E(X) = D(X) =
Chứng minh. Ta có
Từ đó suy ra D(X) = .
3. Phân phối hình học
Trước hết ta xét một ví dụ sau
Ví dụ 3.1. Xét dãy phép thử độc lập G1, G2, … sao cho mỗi phép thử Gi tương ứng
với không gian biến cố sơ cấp W = {A, }. Giả sử xác suất xuất hiện biến cố A
trong mỗi phép thử bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phép thử cần thiết để
lần đầu tiên biến cố A xuất hiện. Tìm phân phối xác suất của X.
Giải. Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 1, 2, 3,…, n,…Ta thấy X = k nếu trong
(k – 1) phép thử đầu tiên, biến cố xuất hiện còn ở phép thử thứ k, biến cố A
xuất hiện. Từ đó, phân phối xác suất của X là
P(X = k) = (1- p)k-1p, k = 1, 2,….
Định nghĩa 3.2. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối hình học tham số p nếu
phân phối xác suất của nó có dạng:
P(X = k) = (1 – p)
k
-
1
p, k = 1, 2,….
Ví dụ 3.3. Bắn liên tiếp, độc lập vào 1 mục tiêu cho tới khi nào trúng mục tiêu thì
dừng bắn. Xác suất để mỗi viên đạn trúng mục tiêu là 0,2. Gọi X là số viên đạn
cần bắn để lần đầu tiên trúng bia. Tìm phân phối xác suất của X.
Giải. Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p = 0,2. Từ đó, phân
phối xác suất của X là
P(X = k) = , k = 1,2,…
Định lý 3.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối hình học tham số p thì
E(X) = và D(X) =
Chứng minh. Đặt q = 1 – p thì
Từ đó suy ra D(X) = .
4. Phân phối siêu bội
Trước hết ta xét ví dụ sau
Ví dụ 4.1. Một lô sản phẩm gồm N sản phẩm, trong đó có M sản phẩm tốt và N -
M phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm. Tìm xác suất để trong n
sản phẩm lấy ra có đúng k sản phẩm tốt.
Giải. Gọi X là số sản phẩm tốt trong n sản phẩm lấy ra. Ta có
P( X = k) = , k = 0, 1, 2,...,n
Định nghĩa 4.2. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số
n, N, M nếu phân phối xác suất của nó có dạng:
P(X = k) = = q(N, M, n, k), k = 1, 2,…,n
Định lí 4.3. Nếu n cố định, còn N tăng lên vô hạn và tỉ số tiến tới p (0 < p < 1)
thì phân phối siêu bội q(N, M, n, k) tiến tới phân phối nhị thức Pn(k) =
khi N ® ¥.
Chứng minh. Theo giả thiết . Ta có
P(X = k) = =
=
Định lý 4.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội tham số n, N, M thì
E(X) = và D(X) = với
Chứng minh. Ta có
Do nên
với Y là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội tham số n -1, N – 1, M – 1.
Vậy
;
và từ đó
= với