Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, ĐHXDHN, 2025, 19 (3V): 42–59
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA TẤM SANDWICH NANO
GRAPHENE ĐÀN HỒI-ĐIỆN-TỪ ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
WINKLER-PASTERNAK
Vũ Văn Thẩma,∗
aKhoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội,
55 đường Giải Phóng, phường Bạch Mai, Hà Nội, Việt Nam
Nhận ngày 28/10/2024, Sửa xong 27/02/2025, Chấp nhận đăng 29/4/2025
Tóm tắt
Bài báo phát triển một mô hình giải tích dựa trên lý thuyết tấm bậc cao bốn ẩn chuyển vị để phân tích dao
động của tấm sandwich có lớp lõi composite nano graphene và hai lớp bề mặt là vật liệu đàn hồi-điện-từ
(magneto-electro-elastic) có chứa các vi bọt rỗng. Tấm được đặt trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak. Vật liệu
đàn hồi-điện-từ được giả thiết có cơ tính biến thiên (FGMEE) tuân theo quy luật hàm lũy thừa. lớp lõi composite
gia cường graphene (GPL) với cơ tính tính toán theo mô hình Halpin-Tsai cải tiến. Phương trình cân bằng thiết
lập từ nguyên lý Hamilton, giải bằng phương pháp Navier. Kết quả được kiểm chứng với nghiên cứu trước đó,
đồng thời khảo sát ảnh hưởng của thông số vật liệu, điện-từ trường ngoài và các kích thước hình học đến tần số
dao động.
Từ khoá: phân tích dao động; tấm đàn hồi-điện-từ; vi bọt rỗng; lý thuyết tấm bậc cao bốn ẩn chuyển vị; nền đàn
hồi Winkler-Pasternak.
VIBRATION ANALYSIS OF MAGNETO-ELECTRO-ELASTIC SANDWICH PLATES WITH GRAPHENE
NANOPLATELETS CORE RESTING ON WINKLER – PASTERNAK ELASTIC FOUNDATION
Abstract
This paper develops an analytical model based on a four-variable higher-order plate theory to analyze the vi-
bration of a sandwich plate with a nano-graphene composite core and two surface layers made of magneto-
electro-elastic material containing porosities. The plate rests on a Winkler-Pasternak elastic foundation. The
MEE material is assumed to be functionally graded (FGMEE) with properties varying according to a power-law
distribution. The graphene-reinforced composite (GPL) core’s mechanical properties are calculated using the
modified Halpin-Tsai model. The governing equations are derived from Hamilton’s principle and solved analyti-
cally via the Navier solution method. Results are validated by comparing them with previously published results,
and parametric investigations assess the influences of material properties, external electromagnetic fields, and
geometric dimensions on the plate’s natural frequencies.
Keywords: vibration analysis; magneto-electro-elastic plate; porosities; the four-variable higher-order plate the-
ory; Winkler-Pasternak foundation.
https://doi.org/10.31814/stce.huce2025-19(3V)-04 © 2025 Trường Đại học Xây dựng Hà Nội (ĐHXDHN)
1. Giới thiệu
Vật liệu composite polymer gia cường nano carbon với tính chất cơ học vượt trội đã được ứng
dụng rộng rãi trong hàng không, ô tô, y sinh và xây dựng [1]. Trong các loại gia cường nano carbon,
GPL nổi bật nhờ tỷ lệ diện tích bề mặt/khối lượng lớn và chi phí thấp [2]. Chỉ cần một lượng nhỏ GPL
cũng cải thiện đáng kể tính chất cơ học của vật liệu nền polymer [3]. Khi GPL phân bố đồng đều hoặc
ngẫu nhiên trong nền polymer, vật liệu được gọi là GPLRC (graphene platelet reinforced composite).
∗Tác giả đại diện. Địa chỉ e-mail: thamvv@huce.edu.vn (Thẩm, V. V.)
