Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
GIÁO VIÊN : ĐÀO CHÍ THANH
Sưu tầm và biên soạn
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Năm 2014
1
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
1) Phương pháp thế.
Nội dung :
2) Phương pháp cộng đại số.
3) Phương pháp biến đổi thành tích.
4) Phương pháp đặt ẩn phụ.
5) Phương pháp hàm số.
6) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Một số dạng hệ phương trình
a)
b)
1) Hệ bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. 0 4 2 5 0
x
2 x
y y
2 x
x
3 2 y
y 0 7 4 0
y
0
z z
c)
d)
3
2
2
3
y
z
y
4
0
z
0
y x z 1 0 x z 2 2 x
x y 1 0 2 2 y x 0 x
4 2) Hệ gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc cao.
PP chung : Sử dụng phương pháp thế. - Hệ 2 phương trình. - Hệ 3 phương trình.
3) Hệ đối xứng loại 1.
a
(
x
y b );
xy
PP chung : Đặt ẩn phụ
4) Hệ đối xứng loại 2.
x
y f x y ).
( ;
)
PP chung : Trừ từng vế hai phương trình cho nhau ta được : (
0
5) Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai. PP chung : Có 2 cách giải
y
t x .
- Đặt ẩn phụ
t
- Chia cả hai vế cho
2y , và đặt
x y
CÁC KỸ THUẬT THƯỜNG SỬ DỤNG:
Rút một ẩn hay một nhóm ẩn… từ một phương trình thế vào phương trình còn lại trong hệ.
Phân tích một phương trình trong hệ về phương trình tích.
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
2
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình Đưa một PT trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn, ẩn còn lại coi là tham số.
Cộng hoặc trừ vế với vế, hoặc có thể nhân một hằng số thích hợp vào mỗi phương trình sau
đó cộng hoặc trừ vế với vế.
Mục đích: Tạo ra phương trình mới có thể hỗ trợ cho việc giải hệ đã cho như: Phương trình một
ẩn, phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình tích, phương trình đẳng cấp…
Một số phương pháp giải hệ phương trình
I. Phương pháp thế.
* Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào
phương trình còn lại.
* Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất
đối với một ẩn nào đó.
2
x
3
y
5
(1)
Bài 1 . Giải hệ phương trình
2
2
x
y
2
y
3
2
y
2
x
Từ (1) ta có
thế vào (2) ta được
5 3 2
3 y 2 y 4 0
4 (2) Lời giải. y 5 3 2
2
2
2
1;1 ;
31 59 ; 23 23
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 1 0
2
x
y
3(25 30 y 9 y ) 4 y 8 y 16 23 y 82 y 59 0 y 1, y 59 23
Bài 2 Giải hệ phương trình sau :
2
2
x
2
y
3
x
2
y
2 0
3
2
2
x
(6
y x )
xy
0
Bài 3 Giải hệ :
2
x
x
3
2
y
3
x
x
thay vào PT (1).
y 3 - PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) - Nghiệm (0; 3); ( 2;9) 3
2
(5
y x )
2
xy
2
x
0
x
Bài 4 a) Giải hệ :
2
x
x
3
2
y
4
x
x
y 4 - PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2)
thay vào PT (1).
3
2
2
2
x
(6
y
)
x
2
xy
0
b) Giải hệ :
2
2
x
y
x
3
3 2
2
x
y
xy
y
Bài 6 (Thử ĐT2012) Giải hệ :
.
2
1 4 2
y
x
7
2
2
y
2
y x ( 2
x
1 4
y
y
xy
- Từ (1)
) thay vào (2). Nghiệm (1;2); ( 2;5)
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
3
2
4
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 2
2 x y
3 x y
9 (1) 2 x x
Bài 7. Giải hệ phương trình
2
(2) 2 6 6 x x
xy Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế.
Lời giải.
2
6
x
y
0, (2)
x
TH 2 :
thế vào (1) ta được
TH 1 : x = 0 không thỏa mãn (2) 6 x x 2
2
2
2
6
x
x
x
x
6
4
3
2
x
2
x
2
x
9
x
6 x 2
6 x 2
(6
x
x
2 2 )
2
2
3
4 x
x
(6
x
6
x
)
2
x
x x (
9
4)
6 4
x 0 0 x 4
Do
Chú ý.: Hệ phương trình này có thể thế theo phương pháp sau:
2
2
2
4; 0x nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 17 4
2
- Hệ
2
2
2
2
-
Phương pháp thế thường là công đoạn cuối cùng khi ta sử dụng các phương pháp khác
x x (
1) 3 0
y
x
1
y
x x 6 x xy 2 x 9 2 x 9 6 2 x x 6 x xy x x 6 x xy 6 2 6 2
Bài 8 (D – 2009 ) Giải hệ :
. Từ (1) thế
và thay vào PT (2).
2
3 x
(
x
y
)
1 0
5 2 x
2
2
x 2(
x
y
y
) 7
Bài 9 Giải hệ :
2 ) 2
y y (
10
x
x
2
x
2
xy
4
x
2
y
3 0
x
(
1)(
x
2
y
3)
HD : Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được :
0
Bài 10: (THTT 2009) Giải hệ phương trình
2
2
y
3
x
4
x
x
x
y
1
2
xy
1 1
x
x
1 1 2
Hướng dẫn:
x
Cách 1: Ta thấy
thế vào PT
x không thỏa mãn hệ
0
x Từ PT (2) ta có
0
y
1
2 1 x
2
(1) ta được PT:
x
2
x
4
0
x x
1 2
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
4
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
.
2;
KQ: Hệ có 2 nghiệm là:
1; 1 ,
5 2
Cách 2: Từ PT (2) ta có
xy
x
x
2 1
thế vào PT (1)…
Bài tập tự luyện:
Bài 1. Giải các hệ phương trình: ( PP Thế)
2
2
2 x y
3
xy
4
x
9
y
a)
2
7
y
6
2
x
9
x
HD: Rút y từ PT (2) thế vào PT (1) và phân tích thành PT tích .
2
2
6
x
y
4
y
20
1
1
b)
2
2
x
2
y
2
1
x
2
HD: Thế
vào PT (1) và rút
thế vào PT (2).
y
x
24 y
1 4
y
9 x x 3 5
KQ: Hệ có nghiệm
. 1; 1
xy
y3x2
)1(2
Bài 2 a)
(Đ/s ( -1; 2) (3 ; - 2/3 ))
2
2
x12
y18
16
)2(
xy3yx2
xy
1y3x
b/ Giải hệ sau :
Đ/s ( -1;1) (3; -1/3)
2
2
xy3yx
y9x3
4
)2(
xy2
y3x4
)1(2
c / Giải hệ sau :
( Đ/s : -1/2 ; 2) ( 3/2; - 2/3 )
2
2
xy3yx4
y9x12
8
)2(
xy
)1(02y3x2
2
xy
3
x
4
y
6
d/ Giải hệ sau : a)
b)
2
2
2
2
x
4
y
4
x
12
y
3
xy3yx2
x12
y18
16
)2(
xy
)y3x2(
)1(2
HDẫn: hệ có dạng :
)y3x2(6
16
)2(
xy)y3x2(
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
5
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình II. Phương pháp cộng đại số.
* Cơ sở phương pháp. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau.
* Nhận dạng. Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế
trái đẳng cấp bậc k.
2
x
5
y
4 0
Bài 1 Giải hệ phương trình
2
y
5
x
4 0
2
2
y
y
2
Bài 2. Giải hệ phương trình
x 2
x
2
x
2
y
3 3
Lời giải.
- ĐK:
2
- Hệ
. Trừ vế hai phương trình ta được
2
2 y x
xy 0 2 x y y 2 (1)
2
2
3
2 x y
3
xy
y
2 x
3 (
xy x
y
)
(
x
y x )(
y
x 3
y 0 xy x
y
0
3
2
x 2 (2) 3 3
- TH 1.
) 0 2 0 2
2
x
2
2
y
3
x
3
y
0
y
x 0 y x y 3 x x x thế vào (1) ta được 1
- TH 2. 3
,
x 0
2 y
2 x
xy 0 y x . Từ
3 xy 0 y x
1
1
2
2
(1)
y
x
. Do đó TH 2 không xảy ra. - Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)
Bài 2 Giải hệ phương trình
1
1
2
2
(2)
x
y
Lời giải.
- ĐK:
x
,
y
1 2
1 . 2
1
1
1
1
2
2
- Trừ vế hai pt ta được
0
y
x
x
y
1
1
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
0
0
1
1
xy
1
1
x
xy
y
2
2
xy
2
2
y
x
y
x
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
6
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
2
- TH 1.
2
1 x
1 x
t
,
t
0
- Đặt
ta được
1 x
2
t
0
2
2
2
t
t
2
1
x
t
1
và
y 0 x y x thế vào (1) ta được
2
2
2
2
t
t 4 4
t
t 2
1 0
t t
1
1
0
. TH này vô nghiệm do ĐK.
- TH 2.
1
1
x
xy
y
xy
2
2
x
y
2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1) 2 y
1y
xy 2 x 2
Bài 5 Giải hệ phương trình:
2
2
x xy y 3 2 2 x 5 xy 4 y 38
Bài 6. Giải hệ phương trình
2
2
Phân tích. Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng số hạng tự
do và thực hiện phép trừ vế.
x 9 xy 3 y 15 3 5
Lời giải.
2
2
x
45
75
xy
60
y
2
2
145
x
417
xy
54
y
0
- Hệ
2
570 2
x
342
xy
114
y
570
190
- Giải phương trình này ta được
thế vào một trong hai phương trình của
y x y , x 145 18
* Chú ý
1 3 hệ ta thu được kết quả (3;1); ( 3; 1)
- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn. - Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt
2
y tx x , 0 x hoặc đặt . 0 ty y , 2 11 xy 2 x y
Bài 7. Tìm các giá trị m để hệ
có nghiệm.
