Luận văn: ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

331
lượt xem 54
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lí thuyết nhóm l một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Đại số hiện đại. Lí thuyết ny có những ứng dụng sâu sắc trong nhiều h-ớng khác nhau của toán học, vật lí... Đặc biệt, một số kĩ thuật trong lí thuyết nhóm đG đ-ợc sử dụng để mang lại những kết quả đẹp của toán sơ cấp. Chẳng hạn, tính giải đ-ợc của các đa thức đG đ-ợc giải quyết trọn vẹn bởi E. Galois thông qua việc sử dụng các kiến thức của lí thuyết nhóm phối hợp một cách ti tình với lí thuyết tr-ờng v đa thức....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================ Nguyễn Tuyết Nga LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================ Nguyễn Tuyết Nga ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Phương pháp Toán sơ cấp Chuyên ngành: Mã số: 60.46.40 Hướng dẫn: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ vÒ lÝ thuyÕt nhãm 5 1.1 Nhãm, nhãm xylic v nhãm con . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 §Þnh lÝ Lagrange, ®ång cÊu nhãm . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 T¸c ®éng cña nhãm lªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 C«ng thøc c¸c líp v §Þnh lÝ Burnside . . . . . . . . . . 10 2 Mét sè øng dông v o sè häc 15 2.1 Mét sè øng dông ®¬n gi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Mét sè øng dông cña §Þnh lÝ Lagrange . . . . . . . . . . 19 ´ 2.3 ¦ng dông cña C«ng thøc c¸c líp v §Þnh lÝ Burnside . . 20 ´ 3 ¦ng dông v o tæ hîp 26 3.1 Nhãm ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ´ 3.2 ¦ng dông v o tæ hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Mét sè vÝ dô minh häa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 T i liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
2 Lêi c¶m ¬n Sau h¬n nöa n¨m nghiªn cøu miÖt m i, luËn v¨n th¹c sÜ cña t«i víi ®Ò ´ t i nghiªn cøu “¦ng dông cña lý thuyÕt nhãm trong mét sè b i to¸n s¬ cÊp” ® ®−îc ho n th nh. Nh÷ng kÕt qña ban ®Çu m t«i thu ®−îc ®ã l nhê sù h−íng dÉn tËn t×nh v nghiªm kh¾c cña c« gi¸o PGS. TS Lª ThÞ Thanh Nh n. T«i xin ®−îc b y tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®èi víi C«. T«i xin ch©n th nh c¶m ¬n Ban Gi¸m hiÖu, phßng § o t¹o v Khoa To¸n-Tin cña Tr−êng §¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn ® t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i ho n th nh ®Ò t i n y trong thêi gian qua. §éi ngò c¸n bé thuéc phßng § o t¹o v Khoa To¸n - Tin ® hÕt lßng ñng hé, gióp ®ì líp cao häc Khãa I chóng t«i víi mét th¸i ®é nhiÖt t×nh, th©n thiÖn nhÊt. §iÒu n y sÏ m i l Ên t−îng rÊt tèt ®Ñp trong lßng mçi chóng t«i ®èi víi nh Tr−êng. T«i còng rÊt tù h o r»ng trong qu¸ tr×nh häc tËp ® ®−îc Tr−êng §¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn bè trÝ nh÷ng nh to¸n häc h ng ®Çu ViÖt nam vÒ lÜnh vùc Ph−¬ng ph¸p to¸n s¬ cÊp gi¶ng d¹y cho chóng t«i nh− GS H Huy Kho¸i, GS NguyÔn Minh H , GS Phan Huy Kh¶i... V còng l lêi c¶m ¬n ch©n th nh cña t«i tíi b¹n bÌ, nh÷ng ng−êi th©n ® lu«n ®éng viªn, cæ vò t«i trong suèt qóa tr×nh nghiªn cøu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3 Lêi nãi ®Çu LÝ thuyÕt nhãm l mét trong nh÷ng lÜnh vùc nghiªn cøu quan träng cña §¹i sè hiÖn ®¹i. LÝ thuyÕt n y cã nh÷ng øng dông s©u s¾c trong nhiÒu h−íng kh¸c nhau cña to¸n häc, vËt lÝ... §Æc biÖt, mét sè kÜ thuËt trong lÝ thuyÕt nhãm ® ®−îc sö dông ®Ó mang l¹i nh÷ng kÕt qu¶ ®Ñp cña to¸n s¬ cÊp. Ch¼ng h¹n, tÝnh gi¶i ®−îc cña c¸c ®a thøc ® ®−îc gi¶i quyÕt trän vÑn bëi E. Galois th«ng qua viÖc sö dông c¸c kiÕn thøc cña lÝ thuyÕt nhãm phèi hîp mét c¸ch t i t×nh víi lÝ thuyÕt tr−êng v ®a thøc. Trong luËn v¨n n y, chóng t«i khai th¸c mét sè øng dông cña lÝ thuyÕt nhãm v o to¸n s¬ cÊp ë 2 lÜnh vùc: Sè häc v Tæ hîp. C«ng cô chñ yÕu cña lÝ thuyÕt nhãm ®−îc vËn dông ë ®©y l §Þnh lý Lagrange “CÊp v chØ sè cña mét nhãm con cña mét nhãm h÷u h¹n l −íc cña cÊp cña to n nhãm” v §Þnh lý Burnside “NÕu nhãm h÷u h¹n G t¸c ®éng lªn tËp h÷u 1 h¹n X th× sè quü ®¹o cña t¸c ®éng l f (g ), trong ®ã f (g ) l (G : e) g ∈G sè phÇn tö cña X cè ®Þnh qua t¸c ®éng cña g ”. LuËn v¨n ®−îc tr×nh b y trong 3 ch−¬ng. Ch−¬ng 1 l nh÷ng kiÕn thøc chuÈn bÞ vÒ lý thuyÕt nhãm nh»m phôc vô cho 2 ch−¬ng sau, bao gåm c¸c kh¸i niÖm v tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ nhãm, ®ång cÊu nhãm, nhãm ®èi xøng v t¸c ®éng cña nhãm lªn tËp hîp. C¸c kiÕn thøc v thuËt ng÷ cña Ch−¬ng I ®−îc tham kh¶o chñ yÕu trong c¸c cuèn s¸ch vÒ lý thuyÕt nhãm cña J. Rotman [Rot] v J. F. Humphreys [Hum]. Ch−¬ng 2 l mét sè øng dông v o sè häc. Mét sè kÕt qu¶ ë c¸c TiÕt 2.1 v 2.2 l sù tæng hîp l¹i theo mét chñ ®Ò nh÷ng øng dông ® biÕt cña lÝ thuyÕt nhãm trong sè häc (xem 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2.1, 2.2.2), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
4 nh−ng còng cã nh÷ng tÝnh chÊt m t¸c gi¶ luËn v¨n tù t×m tßi b»ng hiÓu biÕt cña m×nh (xem 2.1.1, 2.1.2). TiÕt 2.3, ®−îc tr×nh b y theo b i b¸o c«ng bè n¨m 2005 cña T. Evans v B. Holt [EH], chøng minh l¹i nh÷ng c«ng thøc sè häc cæ ®iÓn b»ng ph−¬ng ph¸p sö dông c«ng thøc c¸c líp v §Þnh lý Burnside trong lÝ thuyÕt nhãm. Ch−¬ng cuèi cña luËn v¨n l nh÷ng øng dông cña lý thuyÕt nhãm v o mét sè b i to¸n tæ hîp. Thùc chÊt, khi cã lÝ thuyÕt nhãm soi v o, c¸c b i to¸n tæ hîp n y ® bít phøc t¹p h¬n, c¸ch gi¶i quyÕt nã còng kh«ng cßn l nh÷ng mÑo mùc hay bÝ Èn dÔ nhÇm lÉn cña To¸n tæ hîp n÷a, m nã trë th nh râ r ng, hÖ thèng v dÔ hiÓu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch−¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ vÒ lÝ thuyÕt nhãm Môc ®Ých cña ch−¬ng n y l nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc vÒ nhãm, ®Þnh lÝ Lagrange, t¸c ®éng cña nhãm lªn tËp hîp, c«ng thøc c¸c líp v §Þnh lÝ Burnside. KiÕn thøc n y l cÇn thiÕt cho nh÷ng øng dông gi¶i mét sè b i to¸n s¬ cÊp ®−îc tr×nh b y trong Ch−¬ng II v Ch−¬ng III. C¸c kiÕn thøc v thuËt ng÷ ë ®©y ®−îc tham kh¶o trong c¸c cuèn s¸ch vÒ lÝ thuyÕt nhãm [Ash], [Rot] v [Hum]. 