Một số bài toán biên của phương trình vật lý toán

Chia sẻ: Xuan Thuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

125
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

3. Tìm các dao ñong bé c$a dây chiêu dài l ( 0 ≤ x ≤ ℓ ) v&i các mút gan chat nêu ? thNi ñiem ñâu tiên dây ? tr'ng thái yên nghU và mot ño'n (a,b) c$a nó ( 0

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bài toán biên của phương trình vật lý toán

M TS BÀI TOÁN BIÊN C A PHƯƠNG TRÌNH V T LÝ TOÁN Phương pháp tách bi n gi i các bài toán biên cho phương trình dao ñ ng §1. Bài toán dao ñ ng c a dây v i hai mút x = 0 và x = ℓ c t ch t 1. Dao ñ ng t do c a dây v i hai mút x = 0 và x = ℓ c t ch t Phương trình dao ñ ng : utt = a 2uxx (0 < x < ℓ, t > 0) (1) u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3) ði u ki n ñ u : Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay bi u th c này vào X ''( x) T ''(t ) phương trình (1) ta ñư c phương trình : X ( x)T ''(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒ = = −λ 2 . T ñó ta X ( x) a 2T (t ) tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau : T ''(t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0  (4)   X ''( x) + λ X ( x) = 0 2 (5)  u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 ⇒ X (0) = 0 T ñi u ki n biên (2) ta có : u (ℓ, t ) = X (ℓ)T (t ) = 0 ⇒ X (ℓ) = 0 Nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx T ñi u ki n X (0) = 0 ⇒ C1 = 0 ; T ñi u ki n X (ℓ) = 0 ⇒ λC2 sin λℓ = 0 ⇒ λℓ = nπ (n = 1, 2,..) . nπ nπx T ñó ta nh n ñư c : λ = λ n = (6) ; ch n C2 = 1 , ta ñư c : X n ( x) = sin (7) ℓ ℓ Khi λ = λ n , phương trình (4) tr thành : T ''(t ) + a 2λ nT (t ) = 0 ; Nghi m t ng quát c a phương trình 2 nπat nπat này có d ng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos + bn sin (8). ℓ ℓ Như v y nghi m t ng quát c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) có d ng : ∞ nπat nπat  nπx  u ( x, t ) = ∑  an cos + bn sin  sin ℓ (9) n =1  ℓ ℓ T ñi u ki n ñ u (3) và bi u th c (9) cho u ( x, t ) ta có : ∞ nπx u ( x, 0) = ∑ an sin = ϕ ( x) (10) ℓ n=1 ∞ nπa nπx ut ( x,0) = ∑ = ψ ( x) (11) bn sin ℓ ℓ n =0 ℓ nπx 2 an = ∫ ϕ( x)sin T (10) và (11) ta tìm ñư c : dx ℓ0 ℓ ℓ nπx 2 ∫ ψ( x)sin ℓ dx bn = nπa 0 Thay các bi u th c tìm ñư c c a an , bn vào (9) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm . Các bài t p áp d ng : 1. Tìm các dao ñ ng ngang c a dây g n ch t t i hai mút x = 0, x = ℓ , n u v n t c ban ñ u b ng không và d ng ban ñ u c a dây là m t cung parabol ñ i x ng v i ñư ng vuông góc qua trung ñi m c a dây. 32h ∞ (2k + 1)πat (2k + 1)πx 1 ðS : u ( x, t ) = 3 ∑ cos sin π k =0 (2k + 1) 3 ℓ ℓ 2. M t dây chi u dài ℓ ñư c g n ch t t i các mút x = 0, x = ℓ . ði m x = c x a nó ñư c kéo lên 1
kh i v trí cân b ng m t ño n h nh và lúc t = 0 dây ñư c th ra không v n t c ñ u. Tìm dao ñ ng c a dây th i ñi m t > 0 . ∞ nπc nπat nπx 2hℓ 2 1 ∑ n 2 sin ℓ cos ℓ sin ℓ ðS : u ( x, t ) = 2 π c(ℓ − c) n=1 3. Tìm các dao ñ ng bé c a dây chi u dài l ( 0 ≤ x ≤ ℓ ) v i các mút g n ch t n u th i ñi m ñ u tiên dây tr ng thái yên ngh và m t ño n (a,b) c a nó ( 0 < a < b < ℓ ) ñư c truy n cho m t v n t c ban ñ u không ñ i b ng v0 4. Tìm các dao ñ ng bé c a dây chi u dài l ( 0 ≤ x ≤ ℓ ) v i các mút g n ch t n u ñ l ch ban ñ u c a các ñi m trên dây b ng không và th i ñi m ñ u tiên dây ñư c truy n cho m t xung l c t p trung v i cư ng ñ I t i x0 ( 0 < x0 < ℓ ). 2I ∞ 1 n πx n πat n πx ∑ n sin l 0 sin l sin l ðS : u (x , t ) = πaρ n =1 5. M t s i dây ñàn h i chi u dài ℓ ( 0 ≤ x ≤ ℓ ) v i các mút g n ch t. Trư c lúc t = 0 dây tr ng thái cân b ng dư i tác d ng c a l c F0 ñ t t i x0 trên dây và vuông góc v i v trí cân b ng c a dây.Lúc t = 0, tác d ng c a l c F0 tri t tiêu. Tìm dao ñ ng c a dây lúc t >0 6. M t s i dây ñàn h i chi u dài ℓ(0 ≤ x ≤ ℓ) v i các mút g n ch t ñư c kích thích dao ñ ng b ng cách truy n cho nó m t v n t c ban ñ u có d ng : 0 0 ≤ x ≤ x0 − δ  khi     π( x − x0 )  ut ( x,0) = v0 cos   x0 − δ ≤ x ≤ x0 + δ  khi   2δ     khi x0 −δ ≤ x ≤ ℓ 0  Tìm dao ñ ng c a dây lúc t > 0 n u ñ l ch ban ñ u c a dây b ng 0 7. Xác ñ nh dao ñ ng c a dây h u h n g n ch t t i các mút x = 0, x = ℓ bi t r ng ñ l ch ban ñ u c a dây b ng 0 còn v n t c ban ñ u c a dây cho b i :  π  v0 cos( x − c) khi | x − c |<   2 ut ( x,0) =   π 0 khi | x - c |>     2 nπc nπ sin cos ∞ 2l sin nπat sin nπx 4v0 ∑ l ðS : u ( x , t ) = πa  nπ 22 l l n =1 n 1 −  l  8. Xác ñ nh dao ñ ng c a dây g n ch t t i mút x = 0 còn mút x = ℓ chuy n ñ ng theo quy lu t A sin ωt . Bi t r ng ñ l ch ban ñ u và v n t c ban ñ u c a dây b ng 0. ωx sin ωt A sin (−1) n +1 2 Aωa ∞ nπat nπx ∑ a ðS : u ( x , t ) = + sin sin ωl 2 l n =1 2  nπa  l l sin ω −  a l utt = a 2 u xx + f ( x) (0 < x < ℓ, t > 0) 9. Gi i phương trình : u (0, t ) = α, u (ℓ, t ) = β ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = 0 Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x) , trong ñó : W ( x) tho mãn phương trình a 2W ''( x) + f ( x) = 0 v i ñi u ki n : W (0) = α,W (ℓ) = β . Khi ñó , hàm v( x, t ) s là nghi m c a bài toán biên sau : vtt = a 2vxx (0 < x < ℓ, t > 0) v(0, t ) = v(ℓ, t ) = 0; v( x, 0) = −W ( x), vt ( x, 0) = 0 2
∞ nπat nπx ðS : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x) , trong ñó : v( x, t ) = ∑ an cos v i: sin l ℓ n =1 1  x  xy ℓy nπx β−α ℓ 2 an = − ∫ W ( x) sin x + α − 2 ∫  ∫ f (ξ)d ξ  dy + 2 ∫  ∫ f (ξ) d ξ  dy dx và W ( x) = ℓ0 ℓ a 0 0 ℓa 0  0 ℓ   2. Dao ñ ng cư ng b c c a dây v i mút x = 0 và mút x = ℓ c t ch t Phương trình dao ñ ng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < ℓ, t > 0) (1) u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = ut ( x, 0) = 0 (3) ði u ki n ñ u : Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : ∞ nπx u ( x, t ) = ∑ un (t )sin (4). ℓ n =1 Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta tìm ñư c phương trình cho un (t ) dư i d ng : 2  nπa  u (t ) +   un (t ) = f n (t ) (5) '' n ℓ ℓ 2 Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t )sin λ n xdx . T ñi u ki n ñ u (3), ta tìm ñư c ñi u ki n cho hàm un (t ) ℓ0 như sau : un (0) = un (0) = 0 (6) . Nghi m c a (5) tho mãn ñi u ki n ñ u (6) có d ng : '  nπa t  ℓ ∫ fn (t )sin  ℓ (t − τ)  d τ (7) u n (t ) =   nπa 0 Thay (7) và0 (4) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm. Chú ý : Nghi m c a (5) có th ñư c tìm b ng phương pháp h s b t ñ nh như sau : + Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t tương ng v i (5) có d ng : nπat nπat un0) (t ) = an cos + bn sin ( ℓ ℓ + Gi s un (t ) là m t nghi m riêng c a (5), thì nghi m t ng quát c a (5) có d ng : nπat nπat un (t ) = un0) (t ) + un (t ) = an cos + bn sin + un (t ) ( ℓ ℓ + T các ñi u ki n ñ u (6), ta có th xác ñ nh các h s an , bn . Các bài t p áp d ng : πx utt = a 2 u xx + Ae− t sin (0 < x < ℓ, t > 0) 1. Gi i phương trình : ℓ u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = 0 aπt ℓ aπt  πx  −t A ðS : u ( x , t ) =  e − cos + sin  sin aπ 2  aπ   ℓ ℓ ℓ 1+   ℓ utt = a 2 u xx + Axe− t (0 < x < ℓ, t > 0) 2. Gi i phương trình : u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = 0 (−1)n +1 nπat nπat  nπx 2ℓA ∞  −t ℓ ∑ ðS : u ( x , t ) =  e − cos + sin  sin π n =1 nπa 2  nπa   ℓ ℓ ℓ 1+   ℓ utt = u xx + sin tsin2πx (0 < x < 1, t > 0) 3. Gi i phương trình : u (0, t ) = u (1, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = 0 utt = u xx + 1 (0 < x < 1, t > 0) 4. Gi i phương trình : u (0, t ) = u (1, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = 0 3
utt = a 2u xx + b sh x (0 < x < ℓ, t > 0) 5. Gi i phương trình : u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = 0 utt = u xx + bx(ℓ − x) (0 < x < ℓ, t > 0) 6. Gi i phương trình : u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = 0 utt = u xx (0 < x < π, t > 0) 7. Gi i phương trình : u (0, t ) = t 2 , u (π, t ) = t 3 ; u ( x, 0) = sin x , ut ( x, 0) = 0 Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x, t ) , trong ñó W ( x, t ) ch n dư i d ng x 3 2  x 2 x 3 W ( x, t ) = t 2 + (t − t ) = 1 −  t + t . Khi ñó v( x, t ) là nghi m c a bài toán biên sau : π  π π vtt = a vxx + f ( x, t ) (0 < x < π, t > 0) 2 v(0, t ) = v(π, t ) = 0  x  6 xt v( x, 0) = sin x, vt ( x, 0) = 0 v i f ( x, t ) = −Wtt = −2 1 −  −  π π 1  (−1) n 3 ∞  x x 4 ðS : u ( x, t ) = 1 −  t 2 + t 3 + cos t sin x + ∑ 3 ( −1) n 3t − 1 + cos nt − sin nt  sin nx π π πn     n n =1 utt = u xx (0 < x < π, t > 0) 8. Gi i phương trình : u (0, t ) = e− t , u (π, t ) = t ; u ( x, 0) = sin x cos x , ut ( x, 0) = 1 Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x, t ) , trong ñó W ( x, t ) ch n dư i d ng  x x xt W ( x, t ) = e − t + (t − e −t ) = 1 −  e− t + . Khi ñó v( x, t ) là nghi m c a bài toán biên sau : π  π π vtt = a vxx + f ( x, t ) (0 < x < π, t > 0) 2 v(0, t ) = v(π, t ) = 0  x v i f ( x, t ) = −Wtt = − 1 −  e −t v( x, 0) = sin x, vt ( x, 0) = 0  π ∞    x  1 xt 1 2 1 ðS : u ( x, t ) = 1 −  e−t + + cos 2t sin 2 x − ∑ −t e + n cos nt −  2n + n  sin nt  sin nx 2  π π2 π n =1 n(n + 1)  2    9. Xác ñ nh dao ñ ng c a dây g n ch t t i hai mút x = 0, x = ℓ trong môi trư ng có l c c n t l v i v n t c, bi t các ñi u ki n ñ u u ( x, 0) = ϕ ( x ) , ut ( x,0) = ψ( x ) . §2. Bài toán dao ñ ng c a dây v i mút x = 0 c t ch t còn mút x = l ñ t do 1. Dao ñ ng t do c a dây v i mút x = 0 c t ch t còn mút x = l ñ t do. Phương trình dao ñ ng : utt = a 2u xx (0 < x < l , t > 0) (1) u (0, t ) = ux (l , t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3) ði u ki n ñ u : Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay bi u th c này vào X ''( x) T ''(t ) phương trình (1) ta ñư c phương trình : X ( x)T ''(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒ =2 = −λ 2 . T ñó ta X ( x) a T (t ) tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau : T ''(t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0  (4)   X ''( x) + λ X ( x) = 0 2 (5)  u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 ⇒ X (0) = 0 T ñi u ki n biên (2) ta có : u x (l , t ) = X '(l )T (t ) = 0 ⇒ X '(l ) = 0 4
Nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx . T ñi u ki n (2n + 1)π X (0) = 0 ⇒ C1 = 0 ; T ñi u ki n X '(l ) = 0 ⇒ λC2 cos λl = 0 ⇒ λl = (n = 0,1,..) . 2 (2n + 1)π (2n + 1)πx T ñó ta nh n ñư c : λ = λ n = (6) ; ch n C2 = 1 , ta ñư c : X n ( x) = sin (7) 2l 2l Khi λ = λ n , phương trình (4) tr thành : T ''(t ) + a 2λ nT (t ) = 0 ; Nghi m t ng quát c a phương trình 2 (2n + 1)πat (2n + 1)πat này có d ng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos + bn sin (8). 2l 2l Như v y nghi m t ng quát c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) có d ng : ∞ (2n + 1)πat (2n + 1)πat  (2n + 1)πx  u ( x, t ) = ∑  an cos + bn sin (9)  sin n=0   2l 2l 2l T ñi u ki n ñ u (3) và bi u th c (9) cho u ( x, t ) ta có : ∞ (2n + 1)πx u ( x, 0) = ∑ an sin = ϕ ( x) (10) 2l n =0 ∞ (2n + 1)πa (2n + 1)πx ut ( x,0) = ∑ = ψ( x) (11) bn sin 2l 2l n=0 l (2n + 1)πx 2 an = ∫ ϕ( x)sin T (10) và (11) ta tìm ñư c : dx l0 2l l (2n + 1)πx 4 ∫ ψ( x)sin 2l dx bn = (2n + 1)πa 0 Thay các bi u th c tìm ñư c c a an , bn vào (9) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm . Các bài t p áp d ng : utt = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0) 1. Gi i phương trình : πx 3πx u (0, t ) = ux (l , t ) = 0 ; u( x, 0) = x, ut ( x, 0) = sin + sin 2l 2l aπt πx 2l 3aπt 3πx 2l u ( x, t ) = sin + ðS : sin sin sin aπ 2l 3aπ 2l 2l 2l utt = u xx (0 < x < π, t > 0) 2. Gi i phương trình : x u (0, t ) = t , ux (π, t ) = 1 ; u ( x, 0) = sin , ut ( x, 0) = 1 2 Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x, t ) , trong ñó W ( x, t ) ch n sao cho : W (0, t ) = t ,Wx (π, t ) = 1 . Ta có th ch n : W ( x, t ) = x + t . Khi ñó v( x, t ) là nghi m c a bài toán biên vtt = a 2 vxx (0 < x < π, t > 0) sau : v(0, t ) = vx (l , t ) = 0 x v( x, 0) = u ( x, 0) − W ( x, 0) = sin − x , vt ( x, 0) = ut ( x, 0) − Wt ( x, 0) = 0 2 x 8 ∞ (−1) k (2k + 1)t (2k + 1) x t ðS : u ( x, t ) = x + t + cos sin − ∑ cos sin 2 π k =0 (2k + 1) 2 2 2 2 3. M t dây ñ ng ch t chi u dài ℓ ñư c g n ch t t i mút x = 0 , mút x = ℓ ñư c n i v i m t vòng không kh i lư ng, vòng này có th trư t theo m t thanh nh n th ng ñ ng và nó l ch kh i v trí cân b ng m t ño n h , vào lúc t = 0 nó ñư c th ra. Tìm dao ñ ng c a dây lúc t > 0 . 2. Dao ñ ng cư ng b c c a dây v i mút x = 0 c t ch t còn mút x = l ñ t do. Phương trình dao ñ ng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) u (0, t ) = u x (l , t ) = 0 (2) ði u ki n biên : 5
u ( x, 0) = ut ( x, 0) = 0 (3) ði u ki n ñ u : Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : (2n + 1)π ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t )sin λ n x (4) v i λ n = . 2l n=0 Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta tìm ñư c phương trình cho un (t ) dư i d ng : un'' (t ) + a 2 λ 2 un (t ) = f n (t ) (5) n l 2 Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t )sin λ n xdx . T ñi u ki n ñ u (3), ta tìm ñư c ñi u ki n cho hàm un (t ) l0 như sau : un (0) = un (0) = 0 (6) . Nghi m c a (5) tho mãn ñi u ki n ñ u (6) có d ng : ' t 1 ∫ f (t ) sin [ aλ (t − τ) ] d τ (7) u n (t ) = aλ n n n 0 Thay (7) và0 (4) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm. Chú ý : Nghi m c a (5) có th ñư c tìm b ng phương pháp h s b t ñ nh như sau : + Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t tương ng v i (5) có d ng : un0) (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin(aλ n t ) ( + Gi s un (t ) là m t nghi m riêng c a (5), thì nghi m t ng quát c a (5) có d ng : un (t ) = un0) (t ) + un (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin( aλ nt ) + un (t ) ( + T các ñi u ki n ñ u (6), ta có th xác ñ nh các h s an , bn . Bài t p áp d ng : utt = a 2 u xx + A sin t (0 < x < l , t > 0) 1. Gi i phương trình : u (0, t ) = ux (l , t ) = 0 ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = 0  (2k + 1) πat  4A ∞ (2k + 1)πx 1 2l ∑ ðS : u ( x , t ) = sin t − (2k + 1)πa sin  sin π k =0   (2k + 1)πa   2  2l 2l   (2k + 1)   − 1    2l    §3. Bài toán dao ñ ng c a dây v i mút x = l c t ch t còn mút x = 0 ñ t do 1. Dao ñ ng t do c a dây v i mút x = l c t ch t còn mút x = 0 ñ t do. Phương trình dao ñ ng : utt = a 2u xx (0 < x < l , t > 0) (1) u x (0, t ) = u (l , t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3) ði u ki n ñ u : Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay bi u th c này vào X ''( x) T ''(t ) phương trình (1) ta ñư c phương trình : X ( x)T ''(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒ =2 = −λ 2 . T ñó ta X ( x) a T (t ) tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau : T ''(t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0  (4)   X ''( x) + λ X ( x) = 0 2 (5)  u x (0, t ) = X '(0)T (t ) = 0 ⇒ X '(0) = 0 T ñi u ki n biên (2) ta có : u (l , t ) = X (l )T (t ) = 0 ⇒ X (l ) = 0 Nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx . T ñi u ki n (2n + 1)π X '(0) = 0 ⇒ C2 = 0 ; T ñi u ki n X (l ) = 0 ⇒ C1 cos λl = 0 ⇒ λl = (n = 0,1,..) . 2 (2n + 1)π (2n + 1)πx T ñó ta nh n ñư c : λ = λ n = (6) ; ch n C1 = 1 , ta ñư c : X n ( x) = cos (7) 2l 2l 6
Khi λ = λ n , phương trình (4) tr thành : T ''(t ) + a 2λ nT (t ) = 0 ; Nghi m t ng quát c a phương trình 2 (2n + 1)πat (2n + 1)πat này có d ng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos + bn sin (8). 2l 2l Như v y nghi m t ng quát c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) có d ng : ∞ (2n + 1)πat (2n + 1)πat  (2n + 1)πx  u ( x, t ) = ∑  an cos + bn sin (9)  cos n=0   2l 2l 2l T ñi u ki n ñ u (3) và bi u th c (9) cho u ( x, t ) ta có : ∞ (2n + 1)πx u ( x, 0) = ∑ an cos = ϕ( x) (10) 2l n=0 ∞ (2n + 1)πa (2 n + 1)πx ut ( x, 0) = ∑ = ψ ( x) (11) bn cos 2l 2l n=0 (2n + 1) πx l 2 an = ∫ ϕ( x) cos T (10) và (11) ta tìm ñư c : dx l0 2l (2n + 1)πx l 4 ∫ ψ( x) cos 2l dx bn = (2k + 1)πa 0 Thay các bi u th c tìm ñư c c a an , bn vào (9) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm . Bài t p áp d ng utt = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0) 1. Gi i phương trình : πx 3πx 5πx u x (0, t ) = u (l , t ) = 0 ; u( x, 0) = cos , ut ( x, 0) = cos + cos 2l 2l 2l πat πx 2l 3πat 3πx 2l 5πat 5πx ðS : u ( x, t ) = cos cos + + sin cos sin cos 2l 3aπ 2l 5aπ 2l 2l 2l 2l 2. Dao ñ ng cư ng b c c a dây v i mút x = l c t ch t còn mút x = 0 ñ t do. Phương trình dao ñ ng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) u x (0, t ) = u (l , t ) = 0 (2) ði u ki n biên : u ( x, 0) = ut ( x, 0) = 0 (3) ði u ki n ñ u : Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : (2n + 1)π ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t ) cos λ n x (4) v i λ n = . 2l n =0 Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta tìm ñư c phương trình cho un (t ) dư i d ng : un'' (t ) + a 2 λ 2 un (t ) = f n (t ) (5) n l 2 Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t ) cos λ n xdx . T ñi u ki n ñ u (3), ta tìm ñư c ñi u ki n cho hàm un (t ) l0 un (0) = un (0) = 0 (6) ' như sau : Nghi m c a (5) tho mãn ñi u ki n ñ u (6) có d ng : t 1 ∫ f (t ) sin [ aλ (t − τ) ] d τ (7) u n (t ) = aλ n n n 0 Thay (7) và0 (4) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm. Chú ý : Nghi m c a (5) có th ñư c tìm b ng phương pháp h s b t ñ nh như sau : + Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t tương ng v i (5) có d ng : un0) (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin(aλ n t ) ( + Gi s un (t ) là m t nghi m riêng c a (5), thì nghi m t ng quát c a (5) có d ng : un (t ) = un0) (t ) + un (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin( aλ nt ) + un (t ) ( + T các ñi u ki n ñ u (6), ta có th xác ñ nh các h s an , bn . 7
Bài t p áp d ng πx utt = a 2 u xx + Ae− t cos (0 < x < l , t > 0) 1. Gi i phương trình : 2l u x (0, t ) = u (l , t ) = 0 ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = 0 aπt 2l aπt  πx  −t A ðS : u ( x , t ) =  e − cos + sin  cos 2l aπ 2  aπ   2l  2l 1+    2l  §4. Bài toán dao ñ ng c a dây v i các mút x = 0 và x = l ñ t do 1. Dao ñ ng t do c a dây v i các mút x = 0 và x = l ñ t do. Phương trình dao ñ ng : utt = a 2u xx (0 < x < l , t > 0) (1) u x (0, t ) = ux (l , t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3) ði u ki n ñ u : Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay bi u th c này vào X ''( x) T ''(t ) phương trình (1) ta ñư c phương trình : X ( x)T ''(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒ = = −λ 2 . T ñó ta X ( x) a 2T (t ) tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau : T ''(t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0  (4)   X ''( x) + λ X ( x) = 0 2 (5)  u x (0, t ) = X '(0)T (t ) = 0 ⇒ X '(0) = 0 T ñi u ki n biên (2) ta có : u x (l , t ) = X '(l )T (t ) = 0 ⇒ X '(l ) = 0 + Khi λ = 0 , phương trình (5) tr thành : X ''( x) = 0 ⇒ X ( x) = Ax + B . T ñi u ki n X '(0) = X '(l ) = 0 ta tìm ñư c : A = 0 , B ≠ 0 . Ta có th ch n B = 1 . Như v y khi λ = λ 0 = 0 , phương trình (5) có nghi m : X 0 ( x) = 1 . Lúc này phương trình (4) tr thành T ''(t ) = 0 ⇒ T0 (t ) = a0 + b0t + Khi λ ≠ 0 , nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx nπ T ñi u ki n X '(0) = 0 ⇒ C2 = 0 ; T ñi u ki n X '(l ) = 0 ⇒ λC1 sin λl = 0 ⇒ λl = (n ∈ ℕ) . l nπ nπx T ñó ta nh n ñư c : λ = λ n = ; ch n C2 = 1 , ta ñư c : X n ( x) = cos l l Khi λ = λ n , phương trình (4) tr thành : T ''(t ) + a λ nT (t ) = 0 ; Nghi m t ng quát c a phương trình 22 nπat nπat này có d ng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos + bn sin l l Như v y nghi m t ng quát c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) có d ng : ∞ ∞ nπat nπat  nπx  u ( x, t ) = ∑ X n ( x )Tn (t ) = a0 + b0t +∑  an cos + bn sin  cos l (6) n =1  l l n=0 T ñi u ki n ñ u (3) và bi u th c (6) cho u ( x, t ) ta có : ∞ nπx u ( x, 0) = a0 + ∑ an cos = ϕ( x) (7) l n =1 ∞ nπa nπx ut ( x, 0) = b0 + ∑ = ψ ( x) (8) bn cos n =0 l l nπx l l 1 2 ∫ ϕ( x)dx , an = l ∫ ϕ( x) cos l dx (n > 1) T (7) và (8) ta tìm ñư c : a0 = l0 0 nπx l l 1 2 ∫ ψ( x)dx , bn = nπa ∫ ψ( x) cos l dx (n > 1) b0 = l0 0 8
Thay các bi u th c tìm ñư c c a an , bn vào (6) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm . Bài t p áp d ng. utt = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0) 1. Gi i phương trình : u x (0, t ) = ux (l , t ) = 0 ; u ( x, 0) = x , ut ( x, 0) = 1 ∞ (2k + 1)πat (2k + 1)πx l 4l 1 ∑ (2k + 1) ðS : u ( x , t ) = t + − cos cos π2 2 2 l l k =0 utt = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0) 2. Gi i phương trình : x x Aach Aach a , u ( x, 0) = − a u x (0, t ) = 0, ux (l , t ) = Ae − t ; u ( x, 0) = t l l sh sh a a −t Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng u ( x, t ) = v( x, t ) + e f ( x) . Trong ñó f ( x) ch n sao cho tho mãn ñi u ki n sau : a 2 f ''( x) − f ( x) = 0 , f '(0) = 0, f '(l ) = A . Khi ñó, v( x, t ) là nghi m c a bài toán vtt = a 2 vxx (0 < x < l , t > 0) biên sau : v(0, t ) = v(l , t ) = 0 , v( x, 0) = u ( x, 0) − f ( x) , vt ( x, 0) = ut ( x, 0) + f ( x) Aa − t x ðS : u ( x , t ) = e ch . l a sh a 2. Dao ñ ng cư ng b c c a dây v i các mút x = 0 và x = l ñ t do. Phương trình dao ñ ng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) u x (0, t ) = ux (l , t ) = 0 (2) ði u ki n biên : u ( x, 0) = ut ( x, 0) = 0 (3) ði u ki n ñ u : Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : nπ ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t ) cos λ n x (4) v i λ n = . l n =0 Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta tìm ñư c phương trình cho un (t ) dư i d ng : un'' (t ) + a 2 λ 2 un (t ) = f n (t ) (5) n l 2 l∫ Trong ñó : f n (t ) = f ( x, t ) cos λ n xdx . T ñi u ki n ñ u (3), ta tìm ñư c ñi u ki n cho hàm un (t ) 0 un (0) = un (0) = 0 (6) ' như sau : u0'' (t ) = f 0 (t ) (7) + Khi n = 0 , phương trình (5) tr thành : u0 (0) = u0 (0) = 0 (8) ' v i ñi u ki n ñ u (6) tr thành : τ  t Nghi m c a (7) tho mãn ñi u ki n (8) có d ng : u0 (t ) = ∫ d τ  ∫ f n (ξ)d ξ  (9) 0  0 + Khi n > 0 , nghi m c a (5) tho mãn ñi u ki n ñ u (6) có d ng : t 1 f n (t ) sin [ aλ n (t − τ) ] d τ (10) aλ n ∫ u n (t ) = 0 Thay (9) và (10) vào (4) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm dư i d ng : ∞ u ( x, t ) = u0 (t ) + ∑ un (t ) cos λ n x n =1 Chú ý : Nghi m c a (5) khi n > 0 có th ñư c tìm b ng phương pháp h s b t ñ nh như sau : + Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t tương ng v i (5) có d ng : un0) (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin(aλ n t ) ( 9
+ Gi s un (t ) là m t nghi m riêng c a (5), thì nghi m t ng quát c a (5) có d ng : un (t ) = un0) (t ) + un (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin( aλ nt ) + un (t ) ( + T các ñi u ki n ñ u (6), ta có th xác ñ nh các h s an , bn . Bài t p áp d ng utt = a 2 u xx + f ( x) (0 < x < l , t > 0) 1. Gi i phương trình : u x (0, t ) = α, u x (l , t ) = β ; u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x) v i : W ( x) = (a1 x 2 + b1 x)α + (a2 x 2 + b2 x)β , các h s a1 , a2 , b1 , b2 ñư c ch n sao cho hàm W ( x) tho mãn ñi u ki n biên W '(0) = α , W '(l ) = β . β−α 2 f ðS : u ( x , t ) = x + αx + ϕ0 + ψ 0t + 0 t 2 + 2l 2 ∞ nπat    2 2 nπat nπx  l   1 l + ∑  f n + ϕ n −  + ϕn sin f n  cos  cos   n =1  nπa   nπa  nπa   l l l     δn l  (β − α)a 2  δn l   nπx (β − α) x 2 nπx f n = ∫  f ( x) + dx , ϕn = ∫  ϕ( x) − − αx  cos Trong ñó : cos dx  l 0  l 0  l l 2l l δn l nπx ∫ ψ( x) cos l dx , δ0 = 1, δk = 2 (k = 1, 2,...) ψn = l0 utt = a 2 u xx + sin 2t (0 < x < l , t > 0) 2. Gi i phương trình : 2 2l 2x u x (0, t ) = 0, ux (l , t ) = sin sin 2t ; u ( x, 0) = 0 , ut ( x, 0) = −2 cos a a a Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng u ( x, t ) = v( x, t ) + f ( x) sin 2t . Trong ñó f ( x) ñư c ch n sao 2 2l cho tho mãn ñi u ki n sau : a 2 f ''( x) + 4 f ( x) = −1, f '(0) = 0, f '(l ) = sin . Khi ñó v( x, t ) là a a vtt = a 2 vxx (0 < x < l , t > 0) nghi m c a bài toán biên sau : vx (0, t ) = vx (l , t ) = 0 , v( x, 0) = 0 , vt ( x, 0) = ut ( x, 0) − 2 f ( x) ðS : u ( x, t ) = −  + cos  sin 2t . t 1 2x   2 4 a 10
Phương pháp tách bi n gi i các bài toán biên cho phương trình truy n nhi t §1. Bài toán truy n nhi t trên thanh v i hai mút x = 0 và mút x = l ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0 1. Truy n nhi t t do trên thanh v i hai mút x = 0 và mút x = l ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0 Phương trình truy n nhi t : ut = a 2uxx (0 < x < l , t > 0) (1) u (0, t ) = u (l , t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = ϕ( x) (3) ði u ki n ñ u : Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay bi u th c này vào X ''( x) T '(t ) phương trình (1) ta ñư c phương trình : X ( x)T '(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒ =2 = −λ 2 . T ñó ta X ( x) a T (t ) tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau : T '(t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0  (4)   X ''( x) + λ X ( x) = 0 2 (5)  u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 ⇒ X (0) = 0 T ñi u ki n biên (2) ta có : u (l , t ) = X (l )T (t ) = 0 ⇒ X (l ) = 0 Nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx . T ñi u ki n nπ X (0) = 0 ⇒ C1 = 0 ; T ñi u ki n X (l ) = 0 ⇒ λC2 sin λl = 0 ⇒ λl = (n = 1, 2,..) . l nπ nπx T ñó ta nh n ñư c : λ = λ n = (6) ; ch n C2 = 1 , ta ñư c : X n ( x) = sin (7) l l Khi λ = λ n , phương trình (4) tr thành : T '(t ) + a 2λ nT (t ) = 0 ; Nghi m t ng quát c a phương trình 2   nπa 2    − a 2 λnt 2 này có d ng : Tn (t ) = Cn e = Cn exp −   t  (8). l    Như v y nghi m t ng quát c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) có d ng :   nπa 2  ∞ nπx   u ( x, t ) = ∑ Cn exp −  (9)  t  sin l  l   n =1 T ñi u ki n ñ u (3) và bi u th c (9) cho u ( x, t ) ta có : ∞ nπx u ( x, 0) = ∑ Cn sin = ϕ( x) (10) l n =1 nπx l 2 Cn = ∫ ϕ( x) sin T (10) ta tìm ñư c : dx l0 l Thay bi u th c tìm ñư c c a Cn vào (9) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm . Bài t p áp d ng ut = a 2 u xx (0 < x < ℓ, t > 0) 1. Gi i phương trình : u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) = Ax   nπa 2  2ℓA ∞ (−1)n +1 nπx ∑ n exp  −  ℓ  t  sin ℓ ðS : u ( x , t ) =  π n =1     ut = a 2 u xx (0 < x < ℓ, t > 0) 2. Gi i phương trình :  ℓ khi 0 < x ≤ x  2 u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) =  ℓ − x khi ℓ ≤ x < ℓ   2 11
ut = a 2 u xx (0 < x < ℓ, t > 0) 3. Gi i phương trình : u (0, t ) = T , u (ℓ, t ) = U ; u ( x, 0) = 0 Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x, t ) , trong ñó W ( x, t ) ñư c ch n dư i x d ng : W ( x, t ) = T + (U − T ) . Khi ñó v( x, t ) là nghi m c a bài toán biên sau : ℓ vt = a 2 vxx (0 < x < ℓ, t > 0) v(0, t ) = v(ℓ, t ) = 0 , v( x, 0) = −W ( x, 0) 2  nπa  U −T nπx 2∞1 − t x + T + ∑ (−1) n U − T  e  ℓ  sin ðS : u ( x , t ) =   π n =1 n ℓ ℓ ut = a u xx − β u (0 < x < ℓ, t > 0) 4. Gi i phương trình : 2 u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) = ϕ( x) Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng : u ( x, t ) = e − ht v ( x, t ) . Khi ñó v( x, t ) là nghi m c a bài toán vt = a 2 vxx (0 < x < ℓ, t > 0) biên sau : v(0, t ) = v(ℓ, t ) = 0 ; v( x, 0) = ϕ( x) 2  nπa  nπx nπx ∞ ℓ − 2 t ∑C e v i Cn = ∫ ϕ( x) sin −βt ðS : u ( x , t ) = e ℓ sin dx n ℓ ℓ0 ℓ n =1 5. M t thanh ñ ng ch t chi u dài ℓ có hai mút x = 0, x = ℓ ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0; cx(ℓ − x) nhi t ñ ban ñ u c a thanh cho b i u ( x, 0) = . Tìm nhi t ñ c a thanh lúc t > 0 ℓ2   (2k + 1)πa  2  (2k + 1)πx 8c ∞   1 ðS : u ( x , t ) = 3 ∑ exp −   t  sin π k =0 (2k + 1) 3   ℓ ℓ   6. Tìm phân b nhi t trong thanh ñ ng ch t chi u dài ℓ , bi t r ng nhi t ñ t i mút x = ℓ b ng 0 còn nhi t ñ t i mút x = 0 cho b i u ( x, t ) = At (A : const ) 2         3 2 2 2∞ 1− x  − Aℓ2  x  − 3 x  + 2 x  + 2 Aℓ2 ∑ 12 exp − nπa  t  sin nπx  ðS : u ( x, t ) = At   ℓ  ℓ  6a  ℓ  ℓ  π3a n=1 n         ℓ    ℓ  7. Tìm phân b nhi t trong thanh ñ ng ch t chi u dài ℓ , bi t r ng nhi t ñ t i mút x = ℓ b ng 0 còn nhi t ñ t i mút x = 0 cho b i u ( x, t ) = A sin ωt (A : const )   nπa 2   nπa 2  x  t 2 Aω ∞ cn  nπx   τ cos ωτ  exp −  t  sin ∑   ðS : u ( x, t ) = A1− sin ωt − v i cn = ∫ e ℓ  dτ     ℓ    ℓ     π n=1 n ℓ   0 Ax . Mút x = 0 ñư c gi 8. M t thanh th ng ñ ng ch t chi u dài ℓ có nhi t ñ ban ñ u b ng l nhi t ñ b ng 0, còn nhi t ñ c a mút x = ℓ thay ñ i theo quy lu t u (ℓ, t ) = Ae−t . Tìm phân b nhi t trong thanh lúc t > 0 .    2    exp − nπa  t  + e−t  sin nπx Ax −t 2 Aℓ 2 ∞ (−1) n  ∑ n ( n 2π2 − l 2 )    ℓ    ðS : u ( x, t ) = e+        π n=1 ℓ ℓ        9. Cho m t thanh th ng ñ ng ch t AB có chi u dài ℓ = 1m v i các m t bên cách nhi t. th i ñi m t = 0 nhi t ñ t i ñi m cách ñ u A m t ño n (0 ≤ x ≤ ℓ) cho b i bi u th c 4 x + 20 . Gi s r ng lúc t = 0 nhi t ñ c a ñ u A c a thanh ñư c thay ñ i ñ t ng t và ñư c gi 560 , còn 2000 ; hãy tìm phân b nhi t ñ trên nhi t ñ c a ñ u B cũng thay ñ i ñ t ng t và ñư c gi thanh lúc t > 0 . 12
10. Cho m t thanh m ng, ñ ng ch t chi u dài ℓ v i các m t bên cách nhi t; ñ u x = 0 c a thanh nhi t ñ không ñ i b ng u1 , ñ u x = ℓ ñư c gi ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng u2 . Tìm phân b nhi t trên thanh lúc t > 0 . Bi t r ng nhi t ñ ban ñ u c a thanh là u0 không ñ i. 11. Cho m t thanh m ng, ñ ng ch t chi u dài ℓ v i các m t bên cách nhi t; các mút x = 0 và x = ℓ ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0. Tìm phân b nhi t trên thanh lúc t > 0 . Bi t r ng nhi t ñ ban ñ u c a thanh có d ng : x  T0 khi 0 < x < x0 x  u ( x, 0) =  0   l−x T khi x0 < x < l 0  l − x0   12. M t thanh ñ ng ch t chi u dài ℓ v i các m t bên có trao ñ i nhi t v i môi trư ng xung quanh, nhi t ñ môi trư ng b ng 0, còn các mút x = 0, x = ℓ ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0. Tìm phân b nhi t trên thanh lúc t > 0 . Bi t r ng nhi t ñ ban ñ u c a thanh có d ng : u ( x,0) = Ax( A : const ) 2. Truy n nhi t trên thanh v i hai mút x = 0 và mút x = l ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0, khi có ngu n nhi t Phương trình dao ñ ng : ut = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) u (0, t ) = u (l , t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = 0 ði u ki n ñ u : (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : nπ ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t )sin λ n x (4) v i λ n = . l n=0 Khi ñó un (t ) là nghi m c a bài toán sau : un (t ) + a 2 λ 2 un (t ) = f n (t ) (5) ' n un (0) = 0 (6) l 2 l∫ Trong ñó : f n (t ) = f ( x, t )sin λ n xdx . Nghi m c a (5) tho mãn ñi u ki n ñ u (6) có d ng : 0 t un (t ) = ∫ f n (τ) exp  − a 2 λ n (t − τ)  d τ (7) 2   0 Thay (7) và0 (4) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm. Chú ý : Nghi m c a (5) có th ñư c tìm b ng phương pháp h s b t ñ nh như sau : + Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t tương ng v i (5) có d ng : un0) (t ) = Cn exp( −a 2 λ 2 t ) ( n + Gi s un (t ) là m t nghi m riêng c a (5), thì nghi m t ng quát c a (5) có d ng : un (t ) = un0) (t ) + un (t ) = Cn exp(− a 2 λ 2 t ) + un (t ) ( n + T ñi u ki n ñ u (6), ta có th xác ñ nh h s Cn . Bài t p áp d ng πx ut = a 2 u xx − β u + sin (0 < x < ℓ, t > 0) 1. Gi i phương trình : l u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) = 0     πa  2    πx   1 ðS : u ( x , t ) = 1 − exp  −  β +    t   sin 2  ℓ  aπ    ℓ β+       ℓ §2. Bài toán truy n nhi t trên thanh v i mút x = 0 có nhi t ñ b ng 0, mút x = l cách nhi t 13
1. Truy n nhi t t do trên thanh v i mút x = 0 có nhi t ñ b ng 0, mút x = l cách nhi t Phương trình truy n nhi t : ut = a 2uxx (0 < x < l , t > 0) (1) u (0, t ) = ux (l , t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = ϕ( x) (3) ði u ki n ñ u : Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay bi u th c này vào X ''( x) T '(t ) phương trình (1) ta ñư c phương trình : X ( x)T '(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒ = = −λ 2 . T ñó ta X ( x) a 2T (t ) tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau : T '(t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0  (4)   X ''( x) + λ X ( x) = 0 2 (5)  u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 ⇒ X (0) = 0 T ñi u ki n biên (2) ta có : u x (l , t ) = X '(l )T (t ) = 0 ⇒ X '(l ) = 0 Nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx . T ñi u ki n (2n + 1)π X (0) = 0 ⇒ C1 = 0 ; T ñi u ki n X '(l ) = 0 ⇒ λC2 cos λl = 0 ⇒ λl = (n = 0,1,..) . 2 (2n + 1)π (2n + 1)πx T ñó ta nh n ñư c : λ = λ n = (6) ; ch n C2 = 1 , ta ñư c : X n ( x) = sin (7) 2l 2l Khi λ = λ n , phương trình (4) tr thành : T '(t ) + a 2λ nT (t ) = 0 ; Nghi m t ng quát c a phương trình 2   (2n + 1)πa  2    − a 2λ nt 2 này có d ng : Tn (t ) = Cn e = Cn exp −   t  (8).   2l   Như v y nghi m t ng quát c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) có d ng :   (2n + 1)πa  2  ∞ (2n + 1)πx   u ( x, t ) = ∑ Cn exp  −  (9)  t  sin   2l 2l   n= 0 T ñi u ki n ñ u (3) và bi u th c (9) cho u ( x, t ) ta có : ∞ (2n + 1)πx u ( x, 0) = ∑ Cn sin = ϕ( x) (10) 2l n=0 (2n + 1) πx l 2 Cn = ∫ ϕ( x) sin T (10) ta tìm ñư c : dx l0 2l Thay bi u th c tìm ñư c c a Cn vào (9) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm . Bài t p áp d ng ut = a 2 u xx − β u (0 < x < l , t > 0) 1. Gi i phương trình : πx u (0, t ) = u x (l , t ) = 0 ; u ( x, 0) = sin 2l    πa  2   πx   ðS : u ( x, t ) = exp − β +    t  sin    2l    2l   2. M t thanh ñ ng ch t chi u dài ℓ v i các m t bên có trao ñ i nhi t v i môi trư ng xung quanh, nhi t ñ c a môi trư ng b ng 0, các mút x = 0, x = ℓ ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0. Tìm phân b nhiêt trên thanh lúc t > 0 . Bi t r ng nhi t ñ ban ñ u c a thanh có d ng : πx u ( x, 0) = sin 2l ut = a u xx + f ( x) (0 < x < l , t > 0) 2. Gi i phương trình : 2 u (0, t ) = 0, ux (l , t ) = q ; u ( x, 0) = ϕ( x) 14
Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng : u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x) , trong ñó w( x) là nghi m c a bài toán sau : a 2 w ''( x) + f ( x) = 0 , w(0) = 0, wx (l ) = q . Khi ñó v( x, t ) là nghi m c a bài toán biên sau : vt = a 2 vxx (0 < x < l , t > 0) v(0, t ) = vx (l , t ) = 0 ; v( x, 0) = ϕ( x) − w( x)  (2k + 1)2 π2 a 2  (2k + 1)πx ∞ ðS : u ( x, t ) = w( x) + ∑ Ck exp  − , trong ñó : t  sin 2   4l 2l k =0 1  xy (2k + 1)πx l l 2 x f (ξ)d ξ  dy + 2 ∫ f (ξ)d ξ + qx và Ck = ∫ [ ϕ( x) − w( x)] sin 2 ∫ ∫ w( x) = − dx l0 2l a 0 0 a0  ut = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0) 3. Gi i phương trình : u (0, t ) = 0, u x (l , t ) = Ae− t ; u ( x, 0) = T Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng u ( x, t ) = v( x, t ) + f ( x)e −t , trong ñó hàm f ( x) là nghi m c a bài toán sau : a 2 f ''( x) + f ( x) = 0 , f (0) = 0 , f '(l ) = A . Khi ñó v( x, t ) là nghi m c a bài toán biên sau vt = a 2 vxx (0 < x < l , t > 0) v(0, t ) = vx (l , t ) = 0 ; v( x, 0) = T − f ( x) x 2 ∞  T (−1)k Aa 2  − a2 ω2 t (2k + 1) aA − t 1 e sin + ∑  + ðS : u ( x , t ) = e k sin ωk x , trong ñó ωk = , ωk ≠ 2 2 a l k = 0  ωk 1 − a ωk  l 2l a cos a 2. Truy n nhi t trên thanh v i mút x = 0 có nhi t ñ b ng 0, mút x = l cách nhi t khi có ngu n nhi t Phương trình dao ñ ng : ut = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) u (0, t ) = u x (l , t ) = 0 (2) ði u ki n biên : u ( x, 0) = 0 ði u ki n ñ u : (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : (2n + 1)π ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t )sin λ n x (4) v i λ n = . 2l n=0 Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta tìm ñư c phương trình cho un (t ) dư i d ng : un (t ) + a 2 λ 2 un (t ) = f n (t ) (5) ' n l 2 l∫ Trong ñó : f n (t ) = f ( x, t )sin λ n xdx . T ñi u ki n ñ u (3), ta tìm ñư c ñi u ki n cho hàm un (t ) 0 un (0) = 0 (6) như sau : Nghi m c a (5) tho mãn ñi u ki n ñ u (6) có d ng : t un (t ) = ∫ f n (τ) exp  − a 2 λ n (t − τ)  d τ (7) 2   0 Thay (7) và0 (4) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm. Chú ý : Nghi m c a (5) có th ñư c tìm b ng phương pháp h s b t ñ nh như sau : + Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t tương ng v i (5) có d ng : un0) (t ) = Cn exp( −a 2 λ 2 t ) ( n + Gi s un (t ) là m t nghi m riêng c a (5), thì nghi m t ng quát c a (5) có d ng : un (t ) = un0) (t ) + un (t ) = Cn exp(− a 2 λ 2 t ) + un (t ) ( n + T ñi u ki n ñ u (6), ta có th xác ñ nh h s Cn . §3. Bài toán truy n nhi t trên thanh v i mút x = l có nhi t ñ b ng 0, mút x = 0 cách nhi t 1. Truy n nhi t t do trên thanh v i mút x = l có nhi t ñ b ng 0, mút x = 0 cách nhi t Phương trình truy n nhi t : ut = a 2uxx (0 < x < l , t > 0) (1) 15
u x (0, t ) = u (l , t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = ϕ( x) ði u ki n ñ u : (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay bi u th c này vào X ''( x) T ''(t ) phương trình (1) ta ñư c phương trình : X ( x)T ''(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒ =2 = −λ 2 . T ñó ta X ( x) a T (t ) tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau : T '(t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0  (4)   X ''( x) + λ X ( x) = 0 2 (5)  u x (0, t ) = X '(0)T (t ) = 0 ⇒ X '(0) = 0 T ñi u ki n biên (2) ta có : u (l , t ) = X (l )T (t ) = 0 ⇒ X (l ) = 0 Nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx . T ñi u ki n (2n + 1)π X '(0) = 0 ⇒ C2 = 0 ; T ñi u ki n X (l ) = 0 ⇒ C1 cos λl = 0 ⇒ λl = (n = 0,1,..) . 2 (2n + 1)π (2n + 1)πx T ñó ta nh n ñư c : λ = λ n = (6) ; ch n C1 = 1 , ta ñư c : X n ( x) = cos (7) 2l 2l Khi λ = λ n , phương trình (4) tr thành : T '(t ) + a 2λ nT (t ) = 0 ; Nghi m t ng quát c a phương trình 2   (2n + 1)πa  2    này có d ng : Tn (t ) = Cn exp  −a 2 λ nt  = Cn exp −  2  t  (8).     2l   Như v y nghi m t ng quát c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) có d ng :   (2n + 1)πa  2  ∞ (2 n + 1)πx   u ( x, t ) = ∑ Cn exp  −  (9)  t  cos   2l 2l   n= 0 T ñi u ki n ñ u (3) và bi u th c (9) cho u ( x, t ) ta có : ∞ (2n + 1)πx u ( x, 0) = ∑ Cn cos = ϕ( x) (10) 2l n=0 (2n + 1) πx l 2 ∫ ϕ( x) cos 2l dx Cn = T (10) ta tìm ñư c : l0 Thay các bi u th c tìm ñư c c a Cn vào (9) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm . Bài t p áp d ng. ut = a 2 u xx (0 < x < ℓ, t > 0) 1. Gi i phương trình : u x (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) = A(ℓ − x)   (2k + 1)πa  2  8ℓA ∞ (2k + 1)πx 1 2∑ ðS : u ( x , t ) = exp  −   t  cos π k =0 (2k + 1) 2   2ℓ 2ℓ   2. Truy n nhi t trên thanh v i mút x = l có nhi t ñ b ng 0, mút x = 0 cách nhi t khi có ngu n nhi t Phương trình truy n nhi t : ut = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) u x (0, t ) = u (l , t ) = 0 (2) ði u ki n biên : u ( x, 0) = 0 ði u ki n ñ u : (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : (2n + 1)π ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t ) cos λ n x (4) v i λ n = . 2l n =0 Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta tìm ñư c phương trình cho un (t ) dư i d ng : un (t ) + a 2 λ 2 un (t ) = f n (t ) (5) ' n 16
l 2 Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t ) cos λ n xdx . T ñi u ki n ñ u (3), ta tìm ñư c ñi u ki n cho hàm un (t ) l0 như sau : un (0) = 0 (6) . Nghi m c a (5) tho mãn ñi u ki n ñ u (6) có d ng : t un (t ) = ∫ f n (τ) exp  − a 2 λ n (t − τ)  d τ (7) 2   0 Thay (7) và0 (4) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm. Chú ý : Nghi m c a (5) có th ñư c tìm b ng phương pháp h s b t ñ nh như sau : + Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t tương ng v i (5) có d ng : un0) (t ) = Cn exp( −a 2 λ 2 t ) ( n + Gi s un (t ) là m t nghi m riêng c a (5), thì nghi m t ng quát c a (5) có d ng : un (t ) = un0) (t ) + un (t ) = Cn exp(− a 2 λ 2 t ) + un (t ) ( n + T ñi u ki n ñ u (6), ta có th xác ñ nh h s Cn . §4. Bài toán truy n nhi t trên thanh v i các mút x = 0 và x = l cách nhi t 1. Truy n nhi t t do trên thanh v i các mút x = 0 và x = l cách nhi t . Phương trình truy n nhi t : ut = a 2uxx (0 < x < l , t > 0) (1) u x (0, t ) = ux (l , t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = ϕ( x) ði u ki n ñ u : (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay bi u th c này vào X ''( x) T ''(t ) phương trình (1) ta ñư c phương trình : X ( x)T ''(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒ =2 = −λ 2 . T ñó ta X ( x) a T (t ) tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau : T ''(t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0  (4)   X ''( x) + λ X ( x) = 0 2 (5)  u x (0, t ) = X '(0)T (t ) = 0 ⇒ X '(0) = 0 T ñi u ki n biên (2) ta có : u x (l , t ) = X '(l )T (t ) = 0 ⇒ X '(l ) = 0 + Khi λ = 0 , phương trình (5) tr thành : X ''( x) = 0 ⇒ X ( x) = Ax + B . T ñi u ki n X '(0) = X '(l ) = 0 ta tìm ñư c : A = 0 , B ≠ 0 . Ta có th ch n B = 1 . Như v y khi λ = λ 0 = 0 , phương trình (5) có nghi m : X 0 ( x) = 1 . Lúc này phương trình (4) tr thành T '(t ) = 0 ⇒ T0 (t ) = c0 + Khi λ ≠ 0 , nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx . T ñi u nπ ki n X '(0) = 0 ⇒ C2 = 0 ; T ñi u ki n X '(l ) = 0 ⇒ λC1 sin λl = 0 ⇒ λl = (n ∈ ℕ) . T ñó ta nh n l nπ nπx ñư c : λ = λ n = ; ch n C2 = 1 , ta ñư c : X n ( x) = cos . l l Khi λ = λ n , phương trình (4) tr thành : T '(t ) + a 2λ nT (t ) = 0 ; Nghi m t ng quát c a phương trình 2   nπa  2    − a 2λ nt 2 này có d ng : Tn (t ) = cn e = cn exp −   t . l    Như v y nghi m t ng quát c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) có d ng :   nπa 2  ∞ ∞ nπx   u ( x, t ) = ∑ X n ( x)Tn (t ) = c0 + ∑ cn exp −  (6)  t  cos l  l   n=0 n =1 ∞ nπx T ñi u ki n ñ u (3) và bi u th c (6) cho u ( x, t ) ta có : u ( x, 0) = c0 + ∑ cn cos = ϕ( x) (7) l n =1 nπx l l 1 2 T (7) ta tìm ñư c : c0 = ∫ ϕ( x)dx , cn = ∫ ϕ( x) cos dx (n > 0) l0 l0 l 17