2
2
17 xy m 2 3 x y
2
2
y tx x , 3 - Phân tích. Để có kết quả nhanh hơn ta sẽ đặt ngay 0
Lời giải. 11
y
11
y
x
0
- TH 1.
m
17
2
2
y
y m
17
3
3
Vậy hệ có nghiệm
2
2
17 m x 0 11 m 16
2 2 t x
x tx 2 11
- TH 2.
tx . Hệ
2
2
2 2 t x 3
3 3
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
7
0x , Đặt y x tx 2 17 m
2
2
2
2 t x )
x 11
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 11 3 2 t
2
2 t x 3 )
2 t 3 ).
2
2
x
2
m
t 6)
m 3
40 0
(*)
t 2(
(
m
t (1 2 t 17 m (3 2 t 17 m 11 3 2 t t (1 2 t
0, t
- Ta có
nên hệ có nghiệm pt (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ
2
2
11 3 2 t 2 t 16) 11 t 3 2 t hoặc 16m
khi
m 16, ' ( m 6) ( m 16)(3 m 40) 0
363 5 - Kết luận. 5
m 363
5 m
2
xy
y
3
Bài 8. Tìm các giá trị của m để hệ
(I) có nghiệm.
2
2
2
x
2
xy
y
m
1
363 363 5 2 5 x 2
2
2
x
2
xy
y
3
- Nhân 2 vế của bpt thứ hai với -3 ta được
2
2
6
x
6
xy
3
y
3
1 m
1
m Lời giải. 5
2
2
2
x 4 xy 4 y ( x y 2 )
- Cộng vế hai bpt cùng chiều ta được
1 m 1 1 m 1
m 0 1
- Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm là
2
(II)
1 m 2 x 1 2 xy y 3
- Điều kiện đủ. Với
2
2
(
)
;
1m . Xét hệ pt y 1 2 x 5
- Giả sử
0
2
3
x y 0 0
2 y 0
2 x 0
2
3
2
2
2 y 0 y
2
2
1
x y 0 0
2 y 0
2 x 0
2 x 0 2 x 0
x y 0 0 x y 0 0
2 0
5
m
m
1
xy 2 x y là nghiệm của hệ (II). Khi đó 0
5 - Vậy mọi nghiệm của hệ (II) đều là nghiệm của hệ (I)
2
2
x
2
xy
y
3
2
2
x
4
xy
4
y
0
x
2
y
2
0
x
y
(II)
2
2
y
3
6
xy
x 2
x 5 6 y
- Thay
3 vào pt thứ 2 của hệ (II) ta được
2
2
2
2
y
4
8
y
1
5
1
x
y
y
y
1 5
2 5 - Hệ (II) có nghiệm, do đó hệ (I) cũng có nghiệm. Vậy
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
8
1m .
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
1
3
x
1
2
x
y
Bài 9. Giải hệ phương trình
1
7
y
1
4 2
x
y
- Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất
cho 3x và chia hai vế pt thứ hai cho 7 y .
Lời giải.
x y 0, 0
x 0, y
- ĐK: - Dễ thấy
2
4 2
2 2
1
1
2
2
1
(1)
1
x
y
3
x
7
y
7
y
3
x
3
x
0, x 0x hoặc . y 0y không thỏa mãn hệ pt. Vậy 0
- Hệ
1
4 2
2
2
4 2
2 2
1
1
1
x
y
x
y
x
y
7
y
3
x
7
y
7
y
3
x
1
2 2
2 2
1
1
- Nhân theo vế hai pt trong hệ ta được
x
y
3
x
7
y
7
y
3
x
6
x
2
2
y 7
38
xy
24
x
0
1 3 x
8 y 7
1
x
y
y
x
4 7
y
1
x
y
6y x
- TH 1.
thế vào pt (1) ta được
11 4 7 21
22 8 7 7
1 3
x
2 x 21
y x x 0, y
- TH 2.
không xảy ra do
11
8 7
x y ;
4 7 22 ;
.
. 0 4 7
- Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất
21
7
a b m
m n
a 2
- Chú ý. Hệ phương trình có dạng
. Trong trường hợp này, dạng
a b n
m n
b 2
thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức.
a
n
m
px
qy
bx
- Tổng quát ta có hệ sau:
c
n
m
px
qy
dy
2
2
2
2 2
(
y
z
)
(3
x
x
1)
y z
2
2
2
(
z
x
)
(4
y
1)
Bài 10. Giải hệ phương trình
2
y 2
y 2
z
(
x
y
)
(5
z
z
1)
2 2 z x 2 2 x y
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
9
x
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
2
2
2
- Phân tích. Nếu chia hai vế của mỗi phương trình cho
x y z thì ta được hệ mới đơn giản
hơn.
0
2 2 y z
- TH 1.
hoặc
0 t t ,
0 , t t t
xyz . Nếu 0 0x thì hệ
y z z ta thu được các nghiệm là (0;0; ), (0; ;0), ( ;0;0),
2
2
2
z y t x y z ta được
0 t t 0y và
2
1
1
1
3
(1)
1 2
z
y
x
x
xyz . Chia hai vế của mỗi pt trong hệ cho
1
1
1
4
(2)
. Cộng vế 3 phương trình của hệ ta được :
1 2
x
z
y
2
y
2
1
1
1
5
(3)
1 2
y
x
z
z
- Tương tự với - TH 2. 0
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
1 2
1 2
1 2
z
y
x
z
y
x
x
y
z
x
y
z
1
1
1
4 (4)
2
1
1
1
1
1
1
x
y
z
12
0
1
1
1
z
y
x
y
z
x
3
(5)
x
y
z
2
2
4 13 3 x
- Từ (4) và (1) ta có
z
1 x 1 2 x 9 x 9 13
- Tứ (4) và (2) ta có
y . Từ (4) và (3) ta có
9 11
1 x 3 4
x , y 1, z
- Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có
5 . 4 5 6
- Vậy hệ có tập nghiệm là
t ( ;0;0); (0; ;0); (0;0; ); t
; 1;
;
;
t
t
,
S =
9 3 9 13 4 11
5 4
;
5 6 - Nhận xét. Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng cách đổi biến số (ở trên là phép thay nghịch đảo) ta thu được một hệ phức tạp. Vậy đối với một hệ phức tạp ta sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản.
3
3
x
y
35
Bài 11: Giải hệ phương trình
2
2
2
x
3
y
4
x
9
y
Hướng dẫn
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
10
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
3
3
x
y
35
Hệ PT trên tương đương với
2
2
6
x
9
y
12
x
27
1 y
2
2
3
2
6
x
y
9
y
27
y
27
3
2
y
3
12
8 3
3 x x x x
y
5
KQ: Hệ có hai nghiệm
3; 2 , 2; 3
.
3
3
x
4
y
x
Bài 12: Giải hệ phương trình
2
2
y
x
y 5 1
16
1
Hướng dẫn
3
3
x
y
x
y
Hệ PT trên tương đương với:
2
2
4 4 4
y
5
x
1 2
2
Thế
y
25 x
vào PT (1) ta được phương trình đẳng cấp bậc 3
4
.
1;3
KQ: Hệ có 4 nghiệm là :
0; 2 , 1; 3 ,
Bài tập tự luyện
Bài 2. Giải các hệ phương trình: ( tạo ra PT đẳng cấp)
2
2
2
2
1
a)
b)
xy 3
1 0 3
y 3
x 3
x
y
) 9(
x
y
) 0
2
x
y
2
y
x
8(
3
3
3
2
x
8
x
2
x
3
x
y
(3
x
xy
)
c)
d)
2
2
2
2
x
3 3
y
y
xy
3(
x
1)
y
y 1
3
3
3
3
2
x
9
y
y
2
xy
3
x
x
y
1
e)
f)
5
5
2
2
2
2
x
y
x
y
3
x
xy
y
3
3
3
3
x
y
x
y
1
g)
h)
2
3
y
2
2 x y
2
xy
y
2
xy x
7
3
3
2
x
8
y
4
xy
1
x x
y y
8
x
2
y
i)
k)
4
4
2
x
8
y
2
x
y
0
x
3
y
6
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
11
3
3
2
2
x
y
xy
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 1
2 x y
15
xy
2
n)
m)
( CĐ A2005)
4
4
3
3
4
x
y
4
x
y
x
y
35
8
Phương pháp biến đổi thành tích.
* Cơ sở phương pháp. Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi
khi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích.
xy
2 0
x
(1)
Bài 1 (Khối D – 2012) Giải hệ
3
2
2
xy
2
2
y
x
2 x y
y
0
(2)
x - Biến đổi phương trình (2) thành tích. - Hoặc coi phương trình (2) là bậc hai với ẩn x hoặc y. 2 0
xy
x
5
x y ( ;
)
(1; 1); (
;
5)
- Hệ đã cho
. Hệ có 3 nghiệm
2
1 2
(2
x
y
1)(
x
y
)
0
2
xy
x
y
x
22 y
(1)
Bài 2. (D – 2008) Giải hệ phương trình
2 (2)
1 2
y x
2
x
y
x
y
- Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết
quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1). Lời giải.
2
2
x
(
x
y y )(
1
x
y
) 0
x 0
x
y x ( ) y 0 1, thế vào pt (2) ta được y 1 2
(2
y
1) 2
y
y
2
y
4
y
y
2 2
y
(
1) 2
y
2(
y
1)
y
1 0
1
1 ĐK: 0 1, y (1) ( y x ) y y ) y (loại do TH 1. x 0 TH 2. 2 x x y
. Do
2
2
y
2
y y
y x y 0 2 y (5;2) . Vậy hệ có nghiệm ( ; )
- Chú ý. Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có
thể giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x).
x y (1) 1 x 1 y
Bài 3. (A – 2003) Giải hệ phương trình
3
2 y x 1 (2)
- Phân tích. Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích.
