Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa 2 biến

Chia sẻ: Le Khanh Huan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

588
lượt xem 119
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện f ( X;y) = 0.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất( nếu có) của biểu thức P= G( x: y).Phương pháp giaỉ chung: gọi T là tập giá trị của P, khi đó thuộc T và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm F( x: y)=0, G( x:y) = m . Sau đó tìm các giá trị của M để hệ (1) có nghiệm ( thường là đưa về có điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc 2)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa 2 biến

www.laisac.page.tl PH ƠN PH P T M G Á T Ị L N N ẤT GI TR NH NH T C A P ƯƠ G P ÁP TÌ GI TR LỚ NH T, IÁ RỊ HỎ HẤ CỦ HƯ NG HÁ ÌM IÁ RỊ ỚN HẤ , G Á T Ị N Ỏ N ẤT ỦA BI U T ỨC CH A H I B ẾN B ỂU TH C C ỨA HA BI N. IỂ HỨ HỨ AI IẾ . Nguyễn Trung Nghĩa I- S D NG T P GIÁ TR : • Bài toán: Cho các s th c x, y th a mãn i u ki n F ( x; y ) = 0 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t (n u có) c a bi u th c P = G ( x; y ) . • Phương pháp gi i chung: G i T là t p giá tr c a P, khi ó m ∈ T khi và ch khi h phương trình sau có nghi m:  F ( x; y ) = 0   (1) G ( x; y ) = m   • Sau ó tìm các giá tr c a m h (1) có nghi m (thư ng là ưa v i u ki n có nghi m c a m t phương trình b c hai) r i suy ra t p giá tr T c a P, t ó suy ra giá tr l n nh t và giá tr nh nh t (n u có) c a bi u th c P = G ( x; y ) . • M t s ví d minh h a: V í d 1: ( thi i h c d b kh i A năm 2006) i và th a mãn x 2 + xy + y2 ≤ 3 . Ch ng minh r ng: Cho hai s th c x, y thay −4 3 − 3 ≤ x 2 − xy − 3 y 2 ≤ 4 3 − 3 Gi i: t A = x 2 + xy + y 2 và B = x 2 − xy − 3y 2 . G i T là t p giá tr c a B, khi ó m ∈ T khi và ch khi h sau có nghi m:  x 2 + xy + y 2 ≤ 3  2 (1)  x − xy − 3 y = m 2  • N u y = 0 thì A = x 2 ≤ 3 , lúc ó −4 3 − 3 < 0 ≤ m = x 2 ≤ 3 < 4 3 − 3 ( pcm). 2 y  3 y2  2 2 • N u y ≠ 0 thì t x = ty , khi ó A = x + xy + y =  x +  + > 0 nên:  2 4 m x 2 − xy − 3y 2 t 2 − t − 3 = =2 . A x 2 + xy + y 2 t + t +1 t2 − t − 3 ⇔ ( a − 1) t 2 + ( a + 1) t + a + 3 = 0 (2) . t a= 2 t + t +1 2 H (1) có nghi m ⇔ Phương trình (2) có nghi m ⇔ ∆ = ( a + 1) − 4 ( a − 1)( a + 3) ≥ 0 −4 3 − 3 4 3 −3 ⇔ ≤a≤ . 3 3 −4 3 − 3 m 4 3 − 3 ≤≤ , m t khác 0 < A ≤ 3 nên −4 3 − 3 ≤ m ≤ 4 3 − 3 . Do ó: 3 3 A
V y t p giá tr c a P là T =  −4 3 − 3 ; 4 3 − 3 nên suy ra pcm.   V í d 2: ( thi h c sinh gi i qu c gia năm 2005) i và th a mãn h th c x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y . Tìm giá tr Cho hai s th c x, y thay l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c K = x + y . Gi i: KX : x ≥ −1 và y ≥ −2 . G i T là t p giá tr c a K. Ta có m ∈ T khi và ch khi h phương trình sau có nghi m:  x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y  (1) x + y = m  t u = x + 1 và v = y + 2 thì u ≥ 0, v ≥ 0 và h (1) tr thành:  m u + v = 3 3 ( u + v ) = m   2 2 ⇔ ⇔ u, v là hai nghi m c a phương trình: u + v = m + 3 uv = 1  m − m − 3   2    2 9      1  m2  m t2 − t +  − m − 3  = 0 ⇔ 18t 2 − 6 mt + m 2 − 9m − 27 = 0 (2). 2 9  3   Do ó h (1) có nghi m (x , y) sao cho x ≥ −1 và y ≥ −2 khi và ch khi phương trình (2) có hai nghi m không âm và i u ki n là:  ( ) 2  ∆ = −9 m − 18m − 54 ≥ 0   9 + 3 21 m S = ≥ 0 ⇔ ≤ m ≤ 9 + 3 15 . 3 2   m 2 − 9m − 27 P = ≥0  18  9 + 3 21  Do ó T =  ;9 + 3 15  . 2   9 + 3 21 và giá tr l n nh t c a K là 9 + 3 15 . V y giá tr nh nh t c a K là 2
