CHUYÊN ð:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYN DUY KHÔI
Trưng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðng Nai
Trang 1
LI NÓI ðU
Ngày nay phép tính vi tích phân chim mt v trí ht sc quan trng trong Toán hc,
tích phân ñưc ng dng rng rãi như ñ tính din tích hình phng, th tích khi tròn xoay,
nó còn là ñi tưng nghiên cu ca gii tích, là nn tng cho lý thuyt hàm, lý thuyt
phương trình vi phân, phương trình ño hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñưc
ng dng rng rãi trong Xác sut, Thng kê, Vt lý, Cơ hc, Thiên văn hc, y hc...
Phép tính tích phân ñưc bt ñu gii thiu cho các em hc sinh lp 12, tip theo
ñưc ph bin trong tt c các trưng ði hc cho khi sinh viên năm th nht và năm th
hai trong chương trình hc ði cương. Hơn na trong các kỳ thi Tt nghip THPT và kỳ
thi Tuyn sinh ði hc phép tính tích phân hu như luôn có trong các ñ thi môn Toán ca
khi A, khi B và c khi D. Bên cnh ñó, phép tính tích phân cũng là mt trong nhng
ni dung ñ thi tuyn sinh ñu vào h Thc sĩ và nghiên cu sinh.
Vi tm quan trng ca phép tính tích phân, chính vì th mà tôi vit mt s kinh
nghim ging dy tính tích phân ca khi 12 vi chuyên ñ
“TÍNH TÍCH PHÂN
BNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ðI BIN S VÀ TNG PHN”
ñ
phn nào cng c, nâng cao cho các em hc sinh khi 12 ñ các em ñt kt qu cao trong
kỳ thi Tt nghip THPT và kỳ thi Tuyn sinh ði hc và giúp cho các em có nn tng
trong nhng năm hc ði cương ca ði hc.
Trong phn ni dung chuyên ñ dưi ñây, tôi xin ñưc nêu ra mt s bài tp minh
ha cơ bn tính tích phân ch yu áp dng phương pháp phân tích, phương pháp ñi bin s,
phương pháp tích phân t!ng phn. Các bài tp ñ ngh là các ñ thi Tt nghip THPT và ñ
thi tuyn sinh ði hc Cao ñng ca các năm ñ các em hc sinh rèn luyn k" năng tính tích
phân và phn cui ca chuyên ñ là mt s câu h#i trc nghim tích phân.
Tuy nhiên vi kinh nghim còn hn ch nên dù có nhiu c gng nhưng khi trình bày
chuyên ñ này s$ không tránh kh#i nhng thiu sót, rt mong ñưc s% góp ý chân tình ca
quý Thy Cô trong Hi ñ&ng b môn Toán S Giáo dc và ðào to t'nh ð&ng Nai. Nhân dp
này tôi xin cm ơn Ban lãnh ño nhà trưng to ñiu kin tt cho tôi và cm ơn quý thy cô
trong t Toán trưng Nam Hà, các ñ&ng nghip, bn bè ñã ñóng góp ý kin cho tôi hoàn
thành chuyên ñ này. Tôi xin chân thành cám ơn./.
CHUYÊN ð:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYN DUY KHÔI
Trưng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðng Nai
Trang 2
MC LC
Li nói ñu 1
Mc lc 2
I. Nguyên hàm:
I.1. ðnh nghĩa nguyên hàm 3
I.2. ðnh lý 3
I.3. Các tính cht ca nguyên hàm 3
I.4. Bng công thc nguyên hàm và mt s công thc b sung 4
II. Tích phân:
II.1. ðnh nghĩa tích phân xác ñnh 5
II.2. Các tính cht ca tích phân 5
II.3 Tính tích phân b(ng phương pháp phân tích 5
Bài tp ñ ngh 1 9
II.4 Tính tích phân b(ng phương pháp ñi bin s 10
II.4.1 Phương pháp ñi bin s loi 1 10
ðnh lý v phương pháp ñi bin s loi 1 13
Mt s dng khác dùng phương pháp ñi bin s loi 1 14
Bài tp ñ ngh s 2 14
Bài tp ñ ngh s 3 15
Bài tp ñ ngh s 4: Các ñ thi tuyn sinh ði hc Cao ñng 16
II.4.2 Phương pháp ñi bin s loi 2 16
Bài tp ñ ngh s 5 21
Các ñ thi Tt nghip trung hc ph thông 22
Các ñ thi tuyn sinh ði hc Cao ñng 22
II.5. Phương pháp tích phân t!ng phn 23
Bài tp ñ ngh s 6: Các ñ thi tuyn sinh ði hc Cao ñng 28
III. Kim tra kt qu ca mt bài gii tính tích phân b(ng máy tính
CASIO fx570-MS 29
Bài tp ñ ngh s 7: Các câu h#i trc nghim tích phân 30
Ph lc 36
CHUYÊN ð:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYN DUY KHÔI
Trưng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðng Nai
Trang 3
I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ðNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm s F(x) ñưc gi là nguyên hàm ca hàm s f(x) trên (a;b) nu vi mi
x∈(a;b):
F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm s F(x) = x
3
là nguyên hàm ca hàm s f(x) = 3x
2
trên R
b) Hàm s F(x) = lnx là nguyên hàm ca hàm s f(x) =
1
x
trên (0;+∞)
I.2. ðNH LÝ:
Nu F(x) là mt nguyên hàm ca hàm s f(x) trên (a;b) thì:
a) Vi mi h(ng s C, F(x) + C cũng là mt nguyên hàm ca f(x) trên khong ñó.
b) Ngưc li, mi nguyên hàm ca hàm s f(x) trên khong (a;b) ñu có th vit
dưi dng F(x) + C vi C là mt h(ng s.
Theo ñnh lý trên, ñ tìm tt c các nguyên hàm ca hàm s f(x) thì ch' cn tìm mt
nguyên hàm nào ñó ca nó r&i cng vào nó mt h(ng s C.
Tp hp các nguyên hàm ca hàm s f(x) gi là h nguyên hàm ca hàm s f(x) và
ñưc ký hiu:
∫

(hay còn gi là tích phân bt ñnh)
Vy:
∫
 
VD2: a)
2
2xdx = x + C
∫
b)
sinxdx = - cosx +C
c) 2
1
dx = tgx +C
cos x
∫
I.3. CÁC TÍNH CHT CA NGUYÊN HÀM:
1)
( )
∫
 
2)
(
)
≠
∫ ∫

 
3)
∫ ∫ ∫
    
4)
(
)
(
)
⇒
∫ ∫
     
VD3: a)
(
)
∫
b)
(
)
∫ ∫
   
CHUYÊN ð:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYN DUY KHÔI
Trưng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðng Nai
Trang 4
I.4. BNG CÔNG THC NGUYÊN HÀM:
BNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BN
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CP THƯNG GP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S HP
( )
( )
( )
π
π
α
α
α ≠
α
≠
≠
≠ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
+1
x x
x
x
2
2
2
2
dx = x + C
x
x dx = + C ( -1)
+1
dx = ln x + C (x 0)
x
e dx = e +C
a
a dx = +C 0 < a 1
lna
cosx dx = sinx + C
sinx dx = -cosx + C
dx
= 1+ tg x dx = tgx + C (x k )
cos x 2
dx = 1+ cotg x dx
si
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
x
/n
9
π
≠
∫ ∫
= -cotgx + C (x k )
( )
( )
π
π
α
α
α ≠
α
≠
≠
≠ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
+1
u u
u
u
2
2
2
du = u+C
u
u du = +C ( -1)
+1
du
= ln u +C (u =u(x) 0)
u
e du = e +C
a
a du = +C 0 < a 1
lna
cosu du = sinu+C
sinu du = - cosu+C
du
= 1+ tg u du = tgu+C (u k
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
9/
)
cos u 2
du
= 1+c
sin u
( )
π
≠
∫ ∫
2
otg u du = -cotgu+C(u k )
CÁC CÔNG THC B SUNG
CÔNG THC NGUYÊN HÀM THƯNG GP
:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
α
α
≠
≠
α
≠
≠
≠ ∈ ≠
≠
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+1
ax+b ax+b
kx
kx
1dx = 2 x + C (x 0)
x
ax +b
1
ax +b dx = + C (a 0)
a +1
1 1
dx = ln ax + b + C (a 0)
ax +b a
1
e dx = e + C (a 0)
a
a
a dx = + C 0 k R,0 < a 1
k.lna 1
cos ax + b dx = sin ax +b
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7
+ C (a 0)
a
1
sin ax +b dx = -
/cos
a
( )
ππ
π
≠
≠ +
≠
∫
∫
∫
ax + b + C (a 0)
tgx dx = - ln cosx + C (x k )
2
cotgx dx = ln sinx + C (
9/ x
/
k
8
)
CÁC CÔNG THC LŨY THA
:
m n m+n
m
m-n -n
n n
1 n
nm
m
m m
a . a = a
a 1
= a ;
1/
2/
3/
= a
a a
a = a ; a = a
CÁC CÔNG THC LƯNG GIÁC
:
a. CÔNG THC H BC:
( ) ( )
2 2
1/ 2
1 1
sin x = 1-cos2x cos x = 1+cos2x
2 2
/
b. CÔNG THC BIN ðI TÍCH THÀNH TNG
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
cosa.cosb = cos a-b +cos a+b
2
1
sina.sinb = cos a-b -cos a+b
2
1
sina.cosb = sin a-b +sin a+b
2
1/
2/
3/
CHUYÊN ð:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYN DUY KHÔI
Trưng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðng Nai
Trang 5
II. TÍCH PHÂN:
II.1. ðNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ðNH:
Gi s) hàm s f(x) liên tc trên mt khong K, a và b là hai ph*n t) bt kỳ ca K,
F(x) là mt nguyên hàm ca hàm s f(x) trên K. Hiu F(b) – F(a) ñưc gi là tích phân t!
a ñn b ca f(x). Ký hiu:
∫
  
II.2. CÁC TÍNH CHT CA TÍCH PHÂN:
=
∫

= −
∫ ∫
 
= ≠
∫ ∫
 
± = ±
∫ ∫ ∫
  
= +
∫∫∫

  
vi c∈(a;b)
Nu
≥ ∀ ∈
thì
≥
∫
.
Nu
≥ ∀ ∈
thì ≥
∫ ∫
 
.
Nu
≤ ≤ ∀ ∈
!
thì
− ≤ ≤ −
∫
 !
.
t bin thiên trên
⇒=
∫
"
# " 
là mt nguyên hàm ca
"
và
=
#
II.3. TÍNH TÍCH PHÂN BNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
Chú ý 1: ð tính tích phân
=
∫
$ 
ta phân tích
= + +

Trong ñó:
≠ =
 
các hàm
=
 
có trong bng nguyên
hàm cơ bn.
VD4: Tính các tích phân sau: