Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 1
Chöông 7
PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE VAØ ÖÙNG DUÏNG
Trong chöông naøy , baïn seõ hoïc
♦ Khaùi nieäm haøm bieán phöùc.
♦ Khaùi nieäm haøm goác, haøm aûnh.
♦ Pheùp bieán ñoåi Laplace, pheùp bieán ñoåi Laplace ngöôïc.
♦ Caùc tính chaát cuûa pheùp bieán ñoåi Laplace.
♦ Khaùi nieäm tích chaäp, aûnh cuûa tích chaäp.
♦ Moät soá phöông phaùp tìm haøm goác.
♦ ÖÙng duïng pheùp bieán ñoåi Laplace ñeå giaûi phöông trình vi phaân, moät soá
phöông trình tích phaân, heä phöông trình vi phaân.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
§1. PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE
0. Khaùi nieäm haøm bieán phöùc
Giaû söû A laø taäp hôïp ñieåm trong maët phaúng phöùc z. Neáu coù moät qui taéc, goïi teân laø maø
moãi soá phöùc z ∈A , töông öùng vôùi moät hoaëc nhieàu soá phöùc xaùc ñònh w , thì ta noùi treân taäp A ñaõ
xaùc ñònh moät haøm bieán phöùc .
,f
)(zfw =
♦ Neáu moãi soá phöùc z ∈A, töông öùng vôùi duy nhaát moät soá phöùc xaùc ñònh w, thì ta noùi
)(zf laø haøm ñôn trò.
w=
♦ Neáu moãi soá phöùc z ∈A, töông öùng vôùi hai hay nhieàu soá phöùc xaùc ñònh w, thì ta noùi
)(zf laø haøm ña trò.
w=
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 2
♦ Neáu )(zf laø haøm bieán phöùc xaùc ñònh treân taäp A thì A goïi laø mieàn xaùc ñònh vaø taäp
B = {w / ∃ z ∈ A thoûa f(z) = w} goïi laø mieàn giaù trò cuûa haøm bieán phöùc )(zf .
w=
w=
♦ Sau naøy, khi noùi ñeán moät haøm phöùc )(zfw
=
maø khoâng noùi roõ gì theâm thì ta xem ñoù
laø haøm ñôn trò.
Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa haøm bieán phöùc
Cho haøm bieán phöùc , töùc laø cho phaàn thöïc u vaø phaàn aûo v cuûa w. Neáu
)(zfw =
iy
x
z+= thì u vaø v laø hai haøm thöïc cuûa hai bieán soá ñoäc laäp x vaø y. Toùm laïi, cho haøm
phöùc , töông öùng cho hai haøm thöïc u = u(x, y) , v = v(x, y).
)(zfw =
w= f(z) w = u(x, y) + iv(x, y) (2.1)
⇔
+= iyxz
Ví duï7.0 Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc haøm phöùc
a) w = z
1 b) w= z2 + 2iz
Giaûi
a) w = z
1 = iyx
1
+= 22 yx
iyx
+
−=22 yx
x
++i 22
y
yx +
−
Vaäy u(x,y) = 22 yx
x
+ , v(x,y) = 22 yx
y
+
−
.
b) w = (x+iy)2 + 2i(x-iy) = x2 –y2 + 2ixy + 2ix + 2y = (x2 –y2+ 2y) + i(2xy + 2x)
Vaäy u(x,y) = x2 –y2+ 2y , v(x,y) = 2xy + 2x ¡
Nhaéc laïi
♦ Luõy thöøa baäc n soá phöùc- Coâng thöùc Moivre
Neáu z = r( cosϕ i sinϕ ) ta ñöôïc coâng thöùc luõy thöøa baäc n soá phöùc
±
z n =
[
= rn( cosnϕ
]
Coâng thöùc Moivre
n
)isinr(cos
ϕϕ
±
±
i sinnϕ ) , ∀n∈ Z
n
)isin(cos
ϕϕ
± i sinnϕ , ∀n∈Z
±
= cosnϕ
♦ Khai caên baäc n cuûa soá phöùc
Cho soá phöùc z = r(cosϕ + isinϕ) ≠ 0. Khi ñoù nz laø soá phöùc w thoûa wn = z.
Ñaët w = ρ(cosθ + isinθ) , ta coù
ρn(cosnθ + isinnθ) = [ρ(cosθ + isinθ)]n = wn = z = r(cosϕ + isinϕ)
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 3
⎩
⎨
⎧
∈+=
=
⇒Z kvôùi ,2kn
r
n
πθ
ρ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
+
=
=
⇒Z k,
2k
r
n
vôùi
n
π
θ
ρ
ϕ
. Suy ra
zr k
nik
n
nn
=+++
(cos sin
ϕ
π
ϕ
π
22
); k = 0,1,2,..., n-1; n ∈ N+
Nhaän xeùt Caên baäc n cuûa moät soá phöùc z = r(cosϕ + isinϕ) ≠ 0 coù taát caû n giaù trò, chuùng coù
bieåu dieãn hình hoïc laø n ñænh cuûa moät ña giaùc ñeàu n caïnh noäi tieáp ñöôøng troøn taâm 0 baùn
kính laø nr.
♦ Coâng thöùc Euler- Daïng muõ cuûa soá phöùc
Coâng thöùc Euler: cosϕ + isinϕ = eiϕ
Daïng muõ soá phöùc: z = r(cosϕ + isinϕ) = reiϕ
0.1 Haøm ña thöùc w = anzn + an-1zn - 1 + .....+ a1z + a0 = P(z)
vôùi an ≠ 0; a0, a1, ....., an laø caùc haèng soá phöùc, n laø soá nguyeân döông ñöôïc goïi laø baäc ña
thöùc P(z).
0.2 Haøm phaân thöùc ñaïi soá w := Pz
Qz
()
()
vôùi P(z), Q(z) laø caùc ña thöùc.
0.3-Haøm muõ
♦ w = ez = ex + iy = ex(cosy + isiny)
ez+2kπi = ez e2kπi ez(cos2kπ + isin2kπ) = ez , k ∈Z.
♦ 1 ≠ a ∈ R+ : az := ezlna
Ví duï 2 .7 2z = ezln2 ; 2 3+i = e (3+i) ln2 = e3ln2 eiln2 = e3ln2 [cos(ln2) +isin(ln2)]. ¡
0.4 -Caùc haøm löôïng giaùc
sin zeiz eiz
i
=−−
2 ; coszeiz eiz
=+−
2
tgz z
z
=sin
cos ; cot cos
sin
gz z
z
=
Vôùi t ∈ R , cos(it) = 2
ee tt +
−
+∞⎯⎯→⎯+∞→t; sin(it) = 2
ee tt −
−
+∞⎯⎯→⎯−∞→t. ª
* Nhaän xeùt Caùc haøm sinz, cosz khoâng bò chaën treân .
0.5-Caùc haøm Hyperbolic
shz ezez
=−−
2 ; chz ezez
=+−
2
thz shz
chz
= ; shz
chz
zcoth =
0.6 Caùc haøm logarit
♦ Neáu z = ew thì ta vieát w = lnz, goïi laø logarit töï nhieân cuûa z.
z = reiϕ = rei(ϕ + k2π), k = 0, ± 1, ± 2, ....
w= lnz = lnr + i(ϕ + k2π); k = 0, ± 1, ± 2,....
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 4
Vaäy w = lnz laø haøm ña trò. Vôùi moãi soá nguyeân k coá ñònh , ta seõ xaùc ñònh ñöôïc moät nhaùnh
cuûa haøm, luùc ñoù haøm trôû thaønh ñôn trò. Nhaùnh chính cuûa haøm lnz , kyù hieäu laø Lnz, xaùc
ñònh bôûi: Lnz = lnr + iϕ vôùi 0 ≤ ϕ < 2π ( hoaëc coù theå laáy -π < ϕ ≤ π).
Haøm lnz laø haøm ngöôïc cuûa haøm ez .
