1
MTSBÀITOÁNBIÊNCAPHƯƠNGTRÌNHVTLÝTOÁN
Phươngpháptáchbi'ngi(icácbàitoánbiênchophươngtrìnhdaoñ1ng
1.Bàitoándaoñ1ngc4adâyv8ihaimút
0
=
và
ℓ
=
c1tch;t
1.Daoñ1ngt=doc4adâyv8ihaimút
0
=
và
ℓ
=
c1tch;t
Phươngtrìnhdaoñng:
2
(0 , 0)
 
ℓ
= < < >
(1)
ðiukinbiên:
(0, ) ( , ) 0
ℓ
= =
(2)
ðiukinñu:
( ,0) ( ), ( ,0) ( )
= ϕ = ψ
(3)
Gi(i:Tatìmnghimc$aphươngtrình(1)dư&id'ng:
( , ) ( ) ( )
.Thaybi*uth+cnàyvào
phươngtrình(1)tañư.cphươngtrình:
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( ) ( ) ( )
= ⇒ = = −λ
.T0ñóta
tìmñư.ccácphươngtrìnhchocáchàm
( )
và
( )
nhưsau:
2 2
2
''( ) ( ) 0(4)
''( ) ( ) 0(5)
+ λ =
+ λ =
T0ñiukinbiên(2)tacó:
(0, ) (0) ( ) 0 (0) 0
= = ⇒ =
( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0
ℓ ℓ ℓ
= = ⇒ =
Nghimt7ngquátc$aphươngtrình(5)cód'ng:
1 2
( ) cos sin = λ + λ
T0ñiukin
1
(0) 0 0 = ⇒ =
;
T0ñiukin
2
( ) 0 sin 0 ( 1,2,..)
ℓ ℓ ℓ
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = π =
.
T0ñótanh:nñư.c:
ℓ
π
λ = λ =
(6);ch<n
2
1
,tañư.c:
( ) sin
ℓ
π
=
(7)
Khi
λ = λ
,phươngtrình(4)tr?thành:
2 2
''( ) ( ) 0
+ λ =
;Nghimt7ngquátc$aphươngtrình
nàycód'ng:
( ) cos sin cos sin
 
ℓ ℓ
π π
= λ + λ = +
(8).
Nhưv:ynghimt7ngquátc$aphươngtrình(1)thoAmãnñiukinbiên(2)cód'ng:
1
( , ) cos sin sin
 
ℓ ℓ ℓ
∞
=
π π π
= +
∑(9)
T0ñiukinñu(3)vàbi*uth+c(9)cho
( , )
tacó:
1
( ,0) sin ( )
∞
=
π
= = ϕ
∑
ℓ
(10)
0
( ,0) sin ( )
∞
=
π π
= = ψ
∑
ℓ ℓ
(11)
T0(10)và(11)tatìmñư.c:
0
2( )sin

π
= ϕ
∫
ℓ
ℓ ℓ
0
2( )sin

π
= ψ
π
∫
ℓ
ℓ
Thaycácbi*uth+ctìmñư.cc$a
,
vào(9)tanh:nñư.cnghimc$abàitoáncntìm.
Cácbàit>pápd?ng:
1.Tìmcácdaoñngngangc$adâygEnchFtt'ihaimút
0,
= =
ℓ
,nHuv:ntIcbanñubJng
khôngvàd'ngbanñuc$adâylàmtcungparabolñIix+ngv&iñưNngvuônggócquatrung
ñi*mc$adây.
ðS:
3 3
0
32 1 (2 1) (2 1)
( , ) cos sin
(2 1)

∞
=
+ π + π
=
π +
∑
ℓ ℓ
2.Mtdâychiudài
ℓ
ñư.cgEnchFtt'icácmút
0,
= =
ℓ
.ði*m
=
x$anóñư.ckéolên
2
khRivStrícânbJngmtño'n
nhRvàlúc
0
=
dâyñư.cthArakhôngv:ntIcñu.Tìmdao
ñngc$adây?thNiñi*m
0
>
.
ðS:
2
2 2
1
2 1
( , ) sin cos sin
( )

∞
=
π π π
=
π −
∑
ℓ
ℓ ℓ ℓ ℓ
3.Tìmcácdaoñngbéc$adâychiudài(
0
ℓ
≤ ≤
)v&icácmútgEnchFtnHu?thNiñi*mñu
tiêndây?tr'ngtháiyênnghUvàmtño'n()c$anó(
0
< < <
ℓ
)ñư.ctruynchomtv:n
tIcbanñukhôngñ7ibJng
0
4.Tìmcácdaoñngbéc$adâychiudài(
0
ℓ
≤ ≤
)v&icácmútgEnchFtnHuñlchbanñu
c$acácñi*mtrêndâybJngkhôngvà?thNiñi*mñutiêndâyñư.ctruynchomtxunglVct:p
trungv&icưNngñt'i
0
(
0
0
< <
ℓ
).
ðS:
0
1
2 1
( , ) sin sin sin
∞
=
π
π π
=
π ρ
∑
5.Mts.idâyñànhWichiudài
ℓ
(
0
ℓ
≤ ≤
)v&icácmútgEnchFt.Trư&clúc0dây?tr'ng
tháicânbJngdư&itácdXngc$alVc
0
ñFtt'i
0
trêndâyvàvuônggócv&ivStrícânbJngc$a
dây.Lúc0,tácdXngc$alVc
0
trittiêu.Tìmdaoñngc$adâylúc>0
6.Mts.idâyñànhWichiudài
(0 )
ℓ ℓ
≤ ≤
v&icácmútgEnchFtñư.ckíchthíchdaoñngbJng
cáchtruynchonómtv:ntIcbanñucód'ng:
0
0
0 0 0
0
0 0
( )
( ,0) cos
2
0



≤ ≤ −δ
π −
= −δ ≤ ≤ +δ
δ
−δ ≤ ≤
ℓ
Tìmdaoñngc$adâylúc
0
>
nHuñlchbanñuc$adâybJng0
7.XácñSnhdaoñngc$adâyh\uh'ngEnchFtt'icácmút
0,
= =
ℓ
biHtrJngñlchban
ñuc$adâybJng0cònv:ntIcbanñuc$adâychob?i:
0
cos( )khi | | 2
( ,0)
0khi | _ |
2
π
− − <
=
π
>
ðS:
0
2 2
1
sin cos
42
( , ) sin sin
1

∞
=
π π
π π
=π
π
−
∑
8.XácñSnhdaoñngc$adâygEnchFtt'imút
0
=
cònmút
=
ℓ
chuy*nñngtheoquylu:t
sin
ω
.BiHtrJngñlchbanñuvàv:ntIcbanñuc$adâybJng0.
ðS:
1
2
12
sin sin 2 ( 1)
( , ) sin sin
sin

+
∞
=
ω
ωω − π π
= +
ωπ
ω −
∑
9.GiAiphươngtrình:
2
+ ( )(0 , 0)
 
ℓ
= < < >
(0, ) , ( , ) ; ( ,0) 0, ( ,0) 0
ℓ
= α = β = =
Hư8ngdIn:Tìmnghimdư&id'ng
( , ) ( , ) ( )
= +
,trongñó:
( )
thoAmãnphương
trình
2
''( ) ( ) 0 + =
v&iñiukin:
(0) , ( )
ℓ
= α = β
.Khiñó,hàm
( , )
sdlànghimc$a
bàitoánbiênsau:
2
(0 , 0)
 
ℓ
= < < >
(0, ) ( , ) 0;
ℓ
= =
( ,0) ( ), ( ,0) 0
= − =
3
ðS:
( , ) ( , ) ( )
= +
,trongñó:
1
( , ) cos sin

ℓ
∞
=
π π
=
∑v&i:
0
2( )sin

ℓ
ℓ ℓ
π
= −
∫ và
2 2
0 0 0 0
1
( ) ( ) ( )
 
ℓ
ℓ ℓ
β − α
= + α − ξ ξ + ξ ξ
∫ ∫ ∫ ∫
2.Daoñ1ngcưJngbKcc4adâyv8imút
0
=
vàmút
ℓ
=
c1tch;t
Phươngtrìnhdaoñng:
2
( , )(0 , 0)
 
ℓ
= + < < >
(1)
ðiukinbiên:
(0, ) ( , ) 0
ℓ
= =
(2)
ðiukinñu:
( ,0) ( ,0) 0
= =
(3)
Gi(i:Tatìmnghimc$aphươngtrình(1)thoAmãnñiukinbiên(2)dư&id'ng:
1
( , ) ( )sin
ℓ
∞
=
π
=
∑(4).
Thaybi*uth+cnàyvàophươngtrình(1)tatìmñư.cphươngtrìnhcho
( )
dư&id'ng:
2
''
( ) ( ) ( )
ℓ
π
+ =
(5)
Trongñó:
0
2
( ) ( , )sin

ℓ
ℓ
= λ
∫.T0ñiukinñu(3),tatìmñư.cñiukinchohàm
( )
nhưsau:
'
(0) (0) 0
= =
(6).Nghimc$a(5)thoAmãnñiukinñu(6)cód'ng:
0
( ) ( )sin ( )
ℓ
ℓ
π
= − τ τ
π
∫(7)
Thay(7)và0(4)tanh:nñư.cnghimc$abàitoáncntìm.
Chúý:Nghimc$a(5)cóth*ñư.ctìmbJngphươngpháphsIbetñSnhnhưsau:
+Nghimt7ngquátc$aphươngtrìnhthunnhettương+ngv&i(5)cód'ng:
(0)
( ) cos sin
 
ℓ ℓ
π π
= +
+GiAsf
( )
làmtnghimriêngc$a(5),thìnghimt7ngquátc$a(5)cód'ng:
(0)
( ) ( ) ( ) cos sin ( )
 
ℓ ℓ
π π
= + = + +
+T0cácñiukinñu(6),tacóth*xácñSnhcáchsI
,
.
Cácbàit>pápd?ng:
1.GiAiphươngtrình:
2
+ sin (0 , 0)
 
 ℓ
ℓ
−
π
= < < >
(0, ) ( , ) 0; ( ,0) 0, ( ,0) 0
ℓ
= = = =
ðS:
2
( , ) cos sin sin
1
ℓ
ℓ ℓ ℓ
ℓ
−
π π π
= − +
π
π
+
2.GiAiphươngtrình:
2
+ (0 , 0)
 

ℓ
−
= < < >
(0, ) ( , ) 0; ( ,0) 0, ( ,0) 0
ℓ
= = = =
ðS:
1
2
1
2 ( 1)
( , ) cos sin sin
1
 
ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
ℓ
+
∞−
=
− π π π
= − +
π π
π
+
∑
3.GiAiphươngtrình: sin sin2 (0 1, 0)
 
= + π < < >
(0, ) (1, ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
= = = =
4.GiAiphươngtrình: 1(0 1, 0)
 
= + < < >
(0, ) (1, ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
= = = =
4
5.GiAiphươngtrình:
2
sh (0 , 0)
 
= + < < >
ℓ
(0, ) ( , ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
= = = =
ℓ
6.GiAiphươngtrình:
( )(0 , 0)
 

= + − < < >
ℓ ℓ
(0, ) ( , ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
= = = =
ℓ
7.GiAiphươngtrình:
(0 , 0)
 
= < < π >
2 3
(0, ) , ( , ) ; ( ,0) sin , ( ,0) 0
= π = = =
Hư&ngdhn:Tìmnghimdư&id'ng:
( , ) ( , ) ( , )
= +
,trongñó
( , )
ch<ndư&id'ng
2 3 2 2 3
( , ) ( ) 1
= + − = − +
π π π
.Khiñó
( , )
lànghimc$abàitoánbiênsau:
2
( , )(0 , 0)
 
= + < < π >
(0, ) ( , ) 0
= π =
( ,0) sin , ( ,0) 0
= =
v&i
6
( , ) 2 1


= − = − − −
π π
ðS:
2 3
3
1
4 1 ( 1) 3
( , ) 1 cos sin ( 1) 3 1 cos sin sin
  
∞
=
−
= − + + + − − + −
π π π
∑
8.GiAiphươngtrình:
(0 , 0)
 
= < < π >
(0, ) , ( , ) ; ( ,0) sin cos , ( ,0) 1
−
= π = = =
Hư&ngdhn:Tìmnghimdư&id'ng:
( , ) ( , ) ( , )
= +
,trongñó
( , )
ch<ndư&id'ng
( , ) ( ) 1

− − −
= + − = − +
π π π
.Khiñó
( , )
lànghimc$abàitoánbiênsau:
2
( , )(0 , 0)
 
= + < < π >
(0, ) ( , ) 0
= π =
( ,0) sin , ( ,0) 0
= =
v&i
( , ) 1

−
= − = − −
π
ðS:
2
2
1
1 2 1 1
( , ) 1 cos 2 sin 2 cos 2 sin sin
2 ( 1)

  
∞
− −
=
= − + + − + − +
π π π +
∑
9.XácñSnhdaoñngc$adâygEnchFtt'ihaimút
0,
= =
ℓ
trongmôitrưNngcólVccAntil
v&iv:ntIc,biHtcácñiukinñu ( ,0) ( ), ( ,0) ( )
= ϕ = ψ
.
.Bàitoándaoñ1ngc4adâyv8imút
0
=
c1tch;tcònmút
=
ñNt=do
1.Daoñ1ngt=doc4adâyv8imút
0
=
c1tch;tcònmút
=
ñNt=do.
Phươngtrìnhdaoñng:
2
(0 , 0)
 
= < < >
(1)
ðiukinbiên:
(0, ) ( , ) 0
= =
(2)
ðiukinñu:
( ,0) ( ), ( ,0) ( )
= ϕ = ψ
(3)
Gi(i:Tatìmnghimc$aphươngtrình(1)dư&id'ng:
( , ) ( ) ( )
.Thaybi*uth+cnàyvào
phươngtrình(1)tañư.cphươngtrình:
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( ) ( ) ( )
= ⇒ = = −λ
.T0ñóta
tìmñư.ccácphươngtrìnhchocáchàm
( )
và
( )
nhưsau:
2 2
2
''( ) ( ) 0(4)
''( ) ( ) 0(5)
+ λ =
+ λ =
T0ñiukinbiên(2)tacó:
(0, ) (0) ( ) 0 (0) 0
= = ⇒ =
( , ) '( ) ( ) 0 '( ) 0
= = ⇒ =
5
Nghim t7ng quát c$a phương trình (5) có d'ng :
1 2
( ) cos sin = λ + λ
. T0 ñiu kin
1
(0) 0 0 = ⇒ =
;T0ñiukin
2
(2 1)
'( ) 0 cos 0 ( 0,1,..)
2
+ π
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = =
.
T0ñótanh:nñư.c:
(2 1)
2
+ π
λ = λ =
(6);ch<n
2
1=
,tañư.c:
(2 1)
( ) sin
2
+ π
=
(7)
Khi
λ = λ
,phươngtrình(4)tr?thành:
2 2
''( ) ( ) 0
+ λ =
;Nghimt7ngquátc$aphươngtrình
nàycód'ng:
(2 1) (2 1)
( ) cos sin cos sin
2 2
 
+ π + π
= λ + λ = +
(8).
Nhưv:ynghimt7ngquátc$aphươngtrình(1)thoAmãnñiukinbiên(2)cód'ng:
0
(2 1) (2 1) (2 1)
( , ) cos sin sin
2 2 2
 
∞
=
+ π + π + π
= +
∑(9)
T0ñiukinñu(3)vàbi*uth+c(9)cho
( , )
tacó:
0
(2 1)
( ,0) sin ( )
2
∞
=
+ π
= = ϕ
∑
(10)
0
(2 1) (2 1)
( ,0) sin ( )
2 2
∞
=
+ π + π
= = ψ
∑
(11)
T0(10)và(11)tatìmñư.c:
0
2 (2 1)
( )sin 2

+ π
= ϕ
∫
0
4 (2 1)
( )sin
(2 1) 2

+ π
= ψ
+ π
∫

Thaycácbi*uth+ctìmñư.cc$a
,
vào(9)tanh:nñư.cnghimc$abàitoáncntìm.
Cácbàit>pápd?ng:
1.GiAiphươngtrình:
2
(0 , 0)
 
= < < >
3
(0, ) ( , ) 0; ( ,0) , ( ,0) sin sin
2 2
π π
= = = = +

ðS:
2 2 3 3
( , ) sin sin sin sin
2 2 3 2 2
π π π π
= +
π π
2.GiAiphươngtrình:
(0 , 0)
 
= < < π >
(0, ) , ( , ) 1; ( ,0) sin , ( ,0) 1
2
= π = = =
Hư&ng dhn : Tìm nghim dư&i d'ng :
( , ) ( , ) ( , )
= +
, trong ñó
( , )
ch<n sao cho :
(0, ) , ( , ) 1
= π =
.Tacóth*ch<n:
( , )
= +
.Khiñó
( , )
lànghimc$abàitoánbiên
sau:
2
(0 , 0)
 
= < < π >
(0, ) ( , ) 0
= =
( ,0) ( ,0) ( ,0) sin
2
= − = −
,
( ,0) ( ,0) ( ,0) 0
= − =
ðS:
2
0
8 ( 1) (2 1) (2 1)
( , ) cos sin cos sin
2 2 (2 1) 2 2
∞
=
− + +
= + + − π +
∑
3.MtdâyñWngchetchiudài
ℓ
ñư.cgEnchFtt'imút
0
=
,mút
=
ℓ
ñư.cnIiv&imtvòng
khôngkhIilư.ng,vòngnàycóth*trư.ttheomtthanhnhjnthkngñ+ngvànólchkhRivStrí
cânbJngmtño'n
,vàolúc
0
=
nóñư.cthAra.Tìmdaoñngc$adâylúc
0
>
.
2.Daoñ1ngcưJngbKcc4adâyv8imút
0
=
c1tch;tcònmút
=
ñNt=do.
Phươngtrìnhdaoñng:
2
( , )(0 , 0)
 
= + < < >
(1)
ðiukinbiên:
(0, ) ( , ) 0
= =
(2)