Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công Nghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
Chương 7: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN: PHƯƠNG PHÁP DẢI
Chương 7: PHÂ TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀ:
PHƯƠG PHÁP DẢI
7.1 PHƯƠG PHÁP PHÂ TÍCH CẬ DƯỚI
Trong phương pháp phân tích cận dưới (lower bound method of analysis), một kiểu phân
phối mômen trên toàn bản hay sàn được đề xuất sao cho:
Các điều kiện cân bằng được thoả mản tại mọi điểm của sàn.
Tiêu chuNn chảy dẻo để xác định cường độ các phần tử sàn không được vượt quá mức
tại bất kỳ nơi nào của sàn, nghĩa là: myêucầu ` mu ≤ 0
Tuân theo các điều kiện biên.
Sức chịu tải tới hạn (ultimate load capacity) của sàn được tính toán từ các điều kiện cân
bằng và kiểu phân phối mômen. Với một sàn cho trước, tải trọng tới hạn được tính như
vậy hoặc thấp hơn hay bằng nghiệm chính xác (nghiệm duy nhất).
Điều này ngược với phương pháp đường chảy dẻo mà tải trọng được tính toán hoặc
cao hơn (không thận trọng) hay bằng nghiệm chính xác.
Phương pháp cận dưới thường được xem là phương pháp cân bằng.
Hillerborg đề xuất các phương pháp cân bằng để thiết kế sàn vào thập niên 1950.
Cung cấp thông tin kiểu an toàn hợp lý về sự phân phối mômen và lực cắt trong bản.
7.2 CÁC PHƯƠG TRÌH CHỦ YẾU CỦA PHƯƠG PHÁP CẬ DƯỚI
Xét các lực cắt và mômen uốn tác động trên phân tố sàn chịu tải phân bố đều w dưới đây
(theo Park và Gamble):
Vx và Vy là các lực cắt trên đơn vị chiều rộng
mx và my là các mômen uốn trên đơn vị chiều rộng
mxy = myx là các mômen xoắn trên đơn vị chiều rộng
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
Chương 7: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHƯƠN G PHÁP DẢI
Cân bằng lực cắt từ phần (a) và (b) của hình trên dẫn đến:
w
y
V
x
V
y
x
−=
∂
∂
+
∂
∂
(7`1)
Cân bằng mômen quanh trục y đi qua giữa tâm phân tố,
x
xy
x
V
y
m
x
m=
∂
∂
+
∂
∂
(7`2)
Cân bằng mômen quanh trục x đi qua giữa tâm phân tố,
y
xyy
V
x
m
y
m=
∂
∂
+
∂
∂
(7`3)
Lấy đạo hàm hai phương trình (7`2) và (7`3), sau đó thế kết quả vào phương trình (7`1), ta
sẽ có phương trình cân bằng nổi tiếng cho tấm, mà được áp dụng bất chấp (a) tấm ở giai
đoạn đàn hồi hay chảy dẻo, (b) tấm là đẳng hướng hay trực hướng.
w
y
m
yx
m2
x
m
2
y
2
xy
2
2x
2
−=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
(7`4)
Để có được các nghiệm cận dưới của các phương trình cân bằng tấm:
Tải trọng w có thể được phân chia theo tỷ lệ bất kỳ giữa các đại lượng:
2x
2
x
m
∂
∂
−
;
yx
m2
xy
2
∂∂
∂
−
;
2
y
2
y
m
∂
∂
−
Tải trọng có thể được chống đỡ bởi sự phối hợp bất kỳ của các mômen uốn và/hay
mômen xoắn theo các hướng x và y.
7.3 PHƯƠG PHÁP DẢI HILLERBORG
7.3.1 Giới thiệu
Phương pháp dải (strip method) là một phương pháp thiết kế giới hạn khác với phương
pháp đường chảy dẻo. Mặc dầu sự phân phối mômen (uốn và xoắn) để mặc cho người
thiết kế quyết định, nhưng phải sử dụng phương pháp dải cNn trọng,
Vì sao vậy? Vì một phương án lựa chọn kém về sự phân phối tải trọng có thể gây ra độ
nứt và độ võng đáng kể. N hư một qui luật, phương án phân phối tải trọng hợp lý nhất là
nên theo cách gần với sự phân phối đàn hồi.
Trở lại phương trình cân bằng (7`4), và chú ý rằng tải trọng có thể được chống đỡ bởi bất
kỳ sự phối hợp nào của các mômen uốn hay/và xoắn trong hai phương, Hillerborg cho số
hạng thứ hai (mômen xoắn) bằng zero, sao cho:
w
y
m
x
m
2
y
2
2x
2
−=
∂
∂
+
∂
∂
(7`5)
để tải trọng chỉ được chống đỡ bởi mômen uốn trong hai phương x và y. Khi làm như vậy,
tấm có thể được chia thành một hệ thống dải trong hai phương x và y.
