Chương 7: Phép biến đổi Laplace và ứng dụng cung cấp cho người học khái niệm hàm biến phức; khái niệm gàm gốc, hàm ảnh; phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược; các tích phân của phép biến đổi Laplace; khái niệm tích chập, ảnh của tích chập; một số phương pháp tìm hàm gốc;... Mời các bạn cùng tham khảo.
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 1
Chöông 7
Trong chöông naøy , baïn seõ hoïc
♦ Khaùi nieäm haøm bieán phöùc.
♦ Khaùi nieäm haøm goác, haøm aûnh.
♦ Pheùp bieán ñoåi Laplace, pheùp bieán ñoåi Laplace ngöôïc.
♦ Caùc tính chaát cuûa pheùp bieán ñoåi Laplace.
♦ Khaùi nieäm tích chaäp, aûnh cuûa tích chaäp.
♦ Moät soá phöông phaùp tìm haøm goác.
♦ ÖÙng duïng pheùp bieán ñoåi Laplace ñeå giaûi phöông trình vi phaân, moät soá
phöông trình tích phaân, heä phöông trình vi phaân.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
§1. PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE
,f
Giaû söû A laø taäp hôïp ñieåm trong maët phaúng phöùc z. Neáu coù moät qui taéc, goïi teân laø
)(zfw =
maø moãi soá phöùc z ∈A , töông öùng vôùi moät hoaëc nhieàu soá phöùc xaùc ñònh w , thì ta noùi treân taäp A ñaõ xaùc ñònh moät haøm bieán phöùc
.
♦ Neáu moãi soá phöùc z ∈A, töông öùng vôùi duy nhaát moät soá phöùc xaùc ñònh w, thì ta noùi
)(zf
w =
laø haøm ñôn trò.
♦ Neáu moãi soá phöùc z ∈A, töông öùng vôùi hai hay nhieàu soá phöùc xaùc ñònh w, thì ta noùi
)(zf
w =
laø haøm ña trò.
)(zf
w =
laø haøm bieán phöùc xaùc ñònh treân taäp A thì A goïi laø mieàn xaùc ñònh vaø taäp
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 2 ♦ Neáu
)(zf
w =
B = {w / ∃ z ∈ A thoûa f(z) = w} goïi laø mieàn giaù trò cuûa haøm bieán phöùc
.
)(zfw =
maø khoâng noùi roõ gì theâm thì ta xem ñoù
♦ Sau naøy, khi noùi ñeán moät haøm phöùc
laø haøm ñôn trò.
Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa haøm bieán phöùc
)(zfw =
Cho haøm bieán phöùc
iy
, töùc laø cho phaàn thöïc u vaø phaàn aûo v cuûa w. Neáu thì u vaø v laø hai haøm thöïc cuûa hai bieán soá ñoäc laäp x vaø y. Toùm laïi, cho haøm
)(zfw =
, töông öùng cho hai haøm thöïc u = u(x, y) , v = v(x, y).
x z += phöùc
w= f(z)
w = u(x, y) + iv(x, y) (2.1)
+= xz iy ⇔
b) w= z2 + 2i z
a) w =
1 z
−
=
=
=
+i
a) w =
x 2
iy 2
2
2
2
1 +
x
iy
1 z
+
x +
y
x
x
y
Vaäy u(x,y) =
, v(x,y) =
.
2
2
y − 2
2
x +
y +
x
y
x
y b) w = (x+iy)2 + 2i(x-iy) = x2 –y2 + 2ixy + 2ix + 2y = (x2 –y2+ 2y) + i(2xy + 2x) Vaäy u(x,y) = x2 –y2+ 2y , v(x,y) = 2xy + 2x (cid:161)
(cid:4) Nhaéc laïi
♦ Luõy thöøa baäc n soá phöùc- Coâng thöùc Moivre
±
Neáu z = r( cosϕ
i sinϕ ) ta ñöôïc coâng thöùc luõy thöøa baäc n soá phöùc
r(cos
isin
ϕ±
ϕ
= rn( cosnϕ
± i sinnϕ ) , ∀n∈ Z
z n = [
] n)
(cos
isin
n) ϕ
ϕ±
±
i sinnϕ , ∀n∈Z
= cosnϕ
♦ Khai caên baäc n cuûa soá phöùc
Cho soá phöùc z = r(cosϕ + isinϕ) ≠ 0. Khi ñoù n z laø soá phöùc w thoûa wn = z.
Ñaët w = ρ(cosθ + isinθ) , ta coù ρn(cosnθ + isinnθ) = [ρ(cosθ + isinθ)]n = wn = z = r(cosϕ + isinϕ)
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 3
n
n
=
⇒
⇒
. Suy ra
π
vôùi
=
,
Z k ∈
θ
π
r +=
n
2k
, vôùi
k
Z ∈
⎧ ρ ⎨ ⎩
= r + ϕ 2k n
⎧ ρ ⎪ ⎨ θ ⎪⎩
+
+
n
i
z
r
(cos
sin
n=
+
); k = 0,1,2,..., n-1; n ∈ N+
k ϕ π n
22 k ϕ π n
vôùi P(z), Q(z) laø caùc ña thöùc.
( ) P z ( ) Q z
eiz
eiz
e iz
=
=
sin z
; cos z
e iz − − i 2
gz
=
=
tgz
; cot
z z
cos sin
sin cos
+ − 2 z z
t
t
e
e
e
e
+∞⎯⎯ →⎯ +∞→t
+∞⎯⎯ →⎯ −∞→t
Vôùi t ∈ R , cos(it) =
; sin(it) =
. ª
t +− 2
t −− 2
ez
ez
=
=
; chz
shz
e z − − 2
=
coth =
z
thz
;
shz chz
e z + − 2 chz shz
w= lnz = lnr + i(ϕ + k2π); k = 0, ± 1, ± 2,....
log
W
z
=
=
a
z ln aln
2
ln
=
arcsin
ln(
iz
1
z
z
)
=
+
−
arctgz
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
1 2 i
1 1
+ −
2
cot
gz
ln
=
arccos
ln(
1
z
z
z
)
=
+
−
arc
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
i i
1 i 2
iz iz z + z −
Caùc haøm ngöôïc cuûa caùc haøm sinz, cosz, tgz, cotgz laàn löôït laø arcsinz, arccosz, arctgz, arccotgz; vaø xaùc ñònh nhö sau: 1 i 1 i
sh 1−
z
ch 1−
z
th 1−
z
,
,
,
z
; vaø xaùc ñònh nhö sau:
2
ln
ln(
z
z
1
)
1 − = sh z
+
+
1 − = th z
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
1 2
1 1
+ −
1
−
2
ln
z
=
ln(
z
z
) 1
1 − = ch z
+
−
coth
⎛ ⎜ ⎝
1 2
1 ⎞ ⎟ ⎠ 1
z z z z
+ −
.
g(z)lnf(z) e
(i)
f(t) lieân tuïc hay lieân tuïc töøng khuùc treân toaøn truïc t (nhöõng ñieåm giaùn ñoaïn(neáu coù) thuoäc loaïi 1).
f
stMe
≤)( t
(ii) f(t) = 0 khi t < 0. (iii) f(t) coù baäc muõ. Töùc laø, toàn taïi caùc soá M > 0, s ≥ 0 sao cho ∀t > 0 thì
Soá s0 ≥ 0 sao cho baát ñaúng thöùc (iii) thoûa ∀s = s0 + ε (ε > 0) vaø khoâng thoûa vôùi s = s0 - ε (s0- caän döôùi chính xaùc cuûa s) ñöôïc goïi laø chæ soá taêng cuûa haøm f(t). Haøm goác f(t) khi t (cid:164) + ∞ roõ raøng hoaëc laø höõu haïn hoaëc | f(t) | taêng ra +∞ nhöng khoâng nhanh hôn haøm muõ
. ts0e
a) Haøm baäc thang ñôn vò ( unit step function, Heavisite’s unit function):
0
khi
u(t) :=
khi
〈 0t > 0 t
⎧ ⎨ 1 ⎩
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 5 laø haøm goác vôùi chæ soá taêng so = 0. Ñoà thò cuûa haøm baäc thang ñôn vò ñöôïc veõ trong hình 7.1. u(t)
1
t
0
Hình 7.1
b) Haøm f(t) =
= u(t)sint laø haøm goác vôùi chæ soá taêng so = 0.
khi khi
〈 0 t > 0 t
<
0
khi
t
0
c) Haøm f(t) =
= u(t)eαt laø haøm goác vôùi chæ soá taêng so = α.
tα
>
e
khi t
0
0 ⎧ ⎨ sin t ⎩ ⎧ ⎨ ⎩
0
khi
d) Haøm baäc thang ñôn vò treã a ñôn vò thôøi gian: u(t -a) :=
laø haøm goác
〈 at >
khi
t
a
⎧ ⎨ 1 ⎩
vôùi chæ soá taêng so = 0. Ñoà thò cuûa haøm baäc thang ñôn treã a ñôn vò thôøi gian vò ñöôïc veõ trong hình 7.2.
u(t-a)
1
0 a t
Hình 7. 2
d) Haøm loïc: uab(t) = u(t-a) – u(t-b) , ñoà thò laø hình 7.3.
uab (t)
1
0 a b t
Hình7.3
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 6
tu (
)]
b
a
)
−
−
−
ta
b
<<
Haøm naøy goïi laø haøm loïc vì khi nhaân moät haøm g(t) baát kyø vôùi noù, töùc laø , thì haøm g(t) seõ bò khöû maát ngoaøi baêng thoâng vaø giöõ tutg ( )[( nguyeân daïng trong baêng thoâng ñoù.
Qui öôùc veà caùch vieát
vieát
ñöôïc ⎯⎯⎯⎯
goïn laø ⎯⎯⎯
⎯
→
♦ Haøm u(t)
1
vieát
ñöôïc ⎯⎯⎯⎯
goïn laø ⎯⎯⎯
⎯
→
♦ Haøm u(t)sint
sint
vieát
⎯
goïn laø ⎯⎯⎯
→
♦ Haøm u(t) eαt
eαt
⎯
→
ñöôïc ⎯⎯⎯⎯ M ñöôïc vieát ⎯⎯⎯⎯
goïn laø ⎯⎯⎯
g(t)
kyù
hieäu
pt−
f
( ) t dt
Laplace F(p) :=
=
L [f(t)]
+∞ ∫ e 0
a) Haøm aûnh cuûa haøm f(t) = 1 laø haøm:
a
−
pt
pt
− e pt
dt
dt
F(p) =
=
=
lim +∞→
lim +∞→
a
a
e −
p
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
0
∞+ ∫ 0
a ∫ − e 0
−
pa
e
1
=
=
( vôùi Rep > 0)
lim +∞→ a
−
1 p
− p
b) Haøm aûnh cuûa haøm f(t) = eαt laø haøm:
a
−α
(
t)p
−
α
−α
pt
t
(
t)p
e.
e
dt
e
dt
F(p) =
=
=
lim +∞→ a
lim +∞→ a
e −α
p
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
0
∞+ ∫ 0
a ∫ 0
−α
(
a)p
e
1
=
=
( vôùi Rep > α)
lim +∞→ a
−α
1 α−p
− p
c) Haøm aûnh cuûa haøm f(t) = cost laø haøm:
a
−
pt
e
(sin
cos
)t
pt
cos
tdt
− e pt
.
cos
tdt
F(p) =
=
=
− pt 2
lim +∞→ a
lim +∞→ a
+ p1
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
0
a ∫ − e 0
∞+ ∫ 0
−
pa
+ p)a
e
(sin
=
( vôùi Rep > 0)
=
− pa cos 2
lim +∞→ a
+ p1
p 2p1 +
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
d) Töông töï haøm aûnh cuûa haøm f(t) = sint laø haøm:
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 7
− e pt
sin.
tdt
F(p) =
=
( vôùi Rep > 0) (cid:161)
1 2p1 +
∞+ ∫ 0
F p (
)
= 0
.
Neáu F(p) laø haøm aûnh cuûa haøm f(t) vôùi chæ soá taêng s0 thì
p
lim →∞
2
−
p
1
. Hoûi coù toàn taïi haøm goác f(t) sao cho F(p)=L [f(t)] khoâng?
2
+
p
1
2
−
p
1
≠=
01
Vì
, neân khoâng toàn taïi haøm goác f(t) sao cho F(p)= L [f(t)] . (cid:161)
2
lim ∞→ p
+
p
1
Pheùp töông öùng
Pheùp töông öùng ngöôïc laïi
pt−
f
( ) t d
t
f(t) → F(p) =
+∞ ∫ e 0
ñöôïc goïi laø pheùp bieán ñoåi Laplace hay toaùn töû Laplace.
F(p) → f(t) sao cho L [f(t)] = F(p) ñöôïc goïi laø pheùp bieán ñoåi Laplace ngöôïc . Kyù hieäu: L -1[ F(p)] = f(t) ; L -1{ F(p)} = f(t); F(p) → f(t), F(p) ≒ f(t)
Kyù hieäu:
L [f(t)] = F(p) ; L {f(t)} = F(p) ;
f(t) → F(p) ; f(t) (cid:78) F[p]
(cid:6) Nhaän xeùt Moãi bieán ñoåi Laplace luoân coù bieán ñoåi Laplace ngöôïc töông öùng vaø ngöôïc laïi.
= 1 ( vôùi Rep > 0)
a) L [1] =
; L -1
1 p
1 p
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
= eαt ( vôùi Rep > α)
b) L [eαt] =
; L -1
1 α−p
1 α−p
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 8
= cost ( vôùi Rep > 0)
c) L [cost] =
; L -1
p + 2p1
p 2p1 +
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
= sint ( vôùi Rep > 0)
; L -1
d) L [sint] =
1 + 2p1
1 2p1 +
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
a
pt
+
− − e
)1
pt
− e pt
tdt
tdt
=
=
e) L [t] =
pt( 2
lim +∞→
lim +∞→ a
a
p
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
0
∞+ ∫ 0
a ∫ − e 0
pa
+
− − e
)1
+
=
=
( vôùi Rep > 0). Do ñoù L -1
pa( 2
1 2
lim +∞→
a
1 2p
p
p
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
b
−
pt
pt
− e pt
= t . 1 2p ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣
− e pt
dt
lim +∞→ b
lim +∞→ b
e −
p
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
a
b ∫ − e a
∞+ ∫ 0
∞+ ∫ a
−
pb
pa
e
− dt)at(u = dt = = f) L [u(t-a)] =
lim +∞→ b
− − e − p
e pa− p
= ( vôùi Rep > 0) (cid:161) =
=
βα ,
laø
caùc
soá
phöùc
]
L
L
Neáu ),p(F vaø thì L [αf(t) +β g(t)] = αF(p) +β G(p )
β
α
− e pt
α )t(f [
− e pt
− e pt
L [αf(t) +β g(t)] =
+ )]t(g dt dt)t(f dt)t(g = + β
∞+ ∫ 0 ∞+ ∫ 0 ∞+ ∫ 0
-
= α L [f(t)] + β L [g(t)] = αF(p) +β G(p ). ª Ví duï 7.5
5 p
3 − 2p
wt
wt
e
−
+ 4 a) L [5– 3e2t + 4sint] = 5L [1] -3 L [e2t] +4 L [sint] = 1 2p1 +
− − e 2
1 2
1 2
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎦
= b) L [shwt] = L ( L [ewt] - L [e-wt] ) = 1 − wp 1 + wp
2
⎡ ⎢ ⎣ w 2 wp −
= , vôùi Rep > ⎢w⎢.
