ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------
NGUYỄN THỊ THU THỦY
PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐÔNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------
NGUYỄN THỊ THU THỦY
PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐÔNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành :Toán ứng dụng
Mã số
: 60 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Trƣơng Minh Tuyên
THÁI NGUYÊN - 2016
i
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trương Minh Tuyên, người
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để
hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo trong khoa Toán
- Tin trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ và
truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại
Trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh
đạo trường Trung học phổ thông Gang Thép cũng như toàn thể các đồng nghiệp
trong trường Trung học phổ thông Gang Thép đã quan tâm và tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn các học viên trong lớp Cao học Toán K8A và các
bạn đồng nghiệp xa gần về sự động viên, khích lệ cũng như trao đổi về chuyên
môn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
ii
Mục lục
Lời cảm ơn i
Một số ký hiệu và viết tắt iii
Mở đầu 1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach, toán tử đơn
điệu và ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . 13
1.2.1. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Phương pháp điểm gần kề quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 19
1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp
điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 21
2.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 29
2.3. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận 35
Tài liệu tham khảo 36
iii
Một số ký hiệu và viết tắt
không gian Banach E
không gian đối ngẫu của E E∗
phần tử không của không gian Banach E θ
R tập hợp các số thực
R+ tập các số thực không âm
phép giao ∩
cận dưới đúng của tập hợp số M inf M
cận trên đúng của tập hợp số M sup M
số lớn nhất trong tập hợp số M max M
số nhỏ nhất trong tập hợp số M min M
tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X argminx∈XF (x)
tập rỗng ∅
với mọi x ∀x
miền xác định của toán tử A D(A)
miền ảnh của toán tử A R(A)
toán tử ngược của toán tử A A−1
toán tử đồng nhất I
Lp(Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω
lp không gian các dãy số khả tổng bậc p
d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M
iv
khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp C1 và C2 H(C1, C2)
giới hạn trên của dãy số {xn} xn lim sup n→∞
dãy số thực {αn} hội tụ giảm về α0 αn (cid:38) α0
dãy {xn} hội tụ mạnh về x0 xn −→ x0
dãy {xn} hội tụ yếu về x0 xn (cid:42) x0
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị j
mô đun lồi của không gian Banach E δE(ε)
mô đun trơn của không gian Banach E ρE(τ )
F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T
dưới vi phân của hàm lồi f ∂f
bao đóng của tập hợp M M
d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M
sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác err
1
Mở đầu
Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợp riêng
của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng của một họ
hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {Ci}i∈I của không gian Hilbert H
hay không gian Banach E". Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong
các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, y
học ...
Khi Ci = F ix(Ti), với F ix(Ti) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn
Ti, i = 1, 2, ..., N , thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựa trên các
phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng. Đó là các phương pháp lặp Kranoselskii,
Mann, Ishikawa, Halpern và phương pháp xấp xỉ mềm. Chẳng hạn, tương tự
như phương pháp chiếu xoay vòng để giải bài toán chấp nhận lồi trong không
gian Hilbert, năm 1996 Bauschke H. H. đã đề xuất phương pháp lặp xoay vòng
dựa trên phương pháp lặp Halpern cho bài toán tìm điểm bất động chung của
một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert...
Ta biết rằng, nếu T là một ánh xạ không giãn trong không gian Banach E,
thì toán tử A = I − T là một toán tử j-đơn điệu, với I là toán tử đồng nhất
trên E. Như vậy, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các
ánh xạ không giãn Ti trong không gian Banach E có thể đưa về bài toán tìm
không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử j-đơn điệu Ai = I − Ti với
i = 1, 2, ..., N .
Đối với bài toán tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn các phương trình
toán tử với các toán tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng. [11] đã
đề xuất và nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho bài toán
2
tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn trị đơn điệu, thế năng, h-liên tục từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E∗. Ông đã
quy bài toán giải hệ phương trình với các toán tử đơn điệu cực đại về việc giải
một phương trình toán tử và thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán về một
nghiệm của hệ khi các tham số hiệu chỉnh được chọn thích hợp.
Năm 2008, trên cơ sở kết quả nghiên cứu đạt được của mình vào năm 2006,
tác giả Buong Ng. [12] lần đầu tiên nghiên cứu kết hợp phương pháp điểm gần
kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu
chỉnh, cho việc giải bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các
toán tử đơn điệu cực đại Ai = ∂fi, với ∂fi là dưới vi phân của các phiếm hàm
lồi, chính thường, nửa liên tục dưới yếu fi, i = 1, 2, ..., N trong không gian
Hilbert H.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả trong bài báo của
Tuyen T.M. [25] và bài báo của Kim J.K., Tuyen T.M. [20] về các phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, cùng
với tính ổn định của các phương pháp cho bài toán tìm điểm bất động chung của
một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Nội dung chính
của luận văn được chia làm hai chương. Chương 1, giới thiệu sơ lược về một số
vấn đề liên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, bài toán đặt
không chỉnh với các toán tử loại đơn điệu, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov,
phương pháp điểm gần kề quán tính , phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu
chỉnh và cuối cùng là một số bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh các kết
quả nghiên cứu đạt được ở các chương sau của luận văn. Chương 2, trình bày về
các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính
hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ
không giãn trong không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu
theo dãy [25], đồng thời tính ổn định của các phương pháp [20] cũng được giới
thiệu trong chương này.
3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này bao bồm 5 mục. Mục 1.1 trình bày một số vấn đề về không
gian Banach lồi đều, trơn đều, một số lớp toán tử loại đơn điệu, ánh xạ không
giãn cùng những tính chất cơ bản của chúng. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán đặt
không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Mục 1.3 và 1.4 trình bày về
các phương pháp điểm gần kề quán tính và phương pháp điểm gần kề quán tính
hiệu chỉnh. Mục 1.5 trình bày một số bổ đề quan trọng thường xuyên sử dụng
1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach,
toán tử đơn điệu và ánh xạ không giãn
đến trong việc chứng minh các định lý chính ở chương sau của luận văn.
Cho E là một không gian Banach và E∗ là không gian đối ngẫu của nó. Để
cho đơn giản và thuận tiện hơn, chúng tôi thống nhất sử dụng kí hiệu (cid:107).(cid:107) để chỉ chuẩn trên E và E∗; Sự hội tụ mạnh và yếu của dãy {xn} về phần tử x trong E lần lượt được kí hiệu là xn → x và xn (cid:42) x trong toàn bộ luận văn.
Trong luận văn này, chúng tôi thường xuyên sử dụng tính chất dưới đây của
không gian Banach phản xạ.
Mệnh đề 1.1. (xem [1] trang 41) Cho E là một không gian Banach. Khi đó,
các khẳng định sau là tương đương:
i) E là không gian phản xạ.
ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu.
4
Tiếp theo, trong mục này chúng tôi đề cập đến một số vấn đề cơ bản về cấu
trúc hình học các không gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, mô đun lồi, mô
đun trơn ...
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈
E, x (cid:54)= y mà (cid:107)x(cid:107) = 1, (cid:107)y(cid:107) = 1 ta có
< 1. x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
Chú ý 1.1. Định nghĩa 1.1 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương
sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa
mãn = 1, suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ SE và x (cid:54)= y ta có (cid:107)x + y(cid:107) 2 (cid:107)tx + (1 − t)y(cid:107) < 1 với mọi t ∈ (0, 1), trong đó
SE = {x ∈ E : (cid:107)x(cid:107) = 1}.
Định nghĩa 1.2. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0,
tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà (cid:107)x(cid:107) = 1, (cid:107)y(cid:107) = 1, (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε ta
luôn có
≤ 1 − δ(ε). x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gian
Banach lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ ra
điều đó.
Ví dụ 1.1. (xem [1] trang 54) Xét E = c0 (không gian các dãy số hội tụ về
không) với chuẩn (cid:107).(cid:107)β xác định bởi
i=1
(cid:19)1/2 (cid:18) ∞ (cid:88) , x = (xi) ∈ c0. (cid:107)x(cid:107)β = (cid:107)x(cid:107)c0 + β |xi|2 i2
Khi đó, (E, (cid:107).(cid:107)β), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là không gian
lồi đều.
Để đo tính lồi của không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau:
Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số
(cid:26) (cid:27) 1 − : (cid:107)x(cid:107) ≤ 1, (cid:107)y(cid:107) ≤ 1, (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε . δE(ε) = inf x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
5
Nhận xét 1.1. Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định,
liên tục và tăng trên đoạn [0; 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi
δE(2) = 1 (xem [1] trang 59). Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi và
chỉ khi δE(ε) > 0, ∀ε > 0 (xem [1] trang 60).
Mệnh đề 1.2. (xem [1] trang 56) Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không
gian phản xạ.
là trơn nếu với mỗi
Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E được gọi x ∈ SE, tồn tại duy nhất fx ∈ E∗ sao cho (cid:104)x, fx(cid:105) = (cid:107)x(cid:107) và (cid:107)fx(cid:107) = 1.
Định nghĩa 1.4. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Chuẩn trên
E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE, tồn tại giới
hạn
. (1.1) ((cid:107)x + ty(cid:107))t=0 = lim t→0 d dt (cid:107)x + ty(cid:107) − (cid:107)x(cid:107) t
Định nghĩa 1.5. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó:
a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi
x ∈ SE.
b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ SE giới hạn
(1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ SE.
c) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mọi x ∈ SE, giới hạn (1.1)
tồn tại đều với mọi y ∈ SE.
d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều
với mọi x, y ∈ SE.
Định lí 1.1. (xem [1] trang 92) Cho E là một không gian Banach. Khi đó, ta
có các khẳng định sau:
a) Nếu E∗ là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn.
b) Nếu E∗ là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt.
6
Định nghĩa 1.6. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định
bởi
ρE(τ ) = sup{2−1(cid:0)(cid:107)x + y(cid:107) + (cid:107)x − y(cid:107)(cid:1) − 1 : (cid:107)x(cid:107) = 1, (cid:107)y(cid:107) = τ }.
Nhận xét 1.2. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liên
tục và tăng trên khoảng [0; +∞) (xem [1] trang 95).
Ví dụ 1.2. [21] Nếu E là không gian lp hoặc Lp(Ω), thì ta có
(1 + τ p)1/p − 1 < τ p, 1 < p < 2, (1.2) ρE(τ ) = τ 2, p ≥ 2. 1 p p − 1 τ 2 + o(τ 2) < 2 p − 1 2
Định lí dưới đây cho ta biết về mối liên hệ giữa mô đun trơn của không gian Banach E với mô đun lồi của E∗ và ngược lại.
Định lí 1.2. (xem [15] trang 70) Cho E là một không gian Banach. Khi đó ta
có
a) ρE∗(τ ) = sup{ − δE(ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0.
b) ρE(τ ) = sup{ − δE∗(ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0. τ ε 2 τ ε 2
Nhận xét 1.3. Từ Định lí 1.2, suy ra
, và ρ0(E∗) = ρ0(E) = ε0(E∗) 2 ε0(E) 2
. trong đó ε0(E) = sup{ε : δE(ε) = 0}, ρ0(E) = limτ →0 ρE(τ ) τ
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
= 0. lim τ →0 ρE(τ ) τ
Từ Nhận xét 1.3, ta có định lý dưới đây:
Định lí 1.3. (xem [15] trang 70) Cho E là một không gian Banach. Khi đó ta
có các khẳng định sau:
a) Nếu E là không gian trơn đều thì E∗ là không gian lồi đều;
7
b) Nếu E là không gian lồi đều thì E∗ là không gian trơn đều.
Ví dụ 1.3. Mọi không gian Hilbert, không gian lp hay Lp(Ω) với
1 < p < +∞ đều là không gian Banach lồi đều và trơn đều (xem [13] trang
54).
Định nghĩa 1.8. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa trị J : X −→ 2X ∗ xác định bởi
J(x) = {f ∈ X ∗ : (cid:104)x, f (cid:105) = (cid:107)x(cid:107)2, (cid:107)x(cid:107) = (cid:107)f (cid:107)}
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X.
Chú ý 1.2. Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh
xạ đồng nhất I.
Nhận xét 1.4. Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì X, ta luôn có
J(x) (cid:54)= ∅ với mọi x ∈ X, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lý Hahn
- Banach.
Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn X.
Mệnh đề 1.3. (xem [1] trang 69) Cho X là một không gian tuyến tính định
chuẩn và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó,
i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x), ∀x ∈ X;
ii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X;
iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của X thì J(D) là một tập
hợp bị chặn trong X ∗;
iv) Nếu X ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;
v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của X khi và chỉ khi
X là không gian Banach trơn đều.
8
Ví dụ 1.4. Xét không gian lp, với p > 1. Vì không gian đối ngẫu lq của không gian lp là lồi đều, nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của lp là đơn trị và dễ thấy
nó được xác định như sau:
θ nếu x = θ J(x) =
{ηn} ∈ lq nếu x = {ξn} (cid:54)= θ,
trong đó ηk = |ξk|p−1sgn(ξk)(cid:107)x(cid:107)2−p với mọi k ≥ 1.
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E được
gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và nếu {xn} ⊂ E thỏa mãn
xn (cid:42) x, thì J(xn) (cid:42) J(x).
Chú ý 1.3. Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí
hiệu nó bởi j.
p (Ω) lại không có tính chất này
Ví dụ 1.5. Các không gian lp với p > 1 có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy, nhưng các không gian Lp(Ω) và W m
(xem [1]).
Bổ đề 1.1. [3] Cho E là một không gian Banach trơn đều. Khi đó, với mọi
x, y ∈ E, ta có
(1.3) (cid:107)x + y(cid:107)2 ≤ (cid:107)x(cid:107)2 + 2(cid:104)y, j(x)(cid:105) + cρE((cid:107)y(cid:107)),
trong đó c = 48 max(L, (cid:107)x(cid:107), (cid:107)y(cid:107)) và L là hằng số Figiel, 1 < L < 1.7.
Tiếp theo, trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất
cơ bản của toán tử đơn điệu và j-đơn điệu.
Định nghĩa 1.10. Cho E là một không gian Banach. Toán tử A : D(A) ⊂ E −→ 2E∗ được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) ta luôn có
(cid:104)x − y, u − v(cid:105) ≥ 0, ∀u ∈ A(x), ∀v ∈ A(y). (1.4)
được gọi là Định nghĩa 1.11. Một toán tử đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E∗
đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(u, x) : x ∈ D(A), u ∈ A(x)} của nó
không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác trong E.
9
Ví dụ 1.6. [23] Cho f : E −→ R là một hàm lồi chính thường nửa liên tục
dưới. Khi đó, toán tử dưới vi phân
∂f (x) = {x∗ ∈ E∗ : f (y) − f (x) ≥ (cid:104)y − x, x∗(cid:105), ∀y ∈ E}
là một toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.12. Cho E là một không gian Banach. Toán tử A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈
J(x − y) sao cho
(cid:104)u − v, j(x − y)(cid:105) ≥ 0, ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y). (1.5)
Chú ý 1.4. Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu và toán tử
j-đơn điệu trùng nhau.
Định nghĩa 1.13. Toán tử j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là
m-j-đơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh
của toán tử I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E.
Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn điệu trùng với
khái niệm toán tử đơn điệu cực đại.
Chú ý 1.5. Trong trường hợp E là một không gian Banach với ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy thì mọi toán tử m-j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E
đều là toán tử demi-đóng, tức là nếu dãy {xn} ⊂ D(A) hội tụ yếu về x và dãy
A(xn) (cid:51) yn −→ f , thì A(x) = f (xem [4] trang 98).
Định nghĩa 1.14. Cho E là một không gian Banach. Một ánh xạ T : D(T ) −→
E được gọi là không giãn nếu
(cid:107)T (x) − T (y)(cid:107) ≤ (cid:107)x − y(cid:107), ∀x, y ∈ D(T ).
Phần tử x ∈ D(T ) được gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x. Tập các
điểm bất động của T thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F (T ).
Chú ý 1.6. Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm bất
động của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E.
10
Chú ý 1.7. Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của
không gian Banach E vào E thì toán tử I − T là j-đơn điệu. Trong trường hợp
C trùng với E thì I − T là một toán tử m-j-đơn điệu [10]. Ngoài ra, bằng cách
tiếp cận khác ta có mệnh đề tổng quát hơn dưới đây.
Mệnh đề 1.4. Cho Ti : E −→ E, i = 1, 2, ..., N là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn từ không gian Banach E vào chính nó. Khi đó, toán tử A = (cid:80)N i=1 Ai, với Ai = I − Ti, i = 1, 2, ..., N là một toán tử m-j-đơn điệu.
Chứng minh. Với mỗi λ > 0 ta cần chỉ ra R(I + λA) = E. Thật vậy, với mỗi
y ∈ E, xét phương trình
x + λA(x) = y. (1.6)
N (cid:88)
Dễ thấy, phương trình (1.6) tương đương với phương trình
i=1
x = y. (1.7) Ti(x) + λ 1 + λN 1 1 + λN
Để kết thúc chứng minh, ta chỉ ra phương trình (1.7) luôn có nghiệm.
N (cid:88)
Xét ánh xạ f : E −→ E xác định bởi
i=1
f (x) = y, với mọi x ∈ E. Ti(x) + λ 1 + λN 1 1 + λN
Khi đó ta có,
(cid:107)f (x1) − f (x2)(cid:107) ≤ (cid:107)x1 − x2(cid:107), λN 1 + λN
với mọi x1, x2 ∈ E. Suy ra, f là một ánh xạ co trên E và do đó theo nguyên
lí ánh xạ co Banach, f có duy nhất một điểm bất động, hay phương trình (1.7)
có duy nhất nghiệm. Mệnh đề được chứng minh.
