Martingale trong đại số von Neumann và sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện: Phần 2

Chia sẻ: Liên Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann, phần 2 giới thiệu các nội dung: Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Martingale trong đại số von Neumann và sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện: Phần 2

Ch-¬ng 3. Sù héi tô cña kú väng ®iÒu kiÖn vµ martingale trong ®¹i sè von neumann 3.1 Kú väng cã ®iÒu kiÖn trong ®¹i sè von Neumann Nh¾c l¹i, trong lý thuyÕt x¸c suÊt cæ ®iÓn, kú väng cã ®iÒu kiÖn cña mét biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch ξ (trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, F , P)) ®èi víi mét σ - tr-êng con G ⊂F ®-îc ®Þnh nghÜa nh- lµ mét biÕn ngÉu nhiªn G− ®o ®-îc E(ξ|G) cho bëi: Z Z E(ξ|G)dP = ξdP, víi mäi A ∈ G. (3.1) A A Cho A = L∞ (Ω, F , P) vµ B = L∞ (Ω, G, P). Khi ®ã B lµ mét ®¹i sè von Neumann con cña A vµ kú väng cã ®iÒu kiÖn chØ xem xÐt ®èi víi c¸c hµm bÞ chÆn, nh- lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh d-¬ng EG : A → B cã c¸c tÝnh chÊt: EG 1 = 1 (Hµm ®ång nhÊt) (3.2) τP (fg) = τP (EG (f )g) víi mäi f ∈ A; g ∈ B, víi τP lµ mét tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c trªn A cho bëi tÝch ph©n: Z τ (f ) = fdP. Ω C«ng thøc nµy phï hîp víi sù tæng qu¸t hãa lªn ®¹i sè von- Neumann. 3.1.1. §Þnh nghÜa. Cho φ lµ mét tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c trong ®¹i sè von Neumann A vµ B lµ mét ®¹i sè von Neumann con cña A. Mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh: 31
EB : A → B sao cho: a)EB 1 = 1 (3.3) b)φ(yxz) = φ(yEB (x)z), víi mäi y, z ∈ B, x ∈ A, ®-îc gäi lµ mét kú väng ®iÒu kiÖn cña A lªn B ®èi víi φ. 3.1.2. MÖnh ®Ò. Kú väng ®iÒu kiÖn cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1o )EB (yxz) = y(EB x)z , víi mäi x ∈ A; y, z ∈ B , ®Æc biÖt: 1oo )EB lòy ®¼ng trong B 2o )(EB x)∗(EB x) = EB (x∗ x), víi x ∈ A, ®Æc biÖt: 2oo )EB d-¬ng 3o )EB lµ chÝnh x¸c 4o )EB lµ chuÈn. Chøng minh. Tr-íc tiªn ta sÏ chøng tá E d-¬ng. ThËt vËy, v× φ lµ chÝnh x¸c vµ chuÈn nªn gi¶ sö r»ng A t¸c ®éng trong kh«ng gian biÓu diÔn cyclic (GNS) Hφ cña nã víi c¸c phÇn tö cyclic t¸ch ξ, trong ®ã φ(x) = (xξ, ξ). Khi ®ã, víi y ∈ B, x ∈ A, ta cã (3.3) : (E(x∗ x)yξ, yξ) = (y ∗x∗ xyξ, ξ) > 0. Tõ {yξ, y ∈ B} lµ tËp trï mËt trong L2 (B, φ), suy ra E(x∗ x) > 0, víi mäi x ∈ A. Mét c¸ch t-¬ng tù, ta chøng minh 1o , b¾t ®Çu tõ ®¼ng thøc: φ(u∗yxzu) = φ(u∗E(yxz)u) = φ(u∗yE(x)zu), víi u, y, z ∈ B, x ∈ A §iÒu kiÖn 2o dÔ dµng suy ra tõ: E (x − Ex)∗ (x − Ex) > 0 (tÝnh d-¬ng cña E ®-îc chøng minh) vµ: E((Ex)∗ x) = (Ex)∗ Ex, E(x∗ (Ex)) = (Ex∗ )Ex = (Ex)∗Ex, E((Ex)∗ Ex) = (Ex)∗Ex. 3o ®-îc suy ra trùc tiÕp tõ tÝnh chÝnh x¸c cña φ. ThËt vËy, cho x > 0; 32
NÕu Ex = 0 th×: 0 = φ(Ex) = φ(x), suy ra x = 0. TiÕp theo, ta chøng minh E lµ chuÈn. Cho xα lµ tËp bÞ chÆn t¨ng c¸c phÇn tö d-¬ng cña A, tøc lµ: 0 6 xα ↑ sup xα. Khi ®ã: E(xα) ↑ supE(xα), vµ α v× E d-¬ng nªn suy ra supE(xα) 6 E(supxα). H¬n n÷a, tõ φ lµ chuÈn nªn α α ta cã: φ supE(xα ) = supφ E(xα ) = supφ(xα) = φ supxα = φ E(supxα). α α α α α Do ®ã: φ supE(xα ) = φ E(supxα) . α α HoÆc: φ supE(xα ) − E(supxα ) = 0. α α Do φ lµ chÝnh x¸c nªn ta cã: supE(xα ) = E(supxα ). α α Chøng minh ®-îc hoµn thµnh. Chó ý r»ng, tõ kÕt qu¶ cña Tomiyama, mäi phÐp chiÕu chuÈn b»ng 1 cña C∗ - ®¹i sè lªn C∗ - ®¹i sè con cña nã lµ d-¬ng vµ cã c¸c tÝnh chÊt 1o , 2o cña MÖnh ®Ò 3.1.2. 3.1.3. NhËn xÐt Mét ®iÒu rÊt quan träng, ng-îc víi tr-êng hîp cæ ®iÓn lµ, kú väng ®iÒu kiÖn cña ®¹i sè von Neumann A lªn ®¹i sè von Neumann B cña nã cã thÓ kh«ng tån t¹i. Theo kÕt qu¶ cña Takesaki [8], kú väng ®iÒu kiÖn EB tån t¹i nÕu vµ chØ nÕu ®¹i sè B lµ bÊt biÕn ®èi víi nhãm tù ®¼ng cÊu modular σtφ liªn kÕt víi φ (®Þnh nghÜa cña nhãm σtφ cã thÓ xem trong phô lôc). 33
KÕt qu¶ cña Takesaki lµ v« cïng quan träng, nh-ng ta kh«ng sö dông nã. Trong phÇn tiÕp theo, chóng ta sÏ th¶o luËn vÒ lý thuyÕt martingale héi tô, vµ ®Ó ®¬n gi¶n, ta gi¶ sö víi ®¹i sè ta xÐt, coi nh- kú väng ®iÒu kiÖn tån t¹i. 3.1.4. VÝ dô. (1). Cho A = L∞ (Ω, F , P) (trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, F , P)). Khi ®ã, c¸c ®¹i sè von Neumann con B cña A còng chÝnh lµ ®¹i sè con cã d¹ng L∞ (Ω, G, P) víi G lµ σ− tr-êng con cña F . HÇu nh- hiÓn nhiªn r»ng, kú väng ®iÒu kiÖn EB (theo nghÜa cña §Þnh nghÜa 3.1.1) lu«n tån t¹i vµ chÝnh lµ kú väng ®iÒu kiÖn cæ ®iÓn E(.kG) víi mét σ− tr-êng con thÝch hîp. (2). Víi mçi ®¹i sè von Neumann A cã mét tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ, ®Æt E(x) = φ(x)1. TÊt nhiªn, E lµ kú väng ®iÒu kiÖn lªn ®¹i sè cña c¸c béi sè (v« h-íng) cña phÇn tö ®¬n vÞ. (3). Cho H lµ kh«ng gian Hilbert h÷u h¹n chiÒu cïng víi vÕt chuÈn hãa τ trªn B(H) (®¹i sè cña tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn trong H). Cho {pk } lµ mét d·y c¸c phÐp chiÕu trùc giao t-¬ng hç trong H, víi PN k=1 pk = 1. §Æt: X N Ex = pk xpk k=1 Chóng ta sÏ chØ ra r»ng, E lµ kú väng ®iÒu kiÖn cña B(H) lªn {pk }0 (ho¸n tËp) ®èi víi τ . ThËt v©y, hiÓn nhiªn E1 = 1. Tõ tÝnh trùc giao cña pk , ta cã pk (Ex) = (Ex)pk nªn E lµ tõ B(H) lªn {pk }0 . H¬n n÷a, ta cã: X X X τ (Ex) = τ ( pk xpk ) = τ (xpk ) = τ ( xpk ) = τ (x), víi mäi x ∈ B(H) k k k 34
Do ®ã, víi y, z ∈ {pk }0 vµ x ∈ B(H) th×: X X τ y(Ex)z = τ y( pk xpk )z = τ ( pk yxzpk ) = τ E(yxz) = τ (yxz). k k KÕt thóc chøng minh. ∧ Trong tr-êng hîp pk = ek (phÐp chiÕu lªn kh«ng gian con x¸c ®Þnh bëi ek ), k = 1, ..., n = dim(H) vµ B(H) nh- lµ ®¹i sè cña c¸c ma trËn phøc cÊp n víi c¬ së {ek }. Khi ®ã, E lµ ¸nh x¹ thay thÕ ma trËn bëi phÇn ®-êng chÐo cña nã, tøc lµ: E : (aij ) → (bij ), víi bij = aij δij (δij lµ ký hiÖu Kronecker). (4). Cho φ lµ mét tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c trªn A. Ký hiÖu 1 Hφ = L2 (A, φ) lµ ®Çy ®ñ cña A víi chuÈn x → φ(x∗x) 2 . Ta cã thÓ ®ång nhÊt A nh- lµ tËp con cña Hφ vµ A trï mËt trong Hφ . Cho E lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña A lªn ®¹i sè von Neumann con B cña nã. Khi ®ã, cã thÓ th¸c ∼ triÓn E thµnh phÐp chiÕu trùc giao E trong Hφ . ChÝnh x¸c h¬n, ký hiÖu 1 L2 (B, φ) lµ ®Çy ®ñ cña B víi chuÈn x → φ(x∗x) 2 , ta cã L2 (B, φ) lµ kh«ng ∼ gian con tuyÕn tÝnh ®ãng cña L2 (A, φ) vµ E lµ mét phÐp chiÕu trùc giao cña L2 (A, φ) lªn L2 (B, φ). ThËt vËy, tõ MÖnh ®Ò 3.1.2 φ (Ex)∗ (Ex) 6 φ(x∗ x) ∼ nªn ta cã thÓ th¸c triÓn E nh- lµ phÐp