II- S D NG B T NG TH C: • Phương pháp chung: M u ch t c a phương pháp b t ng th c là ph i d oán ư c bi u th c s t giá tr l n nh t , giá tr nh nh t t i nh ng giá tr nào c a bi n s t ó có nh ng cách phân tích, ánh giá thích h p. • M t s b t ng th c c n nh : x+y B T Cô-si: ≥ xy (v i x ≥ 0; y ≥ 0 ) 2 ng th c x y ra khi và ch khi x = y . 2 ( )( ) ( a1b1 + a2 b2 ) ≤ a12 + a2 b12 + b2 2 2 B T Bunhiacopxki: a1 a2 =. ng th c x y ra khi và ch khi b1 b2 x − y ≤ x−y ≤ x + y B T v tr tuy t i: n x n + yn  x + y  BT  (v i n nguyên dương và x ≥ 0; y ≥ 0 ) ≥ 2 2 • M t s ví d minh h a: V í d 1: ( thi i h c d b kh i A năm 2005) Cho hai s th c x, y dương thay i . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 2 y  9  P = (1 + x )  1 +   1 + . x  y    Gi i: 3 x xxx • 1 + x = 1 + + + ≥ 4. 4   . 3 333 3 y y y y y • 1+ = 1+ + + ≥ 4. 4   .  3x  3x 3x 3x x 3 2 6 3  9 3 9 3 3 3  ⇒ 1 + ≥ 4. 4   ≥ 16. 4   y • 1+ =1+ + + .  y  y  y y y y      
2 6 y  9 x  y   3  3 3  Suy ra P = (1 + x )  1 + 1 +  ≥ 4.4.16. 4   .   .   = 256 . x  y  3   3x   y       a P là 256 khi x = 3 và y = 9 . V y giá tr nh nh t c Ví d 2: ( thi i h c d b kh i B năm 2006) Cho hai s th c x, y dương thay i th a mãn i u ki n x + y ≥ 4 . Tìm giá tr nh nh t 2 3 3x + 4 2 + y c a bi u th c A = + 2. 4x y Gi i:  1 y y x 1 x+y 3x 1 2 x1 4 1 yy 9 + 2  2 + +  ≥ 2 . + + 2.3 3 2 . . = A= + + 2 + y = + + 4 x 4xy 2 8 8 4x 2 y 88 2 y x 1 = 4 x  9 D u “=” x y ra khi và ch khi  x + y = 4 ⇔ x = y = 2 . V y Amin = khi x = y = 2. 2 1 y  2= y 8  Ví d 3: ( thi i h c chính th c kh i A năm 2006) i th a mãn i u ki n ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Cho hai s th c x ≠ 0 và y ≠ 0 thay 1 1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = + 3. x3 y Gi i: Cách 1: (S d ng b t ng th c) 11 1 1 1 Ta có: ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy ⇔ + = 2 + 2 − . xyx xy y 1 1 t a = , b = , ta ư c a + b = a2 + b2 − ab (1) . x y 2 ( ) A = a3 + b3 = ( a + b ) a2 + b2 − ab = ( a + b ) 2 (1) ⇔ a + b = ( a + b ) − 3ab .
2 2 2 (a + b) . a+b a+b 2 2  nên a + b = ( a + b ) − 3ab ≥ ( a + b ) − 3  2  = vì ab ≤  2   4 2 ⇒ (a + b) − 4(a + b) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a + b ≤ 4 . 2 Do ó A = ( a + b ) ≤ 16 . 1 V y giá tr l n nh t c a A là 16 khi x = y = . 2 Cách 2: (S d ng t p giá tr ) ( ) 2 2 2 1 ( x + y ) x − xy + y ( x + y )4  x 2 + 2 xy + y 2  1 = 2  x − xy + y 2  . Ta có A = 3 + 3 = =  x 3 y3 2 ( ) x y   x 2 − xy + y 2 t 2 + 2t + 1 x 2 + 2 xy + y 2 Xét bi u th c B = 2 . t x = ty thì B = 2 . x − xy + y 2 t − t +1 • N u t = 0 thì x = 0 (trái gi thi t x ≠ 0 ) nên t ≠ 0 . 2 • Do ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy ⇔ ( x + y ) xy = ( x + y ) − 3xy nên x + y = 0 ⇒ −3xy = 0 (trái gi thi t xy ≠ 0 ). V y x + y ≠ 0 nên t ≠ −1 . G i T là t p giá tr c a B thì: t 2 + 2t + 1 m ∈ T ⇔ Phương trình m = 2 có nghi m t ≠ 0 , t ≠ −1 . t − t +1 ⇔ Phương trình ( m − 1) t 2 − ( m + 2 ) t + m − 1 = 0 (*) có nghi m t ≠ 0 , t ≠ −1 . • N u m = 1 thì phương trình (*) có nghi m t = 0 (lo i). ∆ ≥ 0  • N u m ≠ 1 thì phương trình (*) có nghi m t ≠ 0 , t ≠ −1 ⇔  m − 1 ≠ 0 . 3m ≠ 0  ( m + 2 )2 − 4 ( m − 1)2 ≥ 0  0 < m ≤ 4  ⇔ m ≠ 1 ⇔ . m ≠ 1 m ≠ 0   Vì A = B 2 và t p giá tr c a B là T = ( 0;4 ] \ {1} nên t p giá tr c a A là T1 = ( 0;16 ] \ {1} . V y giá tr l n nh t c a A là 16.
III- S D NG HÌNH H C: • Phương pháp chung: Phương pháp hình h c thư ng ư c s d ng khi gi thi t bài toán và bi u th c c n tìm giá tr l n nh t ho c giá tr nh nh t có d ng là phương trình c a m t ư ng th ng, ư ng tròn, ư ng elip ho c là kho ng cách gi a hai i m v.v... • M t s ví d minh h a: V í d 1: ( thi i h c d b kh i A năm 2004)  x − my = 2 − 4 m G i (x, y) là nghi m c a h phương trình  (m là tham s ).  mx + y = 3m + 1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c Q = x 2 + y2 − 2 x khi m thay i. Gi i: ư ng th ng ( d1 ) : x − my − 2 + 4 m = 0 i qua i m c • nh A(2 ; 4). ư ng th ng ( d2 ) : mx + y − 3m − 1 = 0 i qua i m c • nh B(3 ; 1). ư ng th ng ( d1 ) và ( d2 ) vuông góc v i nhau. • Do ó, g i M(x , y) v i (x, y) là nghi m c a h phương trình thì M ch y trên ư ng tròn 2 2  5  5 5 ư ng kính AB có phương trình (C1 ) :  x −  +  y −  = .  2  2 2 2 2 Ta có Q = x 2 + y 2 − 2 x = ( x − 1) + y 2 − 1 ⇔ ( x − 1) + y 2 = Q + 1 . 2 G i ư ng tròn ( C2 ) : ( x − 1) + y2 = Q + 1 . ( x − 1)2 + y2 Lúc ó chính là kho ng cách t i m N(1 ; 0) n i m M (hình v ). y Do ó NM l n nh t khi và ch khi hai ư ng tròn (C1 ) và ( C2 ) ti p xúc trong (hình v ). A M ⇔ NP + PM = NM P 2  34 + 10  34 10 = Q +1 ⇔ Q =   − 1. ⇔ +   2 2 2   B 2   x V y Qm ax =  34 + 10  − 1 = 10 + 85 . N   2  
V í d 2: Cho hai s th c x, y thay i th a mãn 36 x 2 + 16 y 2 = 9 . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a bi u th c P = −2 x + y + 5 . Gi i: G i T là t p giá tr c a P và m ∈ T khi và ch khi h phương trình sau có nghi m:  36 x 2 + 16 y 2 = 9  (1)  −2 x + y + 5 = m  2 2 Ta có 36 x 2 + 16 y2 = 9 ⇔ ( 6 x ) + ( 4 y ) = 32 . t X = 6 x, Y = 4 y thì h phương trình (1) tr thành: X 2 + Y2 = 9   (2)  4 X − 3Y + 12 m − 60 = 0  ư ng tròn ( C ) : X 2 + Y 2 = 9 và ư ng th ng H (1) có nghi m ⇔ H (2) có nghi m ⇔ 12 m − 60 15 25 ( d ) : 4 X − 3Y + 12m − 60 có i m chung ⇔ ≤m≤ . ≤3⇔ 4 4 42 + 32  15 25  15 25 V y T =  ;  nên giá tr nh nh t c a P là và giá tr l n nh t c a P là . 4 4 4 4
IV- S D NG VECTƠ: • Phương pháp chung: Phương pháp vectơ thư ng s d ng khi bi u th c c n tìm giá tr A2 + B 2 . l n nh t ho c giá tr nh nh t xu t hi n các bi u th c có d ng • M t s b t ng th c c n nh : a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + a2 + ... + an ng th c x y ra khi a1 ; a2 ;...; an cùng hư ng.) ( a1.a2 ≤ a1 . a2 ng th c x y ra khi a1 ; a2 cùng hư ng.) ( • M t s ví d minh h a: Ví d 1: ( thi i h c chính th c kh i B năm 2006) Cho x, y là các s th c thay i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ( x − 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + A= y−2 Gi i: Xét các vectơ a = (1 − x; y ) và b = ( x + 1; y ) . Ta có: ( x − 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 . a + b ≤ a + b ⇔ 4 + 4 y2 ≤ • Do ó A ≥ 2 1 + y 2 + y − 2 = f ( y ) . • V i y ≥ 2 thì A ≥ 2 1+22 = 2 5 . (1) • V i y < 2 thì f ( y) = 2 1 + y 2 + 2 − y . y ≥ 0  2y 1 − 1 = 0 ⇔ 2 y = 1 + y2 ⇔  2 f '( y) = • ⇔y= . 2 4 y = 1 + y 1 + y2 3  B ng bi n thiên: 1 y -∞ 3 2 0 f'(y) - + f(y) 2+ 3
V- S D NG LƯ NG GIÁC: • Phương pháp chung: t các bi n theo các hàm s lư ng giác ưa bi u th c c n tìm giá tr l n nh t ho c giá tr nh nh t v bi u th c ch a các hàm s lư ng giác. • M t s ki n th c c n nh : n u x 2 + y 2 = 1 thì t x = sin t và y = cos t . n u x + y = 1 thì t x = sin 2 t và y = cos2 t . • M t s ví d minh h a: V í d 1: ( thi i h c chính th c kh i B năm 2008) i và th a mãn h th c x 2 + y 2 = 1 . Tìm giá tr l n nh t và Cho hai s th c x, y thay ( ). 2 x 2 + 6 xy giá tr nh nh t c a bi u th c P = 1 + 2 xy + 2 y2 Gi i: Cách 1: (S d ng lư ng giác) 2 2 Vì x + y = 1 nên t x = sin t và y = cos t . Lúc ó: ( ) 2 sin 2 t + 6 sin t cos t ⇔ ( P − 6 ) sin 2t + ( P + 1) cos2t = 1 − 2 P (1) P= 2 1 + 2sin t cos t + 2 cos t 2 2 2 (1) có nghi m ⇔ ( P − 6 ) + ( P + 1) ≥ (1 − 2 P ) ⇔ −6 ≤ P ≤ 3 V y giá tr l n nh t c a P là 3 và giá tr nh nh t c a P là -6. Cách 2: (S d ng t p giá tr ) G i T là t p giá tr c a P, khi ó m ∈ T khi và ch khi h phương trình sau có nghi m:  x 2 + y2 = 1  ( )  2 x 2 + 6 xy (1)  =m 2 1 + 2 xy + 2 y • N u y = 0 thì x 2 = 1 nên m = 2. 2t 2 + 12t ⇔ ( m − 2 ) t 2 + 2 ( m − 6 ) t + 3m = 0 (2) • N u y ≠ 0 thì t x = ty , khi ó m = 2 t + 2t + 3 H phương trình (1) có nghi m khi và ch khi phương trình (2) có nghi m.
3 * V i m = 2 thì phương trình (2) có nghi m t =. 4 * V i m ≠ 2 thì phương trình (2) có nghi m ⇔ ∆ ' = −2 m 2 − 6m + 36 ≥ 0 ⇔ −6 ≤ m ≤ 3 V y t p giá tr c a P là o n [ −6 ; 3] nên Pmax = 3 và Pmin = −6 . Ví d 2: ( thi i h c chính th c kh i D năm 2008) Cho hai s th c x, y không âm thay i. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a ( x − y )(1 − xy ) . bi u th c P = (1 + x )2 (1 + y )2 Gi i: Cách 1: (S d ng lư ng giác)  π t x = tanu, y = tanv v i u, v ∈ 0;  .  2 (tan u − tan v)(1 − tan u tan v) sin(u − v)cos(u + v) 1 sin 2u − sin 2v P= = = 2 2 2 2 (1 + tan u) (1 + tan v) (sin u + cos u) (sin v + cos v) 2 (1 + sin 2u)(1 + sin 2v) 1  1 1 = − . 2  1 + sin 2v 1 + sin 2u  1 1 1 1 π • Pmax = khi u = và v = 0 ⇔ x = 1 và y = 0. − =  2  1+ 0 1+1  4 4 1 1 1 π 1 • Pmin =   = − khi u = 0 và v = ⇔ x = 0 và y = 1. − 2  1+1 1+ 0  4 4 Cách 2: (S d ng b t ng th c) Ta có x − y ≤ x + y = x + y và 1 − xy ≤ 1 + xy = 1 + xy nên: ( x + y)(1 + xy) 1 1 1 P≤ ≤ ⇔− ≤P≤ . [( x + y) + (1 + xy)]2 4 4 4 1 • Giá tr l n nh t c a P b ng khi x = 1, y = 0. 4 1 • Giá tr nh nh t c a P b ng − khi x = 0, y = 1. 4
VI- S D NG O HÀM: • Phương pháp chung: t gi thi t c a bài toán, ta bi n i bi u th c c n tìm giá tr l n nh t ho c giá tr nh nh t t hai bi n s x; y v m t bi n s nào ó (có th là t = x + y ho c t = xy ho c t = x 2 + y 2 …) r i dùng o hàm kh o sát hàm s này. • M t s ví d minh h a: V í d 1: ( thi i h c chính th c kh i B năm 2009) 3 i và th a mãn ( x + y ) + 4 xy ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a Cho hai s th c x, y thay ( )( ) bi u th c A = 3 x 4 + y 4 + x 2 y2 − 2 x 2 + y 2 + 1 . Gi i: 2 3 2 Ta có ( x + y ) ≥ 4 xy nên t gi thi t suy ra ( x + y ) + ( x + y ) ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1 . 3 3 2 ( )( ) ( ) ( )( ) A = 3 x 4 + y 4 + x 2 y2 − 2 x 2 + y2 + 1 = x 2 + y2 + x 4 + y4 − 2 x 2 + y2 + 1 2 2 3 3 2 2 ( ) ( )( ) ≥ x 2 + y 2 + x 2 + y 2 − 2 x 2 + y2 + 1. 2 4 9 2 ( )( ) Suy ra A ≥ x 2 + y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 . 4 ( x + y )2 ≥ 1 . Do 92 1 2 2 2 2 t t = x + y , ta có x + y ≥ ó A≥ t − 2t + 1 v i t ≥ . 2 2 4 2 92 1 Xét hàm s f ( t ) = t − 2t + 1 v i t ≥ . 4 2 1 9 9 1 Ta có f ' ( t ) = t − 2 > 0 v i m i t ≥ , suy ra min f ( t ) = f = .  2  16 1  2 2 ;+∞  2   9 1 khi x = y = . V y giá tr nh nh t c a A b ng 16 2 Ví d 2: ( thi i h c chính th c kh i D năm 2009) i và th a mãn x + y = 1 . Tìm giá tr l n nh t và Cho hai s th c không âm x, y thay ( )( ) giá tr nh nh t c a bi u th c S = 4 x 2 + 3 y 4 y2 + 3 x + 25 xy .
Gi i: Cách 1: (S d ng o hàm)  x, y ≥ 0 y = 1 − x do ó S = 16 x 4 − 32 x 3 + 18 x 2 − 2 x + 12 . • Vì  nên suy ra  x + y = 1 0 ≤ x ≤ 1 • Xét hàm s f ( x ) = 16 x 4 − 32 x 3 + 18 x 2 − 2 x + 12 trên o n [0 ; 1] .  1 x=  2 • f ' ( x ) = 16.4 x 3 − 32.3x 2 + 18.2 x − 2 = 0 ⇔  ( u thu c o n [0 ; 1]).  2± 3 x = 4  1 2− 3 2+ 3 x 0 1 2 4 4 f (x) 191 25 191 12 12 16 2 16 D a vào b ng giá tr , ta k t lu n: 2+ 3 2− 3 2− 3 2+ 3 191 khi ( x; y ) =   ho c ( x; y ) =   4 ; 4 . • Smin = ; 4 4  16     1 1 25 khi ( x; y ) =  ;  . • Smax = 2 2 12 Cách 2: (S d ng b t ng th c k t h p v i o hàm) ( ) Do x + y = 1 nên S = 16 x 2 y2 + 12 x 3 + y3 + 9 xy + 25xy = 16 x 2 y 2 + 12 ( x + y ) − 3 xy ( x + y )  + 34 xy = 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12 . 3   ( x + y )2  1 1 f ( t ) = 16t 2 − 2t + 12 trên o n 0;  . Ta có 0 ≤ xy ≤ = . Xét hàm s  4 4 4  1  191  1  25 1 f ' ( t ) = 32t − 2 = 0 ⇔ t = f   = ; f ( 0 ) = 12 . và f   = ;  16  16 4 2 16  1  25  1  191 và min f ( t ) = V y m ax f ( t ) = f   = f = . 4 2  16  16  1  1 0;  0;    4  4