Dưới đây, chúng tôi sẽ đề cập đến khái niệm ánh xạ co rút không giãn theo
tia cùng với một số tính chất cơ bản của nó và đây cũng là ánh xạ thường xuyên
được đề cập đến trong luận văn.
Định nghĩa 1.15. Cho E là một không gian Banach và C là một tập con lồi
đóng của E. Một ánh xạ QC : E −→ C được gọi là:
11
C(x) = QC(x), ∀x ∈ E;
a) co rút nếu Q2
b) co rút không giãn nếu QC là co rút và là một ánh xạ không giãn, tức là
(cid:107)QC(x) − QC(y)(cid:107) ≤ (cid:107)x − y(cid:107), ∀x, y ∈ E;
c) co rút không giãn theo tia nếu QC là một co rút không giãn và thỏa mãn
tính chất
QC(QC(x) + t(x − QC(x))) = QC(x), ∀x ∈ E, t ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.16. Một tập con lồi đóng C của không gian Banach E được gọi
là:
a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;
b) co rút và không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn từ
E lên C;
c) co rút và không giãn theo tia của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không
giãn theo tia từ E lên C.
Mệnh đề 1.5. [1] Cho E là một không gian Banach lồi đều. Khi đó, mọi tập
con lồi, đóng và khác rỗng C của E đều là tập con co rút của E.
Chú ý 1.8. Ánh xạ co rút từ E lên C trong Mệnh đề 1.5 chính là phép chiếu
mêtric PC : E −→ C được xác định bởi
(cid:107)x − u(cid:107), với mọi x ∈ C. (cid:107)x − PCx(cid:107) = inf u∈C
Dễ thấy rằng nếu C là một tập con lồi và đóng trong không gian Hilbert H, thì
phép chiếu mêtric PC : H −→ C từ H lên C được xác định bởi (cid:107)x − PCx(cid:107) =
infu∈C (cid:107)x − u(cid:107) với mọi x ∈ H là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ H
lên C. Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian Banach.
Mệnh đề dưới đây là một kết quả quan trọng, thường xuyên sử dụng trong
chứng minh các kết quả của luận văn.
12
Mệnh đề 1.6. [16] Cho E là một không gian Banach trơn và cho C là một tập
con lồi và đóng của E. Một ánh xạ QC : E −→ C là co rút không giãn theo tia
khi và chỉ khi
(1.8) (cid:104)x − QC(x), j(ξ − QC(x))(cid:105) ≤ 0, ∀x ∈ E, ∀ξ ∈ C.
Nhận xét 1.5. Từ Mệnh đề 1.6 suy ra, nếu E là một không gian Banach trơn
và C là tập con co rút và không giãn theo tia của E, thì ánh xạ co rút không
giãn theo tia QC : E −→ C là duy nhất.
Ví dụ 1.7. Xét không gian lp, p > 1 và tập con C của lp được xác định như
sau:
C = {x = {ξn} ∈ lp : ξk = 0 với mọi k > N },
trong đó N là một số nguyên dương cho trước. Khi đó, C là một tập con co rút và không giãn theo tia trong lp và ánh xạ co rút không giãn theo tia QC : lp −→ C được xác định bởi
QC(x) = {ξ1, ξ2, ..., ξN , 0, 0, ...}
với mọi x = {ξn} ∈ lp.
Cuối cùng, trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm khoảng cách
Hausdorff giữa hai tập hợp trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.17. Cho A và B là hai tập con của không gian Banach E. Khoảng
cách Hausdorff giữa A và B được xác định bởi
H(A, B) = max{β(A, B), β(B, A)},
d(u, B). inf v∈B trong đó β(A, B) = sup u∈A (cid:107)u − v(cid:107) = sup u∈A
Bổ đề 1.2. [5] Cho C1 và C2 là hai tập con lồi và đóng của không gian Banach
trơn đều E với H(C1, C2) ≤ δ. Cho QC1 và QC2 là các ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C1 và C2, tương ứng. Khi đó,
(1.9) ), (cid:107)QC1x − QC2x(cid:107)2 ≤ 16R(2r + d)hE( 16Lδ R
trong đó L là hằng số Figiel, r = (cid:107)x(cid:107), d = max{d1, d2}, R = 2(2r + d) + δ,
di = dist(θ, Ci), i = 1, 2.
13
1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu
chỉnh
Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà
nghiệm của nó không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào
sẽ dẫn đến những thay đổi lớn về nghiệm của bài toán, thậm chí còn làm cho
bài toán trở nên vô nghiệm. Ta có thể nói rằng, lớp các bài toán nói trên có
nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu và nó là một trường hợp
riêng của lớp bài toán không chính qui hay bài toán đặt không chỉnh. Trong
mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm bài toán đặt không chỉnh dưới dạng
phương trình toán tử, cùng với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp bài
toán loại này.
1.2.1. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh
Khái niệm bài toán chỉnh được Hadamard J. [18] đưa ra khi nghiên cứu về
ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng
như parabolic.
Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình
A(x) = f, (1.10)
trong đó A là một toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y với
các khoảng cách tương ứng là ρX, ρY và f0 ∈ Y . Theo Hadamard J. bài toán
(1.10) gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) phương trình (1.10) có nghiệm xf với mọi f ∈ Y ,
ii) nghiệm xf được xác định một cách duy nhất,
iii) nghiệm xf phụ thuộc liên tục vào f .
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn cả
ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm. Nhất là khi máy
tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy
14
ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn số đó đã dẫn đến những sai lệch
đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán
(1.10) được gọi là bài toán đặt không chỉnh.
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.10) khi không biết thông tin về nghiệm
chính xác x0, Tikhonov A. N. đã đưa ra một khái niệm mới. Đó là phương pháp
hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của
một tham số mới đưa vào.
Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ: ρY (fδ, f ) ≤ δ → 0. Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, fδ) và mức sai số δ, tìm một phần tử xδ
xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán (1.10). Rõ ràng là ta không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1fδ, vì thứ nhất là A−1 có thể không xác định với mọi f ∈ Y , thứ hai là A−1 không liên tục, nên nếu A−1fδ tồn tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1f .
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.10). Vì vậy một điều tự
nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham
số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì
phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm x0. Ta cũng thấy nếu được thì từ fδ ∈ Y
ta có phần từ xấp xỉ thuộc X, tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từ
không gian Y vào không gian X.
Định nghĩa 1.18. Toán tử R(f, α) phụ thuộc tham số α tác động từ Y vào X
được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.10) nếu:
i) Tồn tại hai số dương α1 và δ1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi
α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y : ρY (fδ, f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);
ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ, δ) sao cho với mọi ε > 0, tồn tại
δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn ρY (fδ, f ) ≤ δ ≤ δ1 thì ρX(xα, x0) ≤ ε,
ở đây x0 là nghiệm chính xác của (1.10) và xα ∈ R(fδ, α(fδ, δ)).
15
Phần tử xα gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.10) và α = α(fδ, δ) gọi
là tham số hiệu chỉnh. Cũng dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu
chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu.
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháp hiệu
chỉnh nổi tiếng và được sử dụng nhiều cho việc nghiên cứu và giải các bài toán
đặt không chỉnh trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học.
Chú ý 1.9. Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh có dạng
đơn giản sau:
Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh,
nếu:
i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi 0 ≤ δ ≤ δ1
và với mọi f ∈ Y sao cho ρY (f, f0) ≤ δ;
ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0(ε, fδ) ≤ δ1 sao cho từ ρY (fδ, f0) ≤ δ ≤ δ0
ta có ρX(xδ, x0) ≤ ε, ở đây xδ ∈ R(fδ, δ).
Chú ý 1.10. Toán tử hiệu chỉnh R(f, δ) có thể là một ánh xạ đa trị.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày sơ lược về phương pháp hiệu chỉnh Browder-
Tikhonov cho việc giải phương trình
A(x) = f, (1.11)
với A : E −→ E∗ là một toán tử đơn điệu, h-liên tục từ không gian Banach phản xạ E có tính chất Kadec-Klee vào không gian đối ngẫu E∗ của nó, với giả
thiết tập nghiệm S0 khác rỗng.
Chú ý 1.11. i) Không gian Banach E được gọi là có tính chất Kadec-Klee nếu
với mọi dãy {xn} ⊂ E mà xn (cid:42) x và (cid:107)xn(cid:107) −→ (cid:107)x(cid:107) ta đều có xn −→ x. Mọi
không gian Banach lồi đều có tính chất Kadec-Klee. ii) Toán tử A : E −→ E∗ được gọi là h-liên tục tại điểm x ∈ E nếu A(x + th) (cid:42)
A(x) khi t → 0 và A được gọi là h-liên tục trên E nếu nó h-liên tục tại mọi
x ∈ E. Dễ thấy rằng nếu A là một toán tử liên tục, thì A là một toán tử h-liên
tục, tuy nhiên điều ngược lại không đúng.
16
Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder F. E. [9] đề xuất năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân là sử dụng một toán tử M : E −→ E∗
có tính chất h-liên tục, đơn điệu mạnh, giới nội và thỏa mãn điều kiện bức, tức
là (cid:104)M (u), u(cid:105)/(cid:107)u(cid:107) → +∞, khi (cid:107)u(cid:107) → +∞, làm thành phần hiệu chỉnh (trong
không gian Banach E, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j có đầy đủ các tính chất
trên).
Cho E là một không gian Banach phản xạ, T : D(T ) ⊂ E −→ E∗ là một
toán tử phi tuyến đơn điệu và cho f : E −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Với mỗi phần tử ω ∈ E∗, xét bài toán bất đẳng
thức biến phân
Xác định phần tử u0 ∈ D(T ) sao cho
(1.12) (cid:104)T (u0) − ω, v − u0(cid:105) ≥ f (u0) − f (v) với mọi v ∈ D(T ).
Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán (1.12) là Aω. Thay vì việc giải bất đẳng thức
biến phân (1.12), Browder F. E. đã xét bất đẳng thức biến phân
(1.13) (cid:104)Tε(uε) − ωε, v − uε(cid:105) ≥ f (uε) − f (v) với mọi v ∈ D(T ),
trong đó ε > 0 và Tε = T + εM . Browder F. E. đã chỉ ra nghiệm uε của bất đẳng
thức biến phân (1.13) ứng với ωε = ω + εv0 hội tụ mạnh về phần tử u0 ∈ Aω
thỏa mãn bất đẳng thức
(cid:104)M (u0) − v0, v − u0(cid:105) ≥ 0 với mọi v ∈ Aω,
khi ε → 0.
Trên tư tưởng phương pháp hiệu chỉnh của Browder F. E., Alber Y. [2] đã
xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (1.11) thông qua việc giải phương
trình
(1.14) A(x) + αj(x − x+) = fδ, (cid:107)fδ − f (cid:107) ≤ δ,
ở đây x0 là một phần tử bất kì trong E. Ta có kết quả sau:
α hội tụ đến một phần tử x∗ ∈ S0 thỏa mãn
α. Nếu α, δ/α −→ 0, thì xδ
Định lí 1.4. [2] Với mỗi α > 0 và fδ ∈ E∗, phương trình (1.14) có nghiệm duy nhất xδ
(cid:107)x − x+(cid:107). (cid:107)x∗ − x+(cid:107) = min x∈S0
17
Năm 2006, Buong Ng. [11] đã đề xuất thuật toán mới dựa trên phương pháp
hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để giải bài toán cực trị đa mục tiêu sau trong
không gian Banach phản xạ E: Xác định phần tử x0 ∈ E sao cho
(1.15) ϕi(x), j = 0, 1, 2, ..., N, ϕi(x0) = inf x∈E
trong đó ϕi là các phiếm hàm lồi khả vi Gâteaux, với các đạo hàm Gâteaux
N (cid:88)
tương ứng là Ai. Ông đã đã đưa ra thuật toán
i (x) + αj(x) = θ,
i=0
αµiAh (1.16)
trong đó 0 = µ0 < µi < µi+1 < 1 với mọi i = 1, 2, ..., N − 1 và ông đã chỉ ra nếu
α của phương trình (1.16) hội tụ về nghiệm của bài toán (1.15).
1.3. Phương pháp điểm gần kề quán tính
tham số hiệu chỉnh α và tham số h được chọn sao cho α −→ 0, h/α −→ 0, thì nghiệm xh
Trước hết, chúng tôi trình bày phương pháp điểm gần kề cho phương trình
với toán tử đơn điệu và toán tử j-đơn điệu.
Xét bài toán
Xác định phần tử x∗ ∈ D(A) sao cho A(x∗) (cid:51) 0, (1.17)
với A : D(A) ⊂ E −→ 2E là một toán tử m-j-đơn điệu.
Khi A là m-j-đơn điệu trong không gian Hilbert H, nghĩa là A là toán tử
đơn điệu cực đại, thì Rockafellar R. T. [24] đã xét phương pháp lặp
(1.18) cnAxn+1 + xn+1 (cid:51) xn, x0 ∈ H,
ở đây cn > c0 > 0 và gọi là phương pháp điểm gần kề. Rockafellar cũng đã chỉ
ra sự hội tụ yếu của dãy lặp {xn} xác định bởi (1.18) về một nghiệm của bài
toán (1.17).
Chú ý 1.12. Phương pháp điểm gần kề được Martinet B. đề xuất lần đầu tiên
trong tài liệu [22] cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên
18
tục dưới ψ : H −→ R ∪ {+∞} ở dạng sau:
(cid:8)ψ(y) + (1.19) (cid:107)xn − y(cid:107)2(cid:9) với mọi n ≥ 1. xn+1 = argminy∈H 1 2cn
.. uler [17] đã xây dựng một ví dụ để chỉ ra phương pháp lặp (1.18)
Năm 1991, G
không phải lúc nào cũng hội tụ mạnh trong trường hợp tổng quát. Một ví dụ
gần đây của các tác giả Bauschke H. H., Matouˇskov´a E. và Reich S. [8] cũng chỉ
ra rằng dãy lặp {xn} xác định bởi (1.18) chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ theo
chuẩn. Năm 2001, Attouch H. và Alvarez F. [7] đã xét một mở rộng của phương
pháp điểm gần kề (1.18) ở dạng
(1.20) cnA(xn+1) + xn+1 − xn (cid:51) γn(xn − xn−1), x0, x1 ∈ H
và gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính, ở đây {cn} và {γn} là hai dãy
số không âm. Tuy nhiên, người ta cũng chỉ thu được sự hội tụ yếu của dãy lặp
{xn} xác định bởi (1.20) về một nghiệm của bài toán (1.17) trong không gian
Hilbert. Kết quả của Attouch H. và Alvarez F. được cho bởi định lí dưới đây:
Định lí 1.5. [7] Cho H là một không gian Hilbert và cho {xn} ⊂ H là một dãy
được xác định bởi
(1.21) (cid:0)xn + αn(xn − xn−1)(cid:1), n = 1, 2, ... xn+1 = J A λn
ở đây A : H −→ 2H là một toán tử đơn điệu cực đại với S = A−1(0) (cid:54)= ∅ và
các tham số αn, λn thỏa mãn các điều kiện:
i) Tồn tại số λ > 0 sao cho λn ≥ λ, ∀n ≥ 1,
ii) Tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho 0 ≤ αn ≤ α, ∀n ≥ 1.
∞ (cid:88)
Nếu điều kiện sau được thỏa mãn
n=1
αn(cid:107)xn − xn−1(cid:107)2 < +∞,
thì tồn tại x∗ ∈ S sao cho dãy {xn} hội tụ yếu về x∗.
19
Chú ý 1.13. Phương pháp lặp (1.21) còn có thể viết dưới dạng tương đương
sau:
(1.22) λnA(xn+1) + xn+1 (cid:51) xn + αn(xn − xn−1).
Chú ý 1.14. Phương pháp lặp (1.21) lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Alvarez
F. [6], cho bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm lồi f ở dạng
(1.23) (un+1 − (1 + αn)un + αnun−1) + ∂εnf (xn+1) (cid:51) θ, 1 λn
trong đó εn, λn > 0, αn ∈ [0, 1) và ∂εnf (x) là εn-xấp xỉ dưới vi phân của hàm lồi f xác định bởi
∂εnf (x) = {u ∈ H : f (y) − f (x) − (cid:104)u, y − x(cid:105) ≥ −εn}.
Ông đã chỉ ra rằng, nếu các dãy số {λn}, {αn} và {εn} thỏa mãn các điều kiện
1.4. Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh
0 ≤ αn ≤ 1, dãy {λn} bị chặn dưới bởi một hằng số dương, dãy {αn/λn} đơn điệu giảm và (cid:80)∞ n=0 λnεn < ∞, thì dãy {un} xác định bởi (1.23) cũng hội tụ yếu về điểm x∗ làm cực tiểu phiếm hàm f .
Năm 2008, dựa trên tư tưởng của thuật giải (1.16), Buong Ng. [12] đã kết
hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp
điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho việc giải bài toán cực trị đa mục tiêu
(1.15) trong không gian Hilbert H với các hàm mục tiêu ϕi, i = 1, 2, ..., N là
các phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới yếu. Cụ thể hơn, ông đã
N (cid:88)
xác định dãy lặp {zn} bởi
nAn αi
i (zn+1) + αN +1
n
i=0
(cid:0) (1.24) cn zn+1 (cid:1) + zn+1 − zn (cid:51) γn(zn − zn−1),
là
trong đó z0, z1 ∈ H, {cn}, {αn}, {γn} là các dãy số thực không âm và An i các toán tử đơn điệu cực đại xấp xỉ toán tử dưới vi phân ∂ϕi của phiếm hàm
lồi ϕi theo nghĩa
i (x), ∂ϕi(x)) ≤ hng((cid:107)x(cid:107)),
H(An
20
với g là một hàm không âm và giới nội. Sự hội tụ mạnh của dãy lặp {zn} về một
nghiệm của bài toán (1.15) được cho bởi định lí sau.
Định lí 1.6. [12] Nếu các dãy số {cn}, {αn} và {γn} thỏa mãn các điều kiện
i) 0 < c0 < cn < C0, 0 ≤ γn < γ0 < 1, αn (cid:38) 0,
n=1 ˜αn = +∞, ˜αn =
n=1 γn(cid:107)zn − zn−1(cid:107) < ∞,
n
ii) (cid:80)∞ , (cid:80)∞ cnαN +1 n 1 + cnαN +1
= 0, iii) limn→∞ = limn→∞ Dn ˜αn γn(cid:107)zn − zn−1(cid:107) ˜αn
với Dn = , thì dãy lặp {zn} xác định bởi (1.24) hội tụ
1.5. Một số bổ đề bổ trợ
hn+1 + hn + αn − αn+1 αN +1 n+1 mạnh về một nghiệm x0 của bài toán (1.15).
Bổ đề 1.3. [3] Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn đều. Nếu
A = I − T với T : D(A) ⊆ E −→ E là một ánh xạ không giãn, thì với mọi
x, y ∈ D(T ) ta có
(cid:19) (1.25) , (cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≥ L−1R2δE (cid:18)(cid:107)Ax − Ay(cid:107) 4R
trong đó (cid:107)x(cid:107) ≤ R, (cid:107)y(cid:107) ≤ R và 1 < L < 1.7 là hằng số Figiel.
Bổ đề 1.4. [26] Cho {an} là một dãy số thực trong khoảng (0, 1) thỏa mãn tính
chất
an+1 ≤ (1 − λn)an + λnβn + σn, ∀n ≥ 0,
trong đó {λn}, {βn} và {σn} thỏa mãn các điều kiện
n=0 λn = ∞,
i) (cid:80)∞
n=0 |λnβn| < ∞,
ii) lim supn−→∞ βn ≤ 0 hoặc (cid:80)∞
n=0 σn < ∞.
iii) σn ≥ 0 ∀n ≥ 0 và (cid:80)∞
Khi đó, dãy {an} hội tụ về 0 khi n −→ ∞.
21
Chương 2
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh
Trong chương này, chúng tôi về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương
pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, cùng với tính ổn định của các phương
pháp cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không
2.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
giãn trong không gian Banach từ các bài báo [20] và [25].
Trước hết, trong mục này ta xét bài toán
i=1F ix(Ti) (cid:54)= ∅,
Xác định một phần tử x∗ ∈ S = ∩N (2.1)
trong đó F ix(Ti) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ti : Ci −→ Ci,
i = 1, 2, ..., N và Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của không gian
Banach E.
Năm 2012, Tuyen T.M. [25] đã chứng minh định lí sau:
i=1F (Ti) (cid:54)= ∅. Khi đó:
Định lí 2.1. Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn đều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E∗. Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E và cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, ..., N là các ánh xạ không giãn sao cho S = ∩N
N (cid:88)
i) Với mỗi αn > 0 phương trình
i=1
(2.2) Ai(xn) + αnxn = 0,
22
có duy nhất nghiệm xn, trong đó Ai = I − TiQCi và QCi : E −→ Ci là ánh xạ co rút không giãn từ E lên Ci, i = 1, 2, ..., N ;
ii) Nếu thêm điều kiện αn −→ 0, thì xn −→ QSθ, trong đó QS : E −→ S là
ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S và θ là phần tử gốc của E.
Hơn nữa, ta có đánh giá sau:
(2.3) (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) ≤ R0, |αn − αn+1| αn
i=1F (TiQCi). Vì (cid:80)N
trong đó R0 = 2(cid:107)QSθ(cid:107).
Chứng minh. i) Trước hết, dễ thấy TiQCi là ánh xạ không giãn trên E và F (Ti) = F (TiQCi), i = 1, 2, ..., N , do đó S = ∩N i=1 Ai là toán tử Lipschitz và j-đơn điệu trên E, nên nó là toán từ m-j-đơn điệu (Chú ý 1.7). Suy
ra phương trình (2.2) có duy nhất nghiệm xn. ii) Với mỗi x∗ ∈ S, ta có
N (cid:88) (cid:104)
i=1
(2.4) Ai(xn), j(xn − x∗)(cid:105) + αn(cid:104)xn, j(xn − x∗)(cid:105) = 0.
i=1 Ai, ta nhận được
Từ tính j-đơn điệu của toán tử (cid:80)N
(2.5) (cid:104)xn, j(xn − x∗)(cid:105) ≤ 0.
Do đó, ta có đánh giá sau
(2.6) (cid:107)xn − x∗(cid:107)2 ≤ (cid:104)x∗, j(xn − x∗)(cid:105) ≤ (cid:107)x∗(cid:107)(cid:107)xn − x∗(cid:107).
Suy ra, (cid:107)xn(cid:107) ≤ 2(cid:107)x∗(cid:107), tức là dãy {xn} bị chặn. Vì mọi tập bị chặn trong không gian Banach phản xạ đều là tập compact tương đối yếu, nên tồn tại dãy con
{xnk} ⊂ {xn} và một phần tử x ∈ E sao cho xnk (cid:42) x khi k −→ ∞.
Ta sẽ chỉ ra x ∈ S. Thật vậy, với mỗi i ∈ {1, 2, ..., N }, x∗ ∈ S và R > 0 thỏa
23
mãn R ≥ max{sup (cid:107)xn(cid:107), (cid:107)x∗(cid:107)}, áp dụng Bổ đề ??, ta có
N (cid:88)
(cid:19) ≤ δE (cid:18)(cid:107)Ai(xn)(cid:107) 4R
k=1
≤ Ak(xn), j(xn − x∗)(cid:105)
≤
≤ L R2 (cid:104)Ai(xn), j(xn − x∗)(cid:105) L R2 (cid:104) Lαn R2 (cid:107)xn(cid:107).(cid:107)xn − x∗(cid:107) Lαn R2 2(cid:107)x∗(cid:107)2 −→ 0, n −→ ∞.
Từ tính liên tục của hàm δE(.) và tính lồi đều của không gian Banach E, ta
nhận được Ai(xn) −→ 0, n −→ ∞. Do mọi toán tử m-j-đơn điệu đều là toán
tử demi-đóng, nên Ai(x) = 0. Vì i ∈ {1, 2, ..., N } là bất kỳ, do đó x ∈ S.
Trong bất đẳng thức (2.6) thay xn bởi xnk và x∗ bởi x và sử dụng tính liên tục yếu theo dãy của j, ta nhận được xnk −→ x. Từ bất đẳng thức (2.5), ta có
(cid:104)x, j(x − x∗)(cid:105) ≤ 0, ∀x∗ ∈ S. (2.7)
Ta chỉ ra bất đẳng thức (2.7) có duy nhất nghiệm. Giả sử x1 ∈ S cũng là một
nghiệm của (2.7). Khi đó
(2.8) (cid:104)x1, j(x1 − x∗)(cid:105) ≤ 0, ∀x∗ ∈ S.
Trong các bất đẳng thức (2.7) và (2.8) lần lượt thay x∗ bởi x1 và x, tương ứng, ta thu được
(cid:104)x, j(x − x1)(cid:105) ≤ 0,
(cid:104)−x1, j(x − x1)(cid:105) ≤ 0.
Kết hợp hai bất đẳng thức trên, suy ra (cid:107)x − x1(cid:107)2 ≤ 0, do đó x = x1 = QSθ và dãy {xn} hội tụ yếu về x = QSθ, vì QSθ cũng là nghiệm của (2.7). Cuối cùng,
từ phần thứ nhất của bất đẳng thức (2.6), suy ra xn −→ QSθ.
Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức (2.3). Trong phương trình (2.2), thay
N (cid:88)
n bởi n + 1, ta nhận được
i=1
(2.9) Ai(xn+1) + αn+1xn+1 = 0.
24
i=1 Ai,
Từ các phương trình (2.9) và (2.2) và từ tính j-đơn điệu của toán tử (cid:80)N ta có
(2.10) (cid:104)αn+1xn+1 − αnxn, j(xn+1 − xn)(cid:105) ≤ 0.
Suy ra
αn(cid:107)xn+1 − xn(cid:107)2 ≤ (αn+1 − αn)(cid:104)−xn+1, j(xn+1 − xn)(cid:105)
≤ |αn+1 − αn|.(cid:107)xn+1(cid:107).(cid:107)xn+1 − xn(cid:107)
≤ 2(cid:107)QSθ(cid:107).|αn+1 − αn|.(cid:107)xn+1 − xn(cid:107).
Do đó
R0, ∀n ≥ 0, (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) ≤ |αn+1 − αn| αn
trong đó R0 = 2(cid:107)QSθ(cid:107).
Năm 2011, để giải bài toán (1.17), Kim J.K. và Tuyen T.M. [19] đã sử dụng
phương pháp prox-Tikhonov và thu được sự hội tụ mạnh của dãy {xn} xác định
N (cid:88)
bởi
i=1
(2.11) rn Bi(xn+1) + xn+1 = tnu + (1 − tn)xn, u, x0 ∈ E, n ≥ 0,
trong đó Bi = I − TiQCi, i = 1, 2, ..., N và QCi : E −→ Ci là ánh xạ co rút không giãn từ E lên Ci, i = 1, 2, ..., N . Họ đã chứng minh định lý dưới đây:
Định lí 2.2. [19] Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn đều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E∗. Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E và cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, ..., N là các ánh xạ không giãn sao cho S = ∩N i=1F (Ti) (cid:54)= ∅. Nếu các dãy số {rn} ⊂ (0, +∞)
và {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện
n=0 tn = +∞,
i) limn→∞ tn = 0, (cid:80)∞
ii) limn→∞ rn = +∞,
thì dãy {xn} xác định bởi (2.11) hội tụ mạnh về QSu, trong đó QS : E −→ S
là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
25
Hơn nữa, họ cũng đã nghiên cứu tính ổn định của phương pháp lặp (2.11)
trong trường hợp Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của
E, khi tất cả các miền xác định Ci và các ánh xạ không giãn Ti được cho bởi
nhiễu. Cụ thể hơn, các giả thiết nhiễu được đặt ra như sau:
(P1) Thay cho mỗi tập Ci, tồn tại các tập con lồi, đóng, co rút và không giãn
i ⊂ E, n = 1, 2, 3, ... thỏa mãn
theo tia C n
i , Ci) ≤ δn, i = 1, 2, ..., N,
H(C n
trong đó {δn} là một dãy số thực không âm.
i −→ C n
i , tồn tại ánh xạ không giãn T n i , i = i 1, 2, ..., N thỏa mãn các điều kiện: tồn tại các hàm tăng không âm g(t) và
(P2) Đối với mỗi tập C n : C n
thỏa mãn (cid:107)x − y(cid:107) ≤ δ, thì ξ(t) xác định với mọi t > 0 sao cho g(0) ≥ 0, ξ(0) = 0 và nếu x ∈ Ci, y ∈ C m i
i y(cid:107) ≤ g(max{(cid:107)x(cid:107), (cid:107)y(cid:107)})ξ(δ).
(2.12) (cid:107)Tix − T m
N (cid:88)
Chính xác hơn, họ đã thiết lập tính ổn định của (2.11) ở dạng
i (zn+1) + zn+1 = tnu + (1 − tn)zn, u, z0 ∈ E, n ≥ 0,
i=1
Bn (2.13) rn
i QCn
i
i
i = I − T n trong đó Bn rút không gian theo tia từ E lên C n
i , i = 1, 2, ..., N .
là các ánh xạ co , i = 1, 2, ..., N và QCn : E −→ C n i
Định lí 2.3. [19] Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn đều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E∗. Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của E và cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, ..., N là các ánh xạ không giãn sao cho S = ∩N i=1F (Ti) (cid:54)= ∅. Nếu các điều kiện (P1) và
(P2) được thỏa mãn và các dãy số {rn}, {δn} và {tn} thỏa mãn các điều kiện
n=0 tn = +∞,
i) limn→∞ tn = 0, (cid:80)∞
ii) limn→∞ rn = +∞,
26
n=0 rnξ(a(cid:112)hE(δn)) < +∞ với mỗi a > 0,
iii) (cid:80)∞
thì dãy {zn} xác định bởi (2.13) hội tụ mạnh về QSu, trong đó QS : E −→ S
là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Chú ý 2.1. Các điều kiện nhiễu (P1) và (P2) đã được nghiên cứu bởi Alber
Y. khi ông xét tính ổn định của phương pháp đường dốc cho bài toán tìm điểm
bất động của một ánh xạ không giãn [3]. Tuy nhiên, Alber chỉ nghiên cứu cho
trường hợp một ánh xạ.
Năm 2016, các tác giả Kim J.K. và Tuyên T.M. đã nghiên cứu và thiết lập
N (cid:88)
tính ổn định của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (2.2) ở dạng
i (zn) + αnzn = 0,
i=1
Bn (2.14)
i = I − T n
i QCn
i
i
là các ánh xạ co rút và QCn : E −→ C n i
i , i = 1, 2, ..., N , tương ứng.
trong đó u0, u1 ∈ E, Bn không giãn theo tia từ E lên C n
Ta cần nhắc lại một tính chất quan trọng của mô đun trơn của không gian
Banach E. Đặt
, τ > 0. (2.15) hE(τ ) = ρE(τ ) τ
Khi đó, hàm số hE(τ ) là không giảm. Hơn nữa, ta dễ dàng chỉ ra đánh giá
(2.16) hE(Kτ ) ≤ LKhE(τ ) ∀K > 1, τ > 0,
trong đó L là hằng số Figiel. Thật vậy, trong tài liệu [14] ta có bất đẳng thức
, ∀η ≥ ξ > 0. (2.17) ρE(η) η2 ≤ L ρE(ξ) ξ2
Do đó
(2.18) ξhE(η) ≤ LηhE(ξ), ∀η ≥ ξ > 0.
Trong (2.18) thay η = Cτ và thay ξ = τ , ta nhận được
(2.19) τ hE(Cτ ) ≤ LCτ hE(τ ),
suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
27
i=1F (Ti) (cid:54)= ∅.
Định lí 2.4. Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn đều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E∗. Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của E và cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, ..., N là các ánh xạ không giãn sao cho S = ∩N
i) Với mỗi αn > 0, phương trình (2.14) có duy nhất nghiệm zn.
ii) Nếu các điều kiện (P1) và (P2) được thỏa mãn và các dãy số {αn}, {δn}
thỏa mãn
−→ 0 với mỗi a > 0, (2.20) αn −→ 0, ξ(cid:0)a(cid:112)hE(δn)(cid:1) αn
thì zn −→ QSθ khi n −→ ∞, trong đó QS : E −→ S là ánh xạ co rút không
giãn theo tia từ E lên S.
Hơn nữa, ta có đánh giá sau
(cid:112)hE(δn)(cid:1) + N . (2.21) (cid:107)zn+1 − zn(cid:107) ≤ R |αn − αn+1| αn g(M (cid:48))ξ(cid:0)γ3,4 αn
trong đó R, M (cid:48), γ3,4 là các hằng số dương.
i=1 Bn i
là Lipschitz và j-đơn điệu trên E, nên nó là
Chứng minh. i) Trước hết, ta chỉ ra phương trình (2.14) có duy nhất nghiệm zn. Thật vậy, vì toán tử (cid:80)N m-j-đơn điệu (Chú ý 1.7). Do vậy, phương trình (2.14) xác định duy nhất một
phần tử zn ∈ E.
N (cid:88)
N (cid:88)
ii) Từ các phương trình (2.2) và (2.14), ta có
i (zn) − Bn
i (xn)(cid:1) + αn(zn − xn) +
i (xn) − Bi(xn)(cid:1) = 0.
i=1
i=1
(cid:0)Bn (cid:0)Bn
i , ta nhận được
i=1 Bn
N (cid:88)
Từ tính j-đơn điệu của toán tử (cid:80)N
i (xn) − Bi(xn)(cid:1), j(zn − xn)(cid:105) ≤ 0.
i=1
(cid:0)Bn (cid:104)αn(zn − xn) +
N (cid:88)
Suy ra
i (xn) − Bi(xn)(cid:107).
i=1
(cid:107)Bn αn(cid:107)zn − xn(cid:107) ≤
28
Với mỗi i ∈ {1, 2, ..., N },
i (xn) − Bi(xn)(cid:107) = (cid:107)T n
i QCn
i
i ) ≤ δn, nên tồn tại các hằng số K1,i > 0 và K2,i > 1
(cid:107)Bn xn − TiQCixn(cid:107).
Vì {xn} bị chặn và H(Ci, C n sao cho bất đẳng thức
i
(cid:113) xn(cid:107) ≤ K1,i hE(K2,iδn) ≤ K1,i (cid:112)K2,iL(cid:112)hE(δn) (cid:107)QCixn − QCn
đúng. Từ điều kiện (P2), ta có
i QCn
i
(cid:107)T n (cid:112)K2,iL(cid:112)hE(δn)(cid:1), xn − TiQCixn(cid:107) ≤ g(Mi)ξ(cid:0)K1,i
i
xn(cid:107)} < +∞.
trong đó Mi = max{supn (cid:107)QCixn(cid:107), supn (cid:107)QCn Như vậy, ta thu được
αn(cid:107)zn − xn(cid:107) ≤ N g(M )ξ(cid:0)γ1,2 (cid:112)hE(δn)(cid:1),
i=1,2,...,N
i=1,2,...,N
trong đó M = max {Mi} và γ1,2 = max {K1,i (cid:112)K2,iL}.
Do đó,
−→ 0, n −→ ∞. (cid:107)zn − xn(cid:107) ≤ N
(cid:112)hE(δn)(cid:1) g(M )ξ(cid:0)γ1,2 αn Theo Định lý 2.1, xn −→ QSθ, nên kết hợp với bất đẳng thức trên ta nhận được
zn −→ QSθ.
Cuối cùng ta chứng minh bất đẳng thức (2.21). Trong phương trình (2.14)
N (cid:88)
thay n bởi n + 1, ta nhận được
i=1
(2.22) (zn+1) + αn+1zn+1 = 0. Bn+1 i
N (cid:88)
Từ các phương trình (2.14) và (2.22), ta có
i
i
i=1
N (cid:88)
(cid:0)Bn+1 (zn+1) − Bn+1 (zn)(cid:1) + αn+1zn+1 − αnzn
i (zn)(cid:1) = 0.
i
i=1
+ (cid:0)Bn+1 (zn) − Bn
29
i , ta thu được
i=1 Bn
N (cid:88)
Từ tính j-đơn điệu của toán tử (cid:80)N
i (zn)(cid:107),
i=1
(2.23) αn(cid:107)zn+1 − zn(cid:107) ≤ R|αn − αn+1| + (zn) − Bn (cid:107)Bn+1 i
trong đó R = supn (cid:107)zn(cid:107). Với mỗi i ∈ {1, 2, ..., N },
i (zn)(cid:107) = (cid:107)T n+1
i QCn
i QCn+1
i
i
(2.24) (zn) − Bn zn − T n zn(cid:107), (cid:107)Bn+1 i
và ta có đánh giá
i , Ci) + H(Ci, C n+1
i , C n+1 i
i
H(C n ) ≤ H(C n ) ≤ δn + δn+1 ≤ 2δn.
Vì dãy {zn} bị chặn, nên tồn tại các hằng số K3,i > 0 và K4,i > 1 sao cho bất
đẳng thức sau đúng
i
i
(cid:113) (cid:107)QCn zn(cid:107) ≤ K3,i hE(K4,iδn) ≤ K3,i (cid:112)K4,iL(cid:112)hE(δn). zn − QCn+1
Từ điều kiện (P2), suy ra
i QCn
i QCn+1
i
i
(cid:107)T n+1 zn(cid:107) ≤ g(M (cid:48))ξ(cid:0)K3,i zn − T n (cid:112)K4,iL(cid:112)hE(δn)(cid:1),
i = max{supn (cid:107)QCn
i
i
trong đó M (cid:48) zn(cid:107)} < +∞. zn(cid:107), supn (cid:107)QCn+1
Từ(2.23), (2.24) và (2.4), ta nhận được
αn(cid:107)zn+1 − zn(cid:107) ≤ R|αn − αn+1| + N g(M (cid:48))ξ(cid:0)γ3,4 (cid:112)hE(δn)(cid:1),
i} và γ3,4 = max
i=1,2,...,N
i=1,2,...,N
trong đó M (cid:48) = max {M (cid:48) {K3,i (cid:112)K4,iL}.
Do đó,
(cid:112)hE(δn)(cid:1) + N . (cid:107)zn+1 − zn(cid:107) ≤ R |αn − αn+1| αn g(M (cid:48))ξ(cid:0)γ3,4 αn
2.2. Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh
Định lý được chứng minh.
Trong mục này, chúng tôi trình bày phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu
chỉnh ở dạng
i=1
(cid:19) (cid:18) N (cid:88) cn + un+1 = un + γn(un − un−1), u0, u1 ∈ E (2.25) Ai(un+1) + αnun+1
được đề xuất bởi Tuyên T.M. trong tài liệu [25] để giải bài toán (2.1).
30
Định lí 2.5. Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn đều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E∗. Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E và cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, ..., N là các ánh xạ không giãn sao cho S = ∩N i=1F (Ti) (cid:54)= ∅. Nếu các dãy số {cn}, {αn}
và {γn} thỏa mãn các điều kiện
n=0 αn = +∞;
−→ 0, (cid:80)∞ i) 0 < c0 < cn, αn > 0, αn −→ 0, |αn+1 − αn| α2 n
n (cid:107)un − un−1(cid:107) −→ 0,
ii) γn ≥ 0, γnα−1
thì dãy {un} xác định bởi (2.25) hội tụ mạnh về QSθ, trong đó QS : E −→ S
là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra phương trình (2.25) có duy nhất nghiệm un+1. Thật vậy, vì toán tử (cid:80)N i=1 Ai là Lipschitz và j-đơn điệu trên E, nên nó là m-j- đơn điệu (Chú ý 1.7). Do đó, phương trình (2.25) có duy nhất nghiệm un+1.
N (cid:88)
Ta viết lại các phương trình (2.2) và (2.25) ở các dạng
i=1 N (cid:88)
(2.26) Ai(xn) + xn = βnxn, dn
i=1
(2.27) dn Ai(un+1) + un+1 = βn(un + γn(un − un−1)),
i=1 Ai,
và dn = cnβn. 1 1 + cnαn
tương ứng, trong đó βn = Từ các phương trình (2.26) và (2.27) và từ tính j-đơn điệu của toán tử (cid:80)N ta nhận được
(cid:107)uu+1 − xn(cid:107) ≤ βn(cid:107)un − xn(cid:107) + βnγn(cid:107)un − un−1(cid:107).
Suy ra
(cid:107)un+1 − xn+1(cid:107) ≤ (cid:107)un+1 − xn(cid:107) + (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) (2.28) ≤ βn(cid:107)un − xn(cid:107) + βnγn(cid:107)un − un−1(cid:107) + R0, |αn+1 − αn| αn
hay tương đương với
(2.29) , (cid:107)un+1 − xn+1(cid:107) ≤ (1 − bn)(cid:107)un − xn(cid:107) + σn, bn = cnαn 1 + cnαn
31
trong đó σn = βnγn(cid:107)un − un−1(cid:107) + R0. |αn+1 − αn| αn Từ giả thiết, ta có
n γn(cid:107)un − un−1(cid:107) + (
= α−1 + αn) R0 σn bn
n γn(cid:107)un − un−1(cid:107) + (
n=0 bn = +∞.
≤ α−1 R0 −→ 0. + αn) |αn+1 − αn| α2 n |αn+1 − αn| α2 n
1 1 cn cn 1 1 c0 c0 Thêm nữa, vì (cid:80)∞ n=0 αn = +∞, nên (cid:80)∞ Áp dụng Bổ đề 1.4, ta nhận được (cid:107)un − xn(cid:107) −→ 0. Do xn −→ QSθ khi n −→ ∞,
nên un −→ QSθ khi n −→ ∞.
Định lý được chứng minh.
Dưới đây, luận văn cũng trình bày tính ổn định của phương pháp điểm gần
kề quán tính hiệu chỉnh (2.25) được đề xuất bởi các tác giả Kim J.K. và Tuyên
T.M. trong tài liệu [20], ở dạng
i (un+1) + αnun+1
i=1
(cid:19) (cid:18) N (cid:88) Bn (2.30) + un+1 = un + γn(un − un−1), cn
i = I − T n
i QCn
i
i
là các ánh xạ co rút và QCn : E −→ C n i
i , i = 1, 2, ..., N , tương ứng.
trong đó u0, u1 ∈ E, Bn không giãn theo tia từ E lên C n
Định lí 2.6. Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn đều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E∗. Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của E và cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, ..., N là các ánh xạ không giãn sao cho S = ∩N i=1F (Ti) (cid:54)= ∅. Nếu các điều kiện (P1)
và (P2) được thỏa mãn và các dãy số dương {αn}, {cn}, {γn} thỏa mãn
n=1 αn = +∞,
−→ 0, (cid:80)∞ i) αn −→ 0, |αn − αn+1| α2 n
−→ 0 với mỗi a > 0, ii)
n (cid:107)un − un−1(cid:107) −→ 0,
ξ(cid:0)a(cid:112)hE(δn)(cid:1) α2 n iii) 0 < c0 < cn, γnα−1
thì dãy {un} xác định bởi (2.30) hội tụ mạnh về QSθ, trong đó QS : E −→ S
là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
32
i=1 Bn i
là Lipschitz và j-đơn điệu trên E,
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra phương trình (2.30) xác định duy nhất một phần tử un+1. Thật vậy, vì toán tử (cid:80)N nên nó là m-j-đơn điệu (Chú ý 1.7). Suy ra phương trình (2.30) có duy nhất
nghiệm un+1.
N (cid:88)
Ta viết lại các phương trình (2.14) và (2.30) ở các dạng
i (zn) + zn = βnzn,
i=1 N (cid:88)
Bn (2.31) dn
i (un+1) + un+1 = βn
i=1
Bn (2.32) dn (cid:0)un + γn(un − un−1)(cid:1),
i=1 Bn i ,
và dn = cnβn. 1 1 + cnαn
trong đó βn = Từ các phương trình (2.31), (2.32) và từ tính j-đơn điệu của toán tử (cid:80)N ta nhận được
(2.33) (cid:107)un+1 − zn(cid:107) ≤ βn(cid:107)un − zn(cid:107) + βnγn(cid:107)un − un−1(cid:107).
Suy ra
(cid:107)un+1 − zn+1(cid:107) ≤ (cid:107)un+1 − zn(cid:107) + (cid:107)zn+1 − zn(cid:107)
≤ βn(cid:107)un − zn(cid:107) + βnγn(cid:107)un − un−1(cid:107) (2.34)
(cid:112)hE(δn)(cid:1) + R + N . |αn − αn+1| αn g(M (cid:48))ξ(cid:0)γ3,4 αn
Ta viết lại (2.34) ở dạng
(2.35) (cid:107)un+1 − zn+1(cid:107) ≤ (1 − bn)(cid:107)un − zn(cid:107) + σn,
và trong đó bn = cnαn 1 + cnαn
σn = βnγn(cid:107)un − un−1(cid:107)
(cid:112)hE(δn)(cid:1) + N . + R |αn − αn+1| αn g(M (cid:48))ξ(cid:0)γ3,4 αn
33
Từ giả thiết, ta có
n (cid:107)un − un−1(cid:107)
= γnα−1 σn bn (cid:19)(cid:20) (cid:21) (cid:112)hE(δn)(cid:1) + R + N + αn |αn − αn+1| α2 n g(M (cid:48))ξ(cid:0)γ3,4 α2 n
n (cid:107)un − un−1(cid:107)
≤
n=0 αn = +∞, nên (cid:80)∞
n=0 bn = +∞.
(cid:19)(cid:20) (cid:21) (cid:112)hE(δn)(cid:1) + + N R −→ 0, n −→ ∞. + αn 1 cn (cid:18) 1 cn 1 γnα−1 c0 (cid:18) 1 c0 |αn − αn+1| α2 n g(M (cid:48))ξ(cid:0)γ3,4 α2 n
Vì (cid:80)∞ Áp dụng Bổ đề 1.4 vào (2.33), ta thu được (cid:107)un − zn(cid:107) −→ 0. Do zn −→ QSθ khi
n −→ ∞, nên suy ra un −→ QSθ khi n −→ ∞.
2.3. Ví dụ số minh họa
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình tuyến tính Ax = b, với A = (aij)101x200 được
xác định bởi ai,i+k = 1 với mọi i = 1, 2, ..., 101 và mọi k = 0, 1, 2, ..., 99, các phần
tử aij khác đều bằng 0 và bi = 100 với mọi i = 1, 2, ..., 101.
Dễ thấy rằng hệ phương trình trên có vô số nghiệm (hệ nghiệm phụ thuộc 99
tham số) và nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của hệ phương trình trên là
1 x∗
2 .... x∗
200) với x∗
i = 1 với mọi i = 1, 2, ..., 200.
x∗ = (x∗
Chú ý 2.2. Sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm đúng trong ví dụ này được
xác định bởi
i=1,2,...,200
err = max − x∗ i |. |x(nmax) i
- Khi áp dụng phương pháp lặp (2.2) với αn = 1/n, thì ta có bảng kết quả sau:
34
n err n err
100 0.273269 700 0.063999
200 0.174990 800 0.056841
300 0.129549 900 0.051127
400 0.103036 1000 0.046458
500 0.085595 ... ...
600 0.073230 10000 0.005049
Bảng 2.1
√ - Khi áp dụng phương pháp lặp (2.25) với = 1, = 1/ n và = 0, thì ta cn αn γn
có bảng kết quả sau:
n err n err
1000 0.470916 7000 0.302372
3000 0.374417 10000 0.273560
5000 0.330479 100000 0.123475
Bảng 2.2
35
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách có hệ thống về phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính , cùng với tính ổn định của
các phương pháp cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn
ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Cụ thể là:
• Sơ lược về một số tính chất hình học đặc trưng của các không gian Banach,
toán tử j-đơn điệu; Bài toán đặt không chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính và phương pháp điểm gần
kề quán tính hiệu chỉnh;
• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần quán tính
hiệu chỉnh, tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không
giãn trong không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy
trong tài liệu [25];
• Trình bày về tính ổn định của các phương pháp lặp được giới thiệu trong
tài liệu [25], khi các miền xác định Ci và ánh xạ Ti được cho bởi nhiễu
(xem [20]).
36
Tài liệu tham khảo
[1] Agarwal R. P., O’Regan D., Sahu D. R. (2009), Fixed Point Theory for
Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Alber Y. (1975), "On solving nonlinear equations involving monotone op-
erators in Banach spaces", Sib. Math. J., Vol. 16 (1), , pp. 3-11.
[3] Alber Y. (2007), "On the stability of iterative approximatins to fixed points
of nonexpansive mappings", J. Math. Anal. Appl., 328, pp. 958-971.
[4] Alber Y., Ryazantseva I. (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone
Type, Springer.
[5] Alber Y., Reich S., Yao J-C. (2003), "Iterative methods for solving fixed
point problems with nonself-mappings in Banach spaces", Abstr. Appl.
Anal., 4, pp. 194-216.
[6] Alvarez F. (2000), "On the minimizing property of a second order dissipative
system in Hilbert space", SIAM J. Control Optim., 38 (4), pp. 1102-1119.
[7] Alvarez F., Attouch H. (2001), "An inertial proximal method for maximal
monotone operators via discretization of a nonolinear oscillator with damp-
ing", Set-Valued Analysis, 9 (1-2), pp. 3-11.
[8] Bauschke H. H., Matouˇskov´a E., Reich S. (2004), "Projection and proxi-
mal point methods: convergence results and counterexamples", Nonlinear
Analysis, 56, pp. 715-738.
37
[9] Browder, F. E. (1966), "Existence and approximation of solution of non-
linear variational inequalities", Proc. Nat. Acad. Sci., U.S.A., 56 (4), pp.
1080-1086.
[10] Browder, F. E. (1967), "Nonlinear mapping of nonexpansive and accretive
type in Banach spaces", Bull. Amer. Math. Soc., 73, pp. 875-882.
[11] Buong Ng. (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization
of convex functionals in Banach spaces", Compt. Math. and Math. Phys.,
46 (3), pp. 372-378.
[12] Buong Ng. (2008), "Regularization proximal point algorithm for uncon-
strained vector convex optimization problems", Ukrainian Mathematical
Journal, 60 (9), pp. 1483-1491.
[13] Diestel J. (1970), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, Springer-
Verlag.
[14] Figiel T. (1976), "On the modunli of convexity and smoothness", Studia
Math., 56, pp. 121-155.
[15] Goebel K., Kirk W.A. (1990), Topic in Metric Fixed Point Theory, Cam-
bridge University Press.
[16] Goebel K., Reich S. (1984), Uniform Convexity, Hyperbolic Geometry and
Nonexpansive Mappings, Marcel Dekker, New York and Basel.
.. uler O. (1991), "On the convergence of the proximal point algorithm for
[17] G
convex minimization", SIAM J. Control Optim., 29 (2), pp. 403-419.
[18] Hadamard J. (1902), "Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur sig-
nification physique", Princeton University Bulletin, 13, pp. 49-52.
[19] Kim J. K., T. M. Tuyen (2011), "Regularization proximal point algorithm
for finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings
in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, 2011 (52).
38
[20] Kim J. K., T. M. Tuyen (2016),"On the some regularization methods for
common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", J. Nonl.
and Conv. Ana., 17 (1), pp. 93-104.
[21] Lindenstrauss J., Tzafriri L. (1979), Classical Banach Spaces II: Function
Spaces, Ergebnisse Math. Grenzgebiete Bd. 97, Springer-Verlag.
[22] Martinet B. (1970), "Regularisation dinequations variationnelles par ap-
proximation successives", Rev. PranMc-aise Informat. Recherche opera-
tionnelle, 4, pp. 154-158.
[23] Rockafellar R. T. (1970), " On the maximal monotonicity of subdifferential
mappings", Pacific J. Math., Vol. 33 (1), pp. 209-216.
[24] Rockafellar R. T. (1976), "Monotone operators and proximal point algo-
rithm", SIAM J. Control Optim., 14, pp. 887-897.
[25] Tuyen T.M. (2012), "Regularization for the problem of finding a common
fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces",
Nonl. Func. Anal. and Appl., 17 (1), pp. 89-98.
[26] Xu H. K. (2006), A regularization method for the proximal point algorithm,
J. Global Optim., 36 (1) (2006), pp. 115-125.
