MÔ HÌNH ĐA NHÂN TỐ VÀ MÔ
HÌNH ĐỊNH GIÁ TÀI SẢN VỐN
Phần bù rủi ro của các chứng khoán riêng lẻ nên phản ánh sự nhạy cảm của chứng khoán đối với sự
thay đổi của các rủi ro hệ thống khác ngoài rủi ro thị trường.
Lúc sử dụng chứng khoán để phòng ngừa rủi ro từ các nhân tố thì sẽ tạo ra 1 đường SML đa nhân tố
(SML Multifactor)
Mỗi nguồn rủi ro mà có thể phòng ngừa được thì sẽ có thêm một nhân tố (factor) giúp tìm được
đường SML
Các nhân tố rủi ro có thể được thể hiện hoặc là bằng với tỉ suất sinh lời của danh mục phòng ngừa
hoặc trực tiếp hơn là qua chính nhân tố rủi ro đó
A. Tổng quát về mô hình đa nhân tố:
Mô hình đa nhân tố (Multifactor) là những mô hình mô tả TSSL của chứng khoán phản ứng đối với
một số nhân tố hệ thống.
I. Tổng quát về mô hình đa nhân tố:
Xét mô hình n nhân tố như sau:
(1.1)
Trong đó:
Ri : Tỷ suất lợi nhuận vượt trội của tài sản i (cổ phiếu i)
αi
=
E
(
Ri
)
: Tỷ suất Lợi nhuận trội vượt kỳ vọng của tài sản i
Fj: Nhân tố vĩ mô thứ j (độ lệch)
βij
: Hệ số nhạy cảm của tài sản i đối với nhân tố vĩ mô thứ j
εi
: Nhân tố nhiễu của tài sản i
II. Các giả thuyết của mô hình đa nhân tố:
-Giả thuyết 1: E(Fj) = 0, j =1,2,…,n. (Có nghĩa là các nhân tố đại diện cho những thay đổi không
thể lường trước trong các biến này)
-Giả thuyết 2: E(
εi
) = 0, i =1,2,3,…,m
-Giả thuyết 3: Cov(Ft,Fs) = 0, t ≠s
-Giả thuyết 4: Cov(
εt, εs
) = 0, t ≠s
-Giả thuyết 5: Cov(Fj,
εi
) = 0, j=1,2,…,n; i =1,2,…,m
III. Mô hình đa nhân tố đối với tỷ suất lợi nhuận của danh mục:
Xét danh mục:
P:(w1,w2,…,wm)
Tỷ suất lợi nhuận của danh mục ký hiệu RP, khi đó:
RP=∑
i=1
m
(
wiRi
)
Từ mô hình n nhân tố (1.2), suy ra phương trình nhân tố đối với danh mục P như sau:
(1.2)
Trong đó:
IV. Các Beta nhân tố:
Các hệ số beta của các nhân tố trong DMĐT là giá trị bình quân gia quyền các hệ số beta theo tỷ
trọng cảu những chứng khoán trong danh mục
V. Một số ứng dụng của mô hình đa nhân tố:
1. Ước lượng ma trận hiệp phương sai của tỷ suất lợi nhuận của các tài sản
-Ma trận hiệp phương sai: Ma trận hiệp phương sai của tập hợp biến ngẫu nhiên là một ma
trận vuông, được biểu diễn dưới dạng hằng số là m × m. Trong đó các phần tử nằm trên
cùng một đường chéo có hướng từ trái sang phải và có phương từ trên xuống dưới sẽ lần
lượt trở thành các biến số phương sai tương ứng của các biến này.
Trong đó:
Cov(Ri, Rj) = E[(Ri – E(Ri))(Rj – E(Rj))]
1≤i≤n, 1≤j≤n
Ký hiệu:
-Xét mô hình n nhân tố như sau:
Suy ra:
Ta định nghĩa các mô hình hiệp phương sai như sau: hiệp phương sai được những nhà phân tích đầu
tư liệt kê vào các phương án để xác định, giảm thiểu rủi ro tổng thể cho một hoặc nhiều danh mục
đầu tư có liên quan. Nó hoạt động bằng cách loại bỏ những yếu tố biến động nhờ vào sự đa dạng
hóa thông tin khỏi hiệp phương sai đã tính toán. Điều này chứng tỏ hiệp phương sai là một trong
những phép tính quan trọng trong cả lý thuyết danh mục đầu tư lẫn tài chính nói chung.
Dựa vào giả thuyết 3 và giả thuyết 4 ta suy ra được Cov(F) và Cov(ɛ)
Trong đó:
Cov(F): Ma trận chéo cấp n với các phần tử là phương sai của các nhân tố vĩ mô
Cov(ɛ): Ma trận chéo cấp m với các phần tử là phương sai của các nhân tố riêng
-Ta suy ra dạng ma trận của Cov(R):
Như vậy để ước lượng các phần tử của ma trận Cov(R)
Các phần tử của Cov(R) là các ma trận : ma trận hệ số nhân tố gồm m hàng n cột; ma trận chéo cấp n
Cov(F) và ma trận chéo cấp m, Cov(ɛ)
2. Phân tích rủi ro và tính Var của tài sản, danh mục:
a. Phân tích rủi ro của tài sản, danh mục:
Ta có:
Đại lượng
gọi là tổng rủi ro của tài sản i.
