®¹i häc th¸i nguyªn
tr- êng ®¹i häc s- ph¹m
----------------------------
bïi thÞ huÖ
lý thuyÕt floquet
®èi víi hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Th¸i Nguyªn - 2009
®¹i häc th¸i nguyªn
tr- êng ®¹i häc s- ph¹m
----------------------------
bïi thÞ huÖ
lý thuyÕt floquet
®èi víi hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1
Chuyªn ngµnh: gi¶i tÝch
M· sè : 60.46.01
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Ng- êi h- íng dÉn khoa häc: TS §µo ThÞ Liªn
Th¸i Nguyªn - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
MC LC
Danh mu c ca c ky hiê u dng trong lun văn
Mc lc
Trang
Mơ đâ u
1
Chương 1. Kiê n thư c cơ sơ
3
1.1. Hê phương tri nh vi phân thươ ng
3
1.1.1. Cc khi nim cơ bn
3
1.1.2. Tnh ô n đi nh cu a hê phương tri nh vi phân tuyê n ti nh
5
1.1.3. L thuyt Floquet
7
1.2. Hê phương tri nh vi phân đa i sô
9
1.2.1. Mô t sô kha i niê m cơ ba n
9
1.2.2. Hê phương trinh vi phân đa i sô tuyê n ti nh
12
1.2.3 Hê phương tri nh vi phân đa i sô phi tuyê n
19
Chương 2. L thuyt Floquet đi vi h phương trnh vi phân đi s
22
2.1. L thuyt Floquet đi vi h phương trnh vi phân đi s
tuyê n ti nh
22
2.1.1. Ma trâ n cơ ba n
24
2.1.2. Biê n đô i tương đương tuâ n hoa n
35
2.2. L thuyt Floquet đi vi h phương trnh vi phân đi s
phi tuyê n ti nh .
46
Kê t luâ n
55
Ti liu tham kho
56
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
MÔ T SÔ KY HIÊ U DU NG TRONG LUÂ N A N
( ) : ( , )
m m m
LL
: l tp hp cc ton t tuyn tnh liên tc trên
m
T
A
: ma trâ n chuyê n vi cu a ma trâ n
A
()im A
: nh ca
A
ker A
: không gian không cu a
A
: nghch đo Moore – Penrose
A
det A
: đi nh thư c cu a ma trâ n
A
rank A
: hng ca ma trn
A
ind A
: ch s ca cp ma trn
A
( , )ind A B
: ch s ca cp ma trâ n
( , )AB
( , )diag m N
: ma trâ n che o
r
I
: ma trâ n đơn vi câ p
r
11
: ( , ): ( , )
mm
Nx
C x C P C

: tâ p ca c ve c tơ ha m liên tu c trong
m
xc
đi nh trên
1( , )
m
C
: tâ p ca c ma trâ n ha m kha vi liên tu c trong
m
v xc đnh trên
:G A BQ
10
:A A B Q

0:'B B AP

11
1
:
s
Q QA B QG B


: l php chiu chnh tc lên
()Nt
dc
()St
:
ss
P I Q
l php chiê u chinh tă c lên
()Nt
dc
()St
()Span P t
: bao tuyê n ti nh cu a
()Pt
( ): : ( ) ( )
m
S t z B t z im A t
,xy
: tnh vô hưng
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU
Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài toán, chẳng
hạn mô tả hệ động lực, hệ thống mạng điện, những bài toán điều khiển ,... đòi hỏi
phải giải và xét tính chất nghiệm những hệ phương trình dạng:
'0Ax Bx
trong
đó
, ( )
m
A B L
hoặc
, ( , ), det 0
m
A B L I A
gọi là hệ phương trình vi phân đại
số. Một trong những lớp đơn giản nhất của các hệ phương trình đại số là hệ
phương trình vi phân đại số chỉ số 1. Trường hợp
det 0A
ta dễ dàng đưa hệ trên
về hệ
1
'x A Bx
(những phương trình này được coi là có chỉ số 0), nghĩa là hệ
phương trình vi phân thường được xem là một trường hợp riêng của hệ phương
trình vi phân đại số. Rất nhiều bài toán và kết quả của hệ phương trình thường
được xét đối với hệ phương trình vi phân đại số. Trong luận văn này, chúng tôi
trình bày các kết quả của các tác giả René Lamour-Roswitha Marz and Renate
Winkler, Đào Thị Liên, Phạm Văn Việt về lý thuyết Floquet đối với các hệ
phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1, từ đó tác giả đưa ra tiêu chuẩn ổn
định của nghiệm tuần hoàn của hệ phi tuyến. Trong bài báo “How Floquet
Theory Applies to Index 1 Differential Algebraic Equations”, René Lamour-
Roswitha Marz and Renate Winkler, nhiều kết quả chưa được chứng minh hoặc
chỉ chứng minh vắn tắt. Luận văn này đã chi tiết các chứng minh và đưa ra
những ví dụ minh họa cho các kết quả quan trọng trong bài báo. Ngoài mở đầu,
kết luận và tài liệu tham khảo. Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Các kiến thức cơ sở
Nội dung chương này là hệ thống các kết quả của lý thuyết Floquet đối với hệ
phương trình vi phân thường và các kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi phân
đại số.
Chương 2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1.
Đây là nội dung chính của luận văn. Ở đây các khái niệm được lấy ví dụ minh
họa, các kết quả được chứng minh chi tiết và có ví dụ áp dụng.