42
Thẩm, V. V. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Nếu hàm lượng GPL biến thiên liên tục theo chiều dày (FG-GPLRC), tính chất cơ học sẽ thay đổi trơn
và liên tục.
Trong những năm gần đây, các nghiên cứu về phân tích tĩnh, ổn định và dao động riêng của kết cấu
từ vật liệu GPL đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
(FSDT) và áp dụng dạng nghiệm Navier, Song và cs. đã tiến hành phân tích tĩnh và ổn định [4], dao
động riêng và dao động cưỡng bức [5] của tấm FG-GPLRC với bốn cạnh liên kết tựa khớp. Jafari và
Kiani [6] đã nghiên cứu dao động riêng của tấm FG-GPLRC dựa trên lý thuyết tựa đàn hồi ba chiều và
nghiệm Navier. Guo và cs. [7] đã trình bày phương pháp IMLS-Ritz không phần tử để nghiên cứu dao
động tự do của tấm composite nhiều lớp gia cường GPL. Reddy và cs. [8] đã phân tích dao động riêng
của tấm FG-GPLRC bằng phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết FSDT. Thai và cs. [9] áp
dụng phương pháp đẳng hình học để phân tích tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm FG-GPLRC.
Vật liệu đàn hồi điện từ (MEE) kết hợp hiệu ứng áp điện và từ giảo, tạo ra khả năng chuyển đổi
năng lượng cơ-điện-từ. Nhờ những tính năng vượt trội này, vật liệu MEE có tiềm năng ứng dụng rộng
rãi trong nhiều lĩnh vực như cảm biến, kích thích, hệ thống thu năng lượng và hệ thống điều khiển tự
động. Để tối ưu hóa khả năng ứng dụng và hiệu quả của kết cấu sử dụng vật liệu MEE, gần đây MEE
đã được phát triển dưới dạng vật liệu có cơ tính biến thiên, được gọi là vật liệu FGMEE. Các nghiên
cứu cho thấy, FGMEE có thể đạt được những đặc tính cơ học tối ưu nhất. Nhiều công trình gần đây
tập trung phân tích ứng xử cơ học của kết cấu FGMEE, mở rộng tiềm năng ứng dụng. Vinyas và cs.
đã phát triển một phương pháp phần tử hữu hạn (FE) để nghiên cứu ảnh hưởng của lớp trung gian áp
điện [10] đến tần số dao động riêng của các tấm MEE. Theo tiếp cận giải tích, Liu [11] đã phân tích
tĩnh tấm mỏng FGMEE dựa trên lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff. Li và cs. [12] đã phân tích dao động
của tấm FGMEE đặt trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak theo lý thuyết tấm bậc nhất (FSDT). Sử dụng
lý thuyết tấm bậc ba của Reddy, Shooshtari và Razavi [13] đã phân tích dao động của tấm FGMEE
với các điều kiện biên khác nhau và được đặt trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak.
Kết cấu sandwich, với đặc tính nhẹ và hiệu quả, đang ngày càng được áp dụng rộng rãi nhờ vào
những ưu điểm vượt trội của nó. Trong sản xuất vệ tinh, tàu vũ trụ, máy bay và các hệ thống vận tải
khác, việc sử dụng vật liệu có tỷ lệ độ bền trên trọng lượng cao là yếu tố quan trọng. Một dạng kết
cấu sandwich thông minh, kết hợp lớp lõi làm từ vật liệu composite gia cường nano cacbon như CNT
hoặc GPL với lớp bề mặt bằng vật liệu thông minh như vật liệu áp điện hoặc vật liệu đàn hồi điện từ,
có khả năng tận dụng những ưu điểm của từng loại vật liệu thành phần. Đã có một số nghiên cứu tuyến
tính theo tiếp cận giải tích cho đối tượng kết cấu này. Ebrahimi và cs. [14] đã phân tích dao động của
tấm sandwich composite CNT điện từ trường theo lý thuyết biến dạng cắt hàm lượng giác. Sử dụng
lý thuyết tấm FSDT và dạng nghiệm Levy, Majidi-Mozafari và cs. [15] đã phân tích dao động riêng
tấm sandwich FG-GPLRC áp điện với các điều kiện biên khác nhau. Dao động tự do và ổn định của
tấm nano sandwich FGMEE lõi FGM đã được Zur và cs. [16] nghiên cứu sử dụng lý thuyết tấm bậc
cao với bốn ẩn chuyển vị và lý thuyết đàn hồi phi cục bộ.