1.1 Nhãm, nhãm xylic v nhãm con 1.1.1. §Þnh nghÜa. Nhãm l mét tËp G cïng víi mét phÐp to¸n tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn (i) PhÐp to¸n cã tÝnh kÕt hîp: a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ G. (ii) G cã ®¬n vÞ: ∃e ∈ G sao cho ex = xe = x, ∀x ∈ G. (iii) Mäi phÇn tö cña G ®Òu kh¶ nghÞch: Víi mçi x ∈ G, tån t¹i x−1 ∈ G sao cho xx−1 = x−1 x = e. Mét nhãm G ®−îc gäi l nhãm giao ho¸n (hay nhãm Abel) nÕu phÐp to¸n l giao ho¸n. NÕu G cã h÷u h¹n phÇn tö th× sè phÇn tö cña G ®−îc gäi l cÊp cña G. NÕu G cã v« h¹n phÇn tö th× ta nãi G cã cÊp v« h¹n. • Mét sè vÝ dô vÒ nhãm. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
6 - TËp Z c¸c sè nguyªn, tËp Q c¸c sè h÷u tû, tËp R c¸c sè thùc, tËp C c¸c sè phøc víi phÐp céng th«ng th−êng ®Òu l nhãm giao ho¸n cÊp v« h¹n. - TËp S (X ) c¸c song ¸nh tõ mét tËp X ®Õn chÝnh nã víi phÐp hîp th nh c¸c ¸nh x¹ l mét nhãm, gäi l nhãm ®èi xøng cña X . NÕu X cã n phÇn tö th× S (X ) cã cÊp n! v nhãm n y kh«ng giao ho¸n khi n ≥ 3. - Víi mçi sè tù nhiªn m ≥ 1, tËp Zm c¸c líp thÆng d− theo m«®un m víi phÐp céng c¸c líp thÆng d− l mét nhãm giao ho¸n cÊp m. TËp Z∗ m c¸c líp thÆng d− theo m«®un m nguyªn tè cïng nhau víi m víi phÐp nh©n c¸c líp thÆng d− l mét nhãm giao ho¸n cÊp ϕ(m), trong ®ã ϕ l h m Euler. • Mét sè tÝnh chÊt c¬ së: Cho G l mét nhãm víi ®¬n vÞ e. Khi ®ã - PhÇn tö ®¬n vÞ cña G l duy nhÊt. - PhÇn tö nghÞch ®¶o cña mçi phÇn tö cña G l duy nhÊt. - Mäi phÇn tö cña G ®Òu chÝnh quy, tøc l tháa m n luËt gi¶n −íc. 1.1.2. §Þnh nghÜa. TËp con H cña mét nhãm G ®−îc gäi l nhãm con cña G nÕu e ∈ H v a−1 ∈ H, ab ∈ H víi mäi a, b ∈ H. 1.1.3. §Þnh nghÜa. Mét nhãm G ®−îc gäi l xyclic nÕu tån t¹i a ∈ G sao cho mçi phÇn tö cña G ®Òu l mét luü thõa cña a. Trong tr−êng hîp n y G ®−îc gäi l nhãm xyclic sinh bëi a v viÕt G =< a > . Chó ý r»ng nhãm con cña nhãm xyclic l xyclic. Cho G l mét nhãm v a ∈ G. §Æt < a >= {an | n ∈ Z}. Khi ®ã < a > l nhãm con cña G, ®−îc gäi l nhãm con xyclic sinh bëi a. CÊp cña nhãm con < a > ®−îc gäi l cÊp cña phÇn tö a. DÔ thÊy r»ng a cã cÊp v« h¹n nÕu v chØ nÕu an = 0 kÐo theo n = 0 víi mäi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
7 n ∈ Z. H¬n n÷a, a cã cÊp n nÕu v chØ nÕu n l sè nguyªn d−¬ng bÐ nhÊt sao cho an = e. 1.1.4. §Þnh nghÜa. Cho A l tËp con cña mét nhãm G. Khi ®ã tån t¹i nh÷ng nhãm con cña G chøa A, ch¼ng h¹n G. Giao cña tÊt c¶ c¸c nhãm con cña G chøa A l nhãm con nhá nhÊt cña G chøa A. Nhãm con n y ®−îc gäi l nhãm con sinh bëi tËp A v kÝ hiÖu l < A > . Râ r ng nhãm con sinh bëi tËp rçng l {e}. NÕu A = ∅ th× < A >= {a1 a2 . . . an | n ∈ N, a1 , . . . , an ∈ A ∪ A−1 }, trong ®ã A−1 = {x−1 | x ∈ A}. 1.2 §Þnh lÝ Lagrange, ®ång cÊu nhãm 1.2.1. §Þnh nghÜa. Cho H l mét nhãm con cña mét nhãm G. Ta ®Þnh nghÜa quan hÖ ∼ trªn G nh− sau: a ∼ b nÕu v chØ nÕu ab−1 ∈ H víi mäi a, b ∈ G. DÔ kiÓm tra ®−îc ∼ l mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng tren G. Víi mçi a ∈ G, gäi a l líp t−¬ng ®−¬ng cña a. Ta cã a = {ha | h ∈ H } = Ha. Mçi líp t−¬ng ®−¬ng Ha ®−îc gäi l mét líp ghÐp tr¸i cña H trong G. TËp th−¬ng cña G theo quan hÖ t−¬ng ®−¬ng ∼ ®−îc kÝ hiÖu bëi G/H. Khi H chØ cã h÷u h¹n líp ghÐp tr¸i th× ta gäi chØ sè cña H trong G, kÝ hiÖu l (G : H ), l sè c¸c líp ghÐp tr¸i cña H . 1.2.2. §Þnh lý. (§Þnh lÝ Lagrange). Trong mét nhãm h÷u h¹n, cÊp v chØ sè cña mét nhãm con l −íc cña cÊp cña to n nhãm. • Sau ®©y l mét sè hÖ qu¶ trùc tiÕp cña §Þnh lÝ Lagrange. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
8 - Cho G l nhãm cÊp n v a ∈ G. Khi ®ã cÊp cña a l −íc cña n. H¬n n÷a, an = e. - Mçi nhãm cÊp nguyªn tè ®Òu l nhãm xylic sinh bëi mét phÇn tö tïy ý kh¸c ®¬n vÞ. - Mäi nhãm cÊp 5 ®Òu giao ho¸n. 1.2.3. §Þnh nghÜa. Cho G l mét nhãm. Mét nhãm con H cña G ®−îc gäi l nhãm con chuÈn t¾c nÕu Ha = aH víi mäi a ∈ G. Cho H l nhãm con chuÈn t¾c cña mét nhãm G. KÝ hiÖu G/H l tËp c¸c líp ghÐp tr¸i cña H trong G. Khi ®ã quy t¾c nh©n HaHb = Hab víi mäi Ha, Hb ∈ G/H l mét phÐp to¸n trªn G/H , v cïng víi phÐp to¸n n y, G/H l m th nh mét nhãm. Nhãm G/H x¸c ®Þnh nh− trªn ®−îc gäi l nhãm th−¬ng cña G theo nhãm con chuÈn t¾c H . ´ 1.2.4. §Þnh nghÜa. Cho G v H l c¸c nhãm. Anh x¹ f : G −→ H ®−îc gäi l ®ång cÊu nhãm nÕu f (xy ) = f (x)f (y ) víi mäi x, y ∈ G. Mét ®ång cÊu nhãm ®−îc gäi l ®¬n cÊu (to n cÊu, ®¼ng cÊu) nÕu nã l ®¬n ¸nh (to n ¸nh, song ¸nh). Hai nhãm G v H ®−îc gäi l ®¼ng cÊu víi nhau, viÕt l G ∼ H, nÕu cã mét ®¼ng cÊu gi÷a G v H. = • Mét sè tÝnh chÊt: - Hîp th nh cña hai ®ång cÊu nhãm l mét ®ång cÊu nhãm. - NÕu f : G −→ H l ®ång cÊu nhãm th× f (x−1 ) = (f (x))−1 v f (e) = e víi mäi x ∈ G. - NÕu f : G −→ H l ®ång cÊu nhãm, A l nhãm con cña G v B l nhãm con cña H th× f (A) l nhãm con cña H v f −1 (B ) l nhãm con cña G. H¬n n÷a, nÕu B l nhãm con chuÈn t¾c th× f −1(B ) l nhãm con chuÈn t¾c. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
9 1.2.5. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö f : G −→ H l ®ång cÊu nhãm. Khi ®ã tËp Ker f = {x ∈ G | f (x) = e} l mét nhãm con chuÈn t¾c cña G v ®−îc gäi l h¹t nh©n cña f . TËp Im f = f (G) l mét nhãm con cña H v ®−îc gäi l ¶nh cña f . 