2
p 2 w −
p
−
pb
e
e
, vôùi Rep > ⎢w⎢. c) Töông töï L [chwt] =
− − pa p
. d) Aûnh cuûa haøm loïc : L [uab(t) ] = L [u(t-a)] - L [u(t-b)] =
(cid:161) 6 .2 Tính chaát ñoàng daïng ( thay ñoåi thang ño)
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 9
f(
)
=
>
α
)p(F
vaø
0
[ ] )t(f
) , L -1[ F(αp)] =
L
1 α
t α
Neáu thì L [f(αt)] =
−
u
−
p α
) . ª
L [f(αt)] =
p 1 ( F α α
1 α
e pt α dt)t(f = du)u(f = e
∞+ ∫ 0
∞+ ∫ 0
1
2
2
1 w
1 2 +
p
1
p
+
1
w
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
= a) Bieát L [sint] = . Khi ñoù L [sinwt] = w 2 w + p
2
2
1 w
p 2 +
p
1
p 2 w +
p
p
+
1
w
p w ⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
= (cid:161) b) Bieát L [cost] = . Khi ñoù L [coswt] =
pa−
=
)p(F
[ ] )t(f
L
pa−
Neáu F(p); vaø a > 0 thì L [u(t-a)f(t-a )]= e
F(p)]= u(t-a)f(t-a). L -1[
Chuù yù : u(t -a) =
e 〈 a t >
0 khi
⎧ ⎨ 1 ⎩
t a khi
− e pt
− e pt
L [u(t-a)f(t-a )] =
− − − dt)at(f dt)at(u)at(f =
−
−
−
+ )au(p
pa
pu
−
−
pa
pu
du)u(f e du)u(f = = ( ñaët u = t – a) ∞+ ∫ 0 ∞+ ∫ e 0 ∞+ ∫ e 0
e du)u(f = = e-paF(p). ª ∞+ ∫ e 0
2
2
pe −
. a) Bieát L [sinwt] = . Khi ñoù L [u(t-2)sin(w(t-2))] = e p2− w 2 w + p w 2 w + p
] = u(t-1)(t-1). b) Bieát L [t] = . Khi ñoù L -1[ 1 2p
=
)p(F
[ ] )t(f
L
Neáu , f(t) coù chæ soá taêng so , a laø soá phöùc
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 10
at )t(fe
⎡ ⎢⎣
⎤ ⎥⎦
= F(p-a) , vôùi Re(p-a) > so. thì L
−
−−
pt
at
t)ap(
dt)t(fe
dt)t(f
L
at )t(fe
⎡ ⎢⎣
⎤ ⎥⎦
∞+ e ∫ 0
∞+ e ∫ 0
= = = F(p-a) , vôùi Re(p-a) > so. ª
1 2) α−
p(
t . a) Bieát L [t] = . Khi ñoù L [eαt ] = 1 2p
2
2
. b) Bieát L [sinwt] = . Khi ñoù L [ eαt sinwt] = p( p
2
2
+α− )
+
. c) Bieát L [coswt] = . Khi ñoù L [ eαt coswt] = w 2 w + p 2 w + p w 2 w +α− ) α− p 2 w p(
.2
2
2
3 2
2
p
+ 4p + − p4
13
+
− 2p 2 +
− )2p(
− )2p(
3
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
= e2tcos3t + 2e2tsin3t. d) L -1 = L -1
Ñoà thò haøm tuaàn hoaøn f(t) ñöôïc bieåu dieãn trong hình 7.4. f(t)
T
pt f
( ) t dt
−∫Tp e
0
1
F(p) = L [f(t)] =
Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì aûnh cuûa noù laø 1 − − e
T2
T
dt)t(f
− e pt
dt)t(f
L [f(t)] =
∫ − e pt
T
∞+ ∫ 0
∫ − e pt 0
dt)t(f = + +……
T
T
T
Trong caùc tích phaân sau ta laàn löôït ñoåi bieán t = u+T, t = u + 2T….. , ta ñöôïc
dt)t(f
L [f(t)] =
∫ − e pu
∫ − e pu
0 T
0 T
∫ − e pt 0 T
du)u(f du)u(f +e-PT + e-2PT +….
dt)t(f
∫ − e pt
∫ − e pt
0
0
∫ − e pt 0
T
T
( ) t dt
pt f
dt)t(f dt)t(f + e-2PT +… = +e-PT
∫ − e pt
−∫Tp e
0
0
1
1 − − e
dt)t(f = . ª = (1+ e-PT + e-2PT +…………)
π
π
<≤ t neáu Tìm aûnh cuûa haøm goác f(t) = , f(t) tuaàn hoaøn chu kyø laø 2π. t0 π 0 neáu << t 2 ⎧ ⎨ ⎩
π 2
f(t) π 0 π 2π 3π 4π 5π t
1
pt
pt
tdt
dt)t(f
L [f(t)] =
∫ − e
∫ − e
π 0p2
0p2
−
pt
+
+
e
)1
− − e
)1
1
1
−
=
1 2
pt( 2
p
ππ p (p 2 p
p
− − π e1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
− − e1 ⎡ ⎢ ⎣
π ⎤ ⎥ ⎦
0
p2π−− e1
p2π−− e1
= = (cid:161)
Neáu haøm goác f(t) coù ñaïo haøm ñeán caáp n vaø caùc ñaïo haøm cuõng laø haøm goác thì:
Trong ñoù F(p) = L [f(t)] .
− pte)t(f
Aùp duïng tích phaân töøng phaàn, ta coù
− e pt
dt)t('f
− e pt
dt)t(f
L [f’(t)] =
= pF(p) – f(0). = [
∞ 0
∞+ ∫ 0
∞+ ∫ 0
L [f’’(t)] = p L [f’(t)] - f’(0) = p[pF(p) – f(0)]-f’(0) = p2F(p) – pf(0) – f’(0) ª
′
=
=
y
=−′′ y
.1)0(y,1)0(y,t
)P(YY =
= L [y] . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng tính chaát ñaïo
−
−
=
2 YP
′− Y)0(y)0(Py
1 2 P
2
⇔
−
+
−
P(Y
1P)1
Y
1 − 1P
1 2 −
1 =⇔++= 2 P
1
P
1 2 p
Ñaët haøm haøm goác ta ñöôïc:
− 1
− 1
− 1
− 1
[ Y
]
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 12 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá: ⎡ ⎢⎣
t
= = y L L L L 1 − 1P 1 2 − 1 2 P P 1 ⎤ −⎥⎦ ⎤ +⎥⎦ ⎤ ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣
t
=
+
−
+ − ⎡ ⎢⎣ .t =⇔ y e sht
y
e
sht
.t
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø: (cid:161)
'
Neáu F(p) = L [f(t)] vaø Re(p) > s0 thì L [t f(t)] = -F’(p) , L [t2f(t)]= F’’(p)…....L [tnf(t)]= (-1)n F(n)(p) , Re(p) > s0. Ví duï 7.11 Tìm : a) L [tsinwt] b) L [tn]
2
2
2
2
w +
pw2 +
p
w
22 )w
p(
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
)n(
= a) Ta coù L [sinwt] = ⇒ L [tsinwt] = - w 2 w + p
1 p
1 p
!n + (cid:161) 1np
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
=
= b) L [1] = ⇒ L [tn] = L [tn.1] = (-1)n
du)u(f
= >
)p(F p
)p(F 0s
⎫ ⎬ ⎭
[ ] ⎧ )t(fL ⎨ )pRe( ⎩
⎡ t ⎢ ∫L ⎢ 0 ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
, thì
)u(F
∞ ∫ p
=
du hoäi tuï trong nöûa maët phaúng Re(p) > s1 > s0 Neáu L [f(t)] = F(p), Re(p) > s0 vaø
L
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢⎣
∞ ∫ p
t
du
du)u(F thì , Rep > s1 > s0 )t(f t
L
L
t ∫
usin u
sin t
⎡ ⎢⎣
⎤ ⎥⎦
⎤ ⎥ ⎦
b)
t
=
−
du
arctgp
L
2
π 2
sin t
1 +
1 2 +
1
u
p
1
⎡ ⎢⎣
⎤ ⎥⎦
∞ = ∫ p
du
⇒ a) Ta coù L [sint] =
− arctgp
L
t ∫
usin u
1 p
π 2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
tf )(
tu (
)
π t sin(
) π
=
−
−
+
cos
5 udu
e-3t *sin6t +
= (cid:161) b) Theo tính chaát tích phaân haøm goác
t 2 e u ∫ − 0
Aùp duïng tính chaát tuyeán tính, tính chaát dòch chuyeån goác, ñònh lyù Borel, tính chaát tích phaân goác
πpe −
cos
[
[
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 13 ] =)(tfL
]+t6sinL
]te 3−L + [
[ e t 2−L
]t 5
1 p
p
1 2 +1
πpe −
=
+
.
+
.
3
1 p
1 +p
p
36
25
(
p
1 2 +1
6 2 +p
p 2 + 2 + )2 +
Tìm aûnh cuûa caùc haøm goác:
f
=)(t
t
5sin2 t
3cos
udu
a) f(t) = 5 – 3e2t –7 cost b) 2t
+
t e u 2 ∫ − 0
khi
,2
0
f
t )(
=
c) f(t) =
d) Neáu
vaø f(t+3π) = f(t)
khi
,2sin t
t << t <<
2 t << π 2 t > π
0 π
π 3 π
⎧ ⎨ ⎩
0 ⎧ ⎨ 3sin t ⎩
tf )(
tu (
)5
t 3 sin(
)15
=
−
−
+
2t
u cos
udu
3sin
udu
f) f(t) = 5 +sin3t– 3te-2t – cos2t+
t e u 2 ∫ − 0
t ∫ − et 0
e)
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 14
(cid:63) Ñònh nghóa Tích chaäp cuûa hai haøm phöùc bieán thöïc f(t) vaø g(t), 0 ≤ t < ∞ ; kyù hieäu laø f *
g
t
t
f *(
tg ))(
fug )(
t (
)u
du
g *(
f
t )(
)
−
=
u
(f
− du)ut(g).