Lời giải. x
y
y
x
x
0
y
0
x
(
0
y
ĐK:
1 x
1 y
xy
1 xy
5
3
x
2
x
1 0
1
x
TH 1. x
xy . (1) 0
hoặc x
(t/m)
) 1 1 2
4
2
2
2
1
0
y
x
2 0
x
x
(
)
(
x
)
0
TH 2.
thế vào (2) ta được
.
1 xy
1 x
1 2
1 2
3 2
PT này vô nghiệm.
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
12
y thế vào (2) ta được
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
5
5
5
5
(1;1);
;
;
Vậy tập nghiệm của hệ là S =
1 2
1 2
1 2
1 2
;
x
y
(1)
1 3
1 3
Bài 4: (Thi thử GL) Giải hệ phương trình
x
y
(
x
y
4 )
3 6
( 2 )
x 4 )( 2 y Lời giải.
x
y
2
2
(
y
x y )(
xy
x
)
2
2
x
y
x
(
y
)
x
3
3
3
3
1
1 x
1 y
x y
3
3
xy x y
y
x
6
2
x
4
x
12
TH 1. x
x
2
0
2
2
y
x
xy
1
0
TH 2.
.
3
2
2
2
2
x y 3 x y y 4
9
xy
x 2
16
4
x
18
2
2
1) 1)
xy 9 xy 9
0
2) y 4( x 2( 36 y (2) Trường hợp này không xảy ra do 2) 4( x y xy 2( 0 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = (2;2); ( 6; 6)
2
2
x
y
16
(1)
8 xy y x
y thế vào pt thứ hai ta được
Bài 5. (HSG_Huế) Giải hệ phương trình
2
(2)
x
x
y
y - Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết
2
2
x
y
)
2
quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1) Lời giải. ) 8 16( x
y ( x y ) 8 (
x )( y xy 16(
xy y )
2
y
x
)
2
ĐK: x x ( ( x
y
x
y
)
16
2 (
xy x
4) 0
) ( x
y . (1) 0 xy
y
4) (
y
3
2
x
6 0
y ( xy x y x )( 4) 2 0
TH 1.
x x
2
2
2
x
y x )(
y
4) 2
xy
0
y
TH 2.
vô nghiệm do ĐK
( Vậy tập nghiệm của hệ là S =
7 y x 2 y x y x 4( ) 0 ( 3;7); (2;2)
(
x
y
)(
xy
2)
x
y
y
xy
x 4 0 y thế vào (2) ta được
Bài 6 (Thử ĐT 2013) Giải hệ phương trình
2
1)(
y
xy
x
x
)
4
( x
x y ;
0
- Điều kiện :
xy
(
x
y
)(
xy
2)
0
0,25
xy
(
x
y
)(
xy
2)
y
(
x
y
)
- PT (1)
0
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
13
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
(
x
y y )(
xy
2)
x
y
0
x
y
xy
(
x
y
)(
xy
2)
y
y
xy
2
( x
y
)
0
(3)
1
x
y
xy
(
x
y
)(
xy
2)
y
2
2
y
xy
x
x
(
x
1)
x
1
2 2
- Từ PT (2) ta có
4
x
1
4
x
1
0,25
y
xy
2
0
1
x
y
xy
(
x
y
)(
xy
2)
y
3
x
x
22 x
3
x
4
-
PT (3)
y , thay vào PT (2) ta được :
0
0,25
1
17
x
1x hoặc
2
1
17
x
- Kết hợp với điều kiện ta có
1x ,
2
0,25
1
17
(1; 1);
17 1 ;
- KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) là :
2
2
2
3
2 x y
4
xy
3
y
2(
x
y
)
0
(1)
Bài 7(A – 2011 ) Giải hệ PT :
2
2
2
xy x (
y
) 2 (
x
y
)
(2)
5
xy
1
HD : Biến đổi PT (2) thành tích ta có
.
2
2
x
y
2
y
-
TH1:
thay vào PT (1).
1 x
2
2
2
3 (
y x
y
) 2
2 x y
4
xy
2(
x
y
)
xy (
1)(2
x
y 4 )
- TH 2: PT(1)
0
Bài 8: (THTT 2009) Giải hệ phương trình
2
2
y
x
4
16
8
y
16 0
2
y
5
x
x
5
xy 4 4
x
1 2
Hướng dẫn
Ta coi PT (1) là PT bậc hai ẩn y, tham số x
2
2
PT (1)
Δ
3x
y
4
x
2
y
5
x
16
x
16 0
Ta có
2
4
x
5 y x y 4
;0
III. KQ: Hệ có nghiệm là:
0;4 , 4;0 ,
4 5
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
14
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các hệ phương trình: ( phân tích 1 pt thành PT tích)
2
2
2
2
x
y
1
x
y
16
2 xy y x
8 xy y x
a)
b)
2
3
x
y
x
y
x
x x
3 0
y
2
2
x
y
2
2
2
y
2
x
y
xy
1 xy
x
y
c)
d)
2
3
xy x 2 x y
4
xy
3
y
2
x
y
0
2
2
2
5
x
y
x
2
x
1
2 1
x
y
Bài 2. Giải các hệ phương trình: ( phân tích 1 pt thành PT tích)
2
2
2
2
x
xy
2
y
2
y
2
x
x
4
xy
2
y
3
x
3
y
2 0
2
b)
a)
2
2
x
32
y
5 0
y x
1
x
y
2.
3
2
2
xy
y
2
x
4 0
x
4
x
12
y
3
d)
.
c)
2
2
2
xy
24 y x 3
4
y
6
x
5
y
3
x
2
y
22 0
2
xy
x
y
x
22 y
xy
2 0
x
(D 2012) f)
e)
3
2
2
2
x
2 x y
x
y
2
xy
y
0
x
2
y
y x
1 2
x
2
y
Bài 3. Giải các hệ phương trình: ( PP Cộng đại số)
3
3
3
3
x
y
9
x
y
91
a)
b)
2
2
2
2
x
2
y
x
4
y
4
x
3
y
16
x
9
y
2
2
x
3
x
y
3
x
4
y
1
x
y
1
1
d)
c)
2
2
x
2
y
9
x
8
y
3
3
y
1
x
y
1
1
2 2
x
2
x
3
2
12 x 3
y
5 x
y
42
f)
e)
y
6
2
y
3
4
y
5 x
y
42
1 1
1 x 3 IV.Phương pháp đặt ẩn phụ.
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
15
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ
u
,
f x y v ;
g x y ;
có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản,
chuyển vế, phép chia cho một biểu thức khác 0, phép đồng nhất …
MỤC ĐÍCH: Tạo ra hệ phương trình mới đơn giản hơn hay hệ phương trình đã có phương pháp
giải như:
- Hệ gồm một phương trình bậc thấp và một phương trình bậc cao.
- Hệ đối xứng loại I.
- Hệ đối xứng loại II.
- Hệ đẳng cấp.
- ….
Lưu ý: Trong các bài toán hệ phương trình có chứa tham số, khi đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện đủ
cho ẩn phụ.
x
y
xy
1
Bài 1. Giải hệ phương trình
2
2
x
y
xy
7 Lời giải.
Đây là hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến.
y
)
xy
1
(
x
Hệ
2
y
)
3
xy
7
(
x
S P
1
S
2
x y ,
S
4
P
Đặt
ta được
2
y x xy P
P 4,
P
2 3
S
3
P
7
S 1, S
TH 1.
y 2 1
x x
S P
x xy
1, 2, y
1 2
y 1 2
TH 2.
. Vậy tập nghiệm của hệ là
1, 3,
y y
3 1
y 4 3
4 3
x xy
S P
x x
( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1)
S = Chú ý.
- Nếu hệ pt có nghiệm là ( ; )
hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x
x y thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là ( ; )y x . Do vậy, để
- Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên. Đôi khi việc thay đổi cách
nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn.
2
2
1
Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình:
x x
xy y
xy
y
3
x
y
1
y .
Bài 2 (D – 2004 )Tìm m để hệ có nghiệm :
x x
y y
1 3
m
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
16
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
2
2
x
y
x
y
18
Bài 3. Giải hệ phương trình
xy x (
1)(
y
1) 72
Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I
y và tích xy
2x
2y
- Hướng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng x - Hướng 2. Biểu diễn từng pt theo
x và y . Rõ ràng hướng này tốt hơn.
Lời giải.
2
2
2
ta được
Hệ
. Đặt
2
2
2
x x a a , ( x x ) ( y y ) 18
18
a b 72 ab
a a
12 b 6, b 12, 6
2
( x x y )( y ) 72 y y b b , 1 4 1 4
TH 1.
2
TH 2. Đổi vai trò của a và b ta được
. Vậy tập nghiệm của hệ là
x y
3, 2,
x y
4 3
a 6 x x 6 x 2, x 3 12 y 3, y 4 y y 12 b
S =
(2;3); (2; 4); ( 3;3); ( 3; 4); (3;2); ( 4;2); (3; 3); ( 4; 3)
Nhận xét. Bài toán trên được hình thành theo cách sau
18
- Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản
(I)
a b 72 ab
2
2
1) Thay
x
y
y
x
18
(1)
đó chính là ví dụ 2.