1.2.6. §Þnh lý. (§Þnh lÝ ®ång cÊu nhãm). Cho f : G −→ H l ®ång cÊu nhãm. Khi ®ã G/ Ker f ∼ Im f. = 1.3 T¸c ®éng cña nhãm lªn tËp hîp 1.3.1. §Þnh nghÜa. Cho S l mét tËp hîp v G l mét nhãm víi e l ®¬n vÞ cña G. Mét t¸c ®éng tr¸i cña G lªn S l mét ¸nh x¹ G × S −→ S sao cho nÕu ta kÝ hiÖu ¶nh cña phÇn tö (x, s) ∈ G × S l xs th× ta cã (i) x(ys) = (xy )s víi mäi x, y ∈ G, s ∈ S. (ii) es = s víi mäi s ∈ S . Ho n to n t−¬ng tù, chóng ta cã kh¸i niÖm t¸c ®éng ph¶i. Khi cã mét t¸c ®éng tr¸i tõ G lªn S th× ta nãi S l mét G−tËp, v ¶nh cña phÇn tö (x, s) ∈ G × S qua t¸c ®éng n y ®−îc kÝ hiÖu l xs hoÆc x • s. Tõ nay trë ®i chóng ta chØ xÐt c¸c t¸c ®éng tr¸i, v ®Ó thuËn tiÖn ta gäi chóng l c¸c t¸c ®éng. Ta thÊy r»ng nhãm G t¸c ®éng lªn tËp S nÕu v chØ nÕu víi mçi x ∈ G, cã mét ¸nh x¹ tõ S ®Õn S cho øng mçi s ∈ S víi phÇn tö kÝ hiÖu l xs ∈ S sao cho x(ys) = (xy )s v es = s víi mäi x, y ∈ G, s ∈ S. Ta gäi phÇn tö xs l t¸c ®éng cña x lªn s. Víi x ∈ G, ¸nh x¹ cho øng s ∈ S víi xs ∈ S ®−îc gäi l ¸nh x¹ liªn kÕt cña x. • Mét sè vÝ dô vÒ t¸c ®éng cña nhãm lªn tËp hîp. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
10 - Cho G l nhãm. Khi ®ã G t¸c ®éng lªn chÝnh nã b»ng phÐp liªn hîp nh− sau: Víi x, a ∈ G, ta dïng kÝ hiÖu x • a cho t¸c ®éng cña x lªn a, v ®Æt x • a = xax−1. Ta gäi xax−1 l liªn hîp cña a bëi x. - Cho G l nhãm. KÝ hiÖu S l tËp c¸c tËp con cña G. Khi ®ã nhãm G t¸c ®éng lªn tËp S b»ng phÐp nh©n nh− sau: Víi x ∈ G v H ∈ S, ta dïng kÝ hiÖu x • H cho t¸c ®éng cña x lªn H, v ®Æt x • H = xH . - Cho G l nhãm v A l nhãm con cña G. Nhãm con B cña G ®−îc gäi l liªn hîp víi A nÕu tån t¹i x ∈ G sao cho B = xAx−1. Chó ý r»ng nÕu B liªn hîp víi A v C liªn hîp víi B th× C liªn hîp víi A. KÝ hiÖu S l tËp c¸c nhãm con cña G liªn hîp víi A. Khi ®ã G t¸c ®éng lªn S b»ng c¸ch liªn hîp nh− sau: víi mçi x ∈ G, B ∈ S, ®Æt x • B = xBx−1 . 1.4 C«ng thøc c¸c líp v §Þnh lÝ Burnside 1.4.1. Bæ ®Ò. Cho G l nhãm v S l mét G−tËp. Víi s ∈ S , ®Æt Gs = {a ∈ G | as = s}. Khi ®ã Gs l nhãm con cña G. Chøng minh. Cho s ∈ S. V× es = s nªn e ∈ Gs . Cho x, y ∈ Gs . Khi ®ã xs = s v ys = s. V× thÕ (xy )s = x(ys) = xs = s. Suy ra xy ∈ Gs . Cuèi cïng, cho x ∈ Gs . Khi ®ã xs = s. V× thÕ s = es = (x−1 x)s = x−1(xs) = x−1s. Suy ra x−1 ∈ Gs . VËy Gs l nhãm con cña G. Nhãm con Gs ®Þnh nghÜa trong Bæ ®Ò 1.4.1 ®−îc gäi l nhãm con ®¼ng h−íng cña G øng víi phÇn tö s. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
11 1.4.2. §Þnh nghÜa. Cho G l nhãm, S l G−tËp v s ∈ S. §Æt Gs = {xs | x ∈ G}. Khi ®ã Gs l bé phËn cña S . Ta gäi Gs l quü ®¹o cña s trong S . • Sau ®©y l mét sè vÝ dô vÒ nhãm con ®¼ng h−íng v quü ®¹o. - XÐt t¸c ®éng chÝnh quy cña G lªn chÝnh nã: x • a = xa, víi mäi x, a ∈ G. Víi a ∈ G, kÝ hiÖu Ga l quü ®¹o cña a. Víi mçi y ∈ G ta cã y = (ya−1)a ∈ Ga. Do ®ã Ga = G. V× thÕ t¸c ®éng n y chØ cã 1 quü ®¹o, ®ã l G. Nhãm con ®¼ng h−íng øng víi a l Ga = {x ∈ G : xa = a} = {e}. - XÐt t¸c ®éng cña nhãm G lªn chÝnh nã b»ng phÐp liªn hîp: x • a = xax−1 víi mäi x, a ∈ G. Víi a ∈ G, quü ®¹o cña a l Ga = {x • a | x ∈ G} = {xax−1 | x ∈ G}. Nhãm con ®¼ng h−íng øng víi a l Ga = {x ∈ G | xax−1 = a} = {x ∈ G | xa = ax}. - KÝ hiÖu S l tËp c¸c nhãm con cña mét nhãm G. XÐt t¸c ®éng cña nhãm G lªn S b»ng phÐp liªn hîp: x • H = xHx−1 víi mäi x ∈ G v mäi H ∈ S. Víi H ∈ S, quü ®¹o cña H l {xHx−1 | x ∈ G} - tËp c¸c nhãm con liªn hîp víi H ; nhãm con ®¼ng h−íng cña H l GH = {x ∈ G | xH = Hx}. 