ợ ổ ụ ộ Tóm l i, trong tr ng h p t ng quát khi tensor metric = ờ ườ ặ ợ ệ có không th i gian cong Riemann. Tr ng h p đ c bi t khi: mn mnh= g diag x
( ) (1, 1, 1, 1) - - - 28 ấ ằ ừ ẳ ờ ta có không th i gian ph ng Minkowski. T (1.2.22) ta th y r ng khi không m
G =
ns 0 ẳ ờ th i gian là ph ng thì . ộ 1.3. Tensor đ cong ớ ạ ườ ệ ế ạ Khác v i đ o hàm bình th ng, các đ o hàm hi p bi n không giao hoán m m n n n m , 0 � -
�
�Ѻ�� �ѹ
�
� ứ ớ
v i nhau, t c là: ử ủ ụ ế ệ ạ Ta hãy tính giao hoán t ộ
c a các đ o hàm hi p bi n khi tác d ng lên m t m n n l m l , G x
( )
n G x
( ) ơ ệ ế vect hi p bi n: � -
�
�Ѻ�� ��
G x
( )
�
�
l
m (1.3.1) s s *Tính � � � �
m
n =
m s n s G x G x G x
( )
l � �
(
n
l ( ))
mn x
( )(
l G x
( ))
ml x
( )( ( )) s s r s r = (cid:0) - G - G m n nl s s sl l ml n ns r G
l G
r G
s G G ( )
mn ( ) ( ) s G
s s s r = (cid:0) (cid:0) - G - G (cid:0) - G - G (cid:0) - G m s m s s mn n m nl + G
mn
sl r G
nl G
l G G s r (cid:0) - (cid:0) G - G (cid:0) - G (cid:0) G (1.3.2) s
ml r s n ml ns G G
l
+ G
G l��
n
m ( )G x - G (cid:0) G s s ươ ự *Tính , t ng t ta có: � ��
n
m =
n ml l s s ml s
nm �
l s �� �
G
n
m G
n G G - G - G - G s ( )G x
l
r s r +G s
nm sl r nl m s + G
nl r G G
ms G (1.3.3) G - G (cid:0) G s s Thay (1.3.3) và (1.3.3) vào (1.3.1) ta có: � nl l s s
nl s mn �
l s n m �� �
G
n
m G
m G G � =
( )G x
�
l r s s s �
� �
,
�
m
+G + G - G - G - G sl r s
mn ml n s r
n + (cid:0)
ml n s m l r G
ns
ml G G G s s s r +G G - G (cid:0) G - (cid:0) (cid:0) G s
ml G
+ G
nm s n s l r r
+ G
nl
m s s
nl ms r G G
sl
nm G G G (cid:0) (cid:0) - G G (cid:0) - G G suy ra: 29 s s r s r n �
ml m nl �
s ms r G (
n + G
G
)
ns
ml s
(
nl ) �
� �
,
�
m � =
G x
( )
�
l s r s G - G G - G G ml s
G + G
nl m s
nl mr ml nr r
s n = (cid:0)
( )G s r r s G - (cid:0) G - G G , s r s r s (cid:0) (cid:0) (thay ) = (cid:0)
n ml s
G + G
ml nr m nl nl mr s
.R
lnm s = G - (cid:0) G - G G Đ t: ặ m n R
lnm .
s G x
( ) �
� ��
, �
G x
( )
�
l V y: ậ (1.3.4) s
.R
lnm ượ ọ trong đó: đ ộ
c g i là tensor đ cong Riemann. ấ ủ ộ ố ộ M t s tính ch t c a tensor đ cong Riemann: s = - R s
R
lmn .
lnm . (cid:0) ả ứ Tính ph n x ng: (1.3.5) ứ Ch ng minh: s r r s ộ Ta có tensor đ cong: = (cid:0)
n ml s
G + G
ml nr m nl nl s
mr s
.R
lnm s r s r s G - (cid:0) G - G G = (cid:0)
m nl s
G + G
nl mr n ml ml nr s
.R
lmn s s s r s = - G - (cid:0) G - G G ml m nl ml nl s
mr R .
lmn (
n )
nr r
( ) s = - R s
R
lmn .
lnm . (cid:0) G - (cid:0) G - G G - G G suy ra nên s + +
nml R s
R
mln s
R .
lnm . . 0 = (1.3.6) (cid:0) ấ ị Tính ch t hoán v vòng: ứ Ch ng minh: 30 s s s r s ml m nl + G
ml s
mr nl R .
lnm )
nr ) s s s s r s G - (cid:0) G G - G G nm n lm + G
nm nr lm R .
mln )
lr ) s s s s r s G - (cid:0) G G - G G ln l mn + G
ln mn lr R .
nml = (cid:0)
(
n
= (cid:0)
(
l
= (cid:0)
(
m )
mr r
(
r
(
r
( ) G - (cid:0) G G - G G m ộ ươ ế ớ ế ủ
C ng v v i v c a 3 ph ấ ố ứ
ế ợ
ng trình này, sau đó k t h p tính ch t đ i x ng m
G = G
ns sn s + = +
nml R s
R
mln s
R .
lnm . . 0 Rrlnm ượ ta đ c: s
.R
lnm ườ ệ ớ ở Bên c nh ạ ta cũng th ng dùng liên h v i nhau b i tensor s lnm= rs R
rlnm g R . : metric grs = rs
g R
rlnm s
.R
lnm (1.3.7) (1.3.8) rlmn= - R
rlnm R (cid:0) ấ ố ứ ố ứ ể ấ ả ủ Rrlnm Có th th y tính ch t đ i x ng và ph n đ i x ng c a : (1.3.9) s = - R s
R
lmn .
lnm . = - ứ ừ ả ấ Ch ng minh (1.3.9), t ố ứ
tính ch t ph n đ i x ng (1.3.5) ta có: rs
g R
.
rlnm rs
g R
.
rlmn (cid:0) = -
rlmn R
rlnm R lrnm= - R
rlnm R (cid:0) mnrl= - R
rlnm R (1.3.10) (1.3.11) 31 ố ứ ư ậ ả ủ Rrlnm ấ ố ứ
Nh v y ta có các tính ch t đ i x ng và ph n đ i x ng c a như sau: Rrlnm - = Rrlmn Rrlnm Rrlnm - = Rlrnm = Rnmrl s
.R
lnm = ạ ượ ậ T ừ ta l p đ i l ng: s
lns R
ln R sr
g R
rlns . (cid:0) (1.3.12) ượ ọ
đ c g i là tensor Ricci. = = s
nls sr
=
lrsn R
nl R sr
g R
snlr g R . = - = sr
g R
rlsn sr
g R
rlns ụ ượ Áp d ng (1.3.12) ta đ c: (1.3.13) R
ln nl=
R ấ ố ứ ấ ằ ư Ta th y r ng tensor Ricci có tính ch t đ i x ng nh sau: (1.3.14) Rln lr = = R g R
lr l
R
l ừ ạ ượ ậ T tensor Ricci ta l p đ i l ng (1.3.15) ướ ượ ọ
đ ộ
c g i là đ cong vô h ng. ườ ẫ 1.4.Tr ấ
ng h p d n ươ ẫ ươ ấ ế ớ ươ T ấ
ng tác h p d n là t ng tác r t y u so v i các t ế
ạ
ng tác m nh, y u, mn h=
mn +
mn g h x
( ) x
( ) ệ ừ ề ặ đi n t . Đi u đó cho phép ta đ t: (1.4.1) 32 nm= h
mn h h
mn x
( ) h
mn x
( ) 1 << (1.4.2) Trong đó ố ứ
là đ i x ng: , r t béấ h
mn x
( ) ượ ồ ấ ớ ườ ẫ và đ c đ ng nh t v i tr ấ
ng h p d n. h
mn x
( ) ố ớ ư ế ạ ổ Chú ý là tensor h ng 2 đ i v i phép bi n đ i Lorentz, nh ng không ụ ể ố ớ ổ ổ ế ả ế ph i là tensor đ i v i phép bi n đ i t ng quát, c th là ổ
bi n đ i theo l quy lu t:ậ = h h +
lr h h '
mn x
( ') (
lr x
( ) )
mn m r
x
n
x x
x
' ' hmn (cid:0) (cid:0) - (1.4.3) (cid:0) (cid:0) mn mn mn
h= ấ ầ Trong phép g n đúng c p 1 theo , ta có: g h x
( ) x
( ) - (1.4.4) mn mr
ns
h h= h h
rs x
( ) x
( ) ạ ỉ ố ở ự ượ ự ệ ở trong đó s nâng và h ch s h đ c th c hi n b i metric Minkowski (1.4.5) m n + G = ấ ắ ị Xu t phát t ừ ươ
ph ng trình tr c đ a: m
ns 0 2
d x
t
2
d s
dx dx
t
t
d
d (1.4.6) ớ ạ trong “gi i h n Newton” khi: ậ ố ủ ậ ớ ậ ố ể ấ V n t c c a v t th r t bé so v i v n t c ánh sáng. = ườ ấ ẫ ườ Tr ng h p d n là tr ng tĩnh, gmn 0 0 = - (cid:0) f
2 h
00 ỏ ằ ế ể ứ
Có th ch ng t r ng , v i ớ f là th năng Newton [19]. 33 h
00 1
= (cid:0)
2 f = - 00h , v i ớ GM
r = - f 2
d x
2
d t
2
d x
2
d t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ừ (xu t phát t , ta suy ra đ c ượ ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ụ ế ấ 1.5. Ph ng trình Einstein và tác d ng b t bi n ố ậ ấ ả ự ể ưở ế ọ Đ xem s phân b v t ch t nh h ng đ n hình h c không gian hay hình ế ị ệ ế ậ ố ộ ọ