1) 72
xy x (
1)(
y
2
a x b , y y vào hệ (I) ta được hệ 2 2
2) Thay
vào hệ (I) ta được hệ
(2)
2
2
a y xy x 2 x 2 xy b , 2 x y 18
xy x ( y ) 72
3) Thay
4
x
y
18
x
(3)
2)(2
x
y
) 72
a 2 , x b 2 x y vào hệ (I) ta được hệ 2
a
x
b
y
,
4) Thay
vào hệ (I) ta được hệ
1 y x
x x ( 1 x x
(
y xy )
y
18
xy
(4)
2
2
xy
(
x
1)(
y
1) 72 2
2 x
5) Thay
vào hệ (I) ta được hệ
y
x
xy
18
(5)
…
xy x (
2 )(
y y
x
) 72
2 x
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
17
a y xy 2 xy b 2 , 2
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình a. Như vậy, với hệ xuất (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ pt mới.
a b
7
và làm tương tự như trên
b. Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II)
2
2
a
b
21
2
ta lại thu được các hệ mới khác. Chẳng hạn : a
vào hệ (II) ta được hệ
6) Thay
2, y b 2 y
(6)
4
4
2
xy x 2 x xy 7
a
x
,
b
y
7) Thay
vào hệ (II) ta được hệ
1 x
x y 21
2 x y 1 y 1 y
(7)
2
2
x y 7 1 x
a
x
,
b
8) Thay
vào hệ (II) ta được hệ
1 y xy
x y 1 7
x
y
(8)
2
2
2
(
xy
21
y
x
1)
a
x
y b ,
9) Thay
vào hệ (II) ta được hệ
1 y y y )
1 9
y
(
x
(9)
2
2
2
(
x
2)
y
y
1
y 2
21 2
x y 21 1 2 x 1 2 y
10)
vào hệ (II) ta được hệ
2
2
2 x
(10)
...
4
4
2
2
x
y
4 (
x x
y
) 21
Thay a x
x
y
5
1 x
1 y
x y x b 2 , x 4 y 7
Bài 4 (D – 2007 ) Tìm m để hệ có nghiệm :
.
3
3
y
15
m
10
x
1 3 y
;
Điều kiện
1 3 x a b 2
a
x
a b
5
Đặt ẩn phụ
Ta có hệ
3
3
a
a b 3
b 3
15
m
10
y
1 x 1 y
b
Bài 5 Giải hệ phương trình :
3
x
y
x
y
2 2
x
3 2
y
x
y
a) (CĐ – 2010 )
b) (B – 2002)
2
2
x
2
xy
y
2
x
y
x
y
2
y
2
x
2
y
c)
d)
x 2 3 4 2
x
2
y
4 1
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
18
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
3
2
Bài 6 :(Sát hạch khối 10 năm 2012) Giải hệ : 2
3
2
x
(6
y x )
3
xy
18 0
(6
y x )
2
xy
18 0
x
a)
b)
2
2
x
y 3
x
x
y
x
7
3
a) Hệ
Đặt
Nghiệm
x 1; 3
( x x x x (
2)(3 2)
x (3 x
) 18 0 y ) y
0
x x 2) ( y x 3
b) Hệ
Đặt
Nghiệm
( x x x x (
3)(2 3)
x (2 x
) 18 0 y ) y
0
x x 3) ( y x 2
a b a b
y
x x (
1) 3 0
Bài 7 (D – 2009 ) Giải hệ phương trình :
2
(
x
y
)
1 0
5 2 x
- ĐK.
Đặt
2
2
a
2,
b
1
x
y
1
a
b 1 3
0
a
b 3
1
2
2
2
2
a
,
b
x
2,
y
a
b 5
1 0
b (3
1)
b 5
1 0
1 2
3 2
1 2
2
2
x 1 3. y 0 1 x x y a , b 0x . Hệ ta được hệ : 1 x y ) 5. 1 0 1 x ( x
3 x y
x y xy xy 5 4
Bài 8 (A – 2008) Giải hệ phương trình :
4
2
2
2
x y xy (1 2 ) x 5 4
a
y
- Hệ
. Đặt
ta được :
2x xy b
2
2
( x y ) xy x ( 1) y 5 4
2
( x y ) xy 5 4
2
2
3
3
;
;
1;
- Vậy tập nghiệm của hệ pt là S =
3 2
5 4
25 16
a b a ( 1) a 0, b a a ab 0 5 4 5 4 b a a b a , b 5 4 5 4 1 2
2
2
y
x
y
2(
x
) 7
3 2
Bài 9: Giải hệ phương trình :
y y (
2 ) 2
x
x
10
2
2
2
2
(
x
1)
(
y
1)
9
x
x
y
2(
y
) 7
- Hệ
.
2
2
y y (
2 ) 2
x
x
10
(
y
x
)
(
x
1)
9
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
19
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
2
2
a
b
9
- Đặt
2
2
b a (
)
a
9
2
2
2
2
a x 1, b b a 1 y x ta được hệ y
2 a
b
b a (
)
a
a
0
2
a
hoặc ab
a 2 b
- Với
2
a
b 2
b 5
b
9
a
- Với
3 5
6 5
1
x
,
y
1
x
1
,
y
1
hoặc
6 5
3 5
6 5
3 5
Cách 2 : Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được
2
x
2
xy
4
x
2
y
3 0
x
(
1)(
x
2
y
3)
:
0
a b 3 0 x 1, y 2 x 1, y hoặc 4
y xy 3
Bài 10 (A – 2006) Giải hệ phương trình :
x 1 y 1 4 x
- ĐK:
x 1, y 1, xy 0
- Hệ
2
2
y xy 3 x y xy 3 x 2 2 ( y x 1)( y 1) 16 x y 2 x y xy 1 14 x
a
2,
b
0,
a
- Đặt
ta được hệ pt
x
a
,
xy
. b
a b
3
a
3
b
3
b
a
2
2
2
b 26
105 0
a
2
a b
1 14
2
b
4 11
b
b
3 b
(thỏa mãn đk)
3 6
x y
3 3
b a
x
y
8
b 4 y
Bài 11 (Thử ĐT2010) Giải hệ phương trình:
. Bình phương cả 2 PT.
2
2
x
9
y
9 10
2
2
y
2 7
x
1 2 x
1 2 y
Bài 12 (Thử GL 2012) Giải hệ :
1
1 xy
y
6 x
2
2
(
x
)
2
(
y
)
2
2 7
- PT (1)
1 x
1 y
a b
6
y
x
6
y )
x
x
(
(
)
(
y
)
6
- PT (2)
Ta có
2
2
1 x
1 y
xy
a
2
b
2
2 7
y x (
7)
1 0
x
2
Bài 13 (ĐT 2011) Giải hệ :
. Lần lượt chia cho
;y y và đặt ẩn phụ.
2
2
2
21
y
x
(
xy
1)
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
20
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
1 7
x
y
2
Bài 14 (B – 2009 ) Giải hệ :
. Lần lượt chia cho
;y y và đặt ẩn phụ.
2
2
xy 2 x y
1 13
y
xy 2
2
xy
x
y
y
Bài 15(Thử ĐT2012) Giải hệ :
Chia 2 vế của 2 PT cho y và đặt ẩn phụ.
2
1 4 2
y x (
y
)
2
x
7
y
2
4
2
x
3 x y
2 x y
1
.
Bài tập16. Giải hệ phương trình
2
3 x y
x
xy
1
Hướng dẫn
2
2
x
1
Hệ đã cho tương đương với
2
x
xy
1
xy
3 x y
3 x y
2
v
1
2
Đặt:
Hệ PT trên trở thành:
..
u
x
xy v ;
3 x y
v u
1
u
5
2
2
4
xy
8
x
y
13
2
Bài tập 17. Giải hệ phương trình
.
x
y
2
x
1
1
x
y
Hướng dẫn
2
2
5
x
y
5
x
y
13
2
x
y
Hệ đã cho tương đương với
y
x
y
1
1
x
y
3 x
2
2
x
y
5
x
y
23
x
y
1
x
y
x
y
1
1
x
y
3
2
2
23
Đặt:
Hệ PT trên trở thành:
…
u
x
y v ;
x
y
1
x
y
5 3 v u u v 1
.
KQ: Hệ phương trình có nghiệm
x y ;
0;1
xy
1 7
x
y
Bài tập 18. ( ĐH-KB-2009 ). Giải hệ phương trình
.
2
2
2 x y
xy
1 13
y
1 2
Hướng dẫn Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
21
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
Ta thấy
y không thỏa mãn hệ
0
y , chia hai vế phương trình (1) và (2) của hệ cho
0
2
,y y , ta được:
x
7
x
7
1 y
x y
1 y
2
2
x
13
x
13
x y x y
1 2 y
1 y
x y
7
Đặt
…
u
x
;
v
Khi đó hệ trở thành:
2
x y
1 y
v
13
u v u
KQ: Hệ đã cho có nghiệm:
.
1;
, 3;1
1 3
2
2
x
y
xy
y
Bài tập 19. Giải hệ phương trình
.
2
1 4 2
y x (
y
)
2
x
7
y
2
Hướng dẫn
Ta thấy
y không thỏa mãn hệ
0
y 0
2
x
1
2
x
y
4
y
x
y
y x
Hệ đã cho tương đương với
2
2
2
1
7
y
2
x
y
2
x
y x
2
4 1
1
y
x
y
7
y
4
x
Đặt:
khi đó hệ phương trình trên trở thành
..
u
x
y v ;
2
2 1 y
v 2
7
u v u
3
3
y
Bài tập 20. Giải hệ phương trình
.
27 18 2
4
3 x y 2 x y
6
x
y
8
Hướng dẫn
Ta thấy
y không thỏa mãn hệ
0
y , nên hệ đã cho tương đương với
0
3
3
3
x
18
2
x
18
27 3 y
3 y
2
4
1
x 2
x 2 .
2
x
3
x y
6 y
8
3 y
3 y
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
22
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
3
v
Đặt
…
u
2 ;
x v
Hệ phương trình trên trở thành:
3 y
.
3
3 18
u u v u v
x 11
y
y
x
1
Bài tập 21. Giải hệ phương trình
.