1.4.3. MÖnh ®Ò. Cho G l nhãm v S l G−tËp. Khi ®ã (i) Gs = ∅ víi mäi s ∈ S. (ii) S = Gs. s∈S Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
12 (iii) Gs = Gr hoÆc Gs ∩ Gr = ∅ víi mäi s, r ∈ S. Chøng minh. (i), (ii). V× s = es ∈ Gs nªn Gs = ∅. Suy ra S = Gs. s∈S (iii). Gi¶ sö Gs ∩ Gr = ∅. Khi ®ã tån t¹i x, y ∈ G sao cho xs = yr. Suy ra s = es = x−1 xs = x−1 yr. Cho as ∈ Gs. Ta cã as = (ax−1y )r ∈ Gr. Do ®ã Gs ⊆ Gr. T−¬ng tù Gr ⊆ Gs, v v× thÕ Gs = Gr. MÖnh ®Ò 1.4.3 chØ ra r»ng tËp c¸c quü ®¹o trong S l m th nh mét phÐp ph©n ho¹ch trªn S . 1.4.4. §Þnh lý. (C«ng thøc c¸c líp). Cho G l nhãm, S l G−tËp v s ∈ S. KÝ hiÖu G/Gs l tËp c¸c líp ghÐp tr¸i cña nhãm con ®¼ng h−íng Gs . Khi ®ã t−¬ng øng f : G/Gs −→ Gs cho bëi f (xGs ) = xs l mét song ¸nh. Gi¶ thiÕt thªm r»ng S l mét tËp h÷u h¹n. Khi ®ã chØ sè cña Gs chÝnh l sè phÇn tö cña quü ®¹o Gs. H¬n n÷a, nÕu Gs1 , . . . , Gst l c¸c quü ®¹o ®«i mét rêi nhau trong S th× t t (∗) Card(S ) = Card Gsi = (G : Gsi ), i=1 i=1 trong ®ã Card(S ) l sè phÇn tö cña S v (G : Gsi ), i = 1, . . . , t, l chØ sè cña nhãm con ®¼ng h−íng Gsi . Chøng minh. Gi¶ sö xGs = yGs ∈ G/Gs . Khi ®ã x−1 y ∈ Gs . Suy ra x−1 ys = s. Do ®ã ys = xs. V× thÕ f l ¸nh x¹. Râ r ng f l to n ¸nh. Cho f (xGs ) = f (yGs ). Khi ®ã xs = ys. Do ®ã (x−1 y )s = s. Suy ra x−1 y ∈ Gs . Do ®ã xGs = yGs . V× thÕ f l ®¬n ¸nh. Suy ra f l song ¸nh. Gi¶ sö S l tËp h÷u h¹n. Khi ®ã quü ®¹o Gs l tËp h÷u h¹n víi mäi s ∈ S. Do f l song ¸nh nªn (G : Gs ) = Card(Gs) víi mäi s ∈ S. V× thÕ c«ng thøc (*) ®−îc chøng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
13 1.4.5. §Þnh lý. (§Þnh lÝ Burnside). Gi¶ sö mét nhãm h÷u h¹n G t¸c ®éng lªn mét tËp h÷u h¹n X. Víi mçi g ∈ G, kÝ hiÖu f (g ) l sè phÇn tö cña X cè ®Þnh qua t¸c ®éng cña g , tøc l sè phÇn tö cña tËp hîp {x ∈ X : gx = x}. Khi ®ã sè quü ®¹o cña t¸c ®éng l 1 f (g ). (G : e) g ∈G 1 f (g ) l sè ®iÓm cè ®Þnh trung b×nh qua t¸c Ng−êi ta gäi (G : e) g∈G ®éng cña c¸c phÇn tö cña G. Theo ®Þnh lÝ trªn, sè quü ®¹o cña t¸c ®éng chÝnh l sè ®iÓm cè ®Þnh trung b×nh. Chøng minh. Chóng ta dïng mét kÜ thuËt chuÈn t¾c cña tæ hîp gäi l “kÜ thuËt tÝnh to¸n theo 2 c¸ch” ®Ó chøng minh. Gäi T l tËp c¸c cÆp s¾p thø tù (g, x) sao cho g ∈ G, x ∈ X v gx = x. Víi mçi x ∈ X, sè c¸c phÇn tö g ∈ G sao cho (g, x) ∈ T chÝnh l cÊp cña nhãm con ®¼ng h−íng Gx cña x. V× thÕ ta cã Card(T ) = (Gx : e), x∈X trong ®ã (Gx : e) l cÊp cña Gx . Víi mçi g ∈ G, sè phÇn tö x ∈ X sao cho (g, x) ∈ T chÝnh l f (g ). V× thÕ Card(T ) = f (g ). g ∈G Tõ hai ®¼ng thøc trªn ta cã (Gx : e) 1 = f (g ). (G : e) (G : e) g∈G x∈X Gäi t l sè quü ®¹o. Gäi Gx1 , . . . , Gxt l c¸c quü ®¹o. V× c¸c quü ®¹o l ®«i mét rêi nhau v X l hîp cña c¸c quü ®¹o nªn ta cã (Gx : e) (Gx : e) (Gx : e) = + ... + . (G : e) (G : e) (G : e) x∈X x∈Gx1 x∈Gxt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