ñöôïc ñònh nghóa bôûi
∫
∫
0
0
= =
(
t − u
du)
Ñaúng thöùc ôû giöõa trong ba ñaúng thöùc treân coù ñöôïc baèøng caùch ñoåi bieán. Nhö vaäy, tích chaäp coù tính giao hoaùn. Ví duï 7.14 t
∫
t 2 2
0
t
du
= . a) 1*t =
∫ u e
0
t
b) et*1 = = et – 1
∫
0 t
t
t
duusin = 1-cost c) sint*1 =
∫ − u t(
∫
∫
0
0
0 = t - sint (cid:161) (cid:63) Caùc tính chaát
) sin udu sin udu sinu udu d) t*sint = = t - = t(1-cost) – ( sint – tcost)
(i) Giao hoaùn: f ∗ g = g ∗ f
(ii) Keát hôïp: (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) = f*g*h
(iii) Phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng: f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
(iv) (kf)*g = k(f*g) , vôùi k laø haèng soá.
(v) |f ∗ g | ≤ | f | ∗| g |
(vi) Neáu f(t) vaø g(t) lieân tuïc trong 0 ≤ t < ∞ thì f ∗ g cuõng lieân tuïc.
(vii) Neáu f(t) laø haøm goác vôùi chæ soá taêng s1 vaø g(t) laø haøm goác vôùi chæ soá taêng s2
thì (f ∗ g)(t) laø haøm goác vôùi chæ soá taêng laø max{s1 , s2}.
=
>
Re(p)
{ s,smax
}
1
2
> >
)pRe( )pRe(
] [ = )t(f ),p(F [ ] = ),p(G)t(g
=
)]p(G).p(F
g*f
),p(G).p(F]g*f[ [1-
s 2 s 1
L
⎫ ⎬ ⎭
⎧ L ⎨ L ⎩
L ⎧ ⎨ ⎩
Neáu thì
t
u 3
e
−
t sin(
duu )
∫
0
a)Tìm aûnh cuûa haøm goác : f(t) = 5 + t sh2t + e-2tcos3t + .
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 15
1 2
+
3 p(p
)1
b) Tìm goác cuûa haøm aûnh: F(p) =
−
t2
t3
+
+
Giaûi
+= 5
et2tsh
cos
t3
sin*e
t
( ) tf
Aùp duïng baûng vaø ñònh lyù Borel ta ñöôïc :
P4
=
+
+
+
⋅
] [ ( ) tf
L
2
2
5 P
1 − 3P
1 2 +
1
P
+
9
( + 2P
+ 2P 2 )
−
4
a)Aùp duïng tích chaäp ta ñöôïc:
.
.
2
1 p
1 3 2 p(p
+ )1
1 2 p
1 + )1
⎡ ⎢ ⎣
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
=1* t * sint = 1*(t*sint) L -1 [F(p)] = L -1 = L -1
- 1 + cost ( xem laïi ví duï 7.14)
⎤ ⎥ ⎦ t 2 2
p( t 2 2
- (1- cost) = = 1* (t–sint) = 1*t – 1*sint =
(cid:161)
du
− sin( ).u(y)ut
t ∫ 0
Phöông trình töông ñöông vôùi : y(t) = 2 + sint* y(t)
2
Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
+
=
+ 3
2 p
2 p
1
Y 2 + p Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc : y(t) = L -1[Y] = 2 + t2 (cid:161)
)( uy
cos(
−
) duut
)1 ⇔ Y = + Y = + L [sint] L [y(t)] ⇔ Y = 2 p p(2 p 2 3 p
t ∫ 0
Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = e3t +2y(t)*cost
Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
Y =
+2Y
+ 2L [y(t)] L [cost] ⇔ Y =
3
3
1 −p
1 −p
p 12 +p
2
(*) =
+
+
Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
B 1−p
C 3−p
A 2)1 ( −p
p
)3
(
( −
)1 p + 2 ()1 p −
2
(*) =
+
+
Phaân
tích
thaønh phaân
thöùc ñôn giaûn: Y =
B 1−p
C 3−p
A 2)1 ( −p
p
)3
(
( −
)1 p + 2 ()1 p −
(vôùi A, B, C = const).
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 16
t
t
3 t
Ate
Be
Ce
+
+
0=p
5
1
=C
=A
=
−=
Töø ñaúng thöùc (*) tính ñöôïc
,
; tieáp theo cho
ñöôïc
3 2 1 + 13 −
CA,
BA
−−
−=B
tính vaøo tính ñöôïc
roài theá
.
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = 12 1 + 31 − 7 3
1 =− 3
C 3
Neáu L [f(t)] = F(p), L [g(t)]= G(p) thì
L [f(0)g(t) + f’∗ g] = pF(p) G(p).
L [g(0)f(t) + f∗ g’] = pF(p) G(p).
pw
− α
2 +
p(
p)(
2 )w
Aùp duïng coâng thöùc Duhamel tìm goác cuûa haøm H(p) =
2
w 2 w +
p
, f(0) = 0 , f’(t) = wcowt Ñaët f(t) = sinwt , L [f(t) ] = L [ sinwt ] =
1 α−p
pw
g(t) = eαt , L [g(t) ] = L [ eαt ] =
.p
.
2
2
1 α−
p
− α
2 +
w +
p(
p)(
2 )w
p
w
t
)ut(α −
cos
e.wu
du
H(p) = = = pF(p).G(p)
∫
t
t
−
+
cos
)wt
2 sinw
α-
tα
u
e
cos
e.wu
du
⇒ L-1[H(p)] = f(0)g(t) + f’∗ g = f’∗ g = w
∫ .
0 α α e(wwt 2 2 α +
w
0
= w = . (cid:161)
2
2
− 2p − − 5p4
p
+ 8p + + 8p4
p
a) F(p) = b) F(p) =
⇒ L -1[F(p)] = e2tch3t.
2
2
− 2p − − 5p4
− 2p 2 − − )2p(
3
p
+
= a) F(p) =
.3
2
2
2
+
+ 2p 2 + + )2p(
2
+ 8p + + 8p4
2 2 + )2p(
2
p
= b) F(p) =
⇒
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 17
L -1[F(p)]= e-2tcos2t + 3e-2tcos2t (cid:161)
Neáu bieát L [f(t)]= F(p) vaø L [g(t)]= G(p) thì coù theå tìm goác cuûa F(p)G(p), pF(p)G(p) nhôø tích chaäp.
= t * et = et-t – 1 (cid:161)
2
1 2p
1 − )1p(p
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎦
= L -1 L -1 1 − 1p
2
3
2
Tìm goác cuûa caùc haøm aûnh sau :
+ 2
2
p p
p p
p
p
2 + )(2
(
2
2
)5
4 p ( p
3 p − )(1 p
10 p + 2 )(2 p
16 )4
+
3 +
+
+
−
−
− +
3
b) F(p) = a) F(p) =
2
+ 2
p
p
4 − )(2
(
)(1
)3
2 2 p p −
+
−
p p
p p
p
p
4
)13
(
3 ()2
(
4
)1
p
p
2 + )(1 +
3 −
+
−
−
p 1 + )(29 p +
−
c) F(p) = d) F(p) = +
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 19
pt−
f
( ) t dt
+∞ ∫ e 0
F(p) = L [f(t)]=
f(t) = L -1[F(P)] L [αf(t) +β g(t)] = α L [f(t)]+β L [g(t)] L [eat f(t)] = F(p-a) L -1[F(p-a)]= eat f(t)
= L [f(t)]
1 p
t ∫ du)u(fL 0
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
T
pt f
( ) t dt
L [u(t-a) f(t-a)] = e-ap F(p) L -1[ e-ap F(p)] = u(t-a) f(t-a) L [f’(t)] = p L [f(t)]-f(0) L [f’’(t)] = p2 L [f(t)]-pf(0)-f’(0) M L [f(n)(t)] = pn L [f(t)]-pn-1f(0)-……-f(n-1)(0) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
−∫Tp e
L [f(t)] =
0
1
1 − − e
du)u(F
L
)t(f t
⎤ =⎥⎦
⎡ ⎢⎣
∞ ∫ p
t
t
u
− u
(f
− du)ut(g).