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
Chương 7: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHƯƠN G PHÁP DẢI
Phương trình (7`5) có thể được thay thế bằng hai phương trình sau (dùng qui ước trên
hình vẽ ở trang 1):
w
x
m
2
x
2
γ−=
∂
∂ (7`6a) → uốn theo phương x
w)1(
y
m
2
y
2
γ−−=
∂
∂
(7`6b) → uốn theo phương y
Trong phương trình (7`6), người thiết kế chọn lựa giá trị γ (0 ≤ γ ≤ 1). N ếu γ = 1, toàn bộ
tải được truyền theo hướng x . N ếu γ = 0, toàn bộ tải được truyền theo hướng y. Bất chấp
tất cả, người thiết kế phải cung cấp một phương cách phân tải (load path) hợp lý.
Các phần tiếp theo trong chương này trình bày thông tin về ứng dụng phương pháp dải
cho các loại hệ sàn. Các hình dùng để mô tả phương pháp sử dụng ký hiệu qui ước dưới
đây cho các điều kiện biên.
Cạnh tự do (không gối tựa)
Cạnh gối tựa đơn giản
Cạnh bị ngàm
Cột
7.3.2 Các ví dụ của phương pháp dải
Xét một tấm sàn vuông tải trọng phân bố đều w, có chiều dài cạnh l1 và l2 . Mỗi cạnh sàn
gối đơn giản lên một dầm, và dầm gối lên cột đặt ở các góc sàn.
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
Chương 7: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHƯƠN G PHÁP DẢI
N ếu l1 l2 thì hợp lý gán γ = 0,5.
Với việc tính toán mômen tĩnh ở phương trình (5`1), chương 5, giá trị mômen quanh trục
x`x đi qua tâm sàn bằng:
AA
2
12
x
M
8
l)wl(
M
−
==
Với nhịp sàn theo phương y :
8
lwl
8
l)wl(
M
2
12
2
12
slab
γ
=
γ
=
(7`7)
Với nhịp các dầm theo phương x :
8
lwl]1[
8
l)l5,0(w]1[2
M
2
12
2
12
beams
γ−
=
γ−
=
(7`8)
Tổng mômen trong sàn và các dầm:
x
2
12
beamsslab
M
8
lwl
MMM ==+=
∑
(7`9)
Ví dụ 1
Xét một sàn chữ nhật gối đơn giản lên các tường xây như hình dưới. Thông tin về vật liệu
và tải trọng xem ở bảng kèm theo.
Giả thiết rằng γ = 0.5 ta có mômen My quanh trục x :
8
30)3,0)(5,01(
M
2
y
−
=
= 16,9 kip`ft/ft
và mômen Mx quanh trục y :
8
20)3,0)(5,0(
M
2
x
=
= 7,5 kip`ft/ft
N ếu sàn dày 8”, chiều cao hiệu quả (theo từng hướng) giả sử xấp xĩ bằng d = 6,5”. Giả sử
rằng cường độ chịu uốn (mu) của sàn có thể tính toán theo ACI 318 như sau:
)
f
f
sd
A
59,01(df
s
A
m
'
c
y
b
y
b
u
−φ= (7`10)
Sử dụng cốt thép #6 (Ab = 0,44 in2) và φ = 0,9 , các bước yêu cầu cốt thép sàn (s) như sau:
Thép phương x: #6 có sy = 8,7” (cho mômen My )
Thép phương y: #6 có sx = 19,6” (cho mômen Mx)
Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công N ghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh
Chương 7: PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ HỆ SÀN : PHƯƠN G PHÁP DẢI
Tổng chiều dài cốt thép #6 trong sàn là :
y
x
x
x
y
y
l
s
l
l
s
l
L+=
∑
=
'20
6,19
3012
'30
7,8
2012 ×
×
+×
×
= 1195’
Ví dụ 2
Các thông số tương tự như ví dụ 1 nhưng
γ = 0,75
(1` γ) = 0,25
Từ hình trên:
8
30)3,0)(75,01(
M
2
y
−
=
= 8,4 kip`ft/ft
8
20)3,0)(75,0(
M
2
x
=
= 11,25 kip`ft/ft
Đối với sàn dày 8”, chiều cao hiệu quả (theo từng hướng) giả sử xấp xĩ bằng d = 6,5”.
Sử dụng cốt thép #6 (Ab = 0,44 in2) và φ = 0,9 , các bước yêu cầu cốt thép sàn (s) như sau:
Thép phương x: #6 có sy = 17,4” (cho mômen My )
Thép phương y: #6 có sx = 13,0” (cho mômen Mx)
Tổng chiều dài cốt thép #6 trong sàn là :
y
x
x
x
y
y
l
s
l
l
s
l
L+=
∑
=
'20
0,13
3012
'30
4,17
2012 ×
×
+×
= 968’
Làm thế nào có thể chọn được phương cách phân phối tải trọng tốt hơn (giá trị γ) ?
Xét hai dải ở tâm sàn theo các hướng x và y:
Hai dải như hình vẽ dưới (nét đậm và nét đứt)
Độ võng tại giao điểm là như nhau: w1l14 = w2l24
1,5
20
30
l
l
w
w
4
4
4
1
4
2
2
1
===
và do đó chọn γ = 0,83
Có thể chọn γ = 1.0 nhưng người thiết kế cũng phải cần bố trí thêm cốt thép chịu giãn
nở nhiệt và co ngót (temperature and shrinkage rebar) cho sàn.