Chương 9: Ổn định thanh chịu nén đúng tâm

Chương 9    ỔN ĐỊNH  THANH CHỊU NÉN ĐÚNG  TÂM

9.1 Khái niệm          9.2 Điều kiện ổn định và tính toán ổn định 9.3 Hình dáng hợp lý khi chịu nén

9.1  Khái niệm

 Trạng thái cân bằng

ổn định

 Trạng thái tới hạn   Trạng thái cân bằng

không ổn định  (trạng thái mất ổn  định)

9.1  Khái niệm

 Khi mất ổn định, công trình hay chi tiết máy

làm việc không bình thường.

 Khi vượt quá tr.thái tới hạn, công trình hay chi

tiết có thể bị phá hoại một cách bất ngờ vì biến  dạng tăng rất nhanh. Khi thiết kế cần đảm bảo:  độ bền, độ cứng và độ ổn định, nên

P £

P th k

ôđ

Giải b.toán ổn định là phải xác định Pth

9.2   Điều kiện ổn định

­ Tính toán ổn định

 Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén  đúng tâm (bài toán Ơle)­ Tính ổn định  trong miền đàn hồi.

 Tính ổn định ngoài miền đàn hồi

Xác định lực tới hạn của thanh  chịu nén đúng tâm (bài toán Ơle)

)

=

( zM

)zyP (

th

)

)

)

)

+

=

( zy "

( zy

0

)

-=

-=

( zy "

P th EJ

min

min

min

2

( zM EJ )

( zyP th EJ )

+

a

=

(cid:222)

0

( zy

( zy "

)

=

(cid:222)

sin

cos

( zy

+ Cz

z

C 1

2

2

a

=

Pth EJ

min

a a

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đường đàn hồi

)

=

sin

cos

( zy

+ Cz

z

C 1

2

(

=

=

=

.

zKhi

0

thì

+ 01C0Cy

)a

. 1

2

a a

sin

= thìLzKhi

+ CL

a a

)b0L ( =

2

=

sin

, 0

z

C

cos )c (

a

= Cy 1 = Cy 1

2

( (

) )

a fi

sin

b

= 0L

C 1

a fi

Nghiệm tổng quát của phương trình  vi phân đường đàn hồi

a

= Cy

z

sin1

Thanh đang bị cong

0

C 1

(

a

a

a

=

=

„

sin

L

fi= 0

p = nL

,

n

)...3,2,1

p n L

fi (cid:222)

)

(

=

sin

( zy

z

)d

C 1

n L

p

2

(cid:246) (cid:230)

a

=

2

2

n

min

Pth EJ

min

(

=

)e

P th

EJ 2 L

(cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) p ł Ł

2

2

n

min

=

P th

n=1/2 bước sóng hình sin  của đường đàn hồi

EJ 2 L

2

p

min

p

= P th

2

2

EJ 2 L

min

p 2 = P th

2

EJ 2 L

2 3

min

p

= P th

EJ 2 L

2

2

EJ

2

min

min

=

=

m

P th

p p

(

) 2

EJ 2 L

L

1

=

m

mvà

m

Là các hệ số  phụ thuộc  vào loại liên  kết ở hai đầu  thanh

m

Ứng suất trong thanh

2

2

Ei

2 min

=

=

=

p p

th

s

(

) 2

(

P th F

EJ min ) 2 FL

J

=

=l

i2 min

min F

L Lm mini

2

m m

=

p

th

E 2

s

l

Ứng suất trong thanh

2

2

p

p

s

=

=

=

th

P th

E 2

EF 2

l

l

P th F

 s  s  s

th càng lớn thì tính ổn định của thanh càng cao th càng bé thì thanh càng dễ mất ổn định th phụ thuộc vào E, l   (l  độ mảnh của thanh là hệ số phụ thuộc vào  đặc trưng hình học mặt cắt ngang và liên kết  của thanh)

(cid:222)