♦ Neáu z = aw thì w = logaz, 0 < a≠ 1:
W z z
==log ln
aaln
0.7-Caùc haøm löôïng giaùc ngöôïc
Caùc haøm ngöôïc cuûa caùc haøm sinz, cosz, tgz, cotgz laàn löôït laø arcsinz, arccosz, arctgz,
arccotgz; vaø xaùc ñònh nhö sau:
arcsin ln( )ziiz z=+−
112 arctgz i
iz
iz
=+
−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
1
2
1
1
ln
arccos ln( )zizz=+−
11
2 arc gz i
zi
zi
cot ln=+
−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
1
2
0.8 -Caùc haøm Hyperbolic ngöôïc
Caùc haøm ngöôïc cuûa caùc haøm shz, chz, thz, cothz laàn löôït laø , , ,
; vaø xaùc ñònh nhö sau:
zsh 1−zch 1−zth 1−
zcoth 1−
sh z z z
−=++
11ln( )
2
th z z
z
−=+
−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
11
2
1
1
ln
ch z z z
−=+−
11ln( )
2
coth ln
−=+
−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
11
2
1
1
zz
z
0.9 - Haøm luõy thöøa zα , α ∈ C ñöôïc ñònh nghóa bôûi
zα := eαlnz
Töông töï haøm ( f(z)) g(z) = .
g(z)lnf(z)
e
1- Haøm goác Haøm goác laø haøm phöùc bieán thöïc f(t) = u(t)+ iv(t), thoûa maõn 3 ñieàu kieän sau:
(i) f(t) lieân tuïc hay lieân tuïc töøng khuùc treân toaøn truïc t (nhöõng ñieåm giaùn ñoaïn(neáu coù)
thuoäc loaïi 1).
(ii) f(t) = 0 khi t < 0.
(iii) f(t) coù baäc muõ. Töùc laø, toàn taïi caùc soá M > 0, s ≥ 0 sao cho ∀t > 0 thì st
Metf ≤)(
Soá s0 ≥ 0 sao cho baát ñaúng thöùc (iii) thoûa ∀s = s0 + ε (ε > 0) vaø khoâng thoûa vôùi s = s0 - ε
(s0- caän döôùi chính xaùc cuûa s) ñöôïc goïi laø chæ soá taêng cuûa haøm f(t).
Haøm goác f(t) khi t ¤ + ∞ roõ raøng hoaëc laø höõu haïn hoaëc | f(t) | taêng ra +∞ nhöng khoâng
nhanh hôn haøm muõ .
ts0
e
Ví duï 7.1
a) Haøm baäc thang ñôn vò ( unit step function, Heavisite’s unit function):
u(t) := ⎩
⎨
⎧
>
〈
0 t khi1
0
khi 0
Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 5
khitsin
khi 0
khie
khi0
tα
laø haøm goác vôùi chæ soá taêng so = 0. Ñoà thò cuûa haøm baäc thang ñôn vò ñöôïc veõ trong
hình 7.1. u(t)
1
0 t
Hình 7.1
b) Haøm f(t) = >
〈
0 t
0 t = u(t)sint laø haøm goác vôùi chæ soá taêng so = 0.
⎩
⎨
⎧
c) Haøm f(t) = >
<
0t
0t = u(t)eαt laø haøm goác vôùi chæ soá taêng so = α.
⎩
⎨
⎧
d) Haøm baäc thang ñôn vò treã a ñôn vò thôøi gian: u(t -a) := laø haøm goác
vôùi chæ soá taêng so = 0. Ñoà thò cuûa haøm baäc thang ñôn treã a ñôn vò thôøi gian vò ñöôïc veõ
trong hình 7.2.
⎩
⎨
⎧
>
〈
at khi1
at khi 0
u(t-a)
1
0 a t
Hình 7. 2
d) Haøm loïc: uab(t) = u(t-a) – u(t-b) , ñoà thò laø hình 7.3.
uab (t)
1
0 a b t
Hình7.3