∫
∫
t(f du)u(g). (f*g)(t) = =
0
0
L [f*g] = L [ f(t)] L [ g(t)]
L [f(0)g(t) + f’∗ g] = pF(p) G(p)
L [g(0)f(t) + f∗ g’] = pF(p) G(p)
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 20
BAÛNG ÑOÁI CHIEÁU GOÁC - AÛNH CÔ BAÛN
chwt
2
F(p) = L[f(t)] STT 1 p
w
11
shwt
2
1 p −α
w
p
(
12
13
2
2
2
! +1
p
)
(
n p n
F(p) = L [f(t)] p α − ) 2 α( p − − w −α 2 )− 2 pw w + 2
2
p 2 p
(
) 2
p
STT 01 02 03 04
2
2
p
(
p
)
w − 2 w + 2 pw 2 w −
2
2
(
p
(
) 2
p 2 p
+ −
at
bt
f(t) eαt eαt tsinwt tcoswt tshwt tchwt e
p
(
)
−
bt
e
e
ln
p
w w2 2+ p 2+ w2 n ! +α 1 n )− w w2 2− p 2− w2
e − ba − at − t
w 2 w 1 bpap )( − p b − p a −
05 06 07 08
2
−
sinwt
2
9
sinwt
(
p
w
w +2 )− a
2
2 2
) α w
( w p ) α( p −
+
[
2
2
(
p
−
) α
−
]
f(t) 1 eαt n t sinwt coswt tn eαt shwt chwt eαt eαt
coswt
w 2 2
2
t eαt t eαt
coswt
(
p
w
−
) α
+
09 10
w
p − α ) 22 p α( − +
]
[
14 15 16 17 18 1 20
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 21
Baøi toaùn vaø caùc ñieàu kieän ñaàu
Y P(
)
Phöông trình ) ñaïi soá (
f(t) = L -1 [F(p)]
( ) F p
=
Bieán ñoåi Laplace Lôøi giaûi Giaûi phöông cuûa baøi trình ñaïi toaùn soá Bieán ñoåi Laplace ngöôïc
Trong sô ñoà treân, neáu baøi toaùn vôùi ñieàu kieän ban ñaàu laø heä phöông trình vi phaân hoaëc heä phöông trình tích phaân hoaëc heä phöông trình vi tích phaân thì töông öùng chuùng ta coù heä phöông trình ñaïi soá. Khi ñoù, chuùng ta giaûi heä phöông trình ñaïi soá roài bieán ñoåi Laplace ngöôïc seõ ñöôïc lôøi giaûi baøi toaùn ban ñaàu.
, khi
0
2
<< t >
t
2
et ⎧ ⎨ 1 , khi ⎩
b) y’’+3y’+2y = f(t) , y(0) = y’(0) = 0 , f(t) =
])t(yL [ a) Ñaët Y = Y(P) = ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc:
1
. Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng tính chaát
2 +
+ )1p(
1
2
p2Y – py(0) –y’(0) +2[pY – y(0)] + 5Y =
2
+ p ⇔ Y = + 3p2 2 + + P( + P)(2p2 + )5p2
Bieái ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng keát quaû ví duï 7.21c ta ñöôïc nghieäm phöông
t
+
−
+
=
e-tsint + e-tsin2t trình laø : y(t) =
e
( ) tf
( − 2tu
)2tu ( −
[ ( ) tue t
] )
〈< 2t > 2
1 3 0 ,1 ,0
1 3 0 0, ⎧ 1 ⎨ 1, t ⎩
⎧ ⎨ ⎩
〈< 2t > 2 t = et – e2.e(t-2)u(t-2) + u(t-2)
b) =
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 22
−
−
P2
P2
2
=
−
⋅
+
] [ ( ) tf
−
−
P2
P2
e
2
2
+
+
−
=
⋅
e
e e ⇒ L 1 − 1p e − 1p p
Ñaët Y= L (y); bieán ñoåi Laplace 2 veá phöông trình ; aùp duïng tính chaát ñaïo haøm haøm goác vaø tính chaát dòch chuyeån goác ta ñöôïc : ( P
1 − 1p
e − 1p
−
−
p2
2
p2
−
+
=⇔ Y
−
+
+
−
+
)(
p ⋅ e ( + 2p1p1p
1
)( −
1
)( 1
⇔ e + e )(
1
) − 1
1
−
−
p2
p2
+
+
+
−
+
+
=
+
+
Y
2 ee
e
6 − 1p
2 + 1p
3 + 2p
6 − 1p
2 + 1p
3 + 2p
2 p
− 1 + 1p
2 + 2p
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
)2p1pp ( )( ⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
1 ( + 2p1p1p 1
te
e
ty )(
=
−
te +−
2 t −−
1 2
1 3
1 6
1
1
1
1
−
−
− 2t
( −− 2t
)
( − 2t2
)
( −− 2t
)
( − 2t2
)
−
+
−
+
e
e
e
e
e
e
−
)2tu ( −
2
3
2
2
⎤ +⎥⎦
⎡ 12 ⎢⎣ 6
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢⎣
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
Bieán ñoåi ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát dòch chuyeån goác ta ñöôïc
te 2−
te
y’’ - 4y’ + 20y = 3
+ , vôùi y(0) = 0, y’(0) = 0
)( pYY =
. Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát tuyeán tính vaø
=
t
2 Yp
pY
py
y
e
Y
)0(
−
−
−
)t(y ] [ Ñaët L tính chaát ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc: +
=
( 4)0(' −
)
[ +−23L e
]t
2
p
( pY
4
)20
⇔
=
−
+
+
1
2
p
20 1 −
⇔ =Y
p
(
)(2
+
+
1
2
p
p
p + A +
)0( y 3 p + 1 4 p − 2 + ]16 )[(1 )2 p − − ( 4)2 pC D − + B 2 + ( 16 )2 p − −
D
C
B
]
=)(ty
+
+
+
=
1 − [ AL
][1 Y−L
2
p
2
p
p
4 )2
16
(
(
16
2 p − 2 )2 − +
+
−
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát tuyeán tính ta ñöôïc 1 1 − 2 De t
4cos t
4sin t
tBe
+
+
⇔ Tìm
(*) =
+
+
1
2
p
B −
p
p
]16
)(2
(
2 +
+
=
p 3 32
1 17
]16
)[(12( −−
2 +
2 +
4
4)2 ( pC D − + 2 + )2 ( 16 p − 114 −× )21)[(21( − D −
0=p
B−
+
=
Töø (*) cho
+ 2 C + 20
A 2
]16 1 − 2 20 ×−
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 23
2=p
B ++
Töø (*) cho
=
7 64
A 4
D 4
=D
Suy ra
=C
,
83− 544
59 544
y
t
y
y
)('6)('' ty +
=
+
0)0( =
0)0(' =
,
,
a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân treân.
)(ty
b) Giaû söû
laø phöông trình chuyeån ñoäng thaúng cuûa moät chaát ñieåm theo thôøi gian t. Xaùc
ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa bieân ñoä chuyeån ñoäng khi t ñuû lôùn.
a) Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] , bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng tính chaát ñaïo
haøm goác ta ñöôïc
2 Yp
pY
6
18 Y
+
+
=
2
p
4
6 +
Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån roài phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc
Y =
2
2
+
+
+
=
+
=
2 2
p ( Ap p
p
p
p
4
4
(
9
(
9
)[(4 + 2 B + 2 + 4
6 p ]9 )3 + + ( 3)3 pC D + + 2 + ( 9 )3 p +
Ap 2 +
B +
( pC + 2 )3 p +
)3 +
3 D 2 )3 +
+
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc ta ñöôïc
+
+
)(ty
=
+
]
1−L [Y ]=
1−L [
2 2
p
p
p
4
4
(
9
(
9
Ap 2 +
B +
( pC + 2 )3 p +
)3 +
3 D 2 )3 +
+
)(ty
cos
A
t 2sin
C
e t − (3
3cos
)3sin t
Bt 2 +
Dt +
hay
=
+
với A = -9/85 , B = 21/170 , C = 9/85 , D = 2/85
sin
cos
=
∧
=
α
α
0
C
e t − (3
3cos
sin
)3 t
b) Khi t đủ lớn:
Dt +
≈ , ñaët
2
A 2
B 2
2
A
B
A
B
+
+
2
2
ty )(
A
cos
t 2sin
A
B
sin((
t 2
≈
Bt 2 +
=
+
) α+
Khi ñoù
2
2 B
A +
Ñaây laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa dao ñoäng ñieàu hoøa coù bieân ñoä dao ñoäng laø
2
2 B
A +
Vaäy biên độ chuyển động gần bằng
, với A = -9/85 , B = 21/170
0≠ot
Neáu baøi toaùn ñöôïc cho ñieàu kieän ban ñaàu cho taïi thì chuùng ta giaûi töông töï nhö
ví duï sau.
y
y
yt
y
,2sin
('
9'' +
=
1 −=
,1) =
π ) 2
Giaûi phöông trình vi phaân
Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] , bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng tính chaát ñaïo haøm goác ta ñöôïc
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 24
2 Yp
py
y
Y
)0(
−
−
9)0(' +
=
2
p
4
2 +
y
A
const
y
)0('
const
)
2 Yp
pA
B
9 Y
==)0(
B ==
−
−
+
=
hay
( vôùi
,
2
p
4
2 +
Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån roài phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc
Y
=
+
+
2
2
p
p
p
p
9
9
(
)4
2 )(9
Ap 2 +
B 2 +
+
+
(
)
=
+
+
−
2
2
2 5
p
p
p
p
4
9
9
9
Ap 2 +
B 2 +
1 +
1 +
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc ta ñöôïc
(
)]
[
+
×
−
=)(ty
1−L
3 2
2
2
1 2
1 3
1 ×+ 3
2 5
p
p
p
p
4
9
9
9
Ap 2 +
B +
2 +
3 +
A
cos
3 t
3sin t
2sin t
3sin t
+
−
+
B 3
1 5
A
cos
3 t
3sin t
2sin t
3sin t
+
−
+
hay
=)(ty
B 3
1 5
)(' ty
3sin
cos
A
t 3
cos
2 t
cos
3 t
Bt +
−
Ñaïo haøm
= -3
+
2 15 2 15 2 5
A
−=
+
−=
y
1) =
B 3
⇔
⇔
y
A
B
('
1
31
=−
−
−=
−=
2 5 1 5 13 5
π ( 2 π ) 2
2 15 2 5
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎧ 1 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
cos
3 t
3sin t
t2sin
−
−
=)(ty
+
Ta coù
1 5
1 5
Vaäy nghieäm caàn tìm cuûa phöông trình laø
= = y
b) Giaûi heä phöông trình vi phaân :
4y2'x a) Giaûi heä phöông trình vi phaân : , vôùi ñieàu kieän x(0) = 3, y(0) = 2
2
y
0
=
− ⎧ ⎨ + t3x2'y ⎩ x 3 −= ' ⎧ ⎨ xy ++ ' ⎩
=
=
X
, vôùi ñieàu kieän x(0) = 1, y(0) = 2 .