7
y
x
6
y
26
x
3
Hướng dẫn
Ý tưởng : Đặt
thông qua u và v
u
x 11
y v ,
y
x
vì thế ta biểu diễn 6
y
26
x
2
PP: Đồng nhất:
ta được
6
y
26
x
a
y
x
x 11
b y
4
a b
x 11
y
y
x
Do đó hệ đã cho tương đương với
7
y
x
y
4
y
x
3
1
x 2 11
1
Khi đó hệ PT trên trở thành:
…
2
2
7
v
u 2
v 4
3
u v
3
x
3
y
6
Bài tập 22. Giải hệ phương trình
.
3
x
16
3
y
1 16 10 2
Hướng dẫn:
ĐKXĐ:
x
0;
y
. 0
3
x
3
x
16
3
y
3
y
16
16
3
x
3
x
16
3
y
3
y
16
4
3
x
3
x
16
3
y
3
y
16
16
Lấy (1) (2) ta được hệ pt
16
16
4
3
x
3
x
16
3
y
3
y
16
Đặt:
.
u
3
x
3
x
v
3
y
3
y
16
16 ;
16
8
Hệ phương trình trên trở thành
.
8
1
u v
4 v
u v
3;3
4 u
KQ: Hệ trên có nghiệm:
x y ;
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
23
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
2
2
3
2
2
x
y
3 x y
xy
xy
4
xy
4
x
y
7
2
5 4
a)
b)
x
y
4
2
x
y
xy
x
1 2
2
x
3
5 4
1
x
y
x
y
1
18
x
2
x
3
y
x
14
1
1 xy
c)
d)
2
x
3
y
x
9
2
2
x
y
1
208
2
1 2 x y
2
y
4
y
4
1
x x
1
e)
f)
2
x
y
x
2
y
1 y x 1
3
2
3
x
3 x y
xy
1 1 y y 2 x y
1 4
y
2
2
3
3
xy
6
x
27
125 9
g)
h)
.
y 2
3
3
45
3 x y 2 x y
75
x
6
y
3 x y
19
x
y 1
y
3
2
2
x x
xy
6
x
( D 2009)
k)
i)
2
2
2 x y
5
x
x
y
1 0
2
y 1
1 5 2 x
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
7
x
y
2
x
y
5
4
x
y
2
x
y
4
( HGS QG 2001 ) b)
a)
2
x
x
y
y
2
2
x
x 2
y
y
6
x
y
2
x
y
2
x
3
y
5
x
4
y
5
d)
c)
2
x
y
2
x
6 0
y
x
4
y
x
2
y
35
12 5
7
x
y
2
x
y
4
2
x
1
y
x
y
1
f)
e)
x
2
y
4
2 2
x
y
5
x
8
2
3
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
2
x
2
y
4
x
1
y
3
4
( HSG BRVT 2010)
b)
a)
2
x
5
2
y
5
6
x
4
y
2
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
24
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 6
x
y
x
y
1
1 4
c)
d)
.
4
6
6
x
y
x
7
y
7
8
Bài 4. Tìm tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
x
2
y
2
m
1
(KQ:
4m ).
x
2
y
2
m
1
Bài 5. ( KD 2011) Tìm tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
3
2
2
x
y
2
xy m
x
2
x
y
1 2
m
x
2
HD: Đặt
.
u
x
x u ,
;
v
2
x
. Hệ đã cho trở thành:
y
1 2
m
1 4
. uv m u v
Bài 6. ( KD 2007) Tìm tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
x
y
5
1 y
1 x
3
3
x
y
15
m
10
1 3 x
1 3 y
2
2
2
2
(2
x
y
)
5(4
x
y
) 6(2
x
y
)
0
Bài 7 Giải hệ phương trình:
2
x
3
y
1 x
2
y
x
3y
3
x
1 y
4();1;5();1;3(:s/Đ
3;10
)10
BÀI 8 :Giải hệ sau :
x2
y
8
1 y
1yx2
yx
1
);1;2(:s/Đ
BÀI 9 Giải hệ sau :
4
y2x3
2yx2
7
yx
)4;5();25;9(:s/Đ
BÀI 10 Giải hệ sau :
23
3
3
2yx
3
y2x
)3/5;3/13();;3;2(:s/Đ
BÀI 11"Giải hệ sau :
yx2
7
x
y
xy
21
y
22
x
1 y
1 x
);1;1(:s/Đ
BÀI 11 Giải hệ sau :
2
2
2
x y
xy
90
y(y)1
x)1
xy4
y2x3 2 x(
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
25
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
x
y
x
y
2
x
5
y
2
7
(:s/Đ
);
;
BÀI 12 Giải hệ sau : a)
b)
17 2
5 3
y
5
x
2
7
y
x
y
x
1
3
yx
4yx
();4;4(:s/Đ
;
)
BÀI 13 :Giải hệ sau :
3
9 2
7 2
yx
yx
2
2
2
x
y
3
xy
3
x
2
y
1 0
D s /
: (1; 2);(0;1)
B2013: Giải :
2
2
4
x
y
x
4
2
x
y
x
4
y
x 3 y 5 x y 7 7 x y 4 y x 2 ) a (3;3); (3;1) b ) 403 1539 ; 289 289 x y 2 x 3 1 y y 2 2 x 3 5 y x 7
6 x 2 6 x y 2 2 x y 4 3 3 y 5 2 x 2 y 7 c ) (1;3) d ) (1;1) 4 x 3 y 2 x 4 1 y x 2 y 2 x 3 3 y 3 5 2
6 x y 3 2 x 3 y 3 15 x 4 y 1 x y 4 7 e ) (2;3) h ) (1;4) 2 x 3 y 3 2 x y 3 2 x 4 y 6 x 1 3 y
Bài 14 2 2 3 5
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
26
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
Phương pháp hàm số.
Hệ phương trình giải được bằng phương pháp hàm số ta thường gặp ở hai dạng :
- Một phương trình của hệ có dạng : f(x)=f(y), phương trình còn lại giúp ta giới hạn x , y thuộc
tập D để trên đó hàm số f đơn điệu .
- Một phương trình trong hệ có dạng f(x)=0 (hoặc đưa được về dạng f(x)=0) trong đó f là hàm
số đơn điệu.
1. Các kiến thức cơ bản
a) Các định lí
Giả sử hàm số
y
f x
có đạo hàm trong khoảng
;a b .
*) Hàm số
x
a b ( ; )
y
f x
'( ) 0
f x
đồng biến trong khoảng
;a b
và
'( ) 0 f x chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trong khoảng (a ; b) .
*) Hàm số
và
y
f x
'( ) 0
x
a b ( ; )
f x
nghịch biến trong khoảng
;a b
f x chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên '( ) 0
;a b .
*) Nếu
và
đồng biến
'( ) 0 f x với
y
x
a b ( ; )
f x
f x liên tục trên
;a b thì hàm số
trên
;a b .
*) Nếu
và
nghịch
'( ) 0 f x với
y
x
a b ( ; )
f x
f x liên tục trên
;a b thì hàm số
biến trên
;a b .
b) Các tính chất
+) Nếu hàm số f đơn điệu trên khoảng (a ; b ) thì PT f(u) = f(v)
v u
với u ,v (a ; b ).
;a b thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm
;a b
+) Nếu hàm số f đơn điệu trên thuộc khoảng
x y , a b ( ; ) ( )
* Cơ sở phương pháp. Nếu
thì :
3
x
f x đơn điệu trên khoảng ( ; )a b và ( ) f y 3 y ( ) f x x 5
Bài tập 1. Giải hệ phương trình
8
4
x
y
Hướng dẫn:
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
27
y x y 5 1 1 2
8
Từ PT (2) ta có
x
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 41; y
1
1;
1
x
y
Xét hàm số
f
t
3 5 ; t t
t
1;1
2
Ta có
f
'
t 3
5 0;
t
t
do đó f(t) nghịch biến trên
1;1
1;1
8
Mà PT (1)
thay vào PT (2) ta được
x
y
x
x
4 1 0
f x
f y
5
5
4
4 x
x
1 2
1 2
Vậy hệ có hai nghiệm phân biệt là:
5
5
5
5
4
4
4
4
.
;
v à
;
1 2
1 2
1 2
1 2
3
3
x
3
y
3
y
(1)
Bài 2. Giải hệ phương trình
x 2
2
x
y
1
(2)
Phân tích. Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích. Tuy nhiên ta muốn
3
f
giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Hàm số t ( ) đơn điệu trên toàn trục số, nhưng nhờ có (2) ta giới hạn được x và y trên đoạn
không 3 t t 1;1 .
2
2
.
21, Từ (2) ta có x y 1 có Hàm số t t 3 ( )
x y , t t '( ) 3
f
f
3 t
Lời giải. 1;1 t 3 0,
( 1;1)
f
t ( )
nghịch biến trên đoạn
1;1
x
y
nên (1)
.
x y ,
1;1
2 2
2
2
2
2
;
;
Vậy tập nghiệm của hệ là S =
2
2
2
2
f x ( ) f y ( ) x y thế vào pt (2) ta được
đoạn đó.
2
3
3
x
y y (
3)
(1)
x
; Nhận xét. Trong TH này ta đã hạn chế miền biến thiên của các biến để hàm số đơn điệu trên
Bài 3 Giải hệ phương trình:
2
2
y y (
1)
x
2 5 0
x
y
(2)
3
3
y
PT
3 x t ( ) f
y t 3
3
f y ( )
f x ( )
x 3 . HS đồng biến. Từ (1) t
x y
x
1
1
(1) Xét hàm Thay và (2) tiếp tục sử dụng PP hàm số CM PT (2) có 1 nghiệm duy nhất
. y
x
y
(1)
1 x
1 y
Bài 4 (A – 2003) Giải hệ :
3
2
y
x
1
(2)
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
28
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
f
t ( )
t
0)
f
t '( ) 1
0
t (
- Xét hàm số
nên hàm số đồng biến.