x + y = 1 2+ 3 2− 3 2− 3 2+ 3  191 1 ⇔ ( x; y ) =   ho c ( x; y ) =   4 ; 4 .  • = khi ; Smin 4 4  16 xy =       16 x + y = 1  1 1 25 1 ⇔ ( x; y ) =  ;  . khi  • = Smax 2 2 12  xy = 4  Cách 3: (S d ng lư ng giác)  x = sin 2 t x + y = 1   π • Vì  t nên v i t ∈ 0;  .  2  y = cos t 2  x, y ≥ 0  1 • Lúc ó S = 16sin 4 t cos4 t − 2sin 2 t cos2 t + 12 = sin 4 2t − sin 2 2t + 12 2 2  1  191 191 =  sin 2 2t −  + ≥ .  4 16 16  π 1 1 • D u “=” x y ra sin 2 2t = ⇔ sin 2t = (vì t ∈ 0;  nên sin 2t > 0 )  2 4 2  π π 5π ⇔t= ho c t = (vì t ∈ 0;  )  2 12 12   π 5π 1 − cos 1 − cos   4− 3 6 = 4+ 3 6= 2 2  x = sin t =  x = sin t =  2 ; t = 5π ⇒  π 2 2 2 ⇒  • t= π 5π 12 12   1 + cos 1 + cos  y = cos2 t =  y = cos2 t = 6 = 4+ 3 6 = 4− 3     2 2 2 2 x + y = 1 2+ 3 2− 3 2− 3 2+ 3  191 1 ⇔ ( x; y ) =   ho c ( x; y ) =   4 ; 4 . khi  • Smin = ; 4 4  16  xy = 16       1  1 1 25 S = sin 4 2t − sin 2 2t + 12 = sin 2 2t  sin 2 2t −  + 12 ≤ 1.  1 −  + 12 = . •  2  2 2 12  π • D u “=” x y ra sin 2 2t = 1 ⇔ sin 2t = 1 (vì t ∈ 0;  nên sin 2t > 0 )  2  π π ⇔ t = (vì t ∈ 0;  )  2 4
 2π 1 x + y = 1  x = sin 4 = 2   1 1 25 π • t= ⇒ ⇒ Smax = 1 ⇔ ( x; y ) =  ;  .  khi 2 2 12  y = cos2 π = 1 4  xy = 4    42 Ví d 3: ( thi cao ng năm 2008) i và th a mãn x 2 + y 2 = 2 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh Cho hai s th c x, y thay ( ) nh t c a bi u th c M = 2 x 3 + y3 − 3 xy . Gi i: Cách 1: (S d ng b t ng th c và o hàm) ( x + y )2 − 2 , do 2 2 2 Ta có x + y = 2 ⇔ ( x + y ) − 2 xy = 2 ⇔ xy = ó: 2 ( ) ( ) M = 2 x 3 + y3 − 3 xy = 2 ( x + y ) x 2 − xy + y 2 − 3 xy = 2 ( x + y )( 2 − xy ) − 3xy 3 3 ( x + y )2 + 6 ( x + y ) + 3 = − ( x + y) − 2 ( x + y )2 ⇒ −2 ≤ x + y ≤ 2 . 2 2 M t khác 2 = x + y ≥ 2 3 f ( t ) = −t 3 − t 2 + 6t + 3 trên o n [ −2;2 ] . Xét hàm s 2 t = 1 13 Ta có f ' ( t ) = −3t 2 − 3t + 6 = 0 ⇔  và f (1) = ; f ( 2 ) = 1; f ( −2 ) = −7 .  t = −2 2 1+ 3 1− 3 1− 3 1+ 3 13 • Giá tr l n nh t c a M là khi x = ; y= ho c x = ; y= . 2 2 2 2 2 • Giá tr nh nh t c a M là -7 khi x = y = −1 . Cách 2: (S d ng lư ng giác k t h p o hàm) • Vì x 2 + y 2 = 2 nên t x = 2 sin t; y = 2 cos t v i t ∈ [0 ; 2π ) . ( ) M = 2 x 3 + y3 − 3 xy = 4 2 ( sin t + cos t )(1 − sin t cos t ) − 6 sin t cos t . •  π u2 − 1 t u = sin t + cos t = 2 sin  t +  v i i u ki n u ∈  − 2 ; 2  thì sin t cos t = •    4 2 3 2 nên M = −2 2u − 3u + 6 2u + 3 .
f ( u ) = −2 2u3 − 3u2 + 6 2u + 3 trên o n  − 2 ; 2  . • Xét hàm s   u = − 2 f ' ( u ) = −6 2u 2 − 6u + 6 2 = 0 ⇔  • u = 1 .   2  1  13 ( ) ( 2 ) = 1 nên ta có k t lu n sau: • f − 2 = −7; f  = ; f  2 2   π 1− 3 1+ 3 x = t=− ;y =  13 1 12 2 2 ⇔ * Giá tr l n nh t c a M là ⇔ khi u =  2  t = 7π 2 1+ 3 1− 3 x = ;y =  12   2 2 3π * Giá tr nh nh t c a M là -7 khi u = − 2 ⇔ t = − ⇔ x = y = −1 . 4 Ví d 4: ( thi th i h c năm 2011 - trư ng THPT chuyên Lê Quý ôn - à N ng ) Cho hai s th c x, y dương thay i th a mãn x + y = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u x y th c T = + . 1− x 1− y Gi i: Cách 1: (S d ng o hàm) 1− x x y x • Vì x + y = 1 nên suy ra y = 1 − x , do ó T = + = + . 1− x 1− y 1− x x 1− x x f (x) = • Xét hàm s + v i 0 < x < 1. 1− x x   1  2−x x +1 1 1 1 . f '( x ) = • − = − + − 2 x3  2 x3  2 1 − x 2 x 2 (1 − x )3 (1 − x )3 2     1 1 • Ta có f '   = 0 . Ta ch ng minh x = là nghi m duy nh t c a f ' ( x ) . 2 2 1 1 1 1 1 1 • x > ⇒ 0 < 1− x < ⇒ > 0 nên f ' ( x ) > 0 . − > 0 và − 2 2 3 2 x3 2 1− x 2 x 2 (1 − x )
1 1 1 1 1 1 ⇒ 1− x > ⇒ < 0 nên f ' ( x ) < 0 . • 0< x< − < 0 và − 2 2 3 2 x3 2 1− x 2 x 2 (1 − x ) 1 là nghi m duy nh t c a f ' ( x ) ( pcm). • V y x= 2 BBT: 1 x 0 1 2 - 0 + f'(x) f(x) 2 1 2 khi x = y = V y giá tr nh nh t c a T là . 2 Cách 2: (S d ng b t ng th c k t h p o hàm) t 1 − x = u > 0 và 1 − y = v > 0 . Lúc ó x + y = 1 tr thành u2 + v 2 = 1 và • 1 − u2 1 − v 2 1  = ( u + v )  − 1 . T= +  uv  u v ( u + v )2 − 1 . 2 2 2 u + v = 1 ⇔ (u + v) • − 2uv = 1 ⇔ uv = 2 2 (u + v) • 1 = u2 + v2 ≥ ⇒u+v≤ 2. 2 ( u + v )2 = u2 + v2 + 2uv = 1 + 2uv > 1 ⇒ u + v > 1 . • −t 3 + 3t  ( = f ( t ) v i t ∈ 1; 2  . t t = u + v thì T = 2 t −1 4 −t − 3  ( () < 0, ∀t ∈ 1; 2  ⇒ f ( t ) ≥ f 2 = 2 . f ' (t ) = 2 ( ) 2 t −1 1 2 khi x = y = V y giá tr nh nh t c a T là . 2
Cách 3: (S d ng lư ng giác k t h p o hàm)  x = sin 2 t x + y = 1   π Vì   nên t n t i t ∈  0;  sao cho .  2 2  x > 0; y > 0  y = cos t  cos t sin t cos t + sin t ( sin t + cos t )(1 − sin t cos t ) 2 2 3 3 Khi ó T = + = = . sin t cos t sin t cos t sin t cos t  π  π t a = sin t + cos t = 2 sin  t +  , vì t ∈  0;  nên 1 < a ≤ 2 .  4  2 a2 − 1 − a3 + 3a = f (a) . Ta có sin t cos t = , do ó T = 2 2 a −1 −a4 − 3  ( () < 0, ∀a ∈ 1; 2  ⇒ f ( a ) ≥ f 2 = 2 . f '(a) = 2 ( ) 2 a −1 1 2 khi x = y = V y giá tr nh nh t c a T là . 2 Ví d 5: ( thi th i h c năm 2011 - trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu ) i ( a > 0 ) . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: Cho a, b là các s th c thay 2 2 T = ( a − b ) + ( ln a − b ) Gi i: Cách 1: (S d ng o hàm) 2 2 f ( b ) = ( b − a ) + ( b − ln a ) v i b ∈ » . Xét hàm s a + ln a Ta có f ' ( b ) = 2 ( b − a ) + 2 ( b − ln a ) = 0 ⇔ b = . 2 BBT: D a vào b ng bi n thiên, ta có: a + lna 2  a + ln a  ( a − ln a ) +∞ -∞ x 2 f ( b) ≥ f  = 2 2 0 f'(x) - + Xét hàm s f ( a ) = a − ln a v i a > 0 . f(x) a + lna 1 f( ) f '(a) = 1 − = 0 ⇔ a = 1. 2 a
