Phn th nht
Lý thuyt xác sut
XS
TK
2008
2
Xác sut
−
−−
−
Thng kê
Phm Đc Thông
Chương
1
Xác sut
Trong cuc sng, trong nhiu trưng hp, ngưi ta không th ñoán chc
rng mt s kin nào ñó có xy ra hay không, mc dù ñã nm ñưc nhng thông
tin v s kin ñó. Đ gii quyt nhng tình hung không chc chn ñó, ngưi ta
ñã nghiên cu và ñưa vào s dng lý thuyt xác sut
1. PHÉP TH, KHÔNG GIAN MU VÀ BIN C
Lý thuyt xác sut, hin nay, là mt lý thuyt toán hc ñưc xây dng cht
ch trên mt h tiên ñ. Tuy nhiên, ñ xây dng ñưc mt h tiên ñ cht ch v
mt toán hc cho lý thuyt xác sut, ngưi ta ñã da vào các khái nim cơ bn
mang tính cht kinh nghim, trc quan.
1.1. Phép th, không gian mu. B môn Xác sut nghiên cu v các loi
thí nghim có ñc trưng là: Trưc khi thc hin, chúng ta không ñoán trưc ñưc
kt qu nào s xy ra, nhưng chúng ta có th mô t ñưc tp hp tt c các kt qu
có th xy ra. Loi thí nghim như vy có th ñưc lp li nhiu ln trong cùng
mt ñiu kin; nó ñưc gi là mt Thí nghim ngu nhiên hay mt Phép th.
Khi mt phép th ñưc thc hiên, mt và ch mt kt qu trong trong tp
hp nói trên xut hin, và ñưc gi là mt kt qu sơ cp. Tp hp tt c các kt
qu sơ cp ñưc gi là Không gian các kt qu sơ cp. Đ tin li, chúng ta
xem nhng kt qu sơ cp như các ñim và gi là các Đim mu (hay ñim cho
gn). Như vy, mi kt qu sơ cp ñưc biu din b i mt và ch mt ñim m!u;
không gian các kt qu sơ cp ñưc biu din b i mt tp hp mà các phn t là
các ñim m!u; do ñó còn ñưc gi là Không gian mu và thưng ñưc ký hiu
là
.
Không gian m!u
ñưc gi là ri rc nu nó là mt tp hp không hơn
ñm ñưc (hu hn hoc ñm ñưc).
Thí d: Gieo mt con xúc xc và quan sát s xut hin mt trên c"a con
xúc xc. Khi ñó, không gian m!u có 6 ñim m!u:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Chưng 1
XÁC SUT
3
Quan sát xem mt x th" bn mt viên ñn vào bia có trúng bia hay không.
Có hai kt qu sơ cp là: “trúng bia”, ký hiu là T, và “không trúng bia”, ký hiu
là B. Không gian m!u là:
= {T, B}.
1.2. Bin c. Mt s kin A ñưc gi là liên kt vi mt phép th (hay vi
không gian m!u
tương ng) nu, khi phép th ñưc thc hin, căn c vào kt
qu sơ cp m xut hin, ngưi ta bit ñưc A có xy ra hay không. Như vy,
ngưi ta có th ñ$ng nht A vi mt tp con c"a không gian m!u
, vi ñc
ñim: "A xy ra nu và ch nu m ∈
∈∈
∈ A", và gi A là mt bin c trong
. Bin
c không th xy ra, ñ$ng nht vi tp hp ∅, còn ñưc gi là bin c rng.
Bin c chc chn xy ra, ñ$ng nht vi c không gian m!u
, còn ñưc gi là
bin c chc chn.
Ngưi ta nói rng mt bin c A kéo theo mt bin c B nu khi A xy ra
thì nht ñ%nh B xy ra, và ñưc vit là A ⊂
⊂⊂
⊂ B (tp con). Bin c {m} cha mt
ñim m!u m ∈
duy nht ñưc gi là mt bin c sơ cp.
Có nhng bin c ñưc xây dng t& các bin c cho trưc.
1.3. Đnh nghĩa. Gi s A và B là hai bin c trong không gian m!u
cho trưc.
(i) Bin c "A không xy ra" ñưc gi là bin c ñi c"a bin c A, và
ñưc ñ$ng nht vi
A
, phn bù c"a
A
trong
.
(ii) Bin c "
A
và
B
cùng xy ra" ñưc ñ$ng nht vi tp
A
∩
∩∩
∩
B
, và ñưc
gi là Bin c giao ca
A
và
B
.
A
∩
B
còn ñưc ký hiu là
AB
.
Nu
AB
= ∅, i.e.
A
và
B
không th xy ra ñ$ng thi, ngưi ta nói rng
A
và
B
xung khc.
Tương t, chúng ta có th ñ%nh nghĩa giao c"a mt h các bin c
(
A
i
)
i∈
I
, ký hiu:
i
i I
A
∈
∩
(iii) Bin c " có ít nht mt trong hai bin c
A
hoc
B
xy ra" ñưc
ñ$ng nht vi tp
A
∪
∪∪
∪
B
và ñưc gi là Bin c hp ca
A
và
B
.
Trong trưng hp
A
và
B
xung khc,
A
∪
B
ñưc vit là
A
+
B
.