1 2 t
f x ( )
f y ( )
1 t y x
- Từ (1)
5
x
1;
- Thay vào (2) có nghiệm
1 4
x
y
(1)
1 3
1 3
.
Bài 5 (Thử GL) Giải hệ phương trình
x
y
(
x
y 4 )(2
x
y
4)
36
(2)
f
t ( )
0)
t '( ) 1
t
t (
f
0
- Xét hàm số
nên hàm số đồng biến.
3 4 t
f y ( )
1 3 t - Từ (1) x y f x ( ) - Thay vào (2) có nghiệm x . vậy hệ có nghiệm (2;2); ( 6; 6) 2; 6
.
3
3
3
x
(
y
1)
9(
y
1)
(1)
x
Bài 6 (Thi HSG tỉnh Hải Dương 2012)
x
1
y
1
(2)
1
x
1;
y
3
1 1 3
f
t ( )
t
t 3
3 x
(1)
1)
3
3
x
y
y
(
1
, xét hàm số
trên [1;
)
f x ( )
f
(
y
x
- Từ điều kiện và từ phương trình (2) có - - Hàm số đồng biến trên [1;
) , ta có
1
x 1
1) x
y 2
x
y
1
,
x
1;
x
- Với
thay vào (2) giải được
2
y
2
y
5
3
2
3
2
y 9
3
x
3
x
9
x
22
y
y
Bài 8 (A – 2012) Giải hệ phương trình
2
2
x
y
x
y
1 2
2
2
( x
)
(
y
)
1
1
x
v ; à
y
- Từ phương trình (2)
nên
3 2
1 2
1 2
1 2
3 1 2
1 2
3
3
3
(1)
( x
1)
12(
x
1)
(
y
1)
12(
y
1)
f
t ( )
t
t 12
[
]
-
nên xét
trên
3 3 ; 2 2
1)
f y (
1)
y
x
1 1
)
x y ( ;
); (
(
- Nghiệm
3 1 ; 2 2
2
(
y
3) 5
2
y
0
(1)
Bài 9. (A – 2010) Giải hệ phương trình
x 2
x 1) 2
4
x
y
2 3
4
x
7
(2)
- Chỉ ra f(t) nghịch biến. Có ( f x 3 1 ) ; 2 2 (4
2
(4
x
1)2
x
y
2
-
(1)
Lời giải. 0
2
3
x (2 )
5
2
y
5
y
2
x (2 )
2
x
5
2
y
5
2
y
(2 y
6) 5 2
3
2
với
ĐB trên .
1 (2 ) x
f
t ( )
f
'( ) 3 t t
t ( )
1 0,
x (2 )
f
t 2
5
4
x
f
x (2 )
f
( 5
y 2 )
2
x
5
2
y
y
,
x
Vậy
0
2
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
29
1 3 . t t ( 5 2 ) y
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
2
2
5
4
x
2
4
x
2 3
4
x
0
7
g x ( )
0
- Thế vào pt (2) ta được
2
2
2
5
4
x
3
2
g x ( )
4
x
2 3
4
x
7,
x
0;
- Với
. CM hàm g(x) nghịch biến.
2
4
x
- Ta có nghiệm duy nhất
y 2
3
2
3
1 2 Bài 10.(Thi thử ĐT 2011) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm
2 0
3
3
x
y
y
x
2
2
2
x
1
x
y m
0
y 3 2 Lời giải.
2 y 1) y 3(
- Điều kiện. 1 x 3 (1) ( y x 3 x 3 nghịch biến trên đoạn [ 1;1] t ( ) t f - Hàm số nên y x y 1;1 1 ,
2
2
2 1
x
Thế vào pt (2) ta được x Hệ có nghiệm Pt (3) có nghiệm
(3) m 1;1 x
1
2
g x ( )
x
2 1
2 x x ,
g x
'( ) 2
x
Xét
1;1 ,
2
1
x
1
1, 0 3 1) 3 t f x ( ) f y ( 1) x x y 1 1
'( ) 0 g 2,
1 m . g x 0 x Pt (3) có nghiệm x 2 (0)
6
5
x
xy
y
(1)
g ( 1) 1 m 2 4 1 10 y
Bài 11 (Thử ĐT 2012) Giải hệ :
.
2
8
5
x
y
2
0
4 6 y thay vào hệ thây không thỏa mãn.
TH1 : Xét
5
5
(
)
y
y
(3)
0
TH2 : Xét
y , chia 2 vế của (1) cho
5y ta được
x y
x y
5
4
t
t ( )
f
'( ) 5 t t
1 0
- Xét hàm số
nên hàm số đồng biến.
2
f y ( )
(3)
(
)
f
y
x
y
- Từ
f x y
x
5
x
8
6
1
x
x y )
(1;1)
t x y - Thay vào (2) ta có PT 4
. Vậy hệ có nghiệm ( ;
x
y
(
y
2
2
x xy )(
2)
1;1
Bài 12. Giải hệ phương trình
2
2
2
y
2
Phân tích. Nếu thay
2
x
x 2 vào phương trình thứ nhất thì ta sẽ được hđt y
2
2
x
2 y
2
2
3
3
x
y
x
3
y
3
Thay 2 2
x y (
Lời giải. vào phương trình thứ nhất ta được 2
y x xy )(
2
x
y
y
)
2
x
x
2
y
(1)
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
30
2
3
t
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình f
0,
f
t
f
suy ra
đồng biến trên
( ) 2 t f x ( )
t có t t '( ) 2 ln 2 3 t thế vào pt thứ hai ta được y x
t ( )
Xét hàm số t , . (1) f y ( ) y . Vậy tập nghiệm của hệ là S = 1
(1;1); ( 1; 1)
2
y
x
x 1 3
Bài 13. Giải hệ phương trình
2
x
y y 1 3 x
Lời giải.
Trừ vế hai pt ta được
2
2
y
x
2
x
2
y
x
x
1
y
y
1
3
3
x
x
1 3
y
y
1 3
t
t
2
f
t ( ) 1
3 ln 3 0,
với
f
t ( )
t
t
1 3t .
2
t x
1 y
f x ( ) f y ( )
đồng biến trên . Bởi vậy
2
x
2
x
x
x
1 3
1 3
x
g
(0)
g x ( )
1
t ( ) f f y ( ) thế vào pt thứ nhất ta được
x
x
2
x
2
x
g x
'( ) 3 ln 3
x
1
x
3
1
Với
.
g x
( ) 3
x
1
x
2
x
1
1
x
2
( ) f x x
2 1
x
x
3
ln 3
1
0,
x
do
2 1 1 x
2
1
x
x 0 và x
Suy ra (0) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0
x
2007
y 2
y
1
g x ( ) g ( )g x đồng biến trên . Bởi vậy 0 x
x 0, y
Bài 14. Chứng minh hệ
có đúng 2 nghiệm
x
y
2007
2
x
1
e e
0
Lời giải.
2
x
1 0
ĐK:
. Do
nên
2
x y
) ; 1) ) ; 1)
(1; (1;
( (
0 0
1 1
y
1 0
x y
x
y
y
e
e
x e
e
Trừ vế hai pt ta được
x y x 2
y 2
y 2
x 2
1
x
y
1
y
1
x
1 t
t
Hay
với
.
f
t ( )
e
,
t
(1;
)
2
t
1
t
f
t '( )
e
0,
t
(1;
)
f
t ( )
đồng biến trên (1;
f x ( ) f y ( )
2
2
t
1
t
1 1 f y ( )
f x ( )
) .
Bởi vậy
y x thế vào pt thứ nhất ta được
x
x
x
e
2007
e
2007 0
g x
( ) 0
2
2
x
x
1
1 x
x
g x ( )
e
2007,
x
(1;
)
Với
. Ta có
2
x
1
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
31
x
2
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 3 (
x x
1)
1
x
x
g x '( )
e
;
g x ''( )
e
x
(1;
0,
)
2
2
2
3
2
x
x
1
x
1
(1;
)
1) x ( g x liên tục trên (1; '( ) '( ) 0
) . ) và có
x và
1) g x đồng biến trên (1; g x , lim '( )
( '( )
Suy ra g x lim '( )
nên
0
1
x
x g x '( )
)
g x
'( ) 0
g x '(
x g x
x
0
0
0
g x có nghiệm duy nhất
x . ( ) 0
x x .
( )g x ta suy ra pt
'( ) 0 1 g x có đúng 2 nghiệm
x
ln(1
x
y
)
)
(1)
(1; )
Bài 15 Giải hệ phương trình
y 2
12
20
xy
x
(2)
Từ BBT của Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương. ln(1 2
y 0 Lời giải.
ĐK: (1)
với
ln(1 y x ) y ) y f x ( ) f y ( ) f t ( ) ln(1 ( 1; t t , ) t )
ĐB trên ( 1;0)
và NB trên (0;
f t '( ) 1 0 ( 1; 0 ) t f t ( ) )
f x ( ) f y ( ) x y
2
2
(0; 0
0
x
12
xy
) x y thì , ) y (không thỏa mãn) xy hoặc ngược lại thì
20 x
0 y y 0
2
y
1
x
2
x
2
3
1
x 0 1 x 1, x ln(1 t 1 t 1 1 t hoặc TH 1. ( 1;0) x y , Thế vào pt (2) ta được x TH 2. (0; TH 3. 0 x y ( 1;0), xy thì hệ có nghiệm y . Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Bài 16. Giải hệ phương trình
;x y .