h c không gian quy t đ nh đ n n i dung v t lý? Einstein đi tìm m i quan h đó ư
nh sau: 4 ế ươ ố ẹ ế ấ Trong lý thuy t t ng đ i h p, khi có Lagrangian b t bi n L(x) thì tác S d xL x
( ) = (cid:0) ượ ị ở ế ụ
d ng đ c đ nh nghĩa b i: ấ
cũng b t bi n. ế ươ ố ộ ụ ự ể ậ Trong lý thuy t t ấ
ng đ i r ng thì không v y. Đ xây d ng tác d ng b t 4d x ta ph i đi tìm ph n t mn g x
( ) ế ả ầ ử ấ ế ươ ứ bi n thay vì b t bi n t ng ng. ổ ủ ừ ế ậ T quy lu t bi n đ i c a tensor metric : = g g
ab '
mn x
( ') x
( ) m (cid:0) (cid:0) b
x
n
x a
x
x
' ' (cid:0) (cid:0) (1.5.1) g g g g 00 01 02 03 g
10 g
11 g
12 g
13 = = mn g g det( ) ổ ị ứ ể ế ậ ủ
ta có th suy ra quy lu t c a bi n đ i đ nh th c: g g g g 20 21 22 23 g g g g 30 31 32 33 mn g x
( ) (1.5.2) m c t ộ n ầ ử ở ệ ậ ớ Kí hi u: (g) là ma tr n v i ph n t hàng là m c t ộ n d
d d
d x
� �
� �
x
'
� � n
� �
x
� �
m
x
'
� � ầ ử ở ậ ớ là ma tr n v i ph n t hàng là 34 ế Ta vi t (1.5.1) thành: ( ) ) g x g x '( ') '( ') d
x
� �
(
= � �
d
x
'
� � d
x
� �
� �
d
x
'
� � T ừ và t đây suy ra: = J det 2
J g 'g d
d x
� �
� �
x
'
� � (cid:0) v i ớ (1.5.3) = ặ M t khác: 4
d x 4
Jd x ' (1.5.4) ấ ằ ừ
t (1.5.3) và (1.5.4) ta th y r ng: 4
gd x 4
gd x = -
' - ế ươ ậ ừ ế ấ V y trong lý thuy t t ố ộ
ng đ i r ng, t Lagrangian b t bi n L(x) ta có th ể = ụ ế ạ ấ
ậ
l p tác d ng b t bi n d ng: S 4
d x g L x
( ) ( )xj - (cid:0) = + ế ủ ệ ườ ấ ấ ườ ấ ẫ Lagrangian b t bi n c a h tr ậ
ng v t ch t và tr ng h p d n th ể ml j
m g R L j
( , ) ( x
) ( ) gL
j
(
, ) R L= (cid:0) ệ hi n trong metric tensor . Einstein đã ch n ọ , v iớ g ụ ế ấ ấ ậ ườ . Do đó tác d ng b t bi n mô t ả ệ ườ
h tr ng v t ch t và tr ẫ
ấ
ng h p d n = ư
nh sau: j
�
m S 4
d x +
g R L S S
j ( j
( , =
)) +
g = - (1.5.5) (cid:0) 4
d x g R gS = - ả ả ườ ẫ v i ớ mô t b n thân tr ấ
ng h p d n. (cid:0) j
m S
j 4
d x g L j
( , ) - (cid:0) ấ ươ ậ ớ ườ mô t ả ườ
tr ng v t ch t t ng tác v i tr ấ
ng h p (cid:0) d n.ẫ 35 ươ ộ ụ ố Ph ể
ng trình chuy n đ ng thu đ ượ ừ
c t nguyên lý tác d ng t ố
ể
i thi u đ i = (cid:0) + (cid:0) ụ
ớ
v i tác d ng (1.5.5): S S
j S 0 = (1.5.6) g (cid:0) Sj gS(cid:0) (cid:0) ầ ượ Ta l n l t tính và gS(cid:0) Ta tính : gS có th đ w ể ượ ướ ạ c trình bày d i d ng )i = S =
g R 4
d x g 4
�
d x +
4
�
G gd x (
� g
i
x gmn (cid:0) - - - (cid:0) iw Ở ỉ ấ ầ ủ ẫ ứ
đây G ch ch a các tensor và các d n xu t đ u tiên c a nó. Tích ộ ạ ượ ỳ ủ ứ ứ
phân th hai có hình th c phân k c a m t đ i l ấ ị
ng nh t đ nh . 4 = d d Ta có: =
4
gd x gS �
R �
G gd x (cid:0) - - ướ ứ ể ả ộ Phía bên trái là 1 vô h ng, do đó các bi u th c bên ph i cũng là m t vô ạ ượ ả ấ ướ ướ
h ng. (Đ i l ng G, b n thân nó t t nhiên không là 1 vô h ng). ạ ượ ệ ở ứ ề ứ gmn ỉ Đ i l ng G đáp ng các đi u ki n trên, nó ch ch a và các d nẫ 3 3 = - d ấ ủ ể ế ậ
xu t c a nó. Do v y chúng ta có th vi t: S 4
gd x g = -
4
�
G gd x �
R k d
k c
p
16 c
p
16 (cid:0) - - [13] 2 Ở ượ ọ ố ấ ằ ẫ đây k đ c g i là h ng s h p d n. 11 = k 6,67 10 N m
.
2
kg d - (cid:0) R = (cid:0)
4
gd x S 'g - Đ t ặ (cid:0) 36 = d d =
4
gd x 4
gd x 'gS �
R mn
�
g R
mn 4 = d + - + - (cid:0) - - Ta xét: [13] - mn dx mn
g g R
mn mn
d
g g R
mn mn
d
g g R ( ) (1.5.7) (cid:0) d ế ở ế Tính các bi n phân ả
v ph i. Ta có: d g 1 d )
d = - - - mn g g g
mn ( (
d mn g g
d
g
mn d
g 2 d (1.5.8) - d g
gmn = ma mnlr abgs rs nb g g g e
. e
. .
lg . g g
. . 1
4! ể ế ướ ạ Đ tính ư
ta làm nh sau, vi t g d i d ng: = mnlr abgs ma rs nb dg e
. dg
.
lg . g g g
. e
. 1
3! ts = ma mt ừ
t đó suy ra: dg dg
sa g g . . e e= mnlr ma tbgs lg g
nb g g . . g g
.
rs . . e e d= ablg tbgs at . 3! ứ ử ụ ứ ấ ể
Thay vào bi u th c sau: ồ
và s d ng đ ng nh t th c: = và as dg as
dg g dg . Ta có: d mn = g g
. d mn g
g ừ
t đây suy ra d 1 1 d d mn
d ế ả K t qu là: - g = -
g
mn g
mn ( . . . g g
. . d mn g
g g g 2 2 - - 37 mn g g = - = - d mn g g mn
g . d
. ( g
.
mn . ) 2 2 - - (1.5.9) Ta tìm đ cượ = d mn
+ mn mn =
4
gd x g g R 4
gd x ( +
g R R
.
mn d
) gS
' �
R 4
�
d x mn
d
�
g 1
2 d Rmn - (cid:0) - - - l
G =
mn ể ứ ạ ệ ị Đ tính ế
ta dùng h quy chi u quán tính đ nh x , t i đó liên thông 0 s s d =
d d ừ Affine: . T đó suy ra: =
n s
s nm R
mn R
mns ) (cid:0) G - (cid:0) G s s s (
sm
s
= = d d
� sm �
nm s s �
(
n )
n d
�
(
sm )
nm (1.5.10) G - G G - G ệ ứ ọ ệ ấ ố Do có c u trúc tensor nên h th c cu i cùng cũng đúng cho m i h quy mn d ế ậ
chi u. V y ta có: - - G - G sm s
d
�
nm R
mn =
4
gd x mn
g g
. s
d
�
(
n )
s �
g 4
�
d x (1.5.11) mn sn n ms = ế ệ Vì trong h quy chi u quán tính: �
l m
+ G
ls ls g mn
�
g
l g =
g 0 mn - G (1.5.12) l =�
g 0 mn ọ ệ ả ủ ế ế Nên trong m i h quy chi u, do đó v ph i c a (1.5.11) có mn s 4 d th đ a vào trong (cid:0) và vi t:ế ể ư g - - G - G mn
� �
n sm R
mn g mn
g s
d
g
nm d
. ( )
s ( �
dx 4
�
d x (1.5.13) n mn n = s
d s
d G ế ụ ổ ế ế ả Ti p t c bi n đ i v ph i: sm mn mn
g g n F G (cid:0) Xét v i ớ F ặ ằ
ho c b ng . n = �
n �
n n
+ G
nm F n
F m
F ta có: 38 l
G =
mn sm + (cid:0)
m sn nm g g
s g ns
g (
n ) . 1
2 d ns = = (cid:0) - (cid:0) do m m sn g g
ns g . . g
(ln ) d g
g
ns 1
2 1
g
2 1
= (cid:0)
m
2 1 (cid:0) (cid:0) m m g g ln( =
) ( ) 1
= (cid:0)
2 g n 1 = - (cid:0) - - �
n �
m F n
g F
. g n
= = - nên - g F n
g F �
.
n �
(
n ) 0 4
�
d x 4
�
d x - - Ta có: do đó: mn = + mn g 4
gd x ( g R R
.
mn d
) gS
' 1
2 - (cid:0) - (cid:0) 3 ế ả K t qu là: mn = - mn S g 4
gd x ( +
g R R
.
mn d
) g k c
p
16 1
2 - (cid:0) - [13] (1.5.14) (cid:0) mn = d (cid:0) Tính Sj ư
nh sau: S
j T
mn g 4
gd x 1
c
2 Tmn (cid:0) - [13] (1.5.15) (cid:0) = (cid:0) + (cid:0) = ở ượ ấ đây là tensor năngxung l ủ ậ
ng c a v t ch t. S S
j S 0 g (cid:0) ừ ươ T ph ng trình 3 ta đ c:ượ mn mn g +
4
gd x mn
g =
4
gd x +
g R R
.
mn d
) 0 d
�
T k c
p
16 1
�
(
2 1
mn
c
2 - - - - 39 3 mn R
mn g R
mn T g =
4
gd x ( d
) 0 k
mn
4 k p
8
c c
p
16 1
2 - - - - hay (cid:0) suy ra: R
mn Rg
mn =
T 0 k
mn
4 p
8
c 1
2 = - - Rg
mn T R
mn k
mn
4 p
8
c 1
2 - hay (1.5.16) n
d
m n
R
m =
R n
T
m k
4 p
8
c 1
2 - ặ
ho c cách vi ế
t khác: (1.5.17) ữ ươ ế ươ ố ổ Đây là nh ng ph ơ ả ủ
ng trình c b n c a thuy t t ng đ i t ng quát. m ượ ọ ươ các ph ng trình Einstein Chúng đ c g i là . (the Einstein equations) [13]. m=
(T T = ươ ủ ườ ể ượ ế ướ ạ ). Do đó các ph ng trình c a tr ng cũng có th đ c vi i d ng: t d R
mn g T T
(
mn ) k
4 p
8
c 1
mn
2 Rmn = 0 - Tmn = d n đ n
0
ẫ ế trong chân không = = ươ ườ ư ậ
Nh v y ph ng trình tr ng Einstein (1916) là: G
mn R
mn Rg
mn T k
4 p
8
mn
c 1
2 Tmn - ộ ướ trong đó Gmn là tensor Einstein, Rmn ng, tensor Ricci, R là đ cong vô h ượ ộ ậ ạ ượ ợ ậ ộ ị tensor năng xung l ng (m t t p h p các đ i l ng xác đ nh m t đ năng ượ ấ ượ
l ậ ộ
ng, m t đ xung l ậ ộ ứ
ng và m t đ ng xu t). 40 ố ủ gmn ữ ả Các tensor Gmn và Rmn là nh ng hàm s c a mô t ủ
ọ
hình h c c a ự ả ờ ố ậ
không th i gian. Bên trái ta có không gian cong, còn bên ph i là s phân b v t ấ ượ ch t và năng l ng [6]. ọ ủ ậ ằ ế ế ế ấ ẫ ả ờ
Các k t qu này d n đ n k t lu n r ng tính ch t hình h c c a không th i ượ ế ị ở ườ ấ gian đ c quy t đ nh b i tr ậ
ng v t ch t. 1=h ướ ấ ố ữ ằ ố Qui ằ
c l y các h ng s c=1, ư
, nh ng gi nguyên h ng s Newton = ươ [24] thì có các ph ng trình Einstein là: R
mn Rg
mn GT mnp
8 1
2 - k b i kí hi u ố ấ ệ ẫ ằ ở (thay kí hi u h ng s h p d n Newton ệ G ) ử ổ ươ ư ủ ệ Sau này Einstein đã s a đ i ph ằ
ng trình c a mình b ng vi c đ a thêm vào R= - 2 R= ) nên gL gL L ằ ố
ằ
h ng s vũ tr ụ L b ng cách thay (không còn d ng ạ + L ươ ướ ư ph ng trình d ứ
i hình th c nh sau: mn R
mn Rg
mn =
g GT mnp
8 1
2 - ươ ụ ư ậ Đây chính là Ph ng trình vũ tr Einstein (1917). Nh v y trong ch ươ
ng ứ ượ ổ ế ươ ố ổ này ta đã nghiên c u đ ề
c t ng quan v Lý thuy t t ủ
ng đ i t ng quát c a ươ ớ ề ả ấ ẫ ọ ọ Einstein và t ng tác h p d n cùng v i n n t ng toán h c là hình h c Riemann ơ ở ế cong – là c s lý thuy t cho các tính toán ở ươ
ch ng sau. 41 42 ƯƠ CH NG 2 Ế Ổ Ố Ẫ Ệ NGUYÊN LÝ Đ I NG U HI P BI N T NG QUÁT VÀ CÁC ƯỜ ƯỚ Ẫ TR NG VÔ H Ấ
NG H P D N ứ ậ 2.1. Hình th c lu n Tetrad 2.1.1. Tetrad ( ộ ậ ế ọ ộ ố
Tetrad (còn g i là Vierbein) là b b n vector đ c l p tuy n tính, th ườ
ng n
ệ
c kí hi u là a x
) ( ) ượ ọ ỉ ố ậ ị ượ
đ , trong đó a đ c g i là ch s Vierbein, nh n các giá tr 0, ừ ờ ệ ữ ườ 1, 2, 3. T bây gi ng a, b, c… là các ch s ỉ ố ... , ( ta kí hi u các ch cái Latin th
mn r
, ữ ạ ỉ ố ủ Vierbein, còn các ch cái Hi l p ẫ
v n là các ch s Lorentz c a không n
c. Vierbein a x
) ( ) (
m ệ ề ờ ươ ướ th i gian 4 chi u mà ta kí hi u trong ch ng tr có các thành a x
) ( ) n
ph n ầ a b ab ) ( ) n h = (
m n
x
( ). xm
( ) ệ ề ả tho mãn đi u ki n: ab (2.1.1) h
trong đó ab h = ẳ là metric ph ng Minkowski: diag (1, 1, 1, 1) ( - - - n
H th c (2.1.1) cho ta hi u r ng a x
) ( ) ể ằ ệ ứ ự ữ ớ là nh ng vector tr c giao v i nhau ẳ ộ ờ ờ ượ ọ ẳ
trong m t không th i gian ph ng. Khôngth i gian ph ng này đ ế
c ch n là ti p ( ế ớ ạ ể ờ
tuy n v i khôngth i gian cong đang xét t i đi m M(x). n
Cùng v i các vierbein n
, ta cũng đ a vào các vierbein a x
) ( ) b x
) ( ) ( ớ ư thoả m a ) n d= (
m n
x
( ). x
( ) ệ ề
mãn đi u ki n : b a
b ( ) a ) n h = (
m n
x
( ). x
( ) (2.1.2) ab m
b
( ) (2.1.3) 43 ( n ỉ ố ỉ ố ằ Các ch s a, b là các ch s vierbein. Chú ý r ng vì là các vector nên a x
) ( ) ế ậ ổ bi n đ i theo quy lu t: a a ) ( ) n = n '(
m x
( ') x
( ) n
x
n
m
x
' (cid:0) (2.1.4) (cid:0) n m ' n = x
( ') x
( ) a a ( ) ( ) m
x
'
n
n
x (cid:0) (2.1.5) (cid:0) nn
( a x
) ( ) ạ ộ ổ ế ủ ướ ế ổ ớ D i phép bi n đ i to đ t ng quát nhân 2 v c a (2.1.2) v i ta n m n n a ) = =
n =
n (
m m n
( n
x
( ) n
x
( )) n
x
( ) n
x
( ) x
( ) x
( ) a a b a
b ( ) d
( ) ( ) dn
b
( ) b
( ) n a ) n d= (
m n
m x
( ) có: ( n
a x
) ( ) hay (2.1.6) h
ớ bc a b ab ) ( ) n d= = (
m n
x
( ). h
xm
( ) ế ủ Nhân 2 v c a (2.1.1) v i ta có: h h
bc bc a
c (2.1.7) m m
b
) ( n =
n h
x
( ) ươ ớ So sánh ph ng trình (2.1.7) v i (2.1.2) ta có: c bc x
( ) ( ) ac h (2.1.8) m ac ( m
b
( ) h n
ac =
h h n dn
m
b
) = x
( ) x
( ) c bc a
b x
( ) ( ) m m a ac ( ) n h n= x
( ) x
( ) ế ủ ớ Nhân 2 v c a (2.1.8) v i ta có: c
( ) suy ra (2.1.9) ư ậ ỉ ố ặ ạ ằ ố ể ư
Nh v y các ch s vierbein có th đ a lên ho c h xu ng b ng metric Minkowski [19]. 44 ố ệ ữ
2.1.2. M i liên h gi a Metric và Tetrad ụ ọ ượ ỗ ợ ư ệ Vierbein là công c toán h c đ c đ a vào h tr cho vi c tính toán. ộ ố ườ ợ ử ụ ả Trong m t s tr ủ
ẽ ấ ơ
ng h p s d ng vierbein s r t đ n gi n. Ý nghĩa chính c a g
nr x
( ) ở ỗ ể ể ế ủ ễ vierbein là ch tensor metric có th bi u di n qua chúng. Nhân 2 v c a (2.1.6) n a ) n = (
m d=
m n
ur g g x g
( )
ur x
( ) x
( )
mr x
( ) ( n
a x
) ( ) a a ( ) b
( ) ( ) = =
h n n mr n
m g x
( ) n
x
( ) x
( ) x
( )
r x
( ) v i ớ ta có: m
ab a r
( ) b suy ra (2.1.10) n
ng trình trên v i xr
( ) ( ) r b b a ( ) ( r
) ( ( ) =
n n
a
) d n mr =
m x g
( ) x
( ) n
x
( )
m x
( ) n
x
( ) x
( ) b
a a r
( ) b a ) ( ) n =
n (
m m x
( ) d
x
( ) ế ủ ươ ớ Nhân 2 v c a ph ta đ c:ượ b
a ms (2.1.11) g x
( ) ms r b a ) ( ) b
( ) = =
s n
b
( ) =
s (
m m r g ms
g n
x
( ) x
( ) n
x
( ) d
x
( ) x
( ) x
( ) d n
b
a s b b ( ) ) n = (
m ms
g x
( ) n
x
( ) x
( ) ế ủ ớ Nhân 2 v c a (2.1.11) v i ta đ c:ượ v y ậ (2.1.12) 2 ( ) b
( ) = = mn a
n dS g n
m
dx dx n
m
x dx dx
( ). . h n n
m
ab a b b ) ( ) ( ) = h = (
m n n
m
dx h
n
dx a
(
)
dx dx ( )( ) ừ ứ ủ ư ể ả T (2.1.10) ta vi ế ạ
t l i bi u th c c a kho ng qua vierbein nh sau: n
ab ab ( (2.1.13) )adx là thành ph n vierbein c a
ầ a a ( ) ( ) n= n ượ ị ở trong đó c đ nh nghĩa b i: ủ dx m đ dx dx m (2.1.14) mn
ớ ( a x
) ( ) m m a a ( ) ( ) n =
n =
n =
m n m d
m
dx m
dx dx x dx
( ) n
x
( ) a a ( ) ( ) ế ủ ượ ứ ể Nhân hai v c a (2.1.14) v i ta đ c bi u th c ng ượ ạ
c l i: 45 m a ( ) mn= dx x dx a ) ( ) ( ( v y ậ )adx ta đ nh nghĩa các thành ph n vierbein c a vector ( aF x nh sau:
ư ) ( ) m a a ( ) ) ( ) n= (
m F x
( ) x F
( ) x
( ) ươ ự ủ ầ ị T ng t ư
nh (2.1.15) a b
( ) ( ) = h =
h n n F x
( ) m
x F x
( ).
( ) ab ab F x
( ) ( )
a mn n= x g x F x
( )
( )
m a ) ( )
n ( n= x F x
( )
( )
m Theo (2.1.8) và (2.1.14) ta có: F x
( )
a
) ( m
a
( ) hay (2.1.16) nn
ớ ( a x
) ( ) n n m a ( ) n =
n n
= m
= = a
( )
m m x F
( ) x
( ) n
x
( ) m
d
x F x
( )
( ) F x
( ) n
F x
( ) F x
( ) a a ( ) ( ) a ( ) mn= m
F x
( ) x F
( ) x
( ) ế ủ ượ ứ ể Nhân hai v c a (2.1.15) v i , ta đ c bi u th c ng ượ ạ
c l i: a ( ) hay (2.1.17) mn=
g F x
( )
m n
x F x
( )
( ) ừ ệ ứ T h th c (2.1.6) ta có: n a ab ( ) b
( ) = =
n =
m g
mn F x
( )
m n
x
( ) x F
( ) x
( ) h
x
( ) a a ( ) n
F x
( )
b
( ) m
( ) x F x
( )
( )
b
( ) a ( ) mn= F x
( )
m ứ ế ể th (2.1.17) vào bi u th c trên: x F x
( )
( )
a
( ) hay (2.1.18) ậ ươ ự ư ư V y vierbein có vai trò t ng t nh tensor metric nh ng không ph i đ ả ể ạ ỉ ố ượ ể ừ ỉ ố nâng h ch s Lorentz mà là đ ể
c dùng đ chuy n t vector mang ch s Lorentz ỉ ố sang vector mang ch s vierbein. 46 ủ ầ ộ ổ ộ ượ M t cách t ng quát thành ph n vierbein c a m t tensor (n, m) đ ị
c đ nh m n n ( ) ) m
... ) a
m n a
1 = n m (
m ư nghĩa nh sau: x
( ) n
x
( )... x T
( )
n
n n
x
( ) n
x
( )... x
( ) T
( a
m
) 1
... ( ) ( ) m n n
b
n a
)...(
(
1
b
b
)...(
n
1 1 1 1
b
1 a ) m (2.1.19) x là b t bi n đ i v i phép bi n đ i to đ t ng
ạ ộ ổ T
( ) ( ) a
)...(
(
1
b
b
)...(
n
1 ố ớ ế ế ấ ổ Rõ ràng r ng ằ quát. n n ( ) ) a
m n a
1 = n (
m T x
( ') n
x
( ')... ' '
m x T
( ')
n m
'
n n
x
( ')... x
( ') (
'
( m
...
1
... n
x
( ') '
( ) '
( ) a
)...(
)
m
b
)
)...(
n m n n
b
n a
1
b
1 1 1 1
b
1 l l m m 1 1 ậ ậ
Th t v y: r ) ( ) a
m n a
1 = n l (
l t T
t n
x
( )... x
( ) ... x
( ). ... m m r
...
1
... m n 1 1 m m 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m
x
'
r
x m
x
'
r
x n n 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) s s ' n . ... . ... n
x
( )... x
( ) ( ) ( ) n
b
n 1
b
1 n n 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) r t s m n 1 1 = l
d d x
x
'
t
x
n
x
'
l
d
r r d
... x
x
'
t
x
n
x
'
.
s n
x
'
s
x
t
n
...
s . x T
( )
t n
x
( ') s
n
x
( )... x
( ) n
x
s
x
n
x
( )...
l
) a
1
( a
n
( ) r
...
1
t
... ( ) ( ) m n
l
n n n n
b
n 1 1 1 1
b
1 r s ) n = n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t n
x
( )... x T
( )
t n
x
( ') s
n
x
( )... x
( ) x
( ) a
1
l
( ) a
n
l
( ) 1
r
...