[ ] Y,x
L
L
−−
−
=
+=
3Y2
Y23
PX
PX
a) Ñaët
⇔
⇔
= =
L 2
[ x [ y
] −′ ] +′
[ ] y [ ] x
[ ] 1 [ ] t
L
L 3 L
L
⎧ L ⎨ ⎩
+−
+
=
X22
PY
PY
+= 2
2 4
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ X2 ⎩
4 P 3 2P
4 P 3 2P
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 25
=
+
+
X
=
+
−
X
2
+
P
P
4
)
16 2 +
P
4
⇔
⇔
.
=
+
−
=
−
+
Y
Y
P − 2
2
6 ( 2 2 PP 5 2
6 2 P 13 4
4 5 P4
P3 2 + 6 +
P +
8 + 4 − 6 2 +
P3 2 + 4 P2 2 +
+
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
4
4
P
P
4
4
P
P
4
( PP
)
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
=
+
x
3
cos
.
Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm :
−=
−
+
cos
t2
y
t2sin3
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
− t2sin8t6t2 5 4
13 4
=
=
X
b) Ñaët
[ ] Y,x
L
L
7 3
)
+ = 1Y3 ) + = 2Y2PX
XP ( +
⎧ ⎨ ⎩
[ ]y ; bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc : − ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
−
t3
t
+
−=
e
e
x
= = + X + ⇔ 4 + 3P 7 4 − 1P 1 = + = Y P
(cid:161)
−
t
t3
+
=
e
e
y
Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm:
x
vôùi ñieàu kieän x(0) = 0, y(0) = 0
x
− 4P ( )( − 3P1P − 2P2 2 + − 3P2 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 4 + 3P 7 4 7 4 4 − 1P 3 4 1 4
6' y − = 7' y −+
=
⎧ ⎨ ⎩
=
=
X
[ ] Y,x
[ ]y
L
L
PX
Y 6
−
=
2
=
P
5 +
⇔
=
[ x L [ ] x
[ ] 6 y L [ ] −′ 7 y
] −′ + L
L
[ ] 5sin t L [ ] [ ] 3 1 y L
⎧ ⎨ L ⎩
X
P
Y
(
)7
+
−
=
25 3 P
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
2
X
=
X
=
+
+
+
E p
p
p
p
(
)6
C p −
D −
23 2 +
450 p −
⇔
⇔
Y
=
+
+
Y
=
2
1
6
1 ' C p −
6 ' D p −
'5 B 25
Ap + 2 p + ' pA 2 p
5 B 25 + +
p
p
(
p − )(25 p 3 )(25
)6
+
p 35 + p )(1 − 2 70 + p )(1 −
−
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
6
t
t
E t
'
'
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm heä phöông trình 5sin t + + + t 6 eDeCt 5sin'
)( 5cos tx A = ty A )( ' =
Bt + Bt 5cos +
De +
Ce +
⎧ ⎨ ⎩
2
+
+
+
=
Tìm A, B, C, D, E döïa vaøo:
1
p
6
E p
C p −
D −
Ap 2 p
5 B 25
+ +
p − )(25
)6
p
(
23 2 +
35 p + p )(1 −
450 p −
p 2
=E
=
, D =
, C=…
7 3
450 )6)(1(25 −
−
6.23 2 6(
+
6.35 450 − + 6)16)(25 − 2
+
+
=
Tìm A’, B’, C’, D’ döïa vaøo:
2
6
1
C ' p −
D ' p −
pA ' 2 p
B '5 25
+ +
p 3 )(25
(
p
p
)6
70 + p )(1 −
+
−
Ñaët ; bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:
Phöông trình sau ñaây goïi laø phöông trình tích phaân Volterra loaïi 2
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 26
t
tk (
duuyu )()
−
∫
0
y(t) = f(t) +λ , y(t) laø haøm caàn tìm, λ = const
[ ]yL , F(p) =
])t(kL [
, K(p) = . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông Aùp duïng tích chaäp , phöông trình ñöôïc vieát laïi : y(t) = f(t) + k(t) * y(t) [ )t( ] fL
− 1
=
=
Ñaët Y = Y(p) = trình vaø aùp duïng ñònh lyù Borel ta ñöôïc :
Y
y
L
)p(F λ− )P(K1
)p(F λ − )p(K1
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
t
2
sin(
ty )(
t
uy )(
t
duu )
=
+
−
Y = F(p) + λK(p)Y ⇔ ª
∫
0
2
=
+
∗
)t(y
t
)t(y
sin
=
)P(YY
t
] [ )t(y
=
+
Y
⋅+ Y
=⇔ Y
Aùp duïng tích chaäp, phöông trình ñöôïc vieát laïi döôùi daïng: Ñaët
L= 2 3 P
2 5 P
1
P
4
− 1
− 1
2
+
=
ta ñöôïc: . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng ñònh lyù Borel 1 2 +
y
t
L
L
t 12
2 3 P
⎤ =⎥⎦
⎡ ⎢⎣
⎡ ⎢⎣
2 3 P ⎤ +⎥⎦
4
=
2 +
)t(y
t
Bieán ñoåi ngöôïc hai veá:
2 5 P t 12
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: (cid:161)
t
)( ty
12
5 te −
=
5
cos
uy )(
t (2
−
∫
+ duu )
*)(5 ty
2cos
)( ty
5 te −
12
=
AÙp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi + Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] , vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng ñònh lyù Borel ta ñöôïc
Y
5 Y
=
+
5
12 p +
p
4
p 2 +
2
+
(*) =
Y =⇔
+
(
p
p
)4
)4 + p )(1
1
5
p
4
+
−
−
A +
B p −
C −
t
t
t
4
5 −
)( ty
Ce
Ae
Be
=
+
t
t
sin(
uy )(
t
duu )
−
∫
0
y’’ +y = sint+ , vôùi y(0)= 0, y’(0) = 1.
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 27
Aùp duïng tích chaäp, phöông trình ñöôïc vieát laïi döôùi daïng:
=
=
y’’ +y = sint+ y(t)*sint
] )t(yL)P(YY
[
Ñaët . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình , aùp duïng tính chaát ñaïo
1 2 +
Y 2 +
P
1
1
P
haøm haøm goác vaø ñònh lyù Borel ta ñöôïc : P2Y – 1 +Y = +
1 2p
Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån soá ta ñöôïc : Y =
Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm phöông trình laø : y = t. (cid:161) 5. ÖÙng duïng vaøo cô hoïc
♦ Moät chaát ñieåm P coù khoái löôïng m chuyeån ñoäng doïc truïc 0x vôùi hoaønh ñoä x(t); vaø
bò huùt veà goác 0 bôûi moät löïc höôùng taâm f1(t) = kx(t).
→ 1f
° P x x Hình 7.5
0 v(t)
Theo ñònh luaät Newton ta coù phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm laø
2 xd 2
2 xd 2
dt
dt
m = -f1(t) ⇔ m + f1(t) = 0 ⇔ mx’’ + k x = 0
♦ Neáu coù theâm moät löïc taét daàn tyû leä vôùi vaän toác töùc thôøi cuûa chaát ñieåm laø f2(t) = αv(t) taùc duïng vaøo chaát ñieåm thì theo ñònh luaät Newton phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm laø
2 xd 2
2 xd 2
dt
dt
m = -f1(t) - f2(t) ⇔ m + f1(t) + f2(t) = 0
→ 2f
⇔ mx’’ + k x +αv(t) = 0 ⇔ mx’’ +αx’(t) + k x = 0
→ 1f
° P x x
0 v(t)
Hình 7.6
♦ Baây giôø, neáu coù theâm ngoaïi löïc f(t) taùc duïng vaøo chaát ñieåm thì theo ñònh luaät
Newton phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm laø
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 28
2 xd 2
2 xd 2
dt
dt
m = -f1(t) - f2(t) + f(t) ⇔ m + f1(t) + f2(t) = f(t)
⇔ mx’’ + k x +αv(t) = f(t) ⇔ mx’’ +αx’(t) + k x = f(t)
a) Khoâng coù löïc naøo khaùc taùc ñoäng leân chaát ñieåm.