2
x
1
y
y
2
y
2
3
1
x
Hướng dẫn:
2
u
Đặt
ta được hệ
u
x
-1;
v
y
-1
2
v
v
v 1 3 1 u 1 3 2
u
2
2
Trừ vế với vế 2 PT ta được :
u
u
u 1 3
v
v
v (*) 1 3
2
t
1
t
2
Xét hàm số :
f
t
t
t 1 3 ;
f
'
t 3 ln 3
t
t
2
t
1
2
2
2
Vì
t
1
t
0
1
t
t
t
f
do đó hàm số f(t) đồng biến trên R
0,
t
'
t
Nên PT (*)
(3)
v thay vào PT (1) ta được
u
u
u
2
Do:
u
u
2 1 0
nên PT (4)
ln
u
u
1
ln 3 0
(lấy ln hai vế)
u
2 1 3u
Xét hàm số
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
32
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
1
2
ln
u
u
1
u
ln 3; g'
ln 3 1 ln 3 0,
u R
g u
u
2
u
1
hay hàm g(u) nghịch biến trên R và do PT (3) có nghiệm
u nên PT (3) có nghiệm duy nhất:
0
u 0
.
Từ đó ta được nghiệm của hệ đã cho là :
x y ;
1;1
*Bình luận: Để giải được hệ phương trình trên ta phải nhận dạng hệ là hệ đối xứng loại hai để trừ hai phương trình cho nhau ta với có được hàm số đặc trưng
Bài 17. Giải hệ phương trình:
3
2
3
2
x
- 4
x
3 -1 2
x
x
2
y
3 2
y
1
.
3
x
2
14
x
3 2
y
1
2
Hướng dẫn:
ĐKXĐ
x
2,
y
. Ta thấy
x không thỏa mãn hệ
0
x , nên 0
3 2
3
3
(*)
1
1
3 2
y
3 2
y
PT 1
1 x
1 x
3
Xét hàm số
đồng biến trên R
f
'
, nên
0
t
f
f
t
ta có
t
t
t
t
3
PT (*)
x
2
15
x 1
3 2
y
, thay vào (2) ta được
1
1 x
3
x
2 3
15
x
2
0
7
x
7
0
x
y
2
3
111 98
7 x 2 3 x
x
3 2 15
x
4
15
.
x y ;
7;
Vậy hệ đã cho có nghiệm
111 98
2
x
3
x
x
y
Bài 18. Giải hệ phương trình :
2
y
3
y
y
x
ln 2 ln 2
1 1
1 2
Hướng dẫn:
Điều kiện :
x
;
y
1 2
1 2
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
33
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
ta được:
Lấy 1
2
2
2
x
4
x
x
y
4
y
y
ln 2
1
ln 2
1
*
2
Xét hàm số
;
f
t
t 4
t
t ln 2
trên 1
1 2
Ta có:
nên
là hàm số đồng biến trên
f
'
t 2
4
t
0,
;
f
t
t
1 2
2
t 2
1
;
. x
y
do đó *
f x
f y
1 2
y
Vậy hệ phương trình đã cho
2
2
x
x
0
ln 2
1
x x
2
Xét hàm số
.
;
x
2
x
x
f x
ln 2
trên 1
1 2
Ta có:
f
'
2
x
2
x
0,
;
x
2 x
2
1
1 2
Suy ra
;
f x là hàm số đồng biến trên
1 2
Mà
f
nên
0
. 0
0
x
y
0
0 f x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
0;0 .
3
64
x
3
y
Bài 19. Giải hệ phương trình
,x y .
2
y
5
y
7
12
x
x y
8 1
Hướng dẫn:
Ta thấy
x không thỏa mãn hệ
0
x , nên hệ đã cho tương đương với
0
3
y
8
64 3 x
2
y
y
5
y
7
1
1
12 x
3
y
t
Đặt
t
hệ trên trở thành
2
4 x
y
y
5
y
7
t 3
1
8 1
3
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
34
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
3
y
t
1
2
y
y
5
y
7
t 3
1
2
8 1
3
2
3
8
3
5
7
y
y
y
y
t
t 3
1
Cộng theo vế của hai pt trên ta được 1
3
3
y
2
3
y
2
t
t 3
*
2
Xét hàm số
ta có
u
3 3 u
u 3
, suy ra
3 0
u
f u đồng biến trên
f u
f u '
.
, thay vào pt (1) ta được 3 t
2y
t
t 3
Nên pt *
t 2 2 0 1 t
+ Với
t
2
x
2;
y
0
+ Với
t
1
x
4;
y
3
Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm:
2;0 ;
. 4; 3
3
x
1 8
1
2
y
y x
Bài 20. Giải hệ phương trình
.
2
1
y x
1
Hướng dẫn:
ĐKXĐ:
x . Ta thấy
1
y không thỏa mãn hệ
0
y nên hệ đã cho tương đương với
0
3
3
2
x
1 8
x
2
x
2
x
1
x
1
8 0 1
1 y
2
2
x
1
x
1
1 y
1 y
3
2
+ Xét hàm số
x
2
x
1
x
8
f x
1
1,
trên
2
2
Ta có
f
'
3
x
2
2
x
3
x
10
x
10
x
1
1 x
2
1
1 x
2
1
2
f
'
x
0,
1
3
x
4
x
4
3
1
x
1 x
và
1, .
1, , suy ra
f x liên tục trên
2 1 f x đồng biến trên
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
35
Do
f
là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 0
0
x
0
Với
x
. y 1
0
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
x y ;
0;1
4
4
6
4
y
y
y
x x
1
Bài 21. Giải hệ phương trình
2
2
4
x
1
2
y
y
1
y
2
Hướng dẫn:
Với
y
0
0
x thỏa mãn hệ, suy ra hệ có nghiệm
0;0
5
5
5
Với
(3). Xét hàm số
y
y
t
t
y PT (1)
0
g t
x y
x y
Ta có g’(t) = 5t4 + 1 > 0 tR, nên hàm số y = g(t) đồng biến trên R.
2
Mà phương trình (3)
g
g y ( )
y
x
y
x y
x y
2
Thay
(*)
x
1
2
x
1
x
x
2
2y
x vào PT (2) ta được
(HSG Nghệ An 2011)
Với điều kiện 1
. x
2
Ta thấy
x và 0
1x là hai nghiệm của phương trình (*).
2
Xét
f x ( )
x
x
x
1
2
trên khoảng (-1;2), ta có
x
;
f x '( )
2
x
1
1 x
2
1
1 2 2
x
f x
'( ) 0
x
1)
(
x
x
)
2
x
x
1 0
2
x
1
2
x
x
x
1
2
x
0
x
.
1 2
2(2
1)(2
1 .
x
1
(
2
x
) 0
. x
1 2
Bảng biến thiên
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
36
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
1
2
-1
x
2
0
-
+
f'(x)
f(x)
Suy ra PT(*) có đúng hai nghiệm là Vậy hệ đã cho có ba nghiệm
0 x và 1x 0;0 , 1;1 , 1; 1 .
Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
5
4
6
3
x
xy
10 y
y
x
1
y
8
x
a)
b)
4
2
4
x
5
y
8
6
x
y
1
2
3
3
2
4
x
x
y
3
5 2
y
0
x
y
3
y
5
y
4
x
3
1
c)
d)
(A2010)
2
2
2
x
5 2
y
x
2
x
y
2 3 4
x
7
8
4
5
5
x
y
x
5
y
y
x
5
2
2
y
x
xy
2
e)
f)
2
4
2
2
ln
x
y
x
y
0
x
y
2
1
2013
2013
x
2012
y
y
2012
x
x
1
y
1
g)
h)
1
x
1
1
y
1
3
2
y
15
x
78
y
5 2 3
y
9 141
2
x
y
30
Bài 2. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
3
3
2
x
12
x
y
6
y
16 0
(HSG Nghệ An 2012).
2
2
2
4
x
2 4
x
5 4
y
y
m
0
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
x
3
2
x
1 2
x
x
y
2
2
x
3
y
a)
b)
y
3
2
2
2
y
3
x
y
1 2
y
y
x
2
2
2
3
x
2
x
3
y
x
91
y
2
y
c)
d)
2
2
2
3
y
2
y
3
x
y
91
x
2
x
BÀI 4: giải hệ sau :
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
37
6
x
y
4
10
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
y
y
e
y
x
3
D s /
: (0;0);
3 4; 2
b)
a)
xy 2
3
xy
x
e 2 12
y
x
x
8
y
2
y
2
4
3
5
3
x
42
x
x
56
y
2
y
D s /
: (18; 20)
c)
12 3
23
x
y
29
x
26
5 x 6 5 x 10 2
2
2
3
3
x
9
x
22
3
y
9
y
d) A2012:
Đs (3/2;-1/2); (1/2; -3/2)
2
2
y
x
y
x
3 x
y 1 2
3
3
3
2
2
x
(4
y
1) 2(
x
1)
x
6
x
D s /
: (1;
)
D s /
: (1; 2)
a)*
b)
2
2
2
1 2
2 x y
(2 2 4
y
1)
x
x
1
y
9
2
2
53 5
x
10
x
5
y
48
9
y
0
1)
2
x
x
2
(
y
1)
y
2
y
2
c)
d)
2
2
2
x
6
y
x
2
x
y
11 2
x
66
3). 7 2
x
y
(
3
x
4
y
5
BÀI 5: Giải hệ sau : x y 7 x x ( x
xy
x
y
)
xy
x
y
y
2
1
7
D s /
: (1;1)
7 1 ;
;
e) THTT418 Giải hệ sau :
2
2
y
x
(1
x
)
4
2
xy
( 1
x
4
4
1
x
x
1
y
2
y
D s /
: (2;1); (1;0)
A2013 :
2
2
x y
2 (
x
1)
y
6
y
1 0
BÀI 6: Giải các hệ sau :
2
2
x
y
x
2
3
3
2
xy
y
1 0
D s /
: (1; 2);(0;1)
B2013: Giải :
2
2
y
x
4
x
4
2
x
y
x
4
y
3
3
2
4
Giải hệ :
6 y 3 y 2 x y 3 x 3 2 13
12
x 6
3 x y x y 2 2 x 6 BÀI 7 : Giải các hệ phương trình sau :
x
1
y
e
e
e y (
x
1)
3
x
1 4(2
x
1)
y
1 3
y
a)
b) Giải hệ pt:
2
2
3
3 x y
xy
6
x
6
y
xy
6
(
x
y
)(2
x
y
) 4
6
x
3
y
x
y
x y
x y
c) Giải hệ phương trình:
(Trường Nguyễn Quang Diệu)
log x log y 1
3
3
2
y 1
d) Giải hệ phương trình :
3
2
3 4 2 7x
5x
2(y 19)
y 4 3
1 .
3x
BÀI 8: Giải hệ phương trình sau :
3
2
x
3
x
3
x
1 5
y
0
x
2
x
y
x
3
3
a)
b)
2
y
3
y
3
y
1 5
z
0
y
2
y
z
y
3
3
2
z
3
z
3
z
1 5
x
0
z
2
z
x
z
6.log 6 6.log 6 6.log 6
3
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
38
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức.
1) Cơ sở phương pháp : Sử dụng BĐT để chứng minh VT VP
hoặc ngược lại, dấu bằng xảy
ra khi x
y 2) Một số BĐT quen thuộc. 2
2
2
2
y
x
x
y
x
y
(1)
2
xy 3
Bài 1 Giải hệ :
2
3
3
x
1
14
2
x
y
y
x
(2)
y - HD : Từ (1) VT VP, dầu bằng khi x
2 y thay vào PT (2) ta có :
2
3
3
x
2
2
2
14 x x 1 0
x
2
x
1 0
2
x
2
x
1 0
1
x
2
Ta có :
2
2
3
x
2
x
1 0
x
14
x 2
1 x 2 x
2
2
18
(
3y 4 )
)(
( ,
x y )
Bài 2 (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ :
2x 2
3x 4 2y 2
x
y
xy 7x 6y 14 0
2 x
2
2
y
x
x
y
x
y
y
1
0
(
7)
6
14
0
-
(2)
.
0,25
x
7 3
2
2
x
y
y
x
y
x
x
2
(
6)
7
14
0
-
(2)
. 0
0,25
y
10 3
2
t
f
f
t
t R
f t ( ) 2
t 3
4,
t '( )
t 4 - 3,
t '( )
0
1
- Xét hàm số
3 4
0,25
;
- Vì vậy trên
hàm số f(t) đồng biến
3 4
x
f
2
f x ( )
(2) 6
- TH 1.
Kết hợp với
1y
2
2
f
x
y
y
f y (
)
(1) 3
f x f y ( ). (
)
(2
x 3
4)(2
3
4) 18
.
2
0,25
2
y
3
y
1 0
1,
y
y
2
- TH 2.
x hệ trở thành
vô nghiệm
1 2
2
y
4
y
4 0
2
y
- Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
1
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
.
xy 3
2
3
2
2
x
y
3
2
Hướng dẫn:
Ta có:
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
39
2
2
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
y
x
y
y
x
x
y
x
x
y
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 1 2
1 4
1 2
3 4
2
2
2
2
2
2
1 2 y
x
y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
2
xy 3
1 4
Dấu “=” xảy ra khi:
x
y , hay PT (1) xảy ra khi
0
3
2
Thay y
x vào PT (2) ta được:
x
2
x
3 0
x
3
x
3
0
x
x
1 4 0 y 2 1 1x (t/m)
Vậy hệ đã cho có nghiệm
1;1 .
2
x
4
y
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
.
2
x
8
x
6
y
13
1 1 1 2
Hướng dẫn: ĐK:
x
4,
y
1
x
y
1 1 2
y
Từ PT (1), ta có: 2 2 x
x 4 2 5 4 1
y
1 1
2
Xét
x
8
x
6
y
5
64 13
x
. Khi đó: 2
5
y
VT 2
2
x
8
x
6
y
5
64 13
y
VT 2
x 5;
Xét x
.
5;2
5 . Khi đó: 2 , Thử lại thỏa mãn hệ y x y ;
2 Do đó Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
3
x
3
y
6
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
.
3
x
16
3
y
1 16 10 2
ta có
Xét
Hướng dẫn: u
u v
3
x
y 3 ;8
và v v
3 ;4 x Mà: u
16 10
y
3
16
3 . k v
y
x
Suy ra hệ xảy ra khi Thay x
.
3;3
0 x 3 x y ;
3 ;4 y u v x u k y vào PT (1) ta được Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
40
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
2
xy
2
x
x
y
3
2
x
9
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2
x 2 xy
2
y
x
2
3
y
2
y
9
y
Hướng dẫn:
là một nghiệm của hệ
0;0
x y ;
Ta có : Cộng hai vế phương trình của hệ vế với vế ta có :
2
xy
2
xy
2
2
(*).
x
y
3
2
2
3
x
2
x
9
y
2
y
3
2
3
Ta có :
x
2
x
9
.
8
2
x
9 2 1
xy
VT
xy
xy
2
*
2
2
Mà
.
VP
x
y
2
xy
*
2
xy
1
*
Suy ra PT(*) xảy ra
1
2
xy
x y
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm
VT VP * 0;0 , 1;1 . 1
1
2
2
2
1 2
xy
1 2
x
1 2
y
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình
x
x
y
y
1 2
1 2
2 9
0
x
Hướng dẫn: Điều kiện
y
0
1 2 1 2
Ta chứng minh bất đẳng thức: 1
1
(*)
2
2
2 1 2
xy
x
1 2
y
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1 1 2
x
1 1 2
y
1 2
1 2
y
x
2
x y ). ,
0
1 2 Thật vậy, theo BĐT Bunhiacopxki, ta có: 2
1 2
1 2
x
y
( do x
y
Dấu “=” xảy ra Ta lại có:
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
41
2
x
0
2
2
1 1 2
x
1 1 2
2 1 2
xy
y
x
xy
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 2 y 2 1 2 y
xy 2 1 2 1 2
2
2
2
y
1 1 2
x
2 1 2
xy
1 2 1 1 2 y
73
9
y
x
x
y
Do đó hệ đã cho trở thành
x
x
x
x
1 2
1 2
73
9
2 9
x
y
36 36
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x Từ (1) và (2) ta có BĐT (*). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y
9
73
9
73
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: 73 9 ;
x y ;
73 9 ;
36
36
36
36
,
3
x
3
x
4
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình sau :
3
2
x
y
6
y
2
y
Hướng dẫn:
2
x
x
y
2
2
Hệ đã cho tương đương
2
2
y
y
1 1
1 2
Nếu Nếu
x 2 x , suy ra hệ vô nghiệm vì PT (2) không xảy ra x , suy ra hệ vô nghiệm vì PT (2) không xảy ra
2;2
2 y từ (1) 2 y từ (1) 2 x y ;
2 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
BÀI TẬP
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
2
1 1
x
1 1
y
1
xy
2
2
1 2 1
y
1
1
x
x
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
2
4
7
x
x
x
1
y
2
4
7
y
y
y
1
x
1 1
1 1
1 1
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
42
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
Bài 3. Giải hệ phương trình :
2
x
4
y
1 2
2
x
y
19
x 12 Bài 4. Giải hệ phương trình:
2
x
2
y
4
2
x
5
2
y
5
6
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
2
xy 3
x
2
xy
5
x
3
4
xy
5
x
3
Bài 6. Giải hệ phương trình:
y
xy
3
( KA 2006)
x
1
y
1 4
x
Bài 7. Giải hệ phương trình:
x
y
4
2
,x y .
y
y
x
1 1
x
Bài 8. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực duy nhất
2
x
2012
y
1
m
.
2
x
y
2
y
2012
2012
2 x m .
Một số đề thi ĐH qua các năm (Thử làm xem sao???)
1.Các đề thi chính thức Giải các hệ sau:
xx (
3)1
y
0
xy
71
x
y
2.(KB-2009)
1.(KB-2009)
2
2
2
x
y
)
01
2 yx
1
x
13
y
5 2 x
(
2
2
x
y
3 yx
xy
xy
4
x
2
3 yx
2 yx
2
x
9
5 4
3.(KA-2008)
4.(KB-2008)
2
4
2
x
2
xy
6
x
6
x
y
xy
x )21(
5 4
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
43
Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình
2
x
y
xy
3
xy
y
x
x
2 2 y
5.(KD-2008)
6.(KA-2006)
x
2
y
y
1
x
2
x
2
y
x
1
y
1
4
2
x
2
x
x
y
1 x
1 y
7.(KA-2003)
8.(KB-2003)
2 y 2
y
2
2
y
3x
1
y
2
x
3 3
x
y
x
y
9.(KB-2002)
x
y
x
y
2
3
2. Các đề thi dự trữ Giải các hệ sau:
4
2
3
x
3 yx
2 yx
1
x
1
y
8
x
2.(KA-2007)
1.(KB-2008)
2
4
3 yx
x
xy
1
x
)1
y
(
2
xy
2
x
y
x
3
3
3
2
x
8
x
y
2
y
x
9
3.(KB-2007)
4(KA-2006)
2
2
2
2 x xy
2
x
3
(3
y
)1
y
x
y
2
3
y
2
y
9
2
2
2
x
xy )(
y
)
13
xy
y
(3
x
y
)
x
5.(KB-2006)
6.(KD-2006)
2
2
3
2
2
x
xy )(
y
)
25
xy
y
(7
x
y
)
x
( (
2
2
2
x
1
y
x
y
1
7.(KA-2005)
8.(KB-2005)
x y xx y (
y yy (
x )1
4
)1
2
x
2
y
4
3
Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn
44