1
... ( ) ( ) T
( n n n
b
n 1 1 1
b
1 a
a
)...(
(
m
1
b
b
)
)...(
n
1 (cid:0) ế ấ 2.1.3. Nguyên lý b t bi n ứ ế ậ ấ Nguyên lý b t bi n trong hình th c lu n vierbein: m = ổ ọ ộ ổ ụ ế ế ấ ố ớ Tác d ng b t bi n đ i v i phép bi n đ i t a đ t ng quát (1.2.1) x m
f m
x
' x
( ) a ) b
( ) u u = L (cid:0) ế ổ và phép bi n đ i Vierbein: (
m x
( ) a
x
' ( ')
m u
x
( )
m a
b (cid:0) (2.1.20) 47 ườ ậ ướ ế ặ Các tr ả
ng v t lý ph i là các vô h ổ
ố ớ
ng ho c tensor đ i v i phép bi n đ i ướ ố ớ ặ ọ ộ ổ
t a đ t ng quát (1.2.1) và là các vô h ặ
ng, ho c tensor, ho c spinor đ i v i phép ế ổ bi n đ i vierbein (2.1.20). 48 ứ ủ ể 2.1.4. Bi u th c c a Tetrad mn mn mn
h e ụ ứ ể Áp d ng công th c khai tri n: g g y =
x
( ) x
( ) e - - (2.1.21) pk=
2 16 v i ớ (2.1.22) m 2 u =
d e + + e
x
( ) x
( ) ... + (2.1.23) a m
(1)
F
a m
(2)
F
a m
x
( ) ( )
a ươ ự ư T ng t nh (2.1.21), ta có: mn m 2 = h d
ab e + + +
d + ( x
( ) n
...)( m
(1)
F
a a m
(2)
F
a b ừ
t đây suy ra: 2 g
+
e e
x
( )
+ +
e x
( ) ...) x
( ) x
( )
n
(1)
F
b n
(2)
F
b (2.1.24) mn mn mn = h +
e e ặ M t khác: g y yy mn
y x
( ) +
) ( h
2
( 1
h
2 1
mn
8 ab mn + - y ab h
y yy ) ... 1
4 1
mn
2 m m=
y - - (2.1.25) trong đó y m m = ừ ượ T (2.1.24) và (2.1.25) ta tìm đ c: d
y m
y (1)
F
a a a 1
4 1
2 - (2.1.26) m mn
(2) h= F (2)
F
a n
a suy ra: 49 ml = + m
d d
yy y
ab ab
y yy y y
l m
a a a a 1
32 1
8 1
m
8 1
8 - - (2.1.27) mu
( a x
) ( ) ượ ể Thay (2.1.26), (2.1.27) vào (2.1.23) ta đ ứ ủ
c bi u th c c a vierbein m u =
d e + ư
nh sau: m
y y x
( ) d
( +
) a a a m
a
( ) 1
4 1
m
2 m ml 2 3 +
e + - d
yy d
y
ab y y
l ab
y yy ( e
) 0( ) m
a a +
a a 1
32 1
8 1
m
8 1
8 - - (2.1.28) = +
e +
e Ta có: mn h
mn mn g y yy y x
( ) ( ) h
2
(
mn 1
8 1
h
mn
2 ab s + - - h
mn sn y y
ab +
yy
m y y ) ... 1
mn
2 1
4 - - (2.1.29) u =
h e h + n n y e
y yy
n x
( ) + -
( +
) h
2
( n
a a a a n
a
( ) 1
4 1
2 1
32 ab l 3 ể ậ ượ ứ ủ ể Vì v y có th tìm đ c bi u th c c a các vierbein: h
n n y y
ab y y
l e
) 0( ) a +
yy
n
a +
a 1
8 1
8 3
8 ab a a a a 2 u =
d e
a + h +
a - - (2.1.30) n n n y
n e
y yy
n y
ab y x
( ) ( +
) d
( 1
n
2 1
32 1
d
8 1
4 n
a 3 - - +
a
yy
n y y
mn +
e
) 0( ) 3
8 1
8 - (2.1.31) 50 ế ổ ố ệ ẫ 2.2. Tính đ i ng u hi p bi n t ng quát mnlr ế ươ ố ẹ ệ ố ẫ ố ượ ể ệ Trong thuy t t ng đ i h p, m i quan h đ i ng u đ ằ
c th hi n b ng ươ ệ ủ các ph ng ti n c a tensor Levi Civita 4 chi u . ề e mn ụ ể ệ
Ví d đi n hình là quan h : %
F mnlr
e F
lr 1
2 (cid:0) (2.2.1) ườ ộ ườ ệ ừ cho tensor c ng đ tr ng đi n t r l r l F
lr A A (cid:0) (cid:0) - (cid:0) mnlr ế ươ ố ổ ệ ế ỏ Rõ ràng, trong Thuy t t ng đ i t ng quát, tính hi p bi n đòi h i các e mnlr ộ ố ứ ạ ả ả ổ
ạ
d ng t ng quát ph i là m t s tensor h ng 4 hoàn toàn ph n x ng nào đó, e ể ượ ư ệ ề (x). Đi u đó cũng có th đ ế
c đ a vào trong tích vector hi p bi n ệ
kí hi u là mn ư ủ
c a 2 vector nh sau: l r A B mnlr
e ( ) x A x B x
( )
( )
( ) L (cid:0) (2.2.2) mn mnlr ế ổ ệ ệ ạ ở Trong kí hi u này, các d ng hi p bi n t ng quát cũ (2.2.1) tr thành l r %
F e mn
D A
) ( x D x A x
( )
( )
( ) mnlr = (cid:0) L (cid:0) r l r l e D A D A e ( =
) x F
( )
lr 1
2 1
mnlr
2 - (2.2.3) s ế ệ ạ
trong đó D là đ o hàm hi p bi n, = (cid:0)
l r lr s D A
r
l A A - G 51 s
lr mnlr G v i ớ là liên thông affine. abcde ứ ậ ư Trong hình th c lu n tetrad, tensor 4 chi u (x) có nh các thành ề e mnlr l m
abcd = e e x
( ) ụ ể ầ ề
ph n 4 chi u, c th là: d r
n
q q q q
b
a
( )
( )
( c
( ) ) mnlr abcd a d ) ( ) = c
( )
r (
m e e b
( )
x q q q q
( )
l
n (2.2.4) và (2.2.5) ỉ ố ộ ố ớ
v i a, b, c, d là ch s b b n. aq
(
m ) ( )
x mn a ab ) b
( ) h= (
m g x q
( ) x q
( )
n x
( ) ế ộ ố ệ ứ ự ỏ Ta đã bi t các vector b b n th a mãn các h th c tr c giao: (2.2.6) b
( ) h = a
( )
m g
mn x q
( )
n x
( ) x
( ) ứ ế ổ ượ và công th c bi n đ i ng c: abq h mn g x
( ) (2.2.7) ab mnlr ở và là trong không gian Minkowski và Riemann. e x
( ) a d ( c
( ) ( ) = )
l e
mnlr b
( )
q q q q
r
n x
( ) ế ả ớ ệ Cùng v i tensor ph n bi n ế
, chúng ta cũng xét các tensor hi p bi n e
m
abcd (2.2.8) mnlr= e
mnlr e x
( ) B x
( ) ể ặ
Rõ ràng là chúng ta có th d t mnlr mnlr= e e x
( ) C x
( ) (2.2.9) 52 ( )B x và ( )C x là m t s tr ộ ố ườ ậ ầ đây Ở ế
ng thành ph n tuân theo qui lu t bi n = -= B x JB x '( ') ( ), đ i:ổ C x '( ') 1
J C x
( ) (2.2.10) m = ế ổ ổ ờ ố ớ
đ i v i phép bi n đ i khôngth i gian t ng quát x m
f m
x
' x
( ) (cid:0) m m ứ ủ ị ậ
J là các đ nh th c c a ma tr n J D ( ) ( ) det( ) x
x x
x x
x
' n
' n
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) , (cid:0) (cid:0) ( )B x và ( )C x là vô h ứ ấ ướ ế ớ Công th c (2.2.10) cho th y ổ
ng v i phép bi n đ i ả ớ ổ ổ ứ ế ớ Lorentz ( v i J=1) ch không ph i v i phép bi n đ i t ng quát. mnlr = - e
mnlr e B x
( ) x
( ) ế ổ ượ ủ ứ
Các công th c bi n đ i ng c c a (2.2.9) là mnlr = - e e
mnlr C x
( ) x
( ) 1
4!
1
4! mnlr = - (2.2.11) e B x C x
( )
( ) x e
( )
mnlr x
( ) 1
4! và (2.2.12) ừ ươ ướ ấ
D u tr trong các ph ng trình (2.2.11) và (2.2.12) là do quy ủ
c c a =
0123 e= - 1 e
0123 chúng ta: 53 ươ ủ ườ ướ ẫ 2.3. Các ph ng trình c a tr ng vô h ấ
ng h p d n a aD q x
m ( ) 0 = (2.3.1) ừ ị ề T đ nh đ tetrad: mnlr D e
mnlr
a x
( ) 0 = , = (2.3.2) D e
a x
( ) 0 ậ ố ấ và c u trúc b c b n (2.2.4) và (2.2.5), chúng ta có m + G ừ T (2.2.9) và (2.3.2), ta có: am a B x B x
( ) (cid:0) m am a C x
( ) =
( ) 0
=
C x
( ) 0 (2.3.3) (cid:0) - G ab m m a và do đó: W n
G + (cid:0)
am
bn am { - G G ab m n m a W am bn am C x { h
(
h
( =
B x
)} ( ) 0
=
)} ( ) 0 (2.3.4) - G G - (cid:0) G ab a h= đâyỞ W a a b (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ứ ữ ể ặ ươ Các tính toán c a các bi u th c có m t trong nh ng ph ng trình này ử ụ ự ệ ằ ươ ượ
đ c th c hi n b ng cách s d ng ph ng trình g gmn det( ) m
G =
am a g , 1
g
2 (cid:0) (cid:0) (2.3.5) mn h=
mn +
mn g h x
( ) x
( ) ể
ớ ự
v i s khai tri n (2.3.6) g m
h
m = - +
(1 ), ấ ủ ậ ườ ẫ hmn theo b c nh t c a tr ấ
ng h p d n , ta có m
am m m
h 1
G = (cid:0)
a
2 (2.3.7) 54 ( h B x
) =
( ) 0 ượ ừ
t đây ta thu đ c: = (2.3.8) h C x ( ( ) 0 ) 1
m
+
W W
m
2
1
m
W W
m
2 - s s = ộ ươ ự M t cách t ng t cho tensor Ricci, chúng ta có: n s +
mn m sn sm R
mn s
h W
h
n h h (
m ) 1
2 m n = (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (2.3.9) m
(cid:0)W
h
m h
mn - (cid:0) và R (2.3.10) m s ế ả ươ ờ Thay các k t qu (2.3.10) vào, các ph ng trình (2.3.8) bây gi là: +
W R ( h B x
)
mn =
( ) 0 (cid:0) m s (2.3.11) W R ( =
h C x
( ) 0
)
mn 1
2
1
2 1
+ (cid:0)
2
1
2 - - (cid:0) (cid:0) = - ặ M t khác, t ừ ươ
ph ng trình Einstein mn mn mn Rg R
mn + L
T g pg
8 1
2 R T m = L +
4 pg
8 - m mà (2.3.12) ằ ố ấ ẫ Tmn ằ ượ trong đó L ố
h ng s vũ tr , ụ g h ng s h p d n, tensor năng –xung l ng. + L
W 2 ) ( ứ ủ ể ươ Thay bi u th c (2.3.12) c a R vào các ph ng trình (2.3.11), ta có W ( 2 ) =
B x
( )
= -
C x
( ) j B x
. ( )
j C x
.
( ) m n + (2.3.13) - L j h
mn T m pg
4 m 1
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) trong đó 55 ừ ươ ậ ằ ể ế T các ph ng trình (2.3.13), chúng ta có th k t lu n r ng các tr ườ
ng ư ườ ướ ố ượ ớ ươ B(x) và C(x) nh là các tr ng vô h ng v i kh i l ng bình ph ằ
ng b ng: m= - 2 2
m
B = L
2
C (2.3.14) ấ ủ ề ạ ộ ố
Đi u này có nghĩa r ng m t trong s chúng có tính ch t c a h t tachyon 0 ằ
L = ừ ế
trong lý thuy t dây, tr khi . ớ ạ ụ ủ ệ ế ẳ ờ Trong gi i h n c a lý thuy t hi u d ng trong không – th i gian ph ng, m n m 2 + ươ ữ ườ ườ ể ấ Lagrangian t ng tác cho nh ng tr ng này và tr ẫ
ng h p d n có th là: L mn Bh
mn h ( ) ~ ( pg
4 T B
) m int 1
4 (cid:0) (cid:0) m n m 2 + (2.3.15) L mn h Ch
(
mn ) ~ ( pg
4 T C
) m int 1
4 - (cid:0) (cid:0) ề ượ ể ấ ằ ặ Chúng ta có th nói r ng v n đ đ c xem xét trên đây liên quan ch t ch ẽ ệ ư ự ề ẫ ố ộ
i c a m t ố ượ ố ấ ướ ườ ế ằ ế
ề ự ồ ạ ủ
đ n khái ni m đ i ng u. Đi u đáng l u ý là d đoán v s t n t
ẫ L
ng liên quan đ n h ng s h p d n ng mà kh i l ng vô h tr . Chúng có ấ ấ ư ế ẫ ộ ố ả
b n ch t h p d n và m t trong s chúng là tachyon ( nh trong lý thuy t dây ) – ươ ố ượ ạ
h t có bình ph ng kh i l ng âm. 56 ƯƠ CH NG III Ố Ấ Ề Ằ Ụ Ẫ V H NG S H P D N VŨ TR Λ ề ằ ụ ẫ 3.1. V h ng s h p d n vũ tr Λ
ố ấ ầ ằ ố ượ ư ụ ầ
H ng s vũ tr l n đ u tiên đ ư ộ ự
c Einstein đ a ra năm 1917 nh m t l c ể ữ ụ ở ạ ụ ọ ệ ẫ
ấ
h p d n đ gi cho vũ tr ằ
tr ng thái cân b ng tĩnh. Trong ạ
Vũ tr h c hi n đ i, ử ứ ầ ượ ố ố ủ ự ở ộ nó là ng c viên hàng đ u cho năng l ng t i, gây ra gia t c c a s m r ng vũ ụ tr [22]. ề ổ ậ ấ ủ ề ằ ụ ữ ấ ấ ố ộ ậ
“V n đ h ng s vũ tr ” là m t trong nh ng v n đ n i b t nh t c a V t ủ ề ủ ự ứ ế ề ộ ệ
ọ
lý lý thuy t. Đây là m t ch đ quan tr ng c a nhi u lĩnh v c nghiên c u hi n ả ở ứ ộ ế ở ứ ộ ự ứ ệ ằ nay, c m c đ lý thuy t và m c đ th c nghi m qua các b ng ch ng quan ề ượ ố ứ ả sát ngày càng tăng v năng l ng t i. Tuy nhiên, các nhà nghiên c u gi ế
i quy t ữ ề ề ấ ộ ồ ọ ấ
v n đ này khác nhau r t nhi u gi a các c ng đ ng khoa h c khác nhau. ườ ầ ấ ằ ề ố ụ ầ Einstein là ng i đ u tiên đ xu t h ng s vũ tr ẫ
(không nên nh m l n ằ ố ườ ượ ữ ệ ằ ạ ớ
v i các h ng s Hubble) th ng đ c ký hi u b ng ch cái Hy L p "lambda" ế ủ ộ ử ế ươ ư ữ ọ ố ố Λ
( ), nh là m t s a ch a toán h c lý thuy t c a thuy t t ằ
ng đ i. H ng s vũ ụ ầ ệ ầ ấ ộ ự ề tr l n đ u tiên xu t hi n trong m t bài báo năm 1917 c aủ Einstein có t a đ là “ ế ươ ụ ố ổ Xem xét Vũ tr trong Lý thuy t t ng đ i t ng quát” (Einstein 1917) [22].Trong ế ươ ứ ủ ậ ả ơ ố ộ hình th c lu n đ n gi n c a nó, Thuy t t ự
ng đ i r ng d đoán r ng ằ Vũ trụ ở ộ ả ặ ạ ụ ằ ậ ph i m r ng ho c co l ậ
i. Einstein cho r ng Vũ tr là tĩnh, vì v y ông thêm thu t ữ ớ ở ộ ể ệ ể ặ ờ ng m i này đ ngăn ch n vi c m r ng [26]. Vào th i đi m đó, các quan sát vũ ụ ủ ườ ề ị ạ ủ ế tr c a con ng i v các ngôi sao trong thiên hà c a chúng ta còn b h n ch , do ự ự ờ ỳ ứ ệ ả ị ằ
đó quan sát trong th i k này là b ng ch ng bi n minh th c s cho gi ằ
đ nh r ng ụ ụ ủ ể ượ ộ Vũ tr là tĩnh. M c tiêu c a Einstein là đ có đ ụ ỏ
c m t Vũ tr th a mãn nguyên ế ị ự ầ ằ ậ ấ ộ lý Mach cho r ng v t ch t quy t đ nh quán tính, c n xây d ng m t vũ tr ụ ữ
h u ố ạ ự ỗ ự ụ ứ ẫ ẫ ị
ạ ổ
h n, n đ nh ch ng l i s suy s p h p d n [22]. N l c ch ng minh là vô ích vì ậ ằ ộ ọ ngay sau đó, năm 1922 Friedmann, m t nhà toán h c Nga, nh n ra r ng đây là 57 ộ ử ở ộ ữ ụ ề ấ ổ ộ
m t s a ch a không n, và đ xu t m t mô hình Vũ tr đang m r ng, bây gi ờ ể ượ ữ ế ế ả ọ ượ
đ c g i là lý thuy t Big Bang [26]. Nh ng k t qu này có th đ ộ
c coi là m t ụ ả ượ ở ộ ặ ạ ượ ằ
tiên đoán r ng Vũ tr ph i đ c m r ng ho c co l i mà sau này đ ứ
c ch ng ể ằ ỏ ấ ằ
ự ị
minh b ng các quan sát. Khi quan sát s d ch chuy n đ Hubble đã cho th y r ng ự ế ụ ế ủ ở ộ Vũ tr trong th c t ố ế ử ổ
là m r ng, Einstein h i ti c s a đ i lý thuy t c a mình và ữ ằ ụ ủ ấ ậ ố ớ ầ
xem thu t ng h ng s vũ tr là "sai l m l n nh t" c a mình (Einstein 1931). = ươ ầ Các ph ng trình Einstein ban đ u là: R
mn Rg
mn GT
mn p
8 1
2 - (3.1.1) h=1, nh ng gi ướ ấ ố ư ữ ằ ố ớ
v i qui ằ
c l y các h ng s c=1, nguyên h ng s Newton G [25]. ằ ấ ươ ườ ử H ng s ố L ệ
xu t hi n trong ph ng trình tr ổ ủ
ng s a đ i c a Einstein + L ứ ướ
d i hình th c: mn R
mn Rg
mn =
g GT p
8
mn 1
2 - (3.1.2) ề ụ ọ ủ ươ ữ ằ ụ ậ ồ ố Có nhi u nhà vũ tr h c ch tr ng ph c h i thu t ng h ng s vũ tr ụ vac r ơ ở ế ườ ế ữ ệ ế ạ ậ ớ trên c s lý thuy t. Lý thuy t tr ậ
ng hi n đ i liên k t thu t ng này v i m t ượ ậ ộ ủ ượ ủ ộ
đ năng l ng c a chân không. M t đ năng l ng c a chân không đ cượ vac r = G p
8 L ớ ớ ượ ể ớ ị
đ nh nghĩa v i ậ ộ
. V i m t đ năng l ng này có th so sánh v i các ủ ậ ụ ẽ ậ ấ ỏ ớ ộ ậ
ạ
d ng khác c a v t ch t trong Vũ tr , nó s đòi h i V t lý m i: thêm m t thu t ữ ằ ố ụ ự ể ắ ạ ng h ng s vũ tr ố ớ ậ
có ý nghĩa sâu s c đ i v i v t lý h t và s hi u bi ế ủ
t c a ự ơ ả ủ ự ề chúng ta v các l c c b n c a t nhiên [26]. ụ ộ ầ ữ ữ ằ ằ ầ ợ ố ể
Đ u nh ng năm 1990 có g i ý r ng h ng s vũ tr m t l n n a có th là ế ượ ư ự ồ ủ ằ ố ụ ẻ ầ
c n thi t. Đây đ c xem nh s h i sinh c a h ng s vũ tr và có v nh ư ằ ố ụ ế ằ ẩ ủ Einstein đã đúng. Ngày nay h ng s vũ tr cho bi t r ng mô hình chu n c a vũ 58 ặ ủ ở ạ ụ ạ ộ ượ ủ ỏ ự
tr giãn n l m phát đòi h i s có m t c a m t lo i năng l ng c a chân không ử ụ ủ ậ ượ năng l ng t i ượ
l ng t đang tràn ng p vũ tr c a chúng ta, ố (dark energy). Năng ả ộ ạ ư ủ ế ượ ạ ấ ượ
l ng t ố ượ
i đ c gi thuy t nh là m t d ng c a năng l ng và t o ra áp su t âm. ế ươ ố ộ ụ ư ằ ỉ Thuy t t ấ
ng đ i r ng ch ra r ng, áp su t âm này có tác d ng nh ng ng ượ
c ớ ự ẫ ở ề ấ ả ậ ớ chi u v i l c h p d n thang đo kho ng cách l n. Chính vì v y nó là nguyên ố ủ ự ụ ở ượ ố ở ọ ơ nhân gây ra gia t c c a s giãn n vũ tr . Năng l ng t i có m i n i và choán ụ ủ ể ể ượ ả ượ ố ầ
đ y Vũ tr c a chúng ta. Đ hi u đ ấ ủ
c b n ch t c a năng l ng t i, chúng ta ả ậ ượ ử ủ ế ớ ạ ử ư ầ
c n ph i đi sâu vào v t lý l ng t c a th gi i h nguyên t . Nh chúng ta đã ượ ố ỗ bi ế ở
t, thang vi mô, không gian đ ả
c coi là tr ng r ng hay chân không hoàn h o ố ỗ ượ ộ ườ ầ ở ọ ạ
l i không hoàn toàn tr ng r ng mà đ c choán đ y b i m t tr ng g i là Higgs. ườ ố ượ ườ Chính tr ng này đã làm cho các quark và lepton có kh i l ng. Tr ng Higgs ủ ạ ố ượ ể ậ ộ ữ ấ làm ch m chuy n đ ng c a h t, cho chúng kh i l ng và gi ủ
cho c u trúc c a ử ổ ị ườ ể ể ộ nguyên t ế
n đ nh. N u không có tr ớ
ng Higgs, electron có th chuy n đ ng v i ộ ử ẽ ị ậ ứ ỡ ấ ố
t c đ ánh sáng, nguyên t s b phá v c u trúc và phân rã ngay l p t c. Năng ạ ượ ớ ử ả ủ ượ
l ng chân không v i các h t l ng t trong chân không hoàn h o c a th gi ế ớ
i ố ủ ể ồ ượ ố ệ ế vi mô có th là ngu n g c c a năng l ng t i. Vi c khám phá ra lý thuy t siêu ệ ữ ể ố ượ ố ườ ố ứ
đ i x ng, cho phép hi u rõ m i liên h gi a năng l ng t i và tr ng Higgs. S ự ẽ ề ầ ộ ọ ồ ạ ủ
t n t i c a các boson Higgs s đóng m t vai trò quan tr ng v thành ph n năng ố ề ự ẩ ụ ệ ằ ố ượ
l ng t ậ
i. Chúng ta xem li u h ng s vũ tr có đóng vai trò gì v l c đ y bí m t ượ ố ố ự ở ủ ụ ủ
c a năng l ng t i gia t c s giãn n c a Vũ tr hay không? Các phép đo v ề ứ ạ ề ự ủ ộ ớ ườ
c ng đ và s thăng giáng c a phông b c x n n cùng v i các phép đo khác v ề ấ ằ ố ớ ượ ố ự
s phân b các đám thiên hà, sao siêu m i đã cho th y r ng, năng l ng t i có ớ ằ ấ ị ụ ữ ệ ẳ ạ ố ố m i liên h nh t đ nh v i h ng s vũ tr . Ch ng h n, có nh ng sao siêu m i ớ ở ộ ượ ượ ạ ự ạ ể
ấ
r t xa, chúng có th phát ra cùng m t l ng năng l ng t i các pha c c đ i sáng. ế ượ ủ ữ ộ ớ N u đo đ c đ sáng c a nh ng sao siêu m i này chúng ta có th bi ể ế ượ
c
t đ ả ớ ượ ọ ữ ừ ạ ớ kho ng cách t i chúng, chúng đ ả
c g i là nh ng sao siêu m i lo i Ia. T kho ng ộ ủ ẽ ế ượ ố ớ ụ cách và t c đ c a sao siêu m i này chúng ta s bi t đ c vũ tr đang giãn n ở ư ế ờ ố ộ ở ươ ớ ự ẩ theo th i gian nh th nào và t c đ giãn n này có t ng thích v i l c đ y gây 59 ở ượ ố ổ ố ở ượ ự ộ ra b i năng l ng t i không? S thay đ i t c đ giãn n đ ằ
ị
c xác đ nh b ng ỏ ủ ự ị ữ ệ ở ớ ộ ể ể
vi c so sánh s d ch chuy n đ c a nh ng thiên hà ế
xa v i đ sáng bi u ki n ồ ằ ữ ữ ấ ạ ớ ệ
ủ
c a nh ng sao siêu m i lo i Ia tìm th y trong nh ng thiên hà đó. R i b ng vi c ộ ố ươ ữ ụ đo t c đ và t ng tác gi a các đám thiên hà trong vũ tr cho phép chúng ta xác ượ ổ ố ượ ố ượ ủ ấ ị
đ nh đ c t ng kh i l ng c a chúng. Các phép đo cho th y, kh i l ổ
ng t ng ơ ấ ố ượ ề ớ ấ ộ
c ng l n h n r t nhi u kh i l ng nhìn th y do các sao và các đám khí nóng phát ậ ộ ủ ệ ư ộ
ạ
x tia X... trong các đám thiên hà. Vi c coi m t đ c a các đám thiên hà nh m t ề ượ ể ờ ượ ố ệ ứ ủ
h th c c a th i gian cho phép chúng ta hi u thêm v l ng năng l ng t i có ứ ấ ụ ề ượ ố trong Vũ tr vì chân không ch a r t nhi u năng l ng t i [28]. ả ử ụ ấ ủ ụ ể ả ơ Đ khám phá sâu h n b n ch t c a Vũ tr , chúng ta ph i s d ng các gmn ế ươ ữ ố ổ ủ ể ệ ọ
ngôn ng toán h c trong Thuy t t ng đ i t ng quát c a Einstein đ liên h hình Tmn ể ệ ủ ờ ở ớ ọ
h c c a không th i gian (th hi n b i các tensor metric, ) v i các hàm ượ ể ệ ụ ủ ở ượ ượ
l ng năng l ng c a vũ tr , (th hi n b i tensor năng xung l ng, ). ụ ằ ố ượ ệ ậ ố H ng s vũ tr và năng l ộ
ng chân không có m t m i quan h m t thi ế
t. ướ ể ề ượ Tr c tiên ta đi tìm hi u v năng l ng chân không. w ) ố ạ Các thông s tr ng thái ( ả B ng 1: ứ ạ B c x 1/3 Các thông ấ ậ ấ V t ch t (áp su t không) 0 số tr ngạ ộ Đ cong 1/3 thái w mô
ả ố
t
m i ụ ằ ố H ng s vũ tr 1 w < 1/3 =
w p r
/ quan hệ ấ ổ ậ ợ V t ch t (t ng h p) 0 < gi a ápữ ậ ấ su tấ p và m t đ ậ ộ r c a v t ch t:
ủ . 60 ụ ề ộ ố ố ạ ườ ấ ở ư ấ ậ th ng. Khi v t ch t áp su t không p=0 thì c w tăng và khi v 1 / 3 (cid:0) ố ạ thì . thì thông s tr ng thái ấ ỏ
Đây là m t s ví d v các thông s tr ng thái cho các ch t l ng thông
ạ ậ ố n
w 0= , nh ng khi nó đ t v n t c
w (cid:0) ượ ự ơ ọ ượ ử Năng l ng chân không phát sinh t nhiên trong c h c l ng t do ấ ị ạ ậ ượ ể ạ nguyên lý b t đ nh. Trong v t lý h t, chân không đ ơ ả
c hi u là tr ng thái c b n ớ ấ ế ứ ượ ấ ị ấ ấ ủ
c a lý thuy t ng v i c u hình năng l ng th p nh t. Nguyên lý b t đ nh không ượ ả ạ
cho phép các tr ng thái năng l ng không chính xác, ngay c trong chân không ượ ạ ế ươ ố ổ ấ ả ạ ả
(các h t o là đ c t o ra). Vì trong Thuy t t ng đ i t ng quát t t c các hình ứ ượ ẫ ấ ượ ơ ả ủ
th c c a năng l ạ
ng h p d n, tr ng thái năng l ng chân không c b n này ưở ự ọ ủ ự ở ộ ế ộ ả
không nh h ụ
ng đ n đ ng l c h c c a s m r ng Vũ tr . ượ ấ ỳ Năng l ư ẫ
ng chân không không có b t k quy trình tiêu tán nào nh d n + + mn T
mn p U U
n
m pg r=
( ) ệ ặ ộ ư ộ ấ ỏ ạ ậ ớ ưở nhi t ho c đ nh t, vì v y nó có d ng nh m t ch t l ng lí t ng: (3.1.3) ể ấ ượ ế
Đ duy trì b t bi n Lorentz, năng l ng chân không cũng không có h ướ
ng ư ấ ỏ ạ ầ ưở ượ u tiên. Do đó, d ng đ u tiên trong ch t l ng lí t ng, tensor năng l ả
ng ph i vac vac r= - ế ẫ ằ
b ng không,d n đ n: p vac vac vac = r = - (3.1.4) p w / 1 ề ươ ứ ớ ươ Đi u này t ng ng v i ph ạ
ng trình tr ng thái , vac = = - r vac
mn T
mn vac
p g
mn g ế ả ượ ượ và k t qu là trong tensor năng – xung l ứ
ng ch a năng l ng chân không: (3.1.5) vac atterm = +
mn ể ượ ầ Chúng ta có th tách các tensor năng – xung l ộ
ng thành m t ph n mô t ả T
mn T
mn T ấ ượ ầ ộ ả ậ
v t ch t và năng l ng, và m t ph n mô t chân không, . ươ ồ ượ ở Ph ng trình Einstein bao g m năng l ng chân không tr thành: 61 m vac m vac = +
atter
mn r
atter
mn R
mn Rg
mn T g p
8 G T
(
mn =
p
) 8
mn G T
( ) 1
2 - - (3.1.6) ế ằ ệ ấ ằ ố ươ Ta đã bi ụ
t r ng h ng s vũ tr xu t hi n trong ph ng trình Einstein d ướ
i + L d ng:ạ mn R
mn Rg
mn =
g GT mnp
8 1
2 - ư ậ ượ ể ệ ụ ằ ố ố Nh v y, năng l ệ
ng chân không và h ng s vũ tr có th hi n gi ng h t ế ươ ậ ộ ố ổ ượ nhau trong Thuy t t ễ
ng đ i t ng quát, mi n là m t đ năng l ng chân không ở ượ
đ ị
c xác đ nh b i: vac r = G p
8 L (3.1.7) ộ ụ ồ ấ ẳ ướ ọ ượ Trong m t vũ tr đ ng nh t và đ ng h ng, hình h c đ ở
ị
c xác đ nh b i ố ệ ộ các s li u FriedamnnLemaîtreRobertsonWalker và các đ ng ự
l c h c ủ
ọ c a vũ ố ở ươ ự ọ ượ ộ tr ụ đ cượ chi ph i b i các ph ng trình Friedmann. Các đ ng l c h c đ ề
c đi u ể ở ượ ụ ươ ủ ạ khi n b i hàm năng l ủ
ng c a vũ tr và ph ng trình tr ng thái c a các thành w liên quan v i m t đ ρ
ậ ộ
ớ = ậ ộ ầ ạ ượ ố ạ ph n t o nên m t đ năng l ng. Thông s tr ng thái p
r ấ ứ w ụ ữ ằ ặ ố và áp su t p theo công th c . H ng s vũ tr có m t trong nh ng ph ươ
ng ư trình này nh sau: p
8 2 = r H , k
+
2
a 3 L - G
3
G = r + + ( p
3 ) &&
a
a p
4
3 3 (3.1.8) - L H = &
a
a ở ế ố ủ ẩ ớ ệ ể ờ đây a là các y u t ụ
c a vũ tr chu n t i th i đi m hi n nay, là h ngằ ụ ủ ậ ộ ị ươ ứ ố
s Hubble, và k là đ cong c a vũ tr nh n các giá tr +1, 0, và 1 t ớ
ng ng v i ươ ẳ ộ
đ cong d ng, ph ng, và âm. 62 0a =& k > và
0 L > ữ ươ ậ Nh ng ph ấ
ng trình này ch p nh n m t ệ
ộ nghi m tĩnh ( ) v i ớ 0 . ằ ằ Sau khi Hubbe phát hi n raệ r ng vũ tr ụ đang m r ng ở ộ , vai trò c aủ h ng s ố ể ồ ớ ươ vũ trụ đ các ệ
nghi m tĩnh đ ng nh t ấ v i các ph ng trình Einstein khi có v tậ ầ ế ch tấ , d ngườ như là không c n thi t. ươ ấ ỳ ủ ị ừ
T ph ng trình Friedmann (3.1.8), đ i v i ố ớ b t k giá tr nào c a tham s ố r = ộ ố ượ ị t ớ ạ ủ m t đậ ộ kh i l i h n c a ng sao cho hình h c ọ không Hubble H có m t giá tr G k = ),
0 p
/ 8 c 2
H
03 r r ườ ườ ổ ị gian là ph ngẳ ( . Ng i ta th ng xác đ nh t ng m t đ ậ ộ r
/ c W =