→ 2f
b) Chaát ñieåm chòu taùc duïng cuûa moät löïc taéc daàn f2(t) = -8v(t); vôùi v(t) laø vaän toác töùc thôøi cuûa chaát ñieåm.
→ 1f
° P x x
0 v(t)
Hình 7.7 Giaûi
Treân hình 7.7 ta choïn chieàu döông cuøng chieàu truïc 0x. Khi x > 0 thì f1 < 0; khi x< 0 thì f1> 0 ( do löïc huùt höôùng taâm). Khi v> 0 (chaát ñieåm P ñang chaïy veà phía beân phaûi) thì f2 < 0 ; khi v< 0 (chaát ñieåm P ñang chaïy veà phía beân traùi) thì f2 > 0 ( do löïc huùt taét daàn vaø ngöôïc chieàu vectô vaän toác).
a) Theo ñònh luaät Newton, ta coù : m x’’ = f1 ⇔ 2x’’ = -8x
Ta ñöôïc phöông trình : x’’ + 4x = 0 , x(0) = 10, x’(0) = vo = 0
])t(xL [
Ñaët X = ; bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng tính chaát ñaïo
p10 2 +
p
4
haøm haøm goác ta ñöôïc : p2 X – 10p + 4X = 0 ⇔ X =
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc : x(t) = 10cos2t.
b) Theo ñònh luaät Newton, ta coù : m x’’ = f1 + f2 ⇔ 2x’’ = -8x -8x’
Ta ñöôïc phöông trình : x’’ + 4x’ + 4x = 0 , x(0) = 10, x’(0) = vo = 0
)t(x ] [
L
Ñaët X = ; bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng tính chaát ñaïo
+
40
+
haøm haøm goác ta ñöôïc :
p10 2
+
+ 4p4
p
20 2)2p( +
10 + 2p Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc : x(t) = 10e-2t + 20t e-2t .
p2 X – 10p +4(pX- 10) + 4X = 0 ⇔ X = ⇔ X =
di
)( t
dv
t )(
v
L
)( = t
L
v
t )(
=
R
tRi )( R
i
C
t )( =
C
L dt
C dt
v
)( t
i
)( t
dt
=
=
C
C
∫
1 C
q C
(cid:43)Maïch RLC: Xeùt maïch ñieän nhö hình 7.8. Trong ñoù R, L, C laø caùc haèng soá.
2
L
)t(qd 2
R L
)t(q LC
)t(di dt
)t(q C
)t(E L
dt
L
+ Ri(t) + = E(t) ⇔ + = +
)t(dq dt )t(di dt
♦ Neáu maïch khoâng coù phaàn töû C thì ta coù : + Ri(t) = E(t)
♦ Neáu maïch khoâng coù phaàn töû L thì ta coù : Ri(t) + = E(t)
)t(q C )t(q RC
)t(dq dt
)t(E R
hay + =
a) Cho E(t) = E0 laø haèng soá. Tìm i(t).
b) Tìm i(t) neáu E(t) = E0sinωt , ω laø haèng soá.
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 30
L
)t(di dt
Ta coù : + Ri(t) = E(t) , i(0) = 0, R, L laø cacù haèng soá.
] [ )t(i
L
])t('iL = [
L
di dt
⎡ ⎢⎣
⎤ ⎥⎦
)t('i.L
⇒ = pI-i(0) = pI. Ñaët I = I(p) =
1
−
a) + Ri = Eo . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
R
E o ⇔ I (Lp +R) = p
E o ⇔ I = p
E o + Lp(p
)R
Eo R
1 p
+
p
L
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
R − t L
⇔ I = LIp +RI =
] = I [
-1L
− e1 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc : i(t) = E o R ⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠
)t('i.L
Ñoà thò i(t) ñöôïc bieåu dieãn trong hình 7.10. i(t) Eo R
i(t) 0 t Hình 7.10 b) + Ri = Eosinwt . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
2
2
wE o 2 +
+
+
w
p
wE o 2 Lp)(w
)R
p(
+
C
1
+
⇔ I = LIp +RI =
Ap 2
Bw 2
R
R
2
wE o L
wE o L
+
p
w
+
+
+
p
p(
2 p)(w
)
L
L
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
R − tL
+
cosA
+ sinBwt
wt
Ce
⇔ I = ⇔ I =
wE o L
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
+
1
C
=
+
Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc : i(t) = (*)
Ap 2
Bw 2
R
R
2
+
p
w
+
+
+
p(
2 p)(w
)
p
L
L
−
+
(**) Tìm A, B, C baèng caùch xeùt :
p
R L
R L
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
2 L
♦ Nhaân hai veá cuûa (**) vôùi vaø cho p → ta ñöôïc :
2
2
+
R
22 Lw
C = = 1 2 w + p lim −→ p R L
♦ Nhaân hai veá cuûa (**) vôùi p vaø cho p → ∞ ta ñöôïc :
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 31
−
2 L
2
+
R
=
0 = A + C ⇒ A = -C =
B w
L R
wRL 2 +
22 )Lw
R(
22 Lw L 2 Rw Thay A, B, C vaøo (*) ta ñöôïc keát quaû :
−
R tL
e
♦ Töø (**) cho p = 0 ta ñöôïc : +C ⇒ B =
− 2
− 2
+
+
wLE o 22 Lw
wLE o 22 Lw
R
R
22 )Lw
R(
wRL 2 + (cid:161)
coswt + sinwt + i(t) =
te
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1.
b) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
y’’ -5y’ + 4y = 54e-2t -15et -30 sin2t-40cos2t, vôùi y(0) = 0, y’(0) = a ( a laø ngaøy sinh cuûa baïn)
cos
(3
uy )(
−
y(t)= e5t+10
duut )
t ∫ 0
0
d) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân π
y’’ –2y’ –3y =
vôùi y(0) = 0, y’(0) = 0
,2sin t
t << t > π
,0 ⎧ ⎨ ⎩
x
y
c) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phaân
4' +
vôùi ñieàu kieän x(0) = 0, y(0) = 0
3'
t 2sin −te
y
x
=
y ++
⎧ ⎨ ⎩
Giaûi 3
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 32
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 33
BAØI TAÄP
-t
2
t
e
sin
6) f(t) = 4et sin4 t + t3e2t + 6 t sh2t+3. 7) f(t) = tet cost + t2e-3tsin2t 8) f(t) = te-2tchat 1) f(t) = 2) f(t) = 3t5e-t + 3tet +7 3) f(t) = 2 e-3t sint – 5et cos2t +3
te + t
cos 3 t
t 2 2
+1 +t 9) f(t) =
4) f(t) = tcos2t – 3tsin3t +4 5) f(t) = 4 e3t sin2t + 2t3e2t + 5 e-t sh3t+
10) f(t) = 4 e-3t cos2 3t + t3et + 5 e-2t 4cos2t.
cht+7.
π
π) = f(t)
t 0
0 1
< < 0 t > 0
1 2
t
< < t < < t
⎧ ⎨ ⎩
sin t ⎧ ⎨ 0 ⎩
t0 khi
<≤
a) f(t) = , f(t+ c) f(t) = f(t +2) = f(t)
π) = f(t)
2 π
π 2
π 2π
t0 khi <≤ t <≤ π
sint ⎧ ⎨ khi 0 ⎩
khi
2π
t <≤
π 2
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ sint ⎩
, f(t+2 b) f(t) = d) f(t)= ,f(t +2π)=f(t)
a) Vieát phöông trình cuûa f(t).
b) Tìm aûnh cuûa f(t).