Các phương pháp chế tạo FGM (luyện kim bột, lắng đọng hơi, đúc ly tâm) tuy hiệu quả nhưng phức
tạp và tốn kém. Quá trình thiêu kết dễ tạo lỗ rỗng do sự chênh lệch độ hóa rắn giữa các thành phần,
tương tự khi dùng kỹ thuật thâm nhập nhiều bước, dẫn đến vật liệu FGM không hoàn hảo (PoFGM).
Việc nghiên cứu ảnh hưởng của các lỗ rỗng này khi thiết kế kết cấu FGM là cần thiết để đảm bảo độ an
toàn và chính xác, khiến PoFGM trở thành chủ đề được quan tâm. Ebrahimi và cs. [17] đã phân tích
dao động của tấm FGMEE chứa các vi bọt rỗng (PoFGMEE) đặt trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak
theo lý thuyết bậc cao bốn ẩn chuyển vị (HSDT-4). Ảnh hưởng của điện, nhiệt và kiểu phân bố vi bọt
rỗng đến tần số dao động của tấm FG áp điện với các điều kiện biên khác nhau được nghiên cứu bởi
Barati và Zenkour [18] theo mô hình giải tích, lý thuyết HSDT-4 với hàm mô tả quy luật biến thiên
43
Thẩm, V. V. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
của ứng suất tiếp dưới dạng hàm cotang nghịch đảo.
Dựa trên đánh giá tổng quan các nghiên cứu, chưa có nghiên cứu nào phân tích dao động của tấm
sandwich nano graphene điện từ trên nền đàn hồi. Bài báo này xây dựng mô hình phân tích dao động
cho tấm sandwich với lớp lõi composite nano graphene và hai lớp bề mặt vật liệu PoFGMEE (tấm
sandwich PoFGMEE-GPL) trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak, sử dụng lý thuyết tấm HSDT-4 cải
tiến. So sánh kết quả của bài báo với các kết quả đã công bố cho thấy độ tin cậy của mô hình đề xuất.
Từ đó, bài báo nghiên cứu ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích vật liệu FGMEE, điện từ trường, kiểu
và hệ số phân bố vi bọt rỗng, tỷ lệ và kiểu phân bố GPL, số lớp GPL và kích thước hình học đến tần
số dao động của tấm sandwich PoFGMEE-GPL đặt trên nền đàn hồi.
2. Cơ sở lý thuyết
2.1. Mô hình tấm sandwich PoFGMEE-GPL đặt trên nền đàn đàn hồi
Xét tấm sandwich PoFGMEE-GPL đặt trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak. Tấm có kích thước
a×b×hnhư thể hiện trong Hình 1. Các lớp bề mặt được tạo thành từ PoFGMEE, lớp lõi FG-GPLRC.
Độ dày của mỗi lớp PoFGMEE được ký hiệu là hpvà độ dày của lớp lõi FG-GPLRC ký hiệu là hc.
Chúng được phân biệt theo hướng trục zbằng các tọa độ h0,h1,h2và h3.