14 (Gx : e) Víi mçi i = 1, . . . , t, theo §Þnh lÝ 1.4.4, tæng bao gåm (G : e) x∈Gxi 1 Card(Gxi ) sè h¹ng, mçi sè h¹ng ®Òu b»ng . V× thÕ Card(Gxi ) (Gx : e) =1 (G : e) x∈Gxi (Gx : e) víi mäi i = 1, . . . , t. Suy ra = t. (G : e) x∈X Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch−¬ng 2 Mét sè øng dông v o sè häc 2.1 Mét sè øng dông ®¬n gi¶n NhËn xÐt më ®Çu. Gi¶ sö p l sè nguyªn tè. Khi ®ã Z∗ = {1, . . . , p − 1} p l mét nhãm víi phÐp nh©n c¸c líp thÆng d− theo m«®un p. V× nghÞch ®¶o cña hai phÇn tö kh¸c nhau trong Z∗ l kh¸c nhau nªn ta lu«n cã p −1 −1 {1 , 2 , . . . , (p − 1)−1 } = {1, 2, . . . , p − 1}. B©y giê ta ¸p dông nhËn xÐt n y ®Ó chøng minh mét sè b i to¸n vÒ sè häc liªn quan ®Õn sè nguyªn tè, ®−îc thÓ hiÖn qua c¸c mÖnh ®Ò sau. 2.1.1. MÖnh ®Ò. Cho p > 2 l mét sè nguyªn tè. ViÕt biÓu thøc 11 1 + + ... + p−1 12 d−íi d¹ng ph©n sè tèi gi¶n a/b. Khi ®ã p l −íc cña a. Chøng minh. Theo nhËn xÐt trªn, trong Zp ta cã p−1 p− 1 11 1 −1 + + ... + = (i) = i. p−1 12 i=1 i=1 Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1, b»ng quy n¹p theo n ta cã n(n + 1) 1 + 2 + ... + n = . 2 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
16 p− 1 p(p − 1) V× p > 2 l sè nguyªn tè nªn p − 1 l sè ch½n. Do ®ã i= 2 i=1 p−1 p− 1 (i)−1 = l sè nguyªn chia hÕt cho p, tøc l i = 0 ∈ Zp . V× thÕ p i=1 i=1 l −íc cña a. p−1 ik chia hÕt Cho k > 1 l sè tù nhiªn v p l sè nguyªn tè. NÕu i=1 1 1 1 cho p th× ta cã kÕt qu¶ t−¬ng tù ®èi víi tæng k + k + . . . + . (p − 1)k 1 2 Ch¼ng h¹n, víi k = 2 hoÆc k = 3 ta cã kÕt qu¶ sau. 2.1.2. MÖnh ®Ò. Cho p l sè nguyªn tè. Gi¶ sö a 1 1 1 = 2 + 2 + ... + (p − 1)2 b 1 2 a 1 1 1 = 3 + 3 + ... + , (p − 1)3 b 1 2 trong ®ã a/b v a /b l nh÷ng ph©n sè tèi gi¶n. Khi ®ã i) NÕu p > 3 th× p l −íc cña a. ii) NÕu p > 2 th× p l −íc cña a . Chøng minh. (i) Theo nhËn xÐt trªn, trong Zp ta cã p− 1 p− 1 1 1 1 −1 2 2 + 2 + ... + = (i ) = i. 2 (p − 1)2 1 2 i=1 i=1 Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1, b»ng quy n¹p theo n ta cã n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + . . . + n2 = . 6 V× p > 3 l sè nguyªn tè nªn p kh«ng l béi cña 3 v còng kh«ng l béi (p − 1)p(2p − 1) cña 2. Do ®ã 12 + 22 + . . . + (p − 1)2 = l sè nguyªn 6 p−1 2 chia hÕt cho p, tøc l i = 0 ∈ Zp. Do ®ã p l −íc cña a. i=1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