co E trong L2 (A, φ). §Ó chøng ∼ minh E lµ mét phÐp chiÕu trùc giao, ta xÐt x ∈ A, khi ®ã, víi y ∈ B, ta cã: φ y ∗(x − Ex) = φ(y ∗x) − φ(y ∗Ex) = 0. ∼ Tõ ®ã, víi x ∈ L2(A, φ) ta cã (x − Ex) ⊥ L2 (B, φ), nªn víi x ∈ L2 (A, φ), c«ng ∼ ∼ thøc x = (x − Ex) + Ex lµ mét khai triÓn trùc giao cña x ®èi víi L2 (B, φ). (5). Cho mét ®¹i sè von Neumann A víi mét vÕt chuÈn chÝnh x¸c τ vµ B lµ mét ®¹i sè von Neumann con cña A. Khi ®ã, tån t¹i mét kú väng cã ®iÒu kiÖn EB : A → B mµ cã thÓ më réng thµnh mét ¸nh x¹ chÝnh x¸c tuyÕn tÝnh d-¬ng E tõ L1 (A, τ ) lªn L1 (B, τ ) cã chuÈn 1 sao cho: E (Ex)y = E x(Ey) , (∗) 35
víi x ∈ L1 (A, τ ) vµ y ∈ A hoÆc x∈A vµ y ∈ L1 (A, τ ). ThËt vËy, víi mäi x ∈ A, ®Æt: φx (z) = τ (xz), z ∈ B. (∗∗) Khi ®ã φx lµ mét hµm liªn tôc σ - yÕu trªn B , nªn φx ∈ B∗ . Tõ ®ã, cã x ∈ L1 (B, τ ) sao cho: φx(z) = τ (xz), z ∈ B. Nh-ng tõ (∗∗) ta cã: |φx(z)| 6 kxkτ (|z|), z ∈ B, ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ: z → τ (xz) th¸c triÓn thµnh phiÕm hµm trªn L1 (B, τ ) vµ ®iÒu ®ã cho ta x ∈ B. Râ rµng x lµ x¸c ®inh duy nhÊt bëi x. VËy nªn, ¸nh x¹: E:x→x lµ ®Þnh nghÜa tèt vµ tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (i) : E1 = 1 (ii) : τ (xz) = τ ((Ex)z), víi x∈A vµ z ∈ B, nghÜa lµ E lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn cña A lªn B ®èi víi τ . Tõ τ (|Ex|) 6 τ (|x|) vµ A, B t-¬ng øng trï mËt trong L1 (A, τ ) vµ L1 (B, τ ) nªn ta cã thÓ th¸c triÓn ¸nh x¹: x → Ex thµnh mét ¸nh x¹ tõ L1 (A, τ ) lªn L1 (B, τ ). §iÒu kiÖn (∗) ®-îc suy ra dÔ dµng b»ng c¸nh chuyÓn qua giíi h¹n tõ 1o trong MÖnh ®Ò 3.1.2. (6). Mét phÐp co tuyÕn tÝnh d-¬ng α cña ®¹i sè A lªn chÝnh nã ®-îc gäi lµ mét nh©n (®èi víi tr¹ng th¸i φ) nÕu: α1 = 1, φ(αx) = φ(x) vµ: φ(|αx|2) 6 φ(|x|2). 36
V× vËy, kú väng cã ®iÒu kiÖn lµ mét nh©n ®Æc biÖt (tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn kh¸c ®iÒu kiÖn 1o cña MÖnh ®Ò 3.1.2). (7). Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ vµ (An ) lµ mét d·y t¨ng cña c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi kú väng cã ®iÒu kiÖn En = EA (®èi víi φ). Ký hiÖu A∞ = W ∗ {An ; n > 1} n lµ ®¹i sè von Neumann sinh bëi (An ). Khi ®ã, kú väng cã ®iÒu kiÖn E∞ = EA∞ tån t¹i. Chøng minh. Ta cã thÓ gi¶ sö r»ng A t¸c ®éng trong kh«ng gian biÓu diÔn cyclic Hφ víi vÐct¬ cyclic vµ t¸ch ξ. §Æc biÖt, φ(x) = (xξ, ξ), víi x ∈ A. Ký hiÖu ∼ En lµ th¸c triÓn chÝnh t¾c cña En thµnh phÐp chiÕu trùc giao trªn H, tøc lµ: ∼ En (xξ) = (En x)ξ, víi x ∈ A. ∼ D·y (En ) cña phÐp chiÕu lµ t¨ng nªn cã mét phÐp chiÕu trùc giao trong ∼ H, ch¼ng h¹n, ký hiÖu lµ E∞ sao cho: ∼ ∼ kEn h − E∞ kH → 0, víi mäi h ∈ H. Cho y ∈ A0. Khi ®ã, ta cã: ∼ ∼ En (x)(yξ) = y(En x)ξ = y En (xξ) → y E∞ (xξ) Tõ d·y (En x) bÞ chÆn ®Òu vµ tËp {yξ, y ∈ A0} lµ trï mËt trong H nªn En x héi tô m¹nh ®Õn mét to¸n tö, ký hiÖu lµ E ∞ x. Nh-ng En x ∈ An ⊂ A∞ . V× A∞ lµ ®ãng trong t«p« yÕu (m¹nh) nªn ta nhËn ®-îc E∞ x ∈ A∞ . Do ∼ ®ã: E∞ (xξ) = (E∞ x)ξ . TiÕp theo, ta chØ ra r»ng ¸nh x¹: E∞ : A → A∞ lµ kú väng cã ®iÒu kiÖn mµ ta ®ang t×m. §Ó lµm ®-îc ®iÒu nµy, ta viÕt ph-¬ng tr×nh cho En (n = 1, 2, ...) : En 1 = 1, 37
φ(yxz) = φ(yEn (x)z), víi mäi y, z ∈ An ; x ∈ A. ChuyÓn qua giíi h¹n n→∞ ta ®-îc: E∞ 1 = 1, ∞ φ(yxz) = φ(yE∞ (x)z), víi mäi y, z ∈ ∪ An ; x ∈ A. n=1 Cho y, z ∈ A∞ . T×m (ys ) vµ (zs ) trong ∪An sao cho ys → y vµ zs → z m¹nh. Ta cã: φ(yxz) = limφ(ys zxs) = limφ(ys E∞ (x)zs ) = φ(yE∞ (x)z). s s Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 3.1.5. Bæ ®Ò. Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann cïng víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ vµ {An } lµ d·y kh«ng t¨ng cña c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A cïng víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. §Æt En = EAn . Cho ap lµ d·y c¸c sè d-¬ng sao cho: 0 = a0 < a1 < ... < an < ... < 1 vµ ap → 1. Khi ®ã to¸n tö: X ∞ T = (ap − ap−1)Ep (3.4) p=1 lµ mét nh©n cña A. Tuy nhiªn, víi mçi ε > 0, cã thÓ chän d·y {ap} vµ d·y {np } c¸c sè nguyªn d-¬ng sao cho: np −1 X ∞ 1 X k −Ep k 6 ε (3.5) p=1 n p k=0 Chøng minh. V× tr¹ng th¸i φ lµ chuÈn vµ chÝnh x¸c, biÓu diÔn cyclic π cña A ®èi víi φ lµ chuÈn chÝnh x¸c vµ π(A) lµ mét ®¹i sè von Neumann. V× vËy, kh«ng mÊt tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ thiÕt A t¸c ®éng vµo kh«ng gian biÓu diÔn GNS H = Hφ cña nã cïng víi vect¬ cyclic t¸ch ξφ . Cô thÓ, ta cã: φ(x) = (xξφ , ξφ ) víi x ∈ A. 38
∼ Cho En lµ phÐp co cña H t-¬ng øng víi kú väng cã ®iÒu kiÖn E, (tøc lµ ∼ En (xξφ ) = (En )ξφ ). HiÓn nhiªn T lµ phÐp co tuyÕn tÝnh d-¬ng cña A víi: T1 = 1 vµ φ(T x) = φ(x), ∀x ∈ A. §Æt: ∼ X ∞ ∼ T = (ap − ap−1)Ep . p=1 ∼ Khi ®ã, T lµ phÐp co tuyÕn tÝnh cña Hp vµ: ∼ (T x)ξφ = T (xξφ ) víi x ∈ A. Do ®ã: φ (T x)∗T x = (T xξ, T xξ) = kT xξk2 6 kxξk2 = φ(x∗x), nªn T lµ mét nh©n. Râ rµng: En Em = Emax(n,m) . §iÒu nµy suy ra: X ∞ k T = (akp −akp−1 )Ep , k = 1, 2, ... (3.6) p=1 ThËt vËy, (3.6) ®óng víi k = 1. Gi¶ sö r»ng (3.6) ®óng víi k , khi ®ã: X ∞ k+1 T = bpEp , p=1 víi: bp = (akp − akp−1)(ap − ap−1) + (akp − akk−1 )ap−1 + akp−1(ap − ap−1 ) = (ak+1 p − ak+1 p−1 ), suy ra (3.6) ®-îc chøng minh. MÆt kh¸c, ta cã: 1X k X n−1 ∞ 1 (n) T = I + (bp(n) −bp−1 )Ep (3.7) n k=0 n p=1 víi: 1 − anp bp(n) = , p>0 (3.8) n(1 − ap ) Theo c«ng thøc Taylor víi hµm x → (1 + x)n , x = a − 1, ta ®-îc: n(n − 1) an 6 1 + n(a − 1) + (a − 1)2 , víi mäi 0 < a < 1; n = 1, 2, ... 2 39
Do ®ã: n−1 1 − an 1 1− (1−a) 6 6 (3.9) 2 n(1 − a) n(1 − a) Tõ (3.7); (3.8); (3.9) cho ta -íc l-îng: 1X k 1 X (n) n−1 ∞ (n) (n) (n) k T − Ep k 6 (bq − bq−1 ) + 1 − b(n) (n) p + bp−1 = 2(1 − bp + bp−1 ) n k=0 n q=1 q6=p (n) (Tõ b0 = 1 n vµ bnp → 1 khi p → ∞). V× vËy, ta cã (3.9) : 1X k n−1 n−1 1 k T − Ep k 6 2 (1 − ap) + . n 2 n(1 − ap−1) k=0 Cho n = np th×: 1 np − 1 6 [(1 − ap)(1 − ap−1)]− 2 6 np , vµ ta ®-îc: np 1 X k 1 − ap 1 k T − Ep k 6 3( )2 np 1 − ap−1 k=0 §Ó kÕt thóc chøng minh, chØ cÇn cè ®Þnh (ap ) sao cho: X∞ 1 − ap 1 ε ( )2 < , p=1 1 − ap−1 3 2 ch¼ng h¹n, ®Æt: ap = 1 − (1 + 3ε )−2p . 3.2 Sù héi tô hÇu ®Òu cña kú väng cã ®iÒu kiÖn vµ martingale Chóng ta b¾t ®Çu b»ng mÖnh ®Ò sau: 3.2.1. MÖnh ®Ò. (xem [2]) Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ. An lµ d·y t¨ng ( t-¬ng øng gi¶m ) cña c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi kú väng cã ®iÒu kiÖn. Víi mäi x ∈ A, d·y E An x héi tô m¹nh ®Õn E A∞ x khi n → ∞, trong ®ã: A∞ = W ∗{An ; n > 1}, (t-¬ng øng: T ∞ A∞ = An ) n=1 40