Tương t, chúng ta có th ñ%nh nghĩa hp c"a mt h các bin c
(
A
i
)
i∈
I
; ký hiu:
i
i I
A
∈
∪
hoc (
i
A
∈
∑
nu các
A
i
xung khc t&ng ñôi )
Thut ng vit tt: i.e. (id est): nghĩa là; e.g. (exempli gratia): thí d
(iv) Bin c "
A
xy ra nhưng
B
không xy ra" ñưc ñ$ng nht vi tp
hp
A
−
−−
−
B
, và ñưc gi là Bin c hiu ca
A
vi
B
. Rõ ràng,
− =
A B A B
.
4
Xác sut
−
−−
−
Thng kê
Phm Đc Thông
1.4. Thí d..
1.4.1. Phép th:
Gieo hai con xúc xc khác màu và quan sát các s xut
hin mt trên c"a hai con xúc xc.
Không gian m!u g$m 36 cp th t (a,b), vi a và b thuc tp hp {1, 2, 3,
4, 5, 6}:
= {(1,1); (1,2); …; (1,6); (2,1); (2,2); …; (6,1); …; (6,6)}.
Gi A là bin c “xut hin hai s có tng bng 8 ”. T& nay, ñ cho tin,
chúng ta có th vit bin c như sau:
A: “xut hin hai s có t(ng bng 8”;
tương t, ñt
B: “xut hin hai s bng nhau”
và C: “xut hin hai s ch)n”;
chúng ta có:
A = {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2)};
B = {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)}
Khi ñó,
AB: “xut hin hai s bng nhau và có t(ng bng 8”;
AB = {(4,4)}.
A − B: “xut hin hai s khác nhau và có t(ng bng 8”;
A − B = {(2,6); (3,5); (5,3); (6,2)};
Bn ñc hãy xác ñ%nh các ñim m!u c"a C; mô t và xác ñ%nh các ñim m!u
c"a các bin c: B − A, AC, BC và
.
1.4.2. Phép th: Gieo 3 ñ$ng tin khác màu và quan sát dãy mt sp và
mt nga xut hin. Ký hiu S và N ln lưt ch mt sp và mt nga xut hin,
không gian m!u
g$m 8 phn t, biu din b i:
{SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}
Xét các bin c:
A: “ xut hin ít nht hai mt sp”
và B: “xut hin 3 mt ging nhau”,
chúng ta có:
A = {SSS, SSN, SNS, NSS}
và B = {SSS, NNN}.
Khi ñó, AB = {SSS}.
Bin c “xut hin 4 mt sp” là bin c ∅.
Chưng 1
XÁC SUT
5
1.4.3. Phép th: Gieo mt con xúc xc cho ñn khi mt 6 xut hin thì
d&ng và ñm s ln gieo con xúc xc. Không gian m!u là
= *. (tp hp ñm
ñưc).
1.4.4. Phép th: Quan sát thi gian sng τ c"a mt linh kin ñin t.
Không gian m!u c"a phép th là
=
+
Kt qu sơ cp " τ = to" có nghĩa là linh kin làm vic ñn ñúng thi ñim
to thì b% h*ng. Bin c " τ ≥ to" biu th% thi gian làm vic c"a sn ph+m không
nh* hơn to.
Trong trưng hp này, không gian m!u là mt tp hp không ñm ñưc.
1.5. Chú ý. Nu không gian m!u
là mt tp hp không hơn ñm ñưc
(gi là không gian mu ri rc ) thì mi tp con c"a
ñu là mt bin c.
Nhưng nu
là mt tp hp không ñm ñưc thì có th có mt s tp con c"a
không phi là các bin c.
T(ng quát, trong lý thuyt xác sut, mt không gian m!u
luôn ñi ñôi vi
mt h các bin c, g$m mt lp các tp con c"a
,
ñưc gi là mt σ
σσ
σ −
−−
− trưng
các tp con c"a
. Lp này tho mãn mt s tính cht, nhm bo ñm ∅ và
là
các bin c, và nó ñóng kín ñi vi mi phép toán hu hn hoc ñm ñưc v tp
hp. Lp này ñưc xác ñ%nh b i mt h tiên ñ. Tuy nhiên, vì giáo trình này
không ñi sâu vào lĩnh vc thun tuý toán hc c"a lý thuyt xác sut, nên chúng ta
s không ñ cp ñn h tiên ñ v xác sut.
2. KHÁI NI M XÁC SU!T
Nói chung, khái nim xác sut dùng ñ ch “ kh năng “ (hay cơ may) ñ
mt cái gì ñó xy ra. Khái nim xác sut bt ñu hình thành t& vic nghiên cu
các trò chơi may r"i, e.g. trò roulette và ñánh bài. Sau ñó, các nhà toán hc và
các nhà khoa hc ñã góp phn xây dng thành lý thuyt xác sut. Trong thc tin,
giáo trình này gii thiu vài phương pháp khác nhau ñ tip cn khái nim xác
sut.
Trưc ht, chúng ta xét trưng hp: Do nhng ñc ñim vt lý c"a mt
phép th, mi ñim c"a không gian m!u hu hn
tương ng có “ cùng kh
năng xy ra “; trong trưng hp ñó,
ñưc gi là mt Không gian hu hn
ñ"ng xác sut hay Không gian hu hn ñ#u .
2.1. Đnh nghĩa.
(theo phương pháp c$ ñin)
Gi s
A
là mt bin c có k ñim trong mt không gian m!u hu hn ñu
g$m n ñim. Ngưi ta gi s
k
n
là xác sut ca bin c A, ký hiu: P(
A
).
=
P( )
k
n
A