17 (ii) T−¬ng tù ta cã p− 1 p− 1 1 1 1 −1 3 3 + 3 + ... + = (i ) = i. 13 2 (p − 1)3 i=1 i=1 Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1, b»ng quy n¹p theo n ta cã n2 (n + 1)2 3 3 3 1 + 2 + ... + n = . 4 V× p > 2 l sè nguyªn tè nªn (p − 1)2 chia hÕt cho 4. Do ®ã (p − 1)2 p2 3 3 3 1 + 2 + . . . + (p − 1) = 4 p−1 3 l sè nguyªn chia hÕt cho p, tøc l i = 0 ∈ Zp. V× thÕ p l −íc cña i=1 a. NhËn xÐt trªn cã thÓ sö dông ®Ó chøng minh kÕt qu¶ sau ®©y. 2.1.3. MÖnh ®Ò. (§Þnh lÝ Wilson). Sè tù nhiªn p l sè nguyªn tè nÕu v chØ nÕu (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Chøng minh. Cho p nguyªn tè. NÕu p = 2 th× (2 − 1)! ≡ −1 (mod 2). Cho p > 2. Khi ®ã p lÎ. Trong nhãm nh©n Z∗ = {1, . . . , p − 1}, nghÞch p ®¶o cña 1 l 1, nghÞch ®¶o cña p − 1 l p − 1. H¬n n÷a, nghÞch ®¶o cña a kh¸c a víi 1 < a < p − 1. ThËt vËy, nÕu ng−îc l¹i ta cã a2 ≡ 1 (mod p), do ®ã p l −íc cña a2 − 1 = (a − 1)(a + 1), ®iÒu n y l v« lÝ. Nh− vËy ta cã thÓ nhãm p − 3 phÇn tö {2, . . . , p − 2} cña Z∗ th nh (p − 3)/2 cÆp, p mçi cÆp l nghÞch ®¶o cña nhau. Suy ra 2 . . . (p − 2) = 1 ∈ Z∗ . Do ®ã p (p − 1)! = 2 . . . (p − 2)(p − 1) ≡ 1.(p − 1) ≡ −1 (mod p). Ng−îc l¹i, gi¶ sö (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Gi¶ sö p kh«ng nguyªn tè. Gäi a l mét −íc thùc sù cña p. Khi ®ã 1 < a < p. Do ®ã a l −íc cña (p − 1)!. V× (p − 1)! + 1 l béi cña p nªn nã l béi cña a. L¹i do a l −íc cña (p − 1)! nªn a l −íc cña 1, ®iÒu n y l v« lÝ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
18 Chó ý r»ng nhãm con cña mét nhãm xyclic l xyclic. Tõ nhËn xÐt n y ta cã thÓ chøng minh kÕt qu¶ sau ®©y. 2.1.4. Bæ ®Ò. Cho a1 , . . . , an l c¸c sè tù nhiªn kh«ng ®ång thêi b»ng 0. Gi¶ sö d = gcd(a1, . . . , an ). Khi ®ã tån t¹i c¸c sè nguyªn x1 , . . . , xn sao cho d = a1 x1 + . . . + an xn . Chøng minh. §Æt H = {a1x1 + a2 x2 + . . . + an xn | xi ∈ Z, ∀i}. Khi ®ã H l nhãm con cña nhãm céng Z. V× Z xylic nªn H l xyclic, tøc l H = tZ víi t ∈ N. Ta kh¼ng ®Þnh t = gcd(a1, . . . , an ). V× ai = 0a1 + . . . + 0ai−1 + 1ai + 0ai+1 + . . . + 0an nªn ai ∈ H = tZ, suy ra ai chia hÕt cho t víi mäi i = 1, . . . , n. Gi¶ sö r l mét −íc chung cña a1 , . . . , an . V× t ∈ H nªn t biÓu diÔn ®−îc d−íi d¹ng t = a1x1 + . . . + an xn , trong ®ã x1 , . . . , xn ∈ Z. Do xi chia hÕt cho t víi mäi i = 1, . . . , n nªn t chia hÕt cho r. VËy t l −íc chung lín nhÊt cña c¸c ai . Suy ra d = t. Do ®ã ta cã kÕt qu¶. 2.1.5. MÖnh ®Ò. (§Þnh lÝ Bezout). C¸c sè nguyªn a1 , . . . , an l nguyªn tè cïng nhau nÕu v chØ nÕu tån t¹i c¸c sè nguyªn x1 , . . . , xn sao cho 1 = a1x1 + . . . + an xn . Chøng minh. §Æt H = {a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn | xi ∈ Z, ∀i}. Theo bæ ®Ò trªn, H = dZ víi d = gcd(a1, . . . , an ). NÕu d = 1 th× H = Z. Do ®ã 1 ∈ H , v× thÕ 1 cã biÓu diÔn 1 = a1x1 + . . . + an xn víi x1 , . . . , xn ∈ Z. Ng−îc l¹i, nÕu cã biÓu diÔn 1 = a1 x1 + . . . + an xn th× 1 ∈ H = dZ. Suy ra d = 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn