PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA DẤU CĂN
Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thường gặp
trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi. Với cơ sở
lý thuyết đã được cung cấp ở chương I, tác giả xin đưa ra một số ví dụ
minh hoạ
VD1:
Tìm GTNN của biểu thức sau với x
R
1)
2 2
1996 1997
D x x
2) 1
1
Fx x
Giải:
1)
1996 1997
D x x
Cách 1: Xét các khoảng giá trị của x
Với x < 1996 thì D = 1996 - x + 1997 – x = 3993 – 2x > 1
Với
1996 1997
x
thì D = 1
Với x > 1997 thì D = 2x – 3993 > 1
Do đó minD = 1 xảy ra khi
1996 1997
x
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức
+
b
a b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab
0
1996 1997
D x x
1996 1997 1
x x
MinD = 1 xảy ra khi
1996 1997 0 1996 1997
x x x
2) 1
1
Fx x
Điều kiện :
0
x
Cách 1:
Vì F < 0 nên xảy ra 0
min
x
F
2 2
( ) 0 ( )
x a y a xy a x y a xy as a a s a
Vì
0
x
nên
0
min
x
x
= 0
Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0
Cách 2: 1
1
1 1
x
vì
0
x
Do đó 1
1
1 1x
Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0
VD2:
Tìm GTLN của biểu thức
123
yz x xz y xy z
Kxyz
Giải:
1 2 3
x y z
K
xyz
với điều kiện
1, 2, 3
x y z
Áp dụng bất dẳng thức Cô-si ta có:
1 1
1 1 1
2 2
x x
x x
1 1 2 2
2 2 2 . 2
2 2 2 2
1 1 3 3
3 3 3 . 2
3 3 2 3
y y
y y
y z
z z
Do đó
2
2 2 2 3
x y z
Kx
y z
1 1 1 1 1 1
1
2 2
2 2 2 3 2 3
Vậy maxK =
1 1 1
1
2
2 3
Xảy ra khi x = 2, y = 4, z = 6
VD3:
Tìm GTNN của biểu thức sau
2
5 3
1
x
H
x
Giải:
2
5 3
1
x
H
x
xác định khi -1 < x < 1
0
H
Ta có
22
2 22
2
2 2 2
2
3 5
9 30 25 16 165 3 25 30 9
16 16
1 1 1
1
x
x x xx x x
Hx x x
x
Vậy minH = 4 khi x =
3
5
VD4:
Tìm GTNN của biểu thức sau
K =
2 1 1 2 1 1
x x x x
Giải:
Điều kiện :
1
x
K =
2 1 1 2 1 1
x x x x
K =
2 2
1 1 1 1
x x
=
1 1 1 1
x x
1 1 1 1 2
x x
minK = 2
1 1 1 1 0
x x
Vì
1 1 0
x

nên
1 1 0 0
x x
Vậy minK = 2 xảy ra khi
1 0
x
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức:
A = 2
6 13
x x
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức:
B =
2 37
2 1
x x
x
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức:
C =
2
33 2
2
x
x x
2
33 2
2
x
x x
Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức:
1 2 2
4
2 2
x
Dx
x x