Tổng rủi ro được phân tích thành hai phần bao gồm:
+) : Rủi ro nhân tố của tài sản i
+) var(
εi
) :Rủi ro phi nhân tố của tài sản i
Dạng ma trận tương ứng của tài sản thứ i
σ˙
i
2=β
(
i
)
Cov
(
F
)
β
(
i
)
T+e
(
i
)
Cov
(
ε
)
e
(
i
)
T
Trong đó:
β
(
i
)
:
vectơ dòng i của ma trận
e
(
i
)
: vectơ đơn vị thứ i
B
(
i
)
Cov
(
F
)
β
(
i
)
T
: rủi ro nhân tố của tài sản i
e
(
i
)
Cov
(
ε
)
e
(
i
)
T
: rủi ro phi nhân tố của tài sản i
Phân tích đối với danh mục:
Giả sử xét danh mục P(w1, w2, …, wm)
Khi đó có:
σP
2=∑
j=1
n
βPj
2var
(
Fj
)
+∑
i=1
m
wi
2var
(
εi
)
Trong đó
σP
2
: tổng rủi ro danh mục
∑
j=1
n
βPj
2var
(
Fj
)
: rủi ro nhân tố danh mục
∑
i=1
m
wi
2var
(
εi
)
: Rủi ro phi nhân tố của danh mục
Dạng ma trận tương ứng của danh mục:
σP
2=wT
(
β Cov
(
F
)
βT
)
w+wTCov
(
ε
)
w
Trong đó:
wT
(
β Cov
(
F
)
βT
)
w
: Rủi ro nhân tố của danh mục
wTCov
(
ε
)
w
: Rủi ro phi nhân tố của danh mục
b. Tính và phân tích Var của tài sản và danh mục:
Do rủi ro của tài sản và danh mục cấu thành từ rủi ro nhân tố và rủi ro riêng nên ta có thể tính var và
phân tích các bộ phận cấu thành tương ứng.
Nếu ký hiệu xi là giá trị tài sản i và X = (x1, x2,…, xm) vectơ giá trị tài sản có trong danh mục đầu tư nắm
giữ theo công thức tính Var, ta có:
+ Var đối với tài sản i:
Var (1ngày ,
(
1−a
)
100 %)=xi{ϕ−1
(
α
)
√
β
(
i
)
TCov
(
F
)
β
(
i
)
+e
(
i
)
TCov
(
ε
)
e
(
i
)
};
+ Var đối với danh mục:
Var (1ngày ,
(
1−a
)
100 %)=ϕ−1
(
α
)
√
XT¿¿
Trong đó
xi{ϕ−1
(
α
)
√
β
(
i
)
TCov
(
F
)
β
(
i
)
}; ϕ−1
(
α
)
√
XT¿¿
đây được gọi là VaR riêng biệt của tài sản, danh mục.
Với
ϕ(x)= 1
√
2π∫
−∞
x
ⅇ−0,5t2
tⅆ
là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối Gauss
(phân phối chuẩn tắc).
B. Các mô hình đa nhân tố:
Một mô hình nhân tố cố ép các nhân tố hệ thống vào giới hạn của một nhân tố đại diện thì không
hợp lý cho lắm.
Do đó một mô hình nhân tố phân tách được tỷ suất sinh lời thành các nhân tố hệ thống và các nhân
tố đặc trưng của công ty thì là hợp lý.
Như vậy các mô hình đa nhân tố (Multifactor Models) có thể mô tả tốt tỷ suất sinh lời của một chứng
khoán.
I. Mô hình hai nhân tố mô tả TSSL vượt trội của cổ phiếu i:
R
(
ⅈ
)
=E
(
R
(
ⅈ
)
)
+βⅈGDP GDP+βⅈIR IR
+
ⅇⅈ
+ GDP là sự thay đổi ngoài kỳ vọng trong GDP
+ IR là sự thay đổi ngoài kỳ vọng trong IR
+ Hai nhân tố
βⅈGDP GDP và β ⅈIR IR
: là hai nhân tố vĩ mô của mô hình
-SML hai nhân tố:
ri=rf+βi GDP E(ri GDP−rf)+βi IR E(ri IR−rf)
II. Mô hình ba nhân tố Fama-French:
Fama và French đã đề xuất một mô hình ba yếu tố để giải thích lợi nhuận trung bình đã trở thành
một công cụ tiêu chuẩn cho các nghiên cứu thực nghiệm về lợi nhuận tài sản.