M c ố ượ ậ ộ ớ ạ kh i l ng theo m t đ t i h n ậ ộ
b ngằ tham số m t đ . ậ ộ ả Nhìn chung, m t đ kh i l ố ượ r bao g mồ các kho n đóng góp t ng ừ các ệ ủ ể ườ ầ
thành ph n riêng bi t khác nhau . Theo quan đi m c a Vũ tr h c ụ ọ , ng i ta quan ế ừ ạ ầ ỗ ể ả tâm đ n t ng khía c nh ủ
c a m i thành ph n có liên quan đ kh o sát xem m tậ ượ c aủ nó phát tri nể như thế nào khi vũ trụ m r ng ở ộ . Nói chung, m tộ ng ươ ậ ấ ộ
đ năng l
L d ng làm gia t c số ự m r ng ở ộ vũ trụ, trong khi m t ộ L âm và v t ch t thông W < ươ th ngườ có xu h ả
ngướ gi m gia t c ơ
ố . H n n a, ữ các đóng góp t ng đ i ủ
ố c a các 0 L ớ ậ ộ ờ thành ph nầ t i m t đ năng l ượ là thay đ iổ theo th i gian ng ố ớ
. Đ i v i , vũ W = W L ừ ướ tr ụ s m r ng ẽ ở ộ mãi mãi tr khi có ậ
đủ v t ch t đ ấ ể gây ra s p đ l ụ ổ ạ tr i c khi 0 W > L ở ố ớ ộ tr thành ự
đ ng l c h c ọ
ọ quan tr ng. Đ i v i , chúng ta có các tình hu ngố 1 1 W (cid:0) L L ụ ạ ụ quen thu cộ trong , vũ trụ m r ng ở ộ mãi mãi và vũ tr suy s p l i. ộ ị ể ớ ỏ G n ầ đây hai nhóm, Sao siêu m i có đ d ch chuy n đ cao (High Z ự ụ ọ ớ Supernova Team) và D án vũ tr h c Sao siêu m i (Supernova Cosmology ứ ượ ằ
Project) trình bày b ng ch ng cho th y ấ s m r ng ủ
ự ở ộ c a Vũ tr là ụ đang đ c gia ộ ớ ằ t cố . Các đ i này ả
đã đo kho ng cách t i các ử ụ
siêu tân tinh vũ trụ b ng cách s d ng ự ế ộ th c t đ sáng n i t ộ ạ ủ siêu tân tinh lo iạ Ia là liên quan ch t chặ i c a ẽ v iớ t lỷ ệ ả ố ượ ộ ủ
gi m c a chúng ộ
từ đ sáng t i đa , có thể đo đ c m t cách đ c l p ộ ậ . Các phép đo 63 ể ị ẫ ớ
này, k tế h pợ v i các d li u ữ ệ d ch chuy n đ ỏ cho siêu tân tinh, d n đ n ữ
ế nh ng d ự ụ ả ộ đoán c aủ m t vũ tr gia t c ố . C hai nhóm thu đ cượ 0.3, 0.7 M W (cid:0) W (cid:0) L ( (1,0) ) W =
,
M W L ề ố ủ ạ
và m nh m ụ
ẽ bác bỏ vũ tr truy n th ng . Giá trị này c a tham W L ứ ằ ố số m t đậ ộ ươ
t ng ng v i ớ h ng s vũ tr ụ là nhỏ, nh ngư khác không và ươ
d ng, 35 2 s 10 - - L (cid:0) [21] ứ ự ố ằ ụ 3.2. Các quan sát b ng ch ng cho s gia t c Vũ tr ẽ ớ ứ ụ ệ ấ ạ ằ ố ề
B ng ch ng vi c quan sát vũ tr đang gia t c là r t m nh m , v i nhi u ự ệ ả ấ ồ ờ ề
th c nghi m khác nhau bao g m kho ng th i gian r t khác nhau, quy mô chi u ế ậ ụ ẳ ộ dài, và quá trình v t lý, trong đó n u coi vũ tr ẽ
là ph ng thì s có m t m t đ ậ ộ ượ ấ ố ấ ậ ả ậ năng l ng kho ng 4% v t ch t baryon, 23% v t ch t t i, và 73% năng l ượ
ng ụ ằ ố
t ố
i (h ng s vũ tr ): ố ượ ầ ượ ủ ằ ố Hình 3.1: Các thành ph n kh i l ngnăng l ụ
ng c a vũ tr . H ng s vũ ứ ủ ụ ể ộ ượ ố ề ượ tr có th là m t hình th c c a năng l ng t i, đó là đi u đ ằ
ứ
c cho là đ ng đ ng ụ ở ộ ố ủ ự sau s gia t c c a vũ tr m r ng [22]. 64 ậ ể ầ ề v t ch t t i Ta cũng c n hi u thêm v ấ ố (dark matter): Năm 1933, Fritz ậ ố ủ ạ ậ ự ủ ệ ệ ấ ấ Zwicky phát hi n ra s xu t hi n c a lo i v t ch t này khi đo v n t c c a các ụ ườ ườ ố ượ ủ ộ thiên hà trong c m thiên hà Coma. Ng i ta th ng đo kh i l ng c a m t thiên ậ ố ơ ả ự ụ ứ ấ ằ hà b ng 2 cách c b n. Cách th nh t là s phân tán v n t c trong c m thiên hà. ố ươ ậ ố ự ẽ ớ Thiên hà có kh i l ng càng l n s càng có s phân tán v n t c rõ nét ra các ờ ươ ể ị ượ ổ ậ
thiên hà lân c n và nh ph ng pháp đó có th xác đ nh đ c t ng kh i l ố ượ
ng ộ ư ứ ủ ể ị
ủ ụ
c a c m thiên hà. Cách th hai là xác đ nh đ tr ng c a các thiên hà đ rút ra ố ượ ủ ừ ượ ổ ố ượ ụ ủ kh i l ng c a chúng và t đó tính đ c t ng kh i l ng c a c m thiên hà. ố ượ ề ộ ụ ủ ứ ấ Đi u đáng chú ý là kh i l ng c a m t c m thiên hà tính theo cách th nh t luôn ơ ấ ố ượ ề ố ấ ế ớ
l n h n r t nhi u kh i l ng tính theo cách hai cho dù tính đ n sai s r t cao. ự ồ ạ ủ ư ậ ạ ậ ư ể ấ ằ ộ Nh v y có th suy đoán r ng có s t n t i c a m t lo i v t ch t còn ch a bi ế
t. ự ồ ạ ủ ậ ố ượ ấ ậ ủ ự Chính s t n t i c a v t ch t này mà kh i l ấ
ng th t c a các thiên hà th c ch t ố ượ ề ấ ơ ể ượ ư ệ ẫ ớ
l n h n r t nhi u kh i l ng có th quan sát đ ự
c. Hi n v n ch a có th c ặ ủ ấ ố ự ệ ậ ậ nghi m nào xác nh n hoàn toàn s có m t c a các v t ch t t i này. Tuy nhiên ệ ồ ạ ủ ấ ượ ệ ưở ệ ứ ữ vi c t n t i c a nó hi n nay là r t đ c tin t ng do nh ng hi u ng đã đo đ ượ
c [27]. ữ ế ả ả ộ Trong kho ng nh ng năm 1998 các k t qu siêu tân tinh đã có m t vài ở ườ ứ ằ ấ ậ ươ ệ ấ ố dòng b ng ch ng cho th y đã m đ ng cho vi c ch p nh n t ng đ i nhanh ố ủ ủ ự ứ ụ ằ chóng c a các siêu tân tinh, b ng ch ng cho s gia t c c a vũ tr . Ba o g m ồ đ cặ bi t ệ 3 v n đấ ề: 65 ố ủ ư ụ ủ ờ ộ Hình 3.2: Kích th ướ ươ
c t ng đ i c a vũ tr nh là m t hàm c a th i gian ụ ấ ậ ỏ ộ
cho m t vũ tr ẳ
ph ng làm hoàn toàn v t ch t (màu đ ) và đ ượ làm 30% v tậ c ằ ố ụ ả ườ ch tấ và 70% h ng s vũ tr (màu xanh lá cây). Trong c hai tr ợ
ng h p, các ể ờ ươ ứ ớ ề ượ ị ủ
đi m không c a th i gian t ng ng t i ngày nay, và đi u đó đã đ c đ nh nghĩa ớ ố ộ ụ ệ ằ ợ ố ở ủ
ể ộ ố
đ đ d c phù h p v i t c đ giãn n c a vũ tr hi n nay (h ng s Hubble đ ượ
c ự ủ ệ ể ả ụ ướ ầ th c hi n là 70 km / s / Mpc). C hai ki u c a vũ tr đã b ố
ả
c đ u gi m t c, ắ ầ ụ ớ ư ụ ể ằ ố ố nh ng vũ tr v i các h ng s vũ tr sau đó chuy n sang và b t đ u tăng t c. Vũ ụ ớ ằ ụ ề ấ ố ơ ờ ơ ở tr v i h ng s vũ tr là già h n b i vì nó m t nhi u th i gian h n đ đ t đ ể ạ ượ
c ụ ỉ ậ ấ ớ ự ở ộ
s m r ng t ỷ ệ ệ ạ ủ
hi n t i c a nó (13,5 Gyr) so v i vũ tr ch v t ch t (9,3 Gyr). l ụ ấ ẻ ơ ệ ấ ờ ớ a, Vũ tr xu t hi n tr h n so v i các ngôi sao lâu đ i nh t. ễ ể ự ế ủ ụ S ti n hóa c a Sao là d hi u, và các quan sát các ngôi sao trong c m sao ằ ấ ầ ơ ớ ổ ơ ỉ ỷ hình c u và các n i khác ch ra r ng các ngôi sao l n tu i nh t là h n 13 t năm 66 ổ ủ ể ổ ớ ụ ằ ỷ ệ ủ tu i. Chúng ta có th so sánh v i tu i c a vũ tr b ng cách đo t c a vũ tr l ụ ở ộ ở ạ ụ ả ờ m r ng ngày hôm nay và truy tìm tr l ế
i th i Big Bang. N u vũ tr đã gi m gia ộ ệ ạ ủ ớ ố ổ ẽ ấ ố ớ ố ế ơ ố
t c v i t c đ hi n t i c a nó thì tu i s th p h n n u nó đã gia t c t i t c đ ộ ệ ạ ủ ộ ụ ấ ẽ ỉ ạ ẳ ỉ hi n t i c a nó (xem hình 3). M t vũ tr ở ậ
ph ng ch t o b i v t ch t s ch có ỷ ộ ấ ằ ổ ỷ ả
kho ng 9 t ề ớ
năm tu i m t v n đ l n cho r ng đây là vài t ớ
ẻ ơ
năm tr h n so v i ụ ẳ ặ ằ ấ ờ ớ ố ộ
các ngôi sao lâu đ i nh t. M t khác, m t vũ tr ph ng v i 74% h ng s vũ tr s ụ ẽ ả ỷ ụ ổ ố ả là kho ng 13,7 t năm tu i. Do đó, quan sát vũ tr là đang gia t c gi ế
i đã quy t ổ ị ượ
đ c ngh ch lý tu i. ề b, Có quá nhi u thiên hà xa xôi. ệ ế ố ượ ử ụ ỗ ự ể ướ ộ Vi c đ m s thiên hà đã đ c s d ng r ng rãi trong n l c đ c tính ộ ủ ở ộ ụ ủ ữ ệ ể ả ố ị gi m gia t c đ c a vi c m r ng c a vũ tr . Th tích không gian gi a hai d ch ụ ố ớ ở ủ ể ỏ ộ ộ chuy n đ khác nhau tùy thu c vào quá trình giãn n c a vũ tr (đ i v i m t góc ố ượ ố ỏ ư ộ ữ ệ ị ử ụ
kh i). S d ng s l ể