Giới hạn của công thức Ơle

2

2

E

=

l=

p p

th

tl

0

E 2

‡ l (cid:222) s £ s

tl

s l

0

Đi u ki n đ áp d ng công th c

ể

ụ

ứ Ơ

ề l >l l

le ệ 0 : thanh có đ m nh l n ộ ả 0 : thanh có đ m nh v a và bé ộ ả

l ‡ l

ớ ừ 0 hoàn toàn phụ thuộc vào vật liệu

l

Ví dụ 9.1

Kiểm tra độ ổn

định của cột làm  bằng thép CT3 có:

tl=210MN/m2,  E=2.1011N/m2,  kôđ=3,     P=150kN

s

Ví dụ 9.1

 Đặc trưng thép I24a: F=37,5cm2, Jy=Jmin=260cm4, iy=imin=2,63cm

L

750

  m =0,5  (thanh ngàm 2 đầu)  Độ mảnh thanh =

=l

=

142

, x50 , 632

i

min

 Độ mảnh giới hạn của thép CT3

2

2

11

p

m

E

6

l

=

=

10.

100

0

p s

xx 102 210

th

- »

Ví dụ 9.1

 l > l

0 nên thanh có độ mảnh lớn, dùng công

2

2

p

p

=

=

=

367

kN

Pth

thức Ơle để tính Pth EF 2

4 5,37.10.2. 2

l

142

 Tải trọng cho phép theo điều kiện ổn định

[

]

=

=

=

P

122

kN

P th k

367 3

ôđ

 P > [P] nên thanh không đảm bảo độ ổn định

Tính ổn định

0): khi bị

ngoài miền đàn hồi Thanh có độ mảnh vừa và bé (l

1 là trị số giới hạn của thanh có độ mảnh vừa

 Thanh có độ mảnh vừa l

1≤l

0

th=a ­ bl  (công thức Iaxinski)

a, b: hằng số phụ thuộc vào vật liệu

1

 Thanh có độ mảnh bé l ≤l                     s                     s

th= s th= s

0= s 0= s

ch vật liệu dẻo b   vật liệu dòn

s

Ví dụ 9.2

Tính lực tới hạn của cột làm bằng thép CT3, mặt  cắt ngang chữ I22a. Cột có liên kết khớp 2 đầu,  E=2,1x104kN/cm2. Xét hai trường hợp:

 Cột cao 3m  Cột cao 2,25m Thép CT3 có l

0=100; a=33,6kN/cm2; b=0,147kN/cm2

Ví dụ 9.2

Đặc trưng thép I22a: F=32,4cm2, iy=imin=2,5cm Thanh khớp 2 đầu nên m =1

L

x1

=l

=

=

l>

120

0

i

300 , 52

min

2

2

4

m

1. Cột cao 3m  Độ mảnh thanh  Ứng suất tới hạn =

=

=

p p

, 314

th

E 2

s

=

s=

=

, 10x12x 2 120 ,

, 432x314

463

kN 2 cm kN

. F

P th

th

 Lực tới hạn

l

Ví dụ 9.2

L

x1

=l

=

=

l<

90

0

i

225 , 52

min

2. Cột cao 2,25m  Độ mảnh thanh  Ứng suất tới hạn

2

2

=

=

/

,

/

a

, kN633

cm

b

, 147 0

kN

cm

2

=

m

/

-= a

=l b

, , 0633 147

90x

, kN420

cm

th

s=

=

=

,

F

, 432x420

660

kN

 Lực tới hạn

P th

th

- s

Tính thanh chịu nén

bằng phương pháp thực hành

[

]

(

=

s

)a

n

 Điều kiện bền của thanh chịu nén

P F

0 n

s £

th

 Đ.kiện ổn định của thanh chịu nén

[

]

(

=

s

)'a

ôđ

P F

k

ôđ

s £

ôđ

th

=j

=

,

1

[ [

] ]

s s

n k

n

ôđ

0

(

[

]