t
2
u)
cos2u
du
∫ − (t
sin 2 t -1
a) f(t)= d) f(t) =
cost t -at
bt
b) f(t) =
e
0 e) f(t) = t2 * e3tsin2t sht t
sin
t π
−− e t
f) f(t)= c) f(t) =
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 34
a) f(t) = t , g(t) = 1
d) f(t) = t2 , g(t) = et e) f(t) = et , g(t) = et sint
b) f(t) = cost , g(t) = t c) f(t) = et , g(t) = t
f) f(t) = t , g(t) = sint g) f(t) = e2t , g(t) = 1
d) a)
f(t) = t, g(t) = sint f(t) = e2t , g(t) = 1 f(t) = et, g(t) = te2t f(t) = t2, g(t) = e3t sin2t b) e)
f(t) = sint, g(t) = cos2t c)
−
p (
5p + )
3 + + 2 3
11) F(p) = 1) F(p) = ; b ≠ 0 ;
2
+
+
p(
2 )
5 p 2 1 p )( 2 + p 2 1 p() p
12) F(p) = 2) F(p) = ; b ≠ 0 ;
2
2
3
p
+
+
p(
9 )
13) F(p) = 3) F(p) =
2
2
2
1
p
−
4 p)( 1 + 2
p
p (
)(
p
− ) 2
3 2
a bp c+ ap 2 + bp c − 1 2 p 2 + − p − 3 p + + p 1
2
6
5
+
p
p
4) F(p) = 14) F(p) =
3
2
− 2
3
1 )
p(
6
−
+
−
p
11 p
p
1
−
5) F(p) = 15) F(p) =
2
2
7
6 p 5 )(3
(
)1
p
p
−
−
p
5
−
−
+ 3 p 2 p − 2
4 p p
6) F(p) = + 16) F(p) =
2
p 3 p
− 9 + 9 p
6 )(5
(
p
p
)2
−
−
p
2
+
6
+
p
2 − p 5
7) F(p) = + 17) F(p) =
2
2
−
+
p(
2 )
20
p
+
−
6 3 p)(
2 )
p(
20
+
p
4 + p 8 +
+ p
+ 8) F(p) = + 18) F(p) =
+
−
2
4 + p 1 2
+
−
p(
4 )
6
25
−
+
p
2
3
4 + p
5
1
2
9
p +
+
2 2 p
p
1
p +
p
+ 9) F(p) = 19) F(p) =
2
−
−
6 3 1 − p)( p)( 10 6 + p 1 3 − p)( p)( 4 3 p)(
1 )
p(
6
25
−
+
p
p
+ 10) F(p) =
1) y’’ - 2y’ + 10y = cos2t ; y(0) = 0, y’(0) = 1 2) y’’ + y = t – (t-1) u(t-1), y(0) = 2 , y’(0) = 1 3) 2y’’ - 3y = 4sint + 5cost , y(0) = -1, y’(0) = -2
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 35
4) y’’ + 2y = 3cos2t , y(0) = -1, y’(0) = 0
'
= −
x
2 + 3 y
t
'
=
+
2
4
y
x
−
'
t
2
vôùi ñieàu kieän ban ñaàu : x(0) = 2, y(0) = 3 a)
+ 2 +
= e''y 1 =−
x 'x
yx
b) , x(0)= y(0) =y’(0) = 0.
=+ 'z'y t −tez''y =−
⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ ⎧ ⎨ ⎩
−
2(t
1)
2
−
1)
c) , y(0) = 3 , y’(0) = -2 , z(0) = 0
cos3(t 0
khi 0
> 1t << 1t
− 1) << 1t ≥ 1t
π
t
e ⎧ ⎨ ⎩
0 < < t > π
t
t
⎧ 1)-(t ⎨ 0 khi ⎩ cos ⎧ ⎨ sin ⎩
c) f(t) = t khi b) f(t) = 1 khi d) f(t) =
t
0
<< t
π 2
< 0 < 1t 1) y’ - y = f(t) ; y(0) = 0 ; f(t) = 1 > 1t
>
t
π 2
2
0 neáu
, y(0) =0
3) y’ + y = f(t) , f(t) =
2) y’ - 3y = f(t) , y(0) = 2 ; f(t)
t
2
1 ⎧ ⎨ ⎩
, y(0) = y’(0) = 0
4) y’’ – y’ = f(t) , f(t) =
<< >
0 neáu t neáu
1t 1
neáu 0 e-t ⎧ ⎨ 0 ⎩
<≤
0
+ 1t-
kh i
5) y’ + 2y = f(t) , y(0) = 0 , vôùi f(t) =
1t > 1t
6) y’ - y = f(t) , y(0) =2 , vôùi f(t) =
khi 1 <≤ 1 ≥
khi
t0 hi t
⎧ ⎨ ⎩
π
7) y’ + 2y = f(t) , y(0) =3 , vôùi f(t) =
<≤ t π > <≤
kh i
0
1t
8) y’+3y = f(t) , y(0) = 1 , vôùi f(t) =
E o 0 khi
≥ 1t
2
kh
9) y’ - 2y = f(t) , y(0) = 2 , vôùi f(t) =
<≤ 2
i t0 ≥
kh
i t
10) y’ -3y = f(t) , y(0) = 2 , vôùi f(t) =
π << t π >
khi khi
0 t
⎧ ⎨ 0 ⎩ t k 1)-(t-e 0 kh i 0 ⎧ ⎨ sin2t kh i t ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ 0 ⎧ ⎨ te ⎩ sint ⎧ ⎨ 0 ⎩
2 ⎧ ⎨ − ⎩ ⎧ sin ⎪⎪ ⎨ ⎪ 1 ⎪ ⎩ << t >
τττ d)(x)
−
τττ
sin(
t
(y)
). d
t ∫ 0
−
2 t(
3 t
−
τττ d)(x)]
2 t(
−
e
e
τττ ) d)(y
−−t t(e ∫ 0 t [cos ∫ 0
t ∫ 0
τττ d)(x)
t ∫ − t( 0
t
2
=
+
t
( ) tx
( ) duuy
∫
0 t
+= t
( ) ty
( ) duuz
∫
0 t
+= 1
( ) tz
( ) duux
∫
0
⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
ún
+′
=
t5sin
x4
x5
80
oøng ñieän i(t) trong maïch noái tieáp RL thoûa phöông
trình vi phaân :
+ Ri = E(t) (volts) ; i(0) = 0, R, L laø c
acù haèng soá.
L
di dt
b) Tìm i(t) neáu E(t) =
10
,
0cosωt , ω laø haèng soá. a) Tìm i(t) neáu E(t) = E ≤< 5t 0 , t10 ⎧ ⎨ > 5 ⎩
t Cho maïch ñieän RLC nhö hình veõ vaø bieát i(0) = 0.
a) Cho E = Eo (volts) . b) Cho E = Eo e-αt (volts) .
a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
y’’ -6y’ +13y = 6te3t + 4cos2t +5sin2t, vôùi y(0) = 0, y’(0) = a (a laø ngaøy sinh cuûa baïn)
b) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
, vôùi ñieàu kieän x(0) = 0, y(0) = a (a laø ngaøy sinh cuûa baïn)
x x
t 5 2
y 5' − = y 6' −+
cos y =
⎧ ⎨ ⎩
Vaän toác nguoäi laïnh hoaëc noùng leân cuûa moät vaät trong moâi tröôøng tyû leä vôùi hieäu giöõa nhieät ñoä cuûa vaät vaø nhieät ñoä moâi tröôøng xung quanh. Töùc laø,
neáu goïi
T = T(t) laø nhieät ñoä cuûa vaät theo thôøi gian Tm laø nhieät ñoä moâi tröôøng k laø heä soá tyû leä
thì
)
=
mTTk ( −
dT dt
+ Ri = E(t) vôùi R, L laø caùc haèng soá.
L
di dt
a) Cho E(t) = E0 laø haèng soá. Tìm i(t). b) Tìm i(t) neáu E(t) = E0cosωt , t > 0 , vôùi E0 vaø ω laø haèng soá. Chöùng minh i(t) coù theå vieát döôùi daïng
E
at
−
o
=
+
Φ−
t ω
ti )(
eA .
cos(
)
2
aL
ω2
a
=Φ
+ , vaø A laø haèng soá.
,
)
arctg ω /
)(tr
S
cuûa moät maùy sau t naêm seõ giaûm vôùi toác ñoä tyû leä vôùi hieäu giöõa giaù trò hieän taïi thoûa phöông trình laø giaù trò pheá lieäu cuûa maùy thì
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 38
k
S
= const
0>
−=
−
laø haèng soá tyû leä
( rk
) , vôùi
dr dt
(tr
) bieát giaù trò mua môùi cuûa maùy laø $16.000, giaù trò 2 naêm sau laø $8.000 vaø giaù trò
00.
)(tP
)(tE
(ñôn vò laø trieäu ngöôøi) của một cộng đồng tăng theo quy luật hàm mũ với tỷ lệ )(tI (ñôn vò trieäu ngöôøi/naêm) công dân di cư khỏi cộng đồng tại thời điểm t,
)(tP
thoaû
tE )(
tI )(
rP
+
=
−
Giải phương trình xác định dân số tại thời điểm t (ñôn vò laø naêm) trong trường hợp
01.0)( =tI
tE
te −
= 05.0)(
r = 0.01,
,
, P(0) = 90 trieäu