Hình 1. Tấm sandwich PoFGMEE-GPL đặt trên nền đàn đàn hồi Winkler-Pasternak
Lớp bề mặt PoFGMEE của tấm sandwich được chế tạo từ vật liệu BaTiO3và CoFe2O4, tiếp xúc
với thế từ Ψ(x,y,z)và điện thế Φ(x,y,z). Các tính chất vật liệu hiệu dụng của PoFGMEE là các biến
số theo phương chiều dày dựa trên quy luật lũy thừa [19]:
S(z)=Sl+(Su−Sl)Vf−0,5e0(Su+Sl)Υ(1)
trong đó S(z)là các tính chất hiệu dụng của vật liệu PoFGMEE bao gồm: hằng số đàn hồi Ci j, hệ số
áp điện ei j, độ điện thẩm κi j, hệ số áp từ qi j, hệ số đàn hồi điện từ di j, hệ số từ thẩm µi j và khối lượng
riêng ρ(z);plà chỉ số tỷ lệ thể tích của vật liệu FGMEE; hệ số poisson ν(z)của vật liệu FGMEE lấy
gần đúng là hằng số theo chiều dày lớp; Suvà Sllần lượt là các tính chất của vật liệu tại mặt trên và
dưới; e0là hệ số phân bố vi bọt rỗng; Υlà hàm xác định độ xốp (FGMEE hoàn hảo MEE-0): Υ = 0;
FGMEE có vi bọt rỗng phân bố đều (MEE-1) [20]: Υ = 1; FGMEE có vi bọt rỗng phân bố không đều
(MEE-2) [20]: Υ = (1−(2|z|/h)).
44
Thẩm, V. V. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Tỷ lệ phần thể tích của lớp FGMEE Vfđược tính như sau [21]:
Vf=
((z−h3)/(h2−h3))p,h2≤z≤h3,với lớp FGMEE phía trên
((z−h0)/(h1−h0))p,h0≤z≤h1,với lớp FGMEE phía dưới (2)
Lớp lõi composite FG-GPLRC được tạo thành từ nhiều lớp NLcó cùng chiều dày. Nghiên cứu này
xem xét bốn kiểu khác nhau để phân bố GPL theo chiều dày lớp lõi là [5]: UD, FG-O, FG-X và FG-V.
Tỷ phần khối lượng GPL trong mỗi lớp thứ kđược xác định theo [5]:
UD: V(k)
GPL =V∗
GPL
FG-X: V(k)
GPL =2V∗
GPL|2k−NL−1|/NL
FG-O: V(k)
GPL =2V∗
GPL (1−|2k−NL−1|/NL)
FG-V: V(k)
GPL =V∗
GPL(2k−1)/NL
(3)
trong đó V∗
GPL là tổng tỷ phần khối lượng GPL, NLlà số lớp GPL.
Tỷ phần thể tích GPL trong lớp thứ kđược xác định bởi [5]:
V∗
GPL =WGPLWGPL +(ρGPL/ρm) (1−WGPL)−1(4)
với WGPL là phần khối lượng của GPL; ρGPL và ρmlần lượt là khối lượng riêng của GPL và của vật
liệu nền.
Các tính chất hiệu dụng của vật liệu GPLRC có thể được tính toán xấp xỉ theo phương pháp
Halpin-Tsai và phương pháp hỗn hợp tương đương mở rộng như sau [5]:
E(k)=3
8
1+ξLηLV(k)
GPL
1−ηLV(k)
GPL
Em+5
8
1+ξTηTV(k)
GPL
1−ηTV(k)
GPL
Em(5)
trong đó ηLvà ηTđược định nghĩa bởi:
ηL=EGPL −Em
EGPL +ξLEm
;ηT=EGPL −Em
EGPL +ξTEm
(6)
với Em,EGPL và νm, νGPL lần lượt là mô đun đàn hồi Young, hệ số Poisson của vật liệu nền và của
GPL; ξL, ξTlà các thông số đặc trưng hình học của tấm GPL, xác định như sau:
ξL=aGPL/tGPL;ξT=bGPL/tGPL (7)
trong đó aGPL,bGPL và tGPL lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều dày của tấm GPL.
2.2. Các phương trình cơ bản - Hệ phương trình chủ đạo
Để phân tích dao động của tấm sandwich nano graphene điện từ đặt trên nền đàn hồi Winkler-
Pasternak, bài báo sử dụng lý thuyết HSDT-4 cải tiến.
Trường chuyển vị của một điểm bất kỳ thuộc tấm được giả thiết như sau [21–24]:
u(x,y,z,t)=u0(x,y,t)−zwb,x(x,y,t)−f(z)ws,x(x,y,t)
v(x,y,z,t)=v0(x,y,t)−zwb,y(x,y,t)−f(z)ws,y(x,y,t)
w(x,y,z,t)=wb(x,y,t)+ws(x,y,t)
(8)
45
Thẩm, V. V. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
trong đó u0,v0lần lượt là chuyển vị tại mặt trung bình của tấm theo các phương x,y;wbvà wslà các
chuyển vị ngang do mômen uốn và lực cắt gây ra. Theo [21-24] hàm đặc trưng cho quy luật biến thiên
của ứng suất cắt: f(z)=z−1/8+3/2(z/h)2thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang bị triệt tiêu tại
bề mặt tấm.
Sự phân bố điện thế và từ trường theo chiều dày lớp PoFGMEE đang xét phải thỏa mãn phương
trình Maxwell. Theo Wang [25], hàm điện thế và từ trường được giả thiết:
Φ(x,y,z,t)=−cos πˆz/hpφ0(x,y,t)+2ˆz/hpV
Ψ(x,y,z,t)=−cos πˆz/hpψ0(x,y,t)+2ˆz/hpΩ
(9)
trong đó V,Ωlần lượt là điện áp và từ trường bên ngoài đặt vào tấm PoFGMEE; φ0,ψ0là điện áp và từ
trường tại mặt trung bình của tấm; ˆz=z−h0với lớp FGMEE phía dưới và ˆz=z+h3với lớp FGMEE
phía trên.
Trường biến dạng {ε}được suy ra từ trường chuyển vị:
εx=u0,x−zwb,xx −f(z)ws,xx;εy=u0,y−zwb,yy −f(z)ws,yy
εxy =u0,y+v0,x−2zwb,xy −2f(z)ws,xy;g(z)=1−f0(z)
γyz =g(z)ws,y;γxz =g(z)ws,x
(10)
Theo (9), véc tơ điện trường {E}=nExEyEzoTđược xác định như sau:
Ex=−Φ,x=cos πˆz/hpφ0,x;Ey=−Φy=cos πˆz/hpφ0,y
Ez=−Φ,z=−π/hpsin πˆz/hpφ0−2V/hp
(11)
Tương tự, véc tơ từ trường {H}=nHxHyHzoTđược tính theo:
Hx=−Ψ,x=cos πˆz/hpψ0,x;Hy=−Ψ,y=cos πˆz/hpψ0,y
Hz=−Ψ,z=−π/hpsin πˆz/hpψ0−2Ω/hp
(12)
Ứng suất và biến dạng của lớp lõi FG-GPLRC tuân theo định luật Hooke:
σx
σy
τxy
τxz
τyz
(C)
=
QC
11 QC
12 0 0 0
QC
12 QC
22 0 0 0
0 0 QC
66 0 0
0 0 0 QC
55 0
0 0 0 0 QC
44
εx
εy
γxy
γxz
γyz
(13)
trong đó σC
x, σC
y, σC
xy và τC
xz, τC
yz lần lượt là các ứng suất pháp, ứng suất cắt trong mặt phẳng và ứng
suất cắt ngang; QC
i j (i,j=1,2,3,4,5,6) là các hệ số độ cứng, xác định theo:
QC
11 =EC
1
1−νC
12νC
21
;QC
22 =EC
2
1−νC
12νC
21
;QC
12 =ν12EC
2
1−νC
12νC
21
;QC
44 =QC
55 =QC
66 =EC
1
21+νC
12(14)
46