CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
PH N I. Đ I S VÀ GI I TÍCHẦ Ạ Ố Ả
I. CÁC CÔNG TH C L NG GIÁCỨ ƯỢ
1. Hai cung đ i nhau: -x và xố
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
2. Hai cung bù nhau:
x
π
−
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
− =
− = −
− = −
− = −
3. Hai cung ph nhau: ụ
2x
π
−
và x
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
x x x x
x x x x
π π
π π
− = − =
÷ ÷
− = − =
÷ ÷
4. Hai cung h n kém nhau Piơ:
x
π
+
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
5. Các h ng đ ng th c l ng giácằ ẳ ứ ượ
2 2
2
2
1
. sin cos 1 . 1 tan cos
1
. 1 cot . tan .cot 1
sin
+ = + =
+ = =
a x x b x x
c x d x x
x
6. Công th c c ng l ng giácứ ộ ượ
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
− = +
+ = −
x y x y x y
x y x y x y
7. Công th c nhân đôiứ
2 2 2 2
sin 2 2sin cos : sin 2sin cos
2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x
= =
= − = − = −
8. Công th c nhân ba:ứ
3 3
sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = −
9. Công th c h b c:ứ ạ ậ
2 2
1 cos2 1 cos 2
sin cos
2 2
x x
x x
− +
= =
10. Công th c bi n đ i tích thành t ngứ ế ổ ổ
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
= − + +
= − − +
= − + +
«n tËp chuyªn ®Ò lîng gi¸c 1
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
11 . Công th c bi n đ i t ng thành tíchứ ế ổ ổ
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
+ −
+ =
+ −
− = −
x y x y
x y
x y x y
x y
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
+ −
+ =
+ −
− =
x y x y
x y
x y x y
x y
A. CÔNG TH C BI N Đ IỨ Ế Ổ
I/. GIÁ TR L NG GIÁCỊ ƯỢ
Bài 1: Cho
3 3
sin < < .Tính cos ,tan ,cot .
5 2
p
a p a a a a
æ ö
÷
ç
=- ÷
ç÷
ç
è ø
Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0
( )
o o
180 < a < 270
.Tính sina , tana, cota.
Bài 3: Cho
o o o o
tan15 2 3. Tính sin15 ,cos15 ,cot15 .= -
Bài 4: Tính
tan x cot x
Atan x cot x
+
=-
bi t ế
1
sinx = .
3
Tính
2sin x 3cos x
B3sin x 2cos x
+
=-
bi t tanx = -2ế
Tính
2 2
2
sin x 3sin xcos x 2cos x
C1 4sin x
+ -
=+
bi t cotx = -3ế
Bài 5: Ch ng minh: ứ
4 4 2 2 6 6 2 2
a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x
(s d ng nh 1 công th c)ử ụ ư ứ
2 2 2 2 2 2
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx
Bài 6: Ch ng minh các đ ng th c sau:ứ ẳ ứ
2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
2 2 2
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
2 2 2 1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx
1+cosx
g/
( )
( )
2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
2 2 2 2
1 tan x-tan y sin x-sin y
2
i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
2 2 2 2
1+cosx tan x.tan y sin x.sin y
Bài 7: * Ch ng minh các bi u th c sau đ c l p đ i v i x:ứ ể ứ ộ ậ ố ớ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 6 4 4 4 2 4 2
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
2
4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x
6 6
sin x+cos x-1
4 2 4 2
E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= ;
4 4
sin x+cos x-1
4 4
sin x+3cos x-1
G= 6 6 4
sin x+cos x+3cos x-1
2 2
H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )
2
p
é ù
ê ú
ê ú
ë û
Î
I
I/. GIÁ TR L NG GIÁC C A CUNG Đ C BI TỊ ƯỢ Ủ Ặ Ệ
* Bi t 1 HSLG khácế:
Bài 1: Cho sinx = - 0,96 v iớ
3x 2
2
pp
æ ö
÷
ç< < ÷
ç÷
ç
è ø
a/ Tính cosx ; b/ Tính
( ) ( )
sin x , cos x , tan x , cot 3 x
2 2
p p
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - + -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
«n tËp chuyªn ®Ò lîng gi¸c 2
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
Bài 2: Tính:
( )
( )
2cos sin tan
2 2
A 2cos ;
cot sin
2
p p
a a p a a
pa p a
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
æ ö
÷
ç÷
ç÷
÷
ç
è ø
- + -
= -
+ -
( )
( )
( )
( )
3 3
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3 cos 2 tan
cos cot 2
p p p p
a b b a b b b
p p b p a
p a b
æ ö æ ö
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
è ø è ø
æ ö
÷
ç÷
ç÷
ç÷
ç
è ø
+ + - +
= - + -
- -
- -
Bài 3: Đ n gi n bi u th c:ơ ả ể ứ
( ) ( )
( )
( ) ( )
9 5
A sin 13 cos cot 12 tan
2 2
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2tan
2 2 2
p p
p a a p a a
p p p
p a a a a
p p p
p a a p a a a
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
= + - - + - + -
= - + - - + -
= + + - - - + - + -
Bài 4: Đ n gi n bi u th c:ơ ả ể ứ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A sin a sin 2 a sin 3 a ... sin 100 a
o o o o o
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
p p p p
= + + + + + + + +
= - - - + + + - + -
Bài 5: Đ n gi n bi u th c:ơ ả ể ứ
( ) ( )
( )
( )
o o
o o o
19
tan x .cos 36 x .sin x 5 2sin 2550 cos 188
1
2
A B
9tan368 2cos638 cos98
sin x .cos x 99
2
pp p
pp
æ ö
÷
ç- - -
÷
ç-
÷
ç
è ø
= = +
æ ö +
÷
ç- -
÷
ç÷
ç
è ø
Bài 6: Ch ng minh:ứ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
a / sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0
85 3
2 2
b / sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1
2 2
p p
p p
- + - + =
+ + + + + + - =
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 7: Cho tam giác ABC.Ch ng minh:ứ
A B C
a / sin(A B) sin A; b/cosA cos(B C) 0; c /sin cos ;
2 2
3A B C
d / cosC cos(A B 2C) 0; e / sin A cos 0
2
+
+ = + + = =
+ +
+ + + = + =
III/. CÔNG TH C L NG GIÁCỨ ƯỢ
Bài 8: Tính giá tr các HSLG c a các cung sau: ị ủ
o o o o o
15 ,75 ,105 ,285 ,3045
Bài 9: Tính giá tr các HSLG c a các cung sau: ị ủ
7 13 19 103 299
, , , ,
12 12 12 12 12
p p p p p
Bài 10: Tính
cos x
3
p
æ ö
÷
ç-÷
ç÷
ç
è ø
bi t ế
12 3
sin x , ( < x < 2 )
13 2
pp
=-
Bài 11: Cho 2 góc nh n ọ
,
a b
có
1 1
tan ,tan
2 3
a b
= =
. a/ Tính
( )
tan
a b
+
b/ Tính
a b
+
«n tËp chuyªn ®Ò lîng gi¸c 3
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
Bài 12: Cho 2 góc nh n x và y tho : ọ ả
x y 4
tan x.tan y 3 2 2
p
ì
ï
ï+ =
ï
í
ï
ï= -
ï
î
a/ Tính
( )
tan x y ;tan x tan y+ +
b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.
Bài 13: Tính
tan x 4
p
æ ö
÷
ç-÷
ç÷
ç
è ø
bi t ế
40
sin x 41
=-
và
3
< x < 2
p
p
Bài 14: Tính
tan 4
p
a
æ ö
÷
ç+÷
ç÷
ç
è ø
theo
tan
a
. Áp d ngụ: Tính tg15o
Bài 15: Tính:
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
o o
tan 25 tan 20 1 tan15
A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C
1 tan 25 .tan 20 1 tan15
3 tan 225 cot81 .cot 69
D sin15 3 cos15 E sin15 cos15 F
3cot 261 tan 201
+ +
= + = =
- -
-
= - = + = +
Bài 16: Tính:
3
a /A cos x cos x cos x cos x
3 4 6 4
2 2
b / B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x
3 3 3 3
p p p p
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Bài 17: Ch ng minh bi u th c sau đ c l p đ i v i x:ứ ể ứ ộ ậ ố ớ
2 2 2 2 2 2
2 2
A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3 3 3
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + - = + + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Bài 18: Ch ng minh:ứ
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a
b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a
c /sin a b .cos a b sin a cosa sin b cosb
d / sin a sin a 2 sin a
4 4
p p
+ - = - = -
+ - = - = -
+ - = +
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 19: Lo i 5ạ: H th c l ng trong tam giác ệ ứ ượ
Cho tam giác ABC.Ch ng minhứ:
1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C 2
A B B
6/ tan tan tan
2 2
p
= -
= -
æ ö
÷
ç¹÷
ç÷
ç
è ø
+C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
+ =
+ + =
( h c thu c k t qu )ọ ộ ế ả
Công th c bi n đ iứ ế ổ :
«n tËp chuyªn ®Ò lîng gi¸c 4
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
Bài 20: Bi n đ i tích thành t ngế ổ ổ
( ) ( )
o o
2
a / sin .sin b / cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30
5 5
p p
+ -
( ) ( ) ( )
d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x;
f / sin x .sin x .cos 2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a
6 6
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - - -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 21: Bi n đ i t ng thành tíchế ổ ổ
( ) ( ) ( )
a / cos4x cos3x; b/ cos3x cos6x; c/ sin 5x sin x
d / sin a b sin a b ; e/ tan a b tan a; f / tan 2a tana
+ - +
+ - - + + -
Bài 22: H th c l ng trong tam giácệ ứ ượ
Trong tam giác ABC.Hãy ch ng minh và h c thu c các k t qu sau : ứ ọ ộ ế ả
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -
( )
2 2 2
2 2 2
4cosA.cosB.cosC
13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2
( ti p theo Lo i 5- Trang 8)ế ạ
Bài 23: Ch ng minh ứ
ABCD
vuông n uế:
2 2 2
sin B sin C
a / sin A ; b / sin C cosA cos B; c / sin A sin B sin C 2
cos B cosC
+
= = + + + =
+
Bài 24: Ch ng minh ứ
ABCD
cân n u:ế
C sin B
2
a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2tan B tan A.tan B; d / 2cosA
2 sin C
= + = + = =
Bài 25: Ch ng minh ứ
ABCD
đ u n u:ề ế
1 3
a / cosA.cosB.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cosC
8 2
= + + = + + + + =
Bài 26: Ch ng minh ứ
ABCD
cân ho c vuông n uặ ế :
( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+ -
= = =
+ -
Bài 27: Hãy nh n d ng ậ ạ
ABCD
bi t:ế
sin A
2 2 2
a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C
cosB
+ + = + + = =
B. HÀM S L NG GIÁCỐ ƯỢ
I. Tìm t p xác đ nh c a hàm s l ng giác ậ ị ủ ố ượ
Chú ý : 1)
A
B
có nghĩa khi B
0≠
(A có nghĩa) ;
A
có nghĩa khi A
0≥
2)
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤
«n tËp chuyªn ®Ò lîng gi¸c 5