Chøng minh. ∼ Cho {H, π, ξ} lµ mét biÓu diÔn cyclic cña A ®èi víi φ. En lµ mét phÐp ∼ chiÕu trùc giao lªn H t-¬ng øng víi EAn , nghÜa lµ: En π(x)ξ = π(EAn x)ξ , ∼ víi x ∈ A. (En ) lµ mét d·y t¨ng (t-¬ng øng gi¶m) cña phÐp chiÕu trùc ∼ ∼ ∼ giao héi tô m¹nh ®Õn phÐp chiÕu E = supEn (t-¬ng øng inf En ). n Do ®ã, n víi mäi x∈A vµ y ∈ π(A)0, ta cã: ∼ ∼ π(EAn x)yξ = yπ(EAn x)ξ = y En π(x)ξ → y Eπ(x)ξ trong chuÈn cña H. Tõ {yξ, y ∈ π(A)0} trï mËt trong H (do tÝnh chÊt cña ξ) ∼ vµ d·y π(EAn x) bÞ chÆn ®Òu nªn π(EAn x) héi tô m¹nh ®Õn Eπ(x). V× π(A) lµ ®ãng m¹nh nªn giíi h¹n nµy thuéc π(A), tøc lµ cã mét phÇn tö x¸c ∼ ®Þnh duy nhÊt cña A lµ E0 x tháa m·n: π(EAn x) → π(E0x). Nh-ng E t-¬ng øng víi EA∞ . Do φ lµ tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c nªn ®iÒu nµy cho ta sù héi tô m¹nh cña EAn x ®Õn EA∞ x. MÖnh ®Ò ®-îc chøng minh. 3.2.2. §Þnh lý. (xem [2]) Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ. (An ) lµ mét d·y gi¶m c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. Khi ®ã, víi mçi x ∈ A, d·y En x = EAn x héi tô hÇu T ∞ ®Òu ®Õn EA∞ x, trong ®ã: A∞ = An . n=1 Chøng minh. Cho x∈A vµ ε > 0. LÊy (ap ) vµ (np ) nh- trong Bæ ®Ò 3.1.5. Tõ §Þnh lý 2.2.3 - [7], tån t¹i xT ∈ A sao cho: 1X k n−1 T x → xT hÇu ®Òu. n k=0 Do ®ã, tån t¹i mét phÐp chiÕu q∈A sao cho φ(q ⊥ ) < ε vµ: 1X k n−1 k( T x − xT )qk → 0, n → ∞. n k=1 41
V× vËy, ta cã: 1 X k 1 X k n−1 n−1 k Ep x − xT qk 6 kEp x − T xk + k T x − xT qk < ε, víi p > N (ε). np np k=0 k=0 Tõ §Þnh lý 1.2.1 - [7] - (i → ii), ta cã ®-îc sù héi tô hÇu ®Òu cña En x ®Õn xT . Tõ MÖnh ®Ò 3.2.1, xT = EA∞ x. §Þnh lý ®-îc chøng minh. 3.2.3. Bæ ®Ò. (xem [2]) Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ. A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ Aq lµ c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn t-¬ng øng EA1 , EA2 , ..., EAq . Khi ®ã, víi mäi x ∈ A+ , vµ víi mäi ε > 0, ta cã khai triÓn: EAp x = ypq + zpq , 1 6 p 6 q, víi: ypq ∈ A, xpq ∈ A+ ; kypq k 6 ε, zpq < cq , p 6 q; cq ∈ A+ , kcq k 6 4kxk, vµ: φ(cq ) 6 8kxk1/2φ(x)1/2. Chøng minh. Cho ε > 0. §Æt: ( Aq−p+1 nÕu p 6 q, A0p = A1 nÕu p > q. Víi d·y (A0p ) vµ cho tr-íc ε > 0, ta cã thÓ chän (ap) vµ (np ) sao cho víi Tq ®-îc ®Þnh nghÜa nh- trong Bæ ®Ò 3.1.5, ta cã: np −1 Ap 1 X k kE − T xk 6 ε np k=0 q Ta cã thÓ viÕt: np −1 np −1 Ap 1 X k Ap 1 X k E x = (E x − T x) + T x. np k=0 q np k=0 q 42
§Æt: ypq vµ zpq lµ ®¹i l-îng thø nhÊt vµ thø hai trong khai triÓn trªn cña EAp x. Khi ®ã: kypq k 6 ε. Tån t¹i cq víi tÝnh chÊt nh- trªn suy ra tõ §Þnh lý ergodic cùc ®¹i cña Lance (xem 2.2.15 - [5]). Bæ ®Ò ®-îc chøng minh. 3.2.4. Bæ ®Ò Maximal cña Dang Ngoc ®èi víi kú väng cã ®iÒu kiÖn. Cho (An ) lµ mét d·y t¨ng c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. Víi mçi x ∈ A+ , tån t¹i c ∈ A+ , sao cho: kck 6 4kxk, φ(c) 6 8kxk1/2φ(x)1/2 vµ EAn 6 c, n = 1, 2, ... Chøng minh. Víi mäi sè nguyªn q > 1, xÐt khai triÓn trong Bæ ®Ò 3.2.3: EAp x = ypq + zpq , víi εq = 2−q ; 1 6 p 6 q vµ víi cq liªn kÕt (nh- trong Bæ ®Ò 3.2.3). V× (cq ) bÞ chÆn ®Òu nªn tån t¹i mét d·y con héi tô σ−yÕu cña (cq ) lµ (cqi ). Cho (cqi ) → c (σ - yÕu). Khi ®ã, ta cã: kck 6 4, φ(c) 6 8kxk1/2φ(x)1/2, ®ång thêi: kypqi k 6 2−qi → 0 nªn: kEAp x → zp,qi k → 0, i → ∞, víi mäi p = 1, 2, ... V×: zp,qi 6 cqi , víi p 6 qi (i = 1, 2, ...), ta suy ra: EAp x 6 c. Bæ ®Ò ®-îc chøng minh. 3.2.5. Bæ ®Ò. (xem [2]) Cho (An ) lµ mét d·y t¨ng c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. §Æt K0 = {x ∈ A : limkEAn x − EA∞ xk = 0}. n Víi mäi phÇn tö d-¬ng x ∈ A, tån t¹i mét d·y (xp ) trong K0 sao cho héi tô ®Õn x trong t«p« m¹nh ∗. 43