BBT: a +∞ 0 1 - + f'(a) 0 f (a) 1 ( a − ln a )2 ≥ 12 1 1 1 Do ó f ( a ) ≥ 1, ∀a > 0 , nên = . V y Tmin = khi a = 1; b = . 2 2 2 2 2 Cách 2: (S d ng hình h c) Xét i m M ( b; b ) thu c ư ng th ng (d): y = x và i m N ( a;ln a ) thu c th (C) c a hàm 2 2 s y = ln x . Lúc ó MN 2 = ( a − b ) + ( ln a − b ) . D a vào th , ta th y MN nh nh t khi N là ti p i m y c a ti p tuy n c a (C) song song v i ư ng th ng (d) f( x) = x (hình v ). h(x) = x-1 1 Do ó f ' ( xN ) = = 1 ⇔ xN = 1 , suy ra yN = 0 . M g( x) = ln( x) xN x Và M là hình chi u vuông góc c a N lên ư ng th ng (d) N 1 1 1 nên M  ;  . Lúc này MN 2 = = Tmin . 2 2 2 Cách 3: (S d ng vectơ k t h p o hàm) Xét các vectơ u = ( a − b; b − ln a ) và v = (1;1) . ( a − b )2 + ( b − ln a )2 . 12 + 12 . Ta có: u.v ≤ u . v ⇔ ( a − b ) .1 + ( b − ln a ) .1 ≤ ( a − ln a )2 . 2 2 Suy ra T = ( a − b ) + ( ln a − b ) ≥ 2 1 f ( x ) = x − ln x , f ' ( x ) = 1 − = 0 ⇔ x = 1. Xét hàm s x BBT: x +∞ 0 1 - + f'(x) 0 f (x) 1
12 1 1 1 Do ó f ( x ) ≥ 1, ∀x > 0 , nên T ≥ = . V y giá tr nh nh t c a T là khi a = 1; b = . 22 2 2 V í d 6: i th a mãn x 3 + y3 ≤ 2 . Tìm giá tr l n nh t Cho x, y là các s th c dương thay c a bi u th c A = x 2 + y 2 . Gi i: x 3 + y3 ≤ 2 ⇔ y 3 ≤ 2 − x 3 ⇔ y ≤ 3 2 − x 3 . • • Vì x, y dương nên x 3 + y3 ≤ 2 ⇒ 0 < x < 3 2 . 2 ( ) Do ó A = x 2 + y2 ≤ x 2 + 3 2 − x 3 . 2 ( ) f ( x ) = x 2 + 3 2 − x3 v i 0< x< 32. Xét hàm s ) = 0 ⇔  x = 0 ( 3 2 − x3 − x 2x 2x2 ⇔ x = 1 (vì 0 < x < 3 2 ). f '( x ) = 2x − = 3 3 3 3  2−x = x 3 3  2−x 2−x BBT: 0 1 x + 0 - f'(x) 2 f(x) D a vào b ng bi n thiên, ta suy ra A ≤ f ( x ) ≤ 2 . V y giá tr l n nh t c a A là 2 khi x = y = 1. Ví d 7: Cho x, y là các s th c dương thay i th a mãn x + y = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a 1 1 bi u th c A = x 2 + y 2 + 2 + 2 . x y Gi i:
Cách 1: (S d ng o hàm) 1 1 2 Ta có x + y = 1 ⇒ y = 1 − x . Xét hàm s f ( x ) = x2 + + (1 − x ) + v i 0 < x < 1. 2 2 (1− x) x 3 x 3 − (1 − x ) 2 2 f ' ( x ) = 2 x − 2 (1 − x ) − 3 + = 0 ⇔ ( 2 x − 1) + 3 =0 x (1 − x )3 3 x (1 − x )  x2 − x + 1  ( 2 x − 1) ( x 2 − x + 1) 1 = 0 ⇔ ( 2 x − 1) 1 + 3  =0⇔ x = ⇔ ( 2 x − 1) + 3 3  x (1 − x )  x (1 − x ) 3 2   BBT: 1 x 0 1 2 D a vào b ng bi n thiên ta có giá tr nh nh t - 0 + f'(x) 17 1 c a A là khi x = y = . 2 2 f(x) 17 2 Cách 2: (S d ng b t ng th c k t h p o hàm)  1  1 1 1 2 ( ) Ta có A = x 2 + y 2 + 2 + 2 = x 2 + y2  1 + 2 2  ≥ 2 xy  1 + 2 2  = 2 xy + . xy  xy   xy  x y 1 • 1 = x + y ≥ 2 xy ⇒ 0 < xy ≤ . 4 2 1 • Xét hàm s f ( t ) = 2t + v i 0 < t ≤ . 4 t  1  17 2 1 Ta có f ' ( t ) = 2 − 2 < 0, ∀0 < t ≤ , suy ra f ( t ) ≥ f   = . 4 2 4 t 17 1 V y giá tr nh nh t c a A là khi x = y = . 2 2 Cách 3: (S d ng lư ng giác) π t x = sin 2 t ; y = cos2 t v i 0 < t < T gi thi t c a bài toán, ta . 2 1 1 1 1 Ta có A = x 2 + y 2 + + 2 = sin 4 t + cos4 t + 4 + x2 y sin t cos4 t