[

]

[

]

j=

s s

hay

)b

ôđ

n

n

P F

s j £ s s (cid:222)

Nhận xét

 j

gọi là hệ số giảm ứng suất cho phép, phụ  thuộc vào: vật liệu, độ mảnh, hệ số an toàn về  bền và ổn định

 Từ (a), (b) ta thấy do j <1 nên nếu điều kiện ổn  định thỏa thì điều kiện bền đương nhiên thỏa   chỉ cần tính thanh chịu nén theo điều kiện

(

ổn định theo (b) ] ]

]

[ s

[ s

=

j

[ s

j

(cid:222)

hay

)b

ôđ

n

n

P F

 Từ (b) có 3 bài toán cơ bản

£

Ba bài toán cơ bản

]

 Định tải trọng cho phép [P]=j F[s ]  Kiểm tra điều kiện ổn định P≤j F[s  Định kích thước mặt cắt ngang

Xác định

kích thước mặt cắt ngang

 Giả thuyết j

[

s

]

=

j

[

s

]

F theo

0

ôđ

n

P F

m

L

(cid:222) £

l  theo công thức

l

=

=

 Từ F

,

i min

J F

i min

0’

j

+

j

0

'0

j

=

(cid:222)

 Từ l  tra bảng được trị số j + Nếu j

1

0 giả thuyết ban đầu thì

0’

2

„

+ Nếu j

0’

0 tiến hành kiểm tra theo

j tính lại từ đầu với :   j điều kiện ổn định.

»

Ví dụ 9.3

Kiểm tra điều kiện  ổn định của cột  AB. Cột bằng thép  CT3 có  [s ]=16kN/cm2, mc  ngang chữ I N030

Ví dụ 9.3

L

=l

=

=

, 148 5

x1 400 , 692

i

min

Thép I30 : F=46,5cm2, Jy=Jmin=337cm4, iy=imin=2,29cm Thanh khớp 2 đầu nên m =1  Độ mảnh cột  Tra bảng và nội suy đường thẳng được j =0,326  Lực nén cho phép cột ] [

]

j=

=

=

m

.

, 326 0

., 16546

242

kN

[ F

N

n

+

+

.

.

 Lực nén trong cột do tải trọng gây ra . . 480 510

40

20

=

=

N

215

kN

10 8

]NN < [

Đảm bảo điều kiện ổn định

s

Ví dụ 9.4

Cột có chiều dài 1,5m;  một đầu ngàm, một đầu  tự do (m =2). Lực nén  300kN. Mặt cắt ngang  có dạng hình vẽ. Cột  làm bằng thép CT3 có  [s ]n=16kN/cm2. Chọn  kích thước a để cột  không mất ổn định

Ví dụ 9.4

2

=

5,37

cm

tính

Bước 1: Giả thuyết chọn j = F  Công thức

]

P [ s

j

0=0,5 300 = x 165,0

n

0

2 ,5 Ja

4 , ia

min

min

= = = = F a ,0 696 a

 Mặt cắt ngang của cột cho

=

=

=

=

=

i

, 696 0

, 742x

cm190

a

74,2

cm ,

min

F 5

5,37 5

29 12 29 60

Ví dụ 9.4

L

x2

=

=

=

m

158

0

i

250 , 91

min

l

i

Tra b ng ả

ọ ạ

0’=0,296 khác j

0=0,5, c n ch n l ầ

Gi

j

B c 2: ướ

ả

thuy t ế

j

+

j

296

0

'0

=

j

=

=

398,0

1

+ ,05,0 2

2

2 =

can

]

= = F 47 cm ,

n

1

=

=

,=

a

cm073

F 5

47 5

P [ s j 300 x 16 398,0

=

=

l

=

=

696,0

x

07,3

14,2

cm

140

i min

1

(cid:222)

i l n 3)

Tra b ng ả

’1=0,36 khác j

x 2 150 14,2 1=0,398 (ch n l ọ ạ ầ

gi

thuy t

j

B c 3: ướ

ả

ế

+

398,0

360,0

=

38,0

=j 2

2

=

2 =

=

F

4,49

cm

cân

]

P [ s

j

300 x 16

38,0

n

3

=

=

a

, cm143

F 5

, = 449 5

Ví dụ 9.4

2

m L = = l = = = (cid:222) 696,0 x 14,3 19,2 cm 137 i min

 Tra bảng j

‘2=0,372 » 0,38=j 2

 Ta chọn a=3,14cm và kiểm tra lại điều kiện ổn

định. Ta có lực nén cho phép của cột

2

[

]

[

]

j=

=

x 2 250 19,2 i min

,

N

= , 372 0F

143x5x16x

293

kN

n

 Lực tác dụng N=300kN > [N]=293kN nhưng

không vượt quá 2% nên chấp nhận

s

Ví dụ 9.5

Một cột gỗ mặt cắt ngang chữ nhật  8x28cm2 chịu lực nén P và liên kết 2  đầu ngàm. Định lực P để cột không mất  ổn định, [s

]=10MN/m2

Ví dụ 9.5

=

iX

 bxh=8x28 có

28 12

= h 12

=

 bxh=28x8 có

iY

8 12

= b 12 m

L

5,0

x

.

12

 Độ mảnh thanh trong

=

l

=

=

65

Y

300 8

y i

mp có độ cứng bé nhất:

y

 Độ mảnh thanh trong

m

L

2

x

12

l

=

=

=

3,74

X

mp có độ cứng lớn nhất

300 . 28

x i

x

Ví dụ 9.5

l

y nên thanh sẽ cong trong mp có độ  x để tính toán ổn định

l

x>l cứng bé, dùng  l x=74,3 nên j =0,548

Lực nén cột  [s [P]= j

]F=0,548x10x8x28x10­4=0,123MN

Hình dáng hợp lý

của mặt cắt khi chịu nén

 Thanh chịu nén thỏa bền: cần mặt cắt ngang có F tối  thiểu, hình dáng mặt cắt nói chung không quan trọng.  Thanh chịu nén thỏa ổn định: cần chú ý đến hình dáng

mặt cắt, thỏa điều kiện sau:

+  imin=imax hay Jmin=Jmax thanh sẽ chống lại sự mất ổn

định theo mọi phương. Mặt cắt hợp lý là tròn hoặc đa  giác đều.

+ Các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt  ngang càng lớn càng tốt, thường chọn mặt cắt rỗng.

Ví dụ 9.6

]=16kN/cm2.

Cột ghép 2 thép chữ U  số 5 dài 2m, liên kết  khớp hai đầu. Vật liệu có  [s Xác định khỏang cách a  sao cho mặt cắt hợp lý  và lực nén cho phép [P]

Ví dụ 9.6

 Đặc tính hình học của mặt cắt

Jx0x0=8,41cm4, Jy0y0=26,1cm4, F=6,9cm2;z0=1,36cm

 Mômen quán tính đối với các trục

2

=

+

+

ø Ø (cid:246) (cid:230)

, 4182

, 96

, 361

J

xx

(cid:247) (cid:231) œ Œ

a 2

4

=

=

. , 1262

, cm252

J

yy

=

ł Ł œ Œ ß º

,=

 Điều kiện mặt cắt hợp lý a

J

J

cm480

xx

yy

(cid:222)

Ví dụ 9.6

J

=

=

 Định tải cho phép = = i

i

i

, 941

min

y

x

L

=l

=

=

103

 Độ mảnh

i

yy F . 1 200 , 941

min

= 0,576

 Tra bảng chọn j  Lực nén cột là ] ] [

[

j=

=

m

P

= , 0F 576

, 96x2x16x

, kN18 127

s