Thay bi u th c tìm ñư c c a cn vào (6) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm . Bài t p áp d ng ut = a 2 u xx (0 < x < ℓ, t > 0) 1. Gi i phương trình : u x (0, t ) = ux (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) = U ðS : u ( x , t ) = U ut = a 2 u xx (0 < x < ℓ, t > 0) 2. Gi i phương trình : u x (0, t ) = 0, ux (ℓ, t ) = q ; u ( x, 0) = Ax Hư ng d n : Tìm nghi m dư i d ng : u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x) , trong ñó w( x) là nghi m c a bài toán sau : a 2 w ''( x) = 0 , w '(0) = 0, w '(l ) = q . Khi ñó v( x, t ) là nghi m c a bài toán biên sau : vt = a 2 vxx (0 < x < l , t > 0) vx (0, t ) = vx (l , t ) = 0 ; v( x, 0) = Ax − w( x)  (2k + 1)π2 a 2  ( A − q )l 4l ( A − q) ∞ (2k + 1)πx 1 ∑ (2k + 1)2 ðS : u ( x, t ) = qx + − exp  − t  cos π 2 2   2 l l k =0 ut = a 2 u xx (0 < x < ℓ, t > 0) 3. Gi i phương trình : u x (0, t ) = At , u x (ℓ, t ) = T ; u ( x, 0) = 0 4. Tìm phân b nhi t c a thanh chi u dài ℓ(0 < x < ℓ) vơi các m t bên cách nhi t. Bi t r ng mút x = 0 cách nhi t, còn mút x = ℓ có dòng nhi t không ñ i q ñi vào, nhi t ñ ban ñ u c a thanh b ng 0.   nπa 2  2ℓ ∞ (−1) n+1 nπx a 2q q exp −  t  cos  t + (3x − ℓ ) + 2 ∑  ðS : u ( x, t ) = 2 2     ℓ   π n=1 n 2 2ℓ 6ℓ ℓ 5. M t thanh ñ ng ch t chi u dài ℓ v i các m t bên và mút x = 0, x = ℓ cách nhi t. Tìm phân b nhi t trên thanh lúc t > 0 . Bi t r ng nhi t ñ ban ñ u c a thanh có d ng : T0 khi 0 < x < ℓ / 2  u ( x, 0) =   0 khi ℓ /2 < x < ℓ   2. Truy n nhi t trên thanh v i hai mút x = 0 và x = l cách nhi t khi có ngu n nhi t . ut = a 2u xx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) Phương trình truy n nhi t : u x (0, t ) = ux (l , t ) = 0 (2) ði u ki n biên : u ( x, 0) = ði u ki n ñ u : (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : nπ ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t ) cos λ n x (4) v i λ n = . l n =0 Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta tìm ñư c phương trình cho un (t ) dư i d ng : un (t ) + a 2 λ 2 un (t ) = f n (t ) (5) ' n 2l Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t ) cos λ n xdx . T ñi u ki n ñ u (3), ta tìm ñư c ñi u ki n cho hàm un (t ) l0 un (0) = 0 (6) như sau : u0 (t ) = f 0 (t ) (7) + Khi n = 0 , phương trình (5) tr thành : ' u0 (0) = 0 (8) v i ñi u ki n ñ u (6) tr thành : t Nghi m c a (7) tho mãn ñi u ki n (8) có d ng : u0 (t ) = ∫ f 0 (τ)d τ (9) 0 + Khi n > 0 , nghi m c a (5) tho mãn ñi u ki n ñ u (6) có d ng : 18
t un (t ) = ∫ f n (τ) exp  − a 2 λ 2 (t − τ)  d τ (10)   n 0 Thay (9) và (10) vào (4) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm dư i d ng : ∞ u ( x, t ) = u0 (t ) + ∑ un (t ) cos λ n x n =1 Chú ý : Nghi m c a (5) khi n > 0 có th ñư c tìm b ng phương pháp h s b t ñ nh như sau : + Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t tương ng v i (5) có d ng : un0) (t ) = cn exp( −a 2 λ 2 t ) ( n + Gi s un (t ) là m t nghi m riêng c a (5), thì nghi m t ng quát c a (5) có d ng : un (t ) = un0) (t ) + un (t ) = cn exp(− a 2 λ 2 t ) + un (t ) ( n +T ñi u ki n ñ u (6), ta có th xác ñ nh h s cn . Bài t p áp d ng ut = a 2 u xx − β u (0 < x < ℓ, t > 0) 1. Gi i phương trình : u x (0, t ) = ux (ℓ, t ) = 0 ; u ( x, 0) = ϕ( x) 2  nπa  nπx nπx ∞ l ℓ − 1 2 t ∑C e v i C0 = ∫ ϕ( x)dx ; Cn = ∫ ϕ( x) cos −βt ðS : u ( x , t ) = e dx (n ≥ 1) ℓ cos n l0 ℓ ℓ0 ℓ n=0 ut = u xx + sin 3πx (0 < x < 1, t > 0) 2. Gi i phương trình : u x (0, t ) = ux (1, t ) = 0 ; u ( x, 0) = 0 12 ∞ { } 2 1 t+ 3 ∑ 1 − exp  −[(2k + 1)π]2t  cos nπx ðS : u ( x , t ) =   3π π k =0 (2k + 1) 9 − (2k + 1) 2  3   19
Phương pháp tách bi n gi i các bài toán biên cho phương trình Laplace trong mi n hình ch nh t D = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ p, 0 ≤ y ≤ q} §1. D ng th nh t : ∆u ( x, y ) = 0 ( x, y ) ∈ D (1) u (0, y ) = u ( p, y) = 0 (2) u ( x, 0) = ϕ( x) , u( x, q) = ψ( x) (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, y ) = X ( x)Y ( y ) . Thay bi u th c này X ''( x) Y ''( y ) vào phương trình (1) ta ñư c phương trình : X "( x)Y ( y ) + X ( x )Y ''( y ) = 0 ⇒ =− = −λ 2 . X ( x) Y ( y) T ñó ta tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và Y ( y ) như sau : Y ''( y ) − λ 2Y ( y ) = 0  (4)   X ''( x) + λ X ( x) = 0 2 (5)  X (0) = X ( p ) = 0 (6) T ñi u ki n biên (2) ta tìm ñư c : Nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx T ñi u ki n (6) ta có : X (0) = 0 ⇒ C1 = 0 ; X ( p) = 0 ⇒ C2 sin λp = 0 ⇒ λp = nπ (n = 1, 2,..) . nπ nπx T ñó ta nh n ñư c : λ = λ n = (6) ; ch n C2 = 1 , ta ñư c : X n ( x) = sin (7) p p Khi λ = λ n , phương trình (4) tr thành : Y ''( y ) − λ 2Y ( y ) = 0 ; Nghi m t ng quát c a phương trình n này có d ng : Yn ( y ) = an ch(λ n y ) + bnsh(λ n y ) (8) v i λ n cho b i (6). Như v y nghi m t ng quát c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) có d ng : ∞ nπx u ( x, y ) = ∑ [ an ch(λ n y ) + bn sh(λ n y )] sin (9) p n =0 T ñi u ki n biên (3) và bi u th c (9) cho u ( x, y ) ta có : ∞ nπx u ( x, 0) = ∑ an sin = ϕ( x ) (10) p n =1 ∞ nπx u ( x, q ) = ∑ [ an ch(λ n q) + bnsh(λ n q ) ] sin = ψ ( x) (11) p n =1 p nπx 2 an = ∫ ϕ( x)sin T (10) và (11) ta tìm ñư c : (12) dx p0 p p nπx 2 ∫ ψ( x)sin p dx (13) an ch(λ n q ) + bn sh(λ n q) = p0 Gi i h (12), (13) ta tìm ñư c an , bn ; thay vào (9) ta ñư c nghi m c a phương trình cho. Chú ý : N u ñi u ki n biên ñư c cho theo y thì trong các công th c trên ta ch c n th c hi n vi c ñ i l n vai trò c a các ñ i lư ng như sau : x ↔ y ; X ↔ Y ; p ↔ q , ta s nh n ñư c nghi m c a bài toán tương ng. Bài t p áp d ng Bài 1. Gi i phương trình : ∆u = 0 (0 < x < a, 0 < y < ∞)  x u (0, y ) = u (a, y ) = 0 ; u ( x, 0) = A 1 −  , u ( x, ∞) = 0  a (2k + 1)πy 2A ∞ 1  nπy  nπx l 2 ∑ n exp − a  sin a v i ak = l ∫ f ( y )sin 2l dy ðS : u ( x , y ) = π k =1   0 20