Chøng minh. S Cho x ∈ A+ . Râ rµng, tõ (An ) lµ t¨ng, ta cã: An ⊂ K0 . Tõ MÖnh ®Ò n 3.2.1 suy ra mäi phÇn tö y ∈ A+ ∞ lµ mét giíi h¹n m¹nh (σ - m¹nh) cña T d·y bÞ chÆn (yp ) cña c¸c phÇn tö d-¬ng cña A∞ K0 (do víi y ∈ A∞ , y= E∞ y = limEn y ). n T §Æt y = EA∞ x. Cho 0 6 yp ∈ A∞ K0 vµ yp → y m¹nh. TiÕp theo, ta ®Æt: xnp = (yp − EA∞ x). Khi ®ã, ta cã: EAn xp = EAn yp , víi mäi p; 1 6 n 6 ∞. V× vËy: kEAn xp − EA∞ xpk = kEAn yp − EA∞ yp k → 0, n→∞ §iÒu ®ã cã nghÜa lµ: x p ∈ K0 . H¬n n÷a: yp → y = EA∞ x trong t«p« m¹nh nªn xp → x (m¹nh ∗ ). Ta kÕt thóc chøng minh víi chó ý r»ng: kxp k 6 2kxk + sup kypk. 3.2.6. Bæ ®Ò. Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann t¸c ®éng trong kh«ng gian Hilbert H, Víi x, y ∈ A, 0 6 x 6 y 6 1. Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt mét to¸n tö z∈A sao cho: x1/2 = zy 1/2 vµ kzk 6 1. Chøng minh. Víi h∈H ta cã: kx1/2hk2 = (xh, h) = (yh, h) = ky 1/2hk2 §Æc biÖt: y 1/2h = 0 suy ra x1/2h = 0. ¸nh x¹ b : y 1/2h → x1/2h ®Þnh nghÜa trªn y 1/2(H) lµ tuyÕn tÝnh vµ liªn tôc trªn y 1/2(H). H¬n n÷a, ta cã: y 1/2(H) = y(H). Cho c : y 1/2(H) → H lµ mét më réng duy nhÊt cña b. Khi ®ã, 44
x1/2 → cy 1/2 vµ tån t¹i duy nhÊt z nh- trong §Þnh lý. TiÕp theo, ta chØ ra r»ng z ∈ A. Nh-ng víi to¸n tö Unita u ∈ A0 (ho¸n tËp cña A), ta cã: uzu∗y 1/2 = uzy 1/2u∗ = ux1/2u∗ = x1/2, suy ra tõ sù duy nhÊt cña z. Ta cã:zu = uz víi u ∈ A0. Tõ §Þnh lý song ho¸n tËp (xem phô lôc, A4 - [7]) ta suy ra z ∈ A. 3.2.7. Bæ ®Ò. (xem [5]) Cho x, y ∈ A, 0 6 x 6 y 6 1. Khi ®ã, víi mäi phÐp chiÕu p, ta cã: kxpk 6 kypk1/2 Chøng minh. Tõ Bæ ®Ò 3.2.6, tån t¹i mét to¸n tö z ∈ A víi kzk 6 1 sao cho: x1/2 = zy 1/2. Do dã: kxpk = kx1/2zy 1/2pk 6 ky 1/2pk = kpypk1/2 6 kypk1/2 Cho x ∈ A. B»ng c¸ch biÓu diÔn x d-íi d¹ng tæng cña phÇn tö liªn hîp vµ phÇn liªn hîp lÖch sau ®ã viÕt mét trong sè chóng d-íi d¹ng hiÖu cña phÇn ©m vµ phÇn d-¬ng cña nã, ta ®¹t ®-îc: X 4 x= ik−1 x(k) , (3.10) k=1 víi x(k) > 0, kx(k) k 6 kxk. §Æt x++ = x(1) + x(2) + x(3) + x(4), ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 3.2.8. Bæ ®Ò. (xem [5]) Cho (xn ) lµ mét d·y bÞ chÆn trong A vµ héi tô ®Õn 0 trong t«p« m¹nh ∗ . Khi ®ã: x++ → 0 m¹nh. Chøng minh. NÕu xk = yk + izk , víi yk vµ zk tù liªn hîp, th× yk → 0 vµ zk → 0 (m¹nh ∗), nªn ta cã thÓ gi¶ sö r»ng xk còng tù liªn hîp. NÕu xk → 0 m¹nh th× 45
|xk | → 0 (v× kxk hk = k|xk |hk). Do ®ã: (xk )(1) = 12 (xk + |xk |) → 0 m¹nh. Bæ ®Ò ®-îc chøng minh. B©y giê, ta sÏ xem xÐt mét ®Þnh lý mµ cã thÓ cho phÐp ta chøng minh ®Þnh lý cña Dang Ngoc. 3.2.9. §Þnh lý. (xem [2]) Cho (An ) lµ mét d·y t¨ng c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. Víi mçi x ∈ A, d·y EAn x héi tô hÇu ®Òu ®Õn E A∞ x, n → ∞, víi A∞ = W ∗{An , n > 1} (®¹i sè von Neumann sinh bëi An ) Chøng minh. §Æt E = EAn , víi 1 6 n 6 ∞. Tõ §Þnh lý 1.2.1 - [7] vµ tÝnh chÊt céng tÝnh hiÓn nhiªn cña giíi h¹n tùa ®Òu, ta gi¶ sö r»ng x ∈ A+ (nÕu cÇn th× dïng khai triÓn 3.10 cña x). Ta cã thÓ gi¶ sö r»ng kxk 6 1. Tõ Bæ ®Ò 3.2.5, cã mét d·y (xp ) ∈ K0 sao cho xp → x trong t«p« m¹nh ∗ , víi kxpk 6 3. Ta cã thÓ viÕt: En x − E∞ x = (En xp − E∞ xp) + En (x − xp) + E∞ (xp − x). (3.11) Tõ ®ã: X 4 x − xp = ik−1 (x − xp)(k) (3.12) k=1 lµ khai triÓn 3.10 cña x − xp . Tõ Bæ ®Ò 3.2.4, ta t×m ®-îc cpk ∈ A+ , (k = 1, 2, 3, 4) sao cho: En ((x−xp)(k) ) 6 cpk , n > 1, k = 1, 4 (3.13) vµ: 1/2 kcpk k 6 8, φ(cpk ) 6 16φ (x−xp)++ (3.14) Ta cã: X 4 E∞ (x − xp) = ik−1 En ((x − xp )(k) ) (3.15) k=1 46
TiÕp theo, ta ®Æt: X 4 cp = [ckp]+En ((x−xp)(k) ) (3.16) k=1 Cho ε > 0, tõ Bæ ®Ò 3.2.8 vµ 3.14, cp → 0 m¹nh. ¸p dông §Þnh lý 1.3.2 - [7] ®èi víi d·y (cp ), ta t×m ®-îc mét d·y con (ps ) vµ phÐp chiÕu q sao cho φ(q ⊥ ) < ε vµ limkcps qk = 0. s Tõ 3.13 → 3.16 vµ Bæ ®Ò 3.2.7, ta cã: lim supkEn ((x−xps )(k) )qk = 0, 1 6 k 6 4, (3.17) s→∞ n vµ: lim kE∞ ((xps − x)(k))qk = 0, 1 6 k 6 4, (3.18) s→∞ kÕt hîp víi 3.11, ta ®-îc: X 4 X 4 k(En x−E∞ x)qk 6 kEn xps −E∞ xps k+ kEn (x−xps )qk+ kE∞ (x−xps )qk. (3.19) k=1 k=1 Hai sè h¹ng cuèi tiÕn ®Õn 0 khi s → ∞. Tõ (xp ) ⊂ K0 , sè h¹ng ®Çu tiªn tiÕn ®Õn 0 khi cè ®Þnh s vµ n → ∞. Do ®ã, víi ε > 0, ta cã thÓ t×m ®-îc q, φ(q ⊥ ) < ε sao cho: k(En x − E∞ x)qk < ε, víi n ®ñ lín. Tõ §Þnh lý 1.2.1 - [7] - (i) → (ii), ta ®¹t ®-îc sù héi tô hÇu ®Òu cña En x ®Õn E ∞ x. §Þnh lý ®-îc chøng minh. Cho (An ) lµ mét d·y t¨ng c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn. (®èi víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c trªn A). Ta c«ng nhËn ®Þnh nghÜa sau: 3.2.10. §Þnh nghÜa. D·y (xn ) c¸c phÇn tö cña A lµ mét martingale thÝch nghi víi d·y (An ) nÕu c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y ®ång thêi tháa m·n: i) xn ∈ An , n = 1, 2, ... ii) EAn xn+1 = xn , n = 1, 2, ... iii) supkxn k < ∞ n 47
3.2.11. §Þnh lý Dang Ngoc (xem [2]). Cho A lµ mét ®¹i sè von Neumann víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ vµ (xn ) lµ mét martingale t-¬ng thÝch víi d·y t¨ng (An ) c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn (®èi víi φ). Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt x∞ ∈ A∞ = W ∗ {An, n > 1} sao cho (xn ) héi tô m¹nh vµ hÇu ®Òu ®Õn x∞ . H¬n n÷a, xn = EAn x∞ víi mäi 1 6 n 6 ∞. Chøng minh. Ta cã thÓ gi¶ sö r»ng A t¸c ®éng trong GNS - kh«ng gian biÓu diÔn H (liªn kÕt víi φ). §Æc biÖt, ta cã: φ(x) = (xξ, ξ), víi x ∈ A, ξ lµ vÐct¬ ∼ cyclic vµ t¸ch trong H. Ký hiÖu En lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c trong H liªn ∼ kÕt víi EAn , tøc lµ: En (xξ) = (EAn x)ξ , víi x ∈ A. Râ rµng, ta cã: X n xn ξ = x1 ξ + (xk − xk−1 )ξ (3.20) k=2 V× c¸c vect¬ x1ξ, (x2 − x1 )ξ, ..., (xn+1 − xn )ξ, ... nªn ta cã: Xn 2 2 kxn ξk = kx1 ξk + k(xk −xk−1 )ξk2 6 supkxn k2 , n = 1, 2, ... (3.21) n k=2 Nh- vËy, x1ξ + (x2 − x1)ξ + ... héi tô trong H. Ta ký hiÖu giíi h¹n nµy lµ ∼ g. Ta cã: En g = xn ξ, n = 1, 2, ... Cho y ∈ A. Khi ®ã: kxn (yξ) − ygk = ky(xn ξ − g)k 6 kyk.kxnξ − gk → 0, n → ∞. Do A0ξ trï mËt trong H vµ d·y (xn ) bÞ chÆn ®Òu nªn (xn ) héi tô m¹nh ®Õn x ∈ A∞ vµ tháa m·n xξ = g . H¬n n÷a, ta cã: ∼ ∼ xn ξ = En g = En (xξ) = (EAn x)ξ, n = 1, 2, ... Tõ tÝnh chÊt t¸ch cña ξ, ta cã: xn = EAn x, n = 1, 2, ... §Þnh lý ®-îc chøng minh. 3.2.12. NhËn xÐt. M.S. Goldstein (xem [4]) ®· chøng minh §Þnh lý héi tô martingale 48
cho tr¹ng th¸i trong tr-êng hîp tæng qu¸t h¬n, ®éc lËp víi Dang Ngoc, theo mét c¸ch kh¸c. Ph-¬ng ph¸p cña «ng t-¬ng tù nh- mét ph-¬ng ph¸p mµ «ng ®· dïng -íc l-îng trung b×nh ergodic lµ ph-¬ng ph¸p ho¸n tËp. Ta sÏ tiÕp cËn ph-¬ng ph¸p cña Goldstein b»ng c¸ch gi¶ sö r»ng ®¹i sè A (víi tr¹ng th¸i chuÈn chÝnh x¸c φ) t¸c ®éng trong kh«ng gian biÓu diÔn Hφ víi vÐct¬ cyclic vµ t¸ch ξ. Ta b¾t ®Çu víi Bæ ®Ò quan träng sau cña Goldstein. 3.2.13. Bæ ®Ò. (xem [4]) Cho A1 , A2, ..., AN lµ mét d·y t¨ng c¸c ®¹i sè von Neumann con cña A víi c¸c kú väng cã ®iÒu kiÖn EAn = En (®èi víi φ). Ký hiÖu E0 : A0 → A0 lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu víi En theo nghÜa Goldstein, tøc lµ theo tÝnh chÊt 2.2.6 - [7]. Cho x1, x2 , ..., xm ∈ A, xi > 0, (i = 1, 2, ..., m) vµ ε1 , ε2, ..., εm lµ c¸c sè d-¬ng sao cho: X m ε−1 i φ(xi ) < 1 (3.22) i=1 Khi ®ã, tån t¹i c¸c to¸n tö y1 , y2, ..., ym ∈ A0 tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: Pm i) yi > 0, i=1 yi 6 1 ii) E0N yi = yi , víi i = 1, 2, ..., m iii) (yi ξ, ξ) 6 ε−1 i (xi yi ξ, ξ), i = 1, 2, ..., m P iv) NÕu y ∈ A0, 06y 61− m i=1 yi , víi i = 1, 2, ..., m, 1 6 n 6 N. Chøng minh. Ta chó ý r»ng: E0n E0m = E0n∧m = min(n, m) (3.23) ThËt vËy, víi x ∈ A, y ∈ A0, ta cã: E0n E0m (y)ξ, xξ = x∗E0n E0m (y)ξ, ξ = = En∧m (x∗ )yξ, ξ = x∗(E0n∧m (y)ξ, ξ = E0n∧m (y)ξ, xξ V× x tïy ý vµ (Aξ) trï mËt trong H, nªn E0n∧m (y)ξ = E0n E0m (y)ξ . Tõ tÝnh chÊt t¸ch cña ξ, suy ra (3.23). Ta sÏ chøng minh Bæ ®Ò b»ng ph-¬ng 49
ph¸p quy n¹p ®èi víi N. Gi¶ sö r»ng A1 ∈ CI . Khi ®ã, ®Æt (víi N = 1) y1 = y2 = ... = ym = 0 vµ (yi ) tháa m·n tÊt c¶ c¸c ®iÒu kiÖn tõ (i) → (iv). TiÕp theo, gi¶ sö r»ng, víi c¸c ®¹i sè A1, ..., AN −1, ta t×m ®-îc c¸c to¸n tö z1, z2, ..., zm tháa m·n ®iÒu kiÖn (i) → (iv) (víi zi = yi vµ N −1 thay cho Qm N ). Ta xÐt ®¹i sè B= i=1 A0 vµ tËp: X m X L = {(u1 , u2, ..., um) ∈ B, ui > 0, E0N ui = ui, 1 6 i 6 m; ui 6 1− i = 1m zi } (3.24) i=1 L lµ compact yÕu vµ hµm: X g(u1 , u2, ..., um) = (xi ui ξ, ξ) − εi(ui , ξ) (3.25) liªn tôc yÕu trong L. V× vËy, tån t¹i mét ®iÓm u = (u1 , ..., um ) ∈ L sao cho g(u) = max g . §Æt yi = zi + ui , (1 6 i 6 m). Râ rµng, c¸c to¸n tö yi tháa m·n Pm ®iÒu kiÖn (i) vµ (ii). Cho y ∈ A0, víi 0 6 y 6 1− i=1 yi, E0N (y) = y . §Æt ∧ y = E0N −1 (y). Khi ®ã, ta cã: ∧ ∧ X m X m y∈A 0 vµ 06y 61− E0N −1 (yi ) 61− zi . i=1 i=1 Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, ta ®-îc: ∧ ∧ (En (xi )yξ, ξ) 6 εi (yξ, ξ) víi 1 6 n 6 N −1, 1 6 i 6 m (3.26) Tõ MÖnh ®Ò 2.2.6 - [7] vµ tÝnh ®¬n ®iÖu cña d·y (E), ta ®-îc: ∧ (En (xi )yξ, ξ) = (En (xi)E0N −1 (y)ξ, ξ) = = (EN −1 En (xi)yξ, ξ) = (En (xi )yξ, ξ), 1 6 n 6 N − 1 (3.27) H¬n n÷a, tõ MÖnh ®Ò 2.2.6 - [7], cã: ∧ ∧ (yξ, ξ) = (E0N −1 (xi )yξ, ξ) = (yξ, ξ) (3.28) Nªn tõ (3.26) , (3.27) , (3.28), ta ®-îc: (En (xi)yξ, ξ) 6 εi(yξ, ξ) víi n = 1, 2, ..., N − 1; i = 1, 2, ..., m (3.29) 50