ng thiên hà gi a hai d ch chuy n đ nh m t bi n pháp đo ể ể ở ườ ư ớ th tích không gian, các nhà quan sát đã đo th tích xa d ng nh quá l n so ụ ả ề ộ ữ ủ ặ ố ộ ớ
v i nh ng tiên đoán v m t vũ tr gi m gia t c. Ho c là đ sáng c a các thiên hà ặ ố ộ ơ ị ể ượ ể ờ ho c s các thiên hà trên m t đ n v th tích đ ộ
ớ
c phát tri n v i th i gian m t ể ấ ặ ộ ờ cách b t ng , ho c th tích mà chúng ta đã tính toán là không chính xác. M t vũ ụ ể ả ố ữ ệ ế tr gia t c có th gi ấ ỳ ự ế
i thích nh ng quan sát mà không vi n đ n b t k s ti n hóa thiên hà l .ạ ẳ ộ ượ ủ ụ ặ ủ ậ ấ c, Đ ph ng quan sát đ c c a vũ tr m c dù không đ v t ch t. ử ụ ế ộ ệ ộ ứ ạ ề S d ng các phép đo bi n đ ng nhi t đ trong b c x n n vi sóng vũ tr ụ ừ ậ ằ ể ế ụ ụ ổ (CMB) t khi vũ tr ~ 380.000 năm tu i có th k t lu n r ng vũ tr là không gian ế ợ ữ ệ ữ ằ ẳ ầ ớ ộ ớ ph ng v i m t vài ph n trăm. B ng cách k t h p nh ng d li u này v i phép đo 0H và các phép đo m t đ v t ch t c a vũ tr , nó tr nên rõ ràng r ng
ằ
ấ ủ ậ ộ ậ ụ ở chính xác ấ ụ ậ ộ ớ ạ ỉ ậ
v t ch t trong vũ tr ả
ch đóng góp kho ng 23% m t đ t ộ
i h n. M t cách đ ể ế ượ ị ấ ẽ ượ ộ ằ ụ ọ ố ậ ộ
chi m m t đ năng l ng b m t s đ c g i là m t h ng s vũ tr . Hóa ra, s ố ụ ầ ằ ố ự ấ ố ượ
l ng h ng s vũ tr c n thi ế ể ả
t đ gi i thích s gia t c quan sát th y trong các d ữ 67 ữ ệ ầ ế ể ậ ẳ ỉ
li u siêu tân tinh, ch là nh ng gì c n thi ụ
t đ làm cho vũ tr ph ng. Vì v y các ậ ộ ậ ế ấ ẫ ố
ằ
h ng s vũ tr ụ ả
gi ữ
i quy t mâu thu n rõ ràng gi a m t đ v t ch t và các quan sát CMB. ủ ự ằ ố ả M c ặ dù có s thành công c a nó , h ng s vũ tr ụ là không ph i không có ấ ằ ố ở v nấ đ .ề V n đ ề h ng s vũ tr ụ phát sinh b i vì, b ngằ cách sử d ngụ các đ iố số tự ườ ượ ườ ạ nhiên trong lý thuy tế tr ng l ng t ử, ng i ta không thể gi iả thích lý do t i sao ằ ố ượ ơ ọ ượ các h ng s vũ tr ụ quan sát đ c là quá nhỏ. Tính toán c h c l ng t ử ằ
r ng ấ ả ứ ưỡ ổ
t ng các đóng góp từ t t c các hình th c chân không d iướ ng ng ử
t ngo i ạ ở ấ ượ thang Planck cung c p cho m t ộ m tậ độ năng l ng chân không c aủ 3 r r = : 112
10 er /g cm p
8 G L ượ L L (v i ớ ). Đi uề này v t quá giá trị quan sát vũ trụ 3 r : 8
10 er /g cm - ậ ộ ớ ả L c a ủ kho ng 120 b c đ l n [22]. 68 Ậ Ế K T LU N ề ậ ứ ủ ề ậ ạ ế
Trong ph m vi nghiên c u c a đ tài lu n văn, chúng tôi đã đ c p đ n ữ ộ ượ ộ ố ế ư nh ng n i dung và thu đ ả
c m t s k t qu chính nh sau: ệ ố ứ ươ Nghiên c u trình bày t ng quan và có h th ng ph
ổ ổ
ng trình t ng quát ớ ọ Einstein cùng v i hình h c không gian Riemann cong. ớ ệ ậ ế ổ ẫ ố Gi ứ
i thi u hình th c lu n Tetrad ệ
, tính đ i ng u hi p bi n t ng quát, ơ ở ự ươ ạ ườ ộ trên c s đó xây d ng các ph ng trình cho m t lo i tr ng vô h ướ
ng ẫ ươ ự ỏ
ấ
h p d n th a mãn ph ng trình Klein – Gordon. D đoán v s t n t ề ự ồ ạ
i ướ ươ ố ượ ộ ườ ng mà bình ph ng kh i l ế
ng liên quan đ n ủ
c a m t tr ng vô h
ẫ L
ố ấ
ằ
h ng s h p d n . ị ủ ằ ướ ể ầ B c đ u tìm hi u và phân tích ý nghĩa, vai trò và giá tr c a h ng s ố ộ ố ằ ộ ố ế ẫ
ấ
h p d n vũ tr ụ L ứ
trong m t s lý thuy t. Nêu ra m t s b ng ch ng ự ả ự ở th c nghiêm gi ụ
i thích s giãn n vũ tr . ế ứ ố ắ ứ ư ệ ế ề ặ ờ M c dù đã c g ng h t s c nh ng vì đi u ki n th i gian, ki n th c, kinh ứ ế ệ ậ ạ ọ ỏ ữ
nghi m nghiên c u khoa h c còn h n ch nên lu n văn không tránh kh i nh ng ự ỉ ả ủ ế thi u sót, em kính mong s ch b o quý báu c a các thày cô giáo. 69 Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O ế ệ ệ Tài li u ti ng Vi t: 1. ộ ố ứ ụ ơ ọ
ơ
Đào Huy Bích (2007), Phép tính Tenx và m t s ng d ng trong C h c, ạ ọ ộ ố V t lýậ , NXB Đ i h c Qu c gia Hà n i. 2. ứ ọ ế ậ ườ Nh p môn Lý thuy t Tr ng l ượ
ng Đào V ng Đ c, Phù Chí Hòa (2007), ỹ ậ
ọ
tử, NXB khoa h c và k thu t. 3. ọ ạ ơ ả ạ ế ả Bài gi ng Lý thuy t H t c b n t ệ
i Vi n ứ
Đào V ng Đ c (19802010), V t Lýậ , ĐHSP Hà N i.ộ 4. ọ ế ươ ả ố ổ Bài gi ng Lý thuy t t ng đ i t ng quát ứ
Đào V ng Đ c (20012010), , ĐHSP Hà N i.ộ 5. ễ ọ ạ ọ ố H t c b n Nguy n Ng c Giao (2001), ạ ơ ả , NXB Đ i h c Qu c gia TP. Hồ Chí Minh. 6. ễ ơ ở ế ườ ượ C s lý thuy t tr ng l ng t Nguy n Xuân Hãn (1996), ử, NXB Đ iạ ộ ố ọ
h c Qu c gia Hà N i. 7. ụ ượ ư ế c hình thành nh th nào? Lê Quang Minh (1999), Vũ tr đ ả ầ
(tái b n l n ụ ứ ệ th 2), NXB Giáo d c Vi t Nam. 8. ử ậ ả ầ ứ ị Đào Văn Phúc (2009), L ch s V t lí h c ọ (tái b n l n th 4), NXB Giáo ệ ụ
d c Vi t Nam. 9. ế ươ ễ ố ổ ả
ỏ Bài gi ng Thuy t t ng đ i t ng quát Nguy n Văn Th a, , ĐHKHTN, ạ ọ ộ ố
Đ i h c Qu c gia Hà n i. ệ ế
Tài li u ti ng Anh: 10. Carroll S.M. (1997), Lecture Notes on General Relativity, University of California. 70 11. Furlanetal G. (1997), Superstrings, Supergravity and Unifried Theories, World Scientific. 12. KaKu M. (1993), Quantum Field Theory, Oxford University Press, New York. 13. Landau L.D. and Lifshitz E.M., The Classical Theory of Fields, fourth revised english edition, Course of Theoretical Physics volume 2, Moscow, December 1939, Moscow, June 1947, pp 288, 295 – 297. 14. Lee H.C. (1983), An Introduction to Kaluza – Klein Theories, World Scientific. 15. Lee T.D. (1988), Particle Physics and Introduction to Field Theory. 16. Peskin M.E., Schroeder D.V (1995), An Introduction to Quantum Field Theory. 17. Ryder L.H. (1995), Quantum Field Theory, Cambridge University Press. 18. Weinberg S. (1995), The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press, New York. 19. Weinberg Steven, Gravitation and Cosmology: Principles and applications of the general theory of relativity, Cambridge, Massachusetts, April 1971, pp. 78, 95, 365. 20. Witt B.De, Fayet P., Nieuwenhuizen Van P. (1984), Supersymmetry and Sunergravity, World Scientific. 21. Carmeli Moshe (2002), Cosmological special relativity, The Large Scale Structure of Space, Time and Velocity, Second Edition, World Scientific, pp.168 170. ệ Tài li u Internet: 22.Http://www.scholarpedia.org/article/Cosmological_Constant (Cosmological_Constant). 71 23. Http://en.wikipedia.org/ wiki/Cosmological_Constant (Physical cosmology). 24. Http://www.universetoday.com/55680/CosmologicalConstant (Cosmological Constant by Jean Tate on February 12, 2010). 25. Http:// ned.ipac.caltech.edu/level5/Carroll2/frames.html (The Cosmological Constan by Sean M. Carroll). 26. Http://map.gsfc.nasa.gov/universe/uniaccel.html (What is a Comological Constant?). ụ ọ ậ ấ ố ượ 27. Http://thienvanvietnam.org/Home/vũ tr h c/v t ch t t i và năng l ng t ố
i ấ ố ậ ượ (V t ch t t i và năng l ng t ố .
i) 28.Http://tiasang.com.vn/Default.aspx?tabid=62&News=1048&CategoryID=32 ả ượ ố (Hành trình gi ẩ ủ
i mã bí n c a năng l ng t ụ .
i trong vũ tr ) 72{
}
{
}
=
)
{
}
= -
)
}
{
.
}
=
{
g g
{
.
}
)
