DAYHOCTOAN.VN
DAYHOCTOAN.VN
1
MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU............................................................................................................ 2
1.1. Lí do chọn đề tài. ........................................................................................ 2
1.2. Mục đích nghiên cứu. ................................................................................. 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu. ................................................................................ 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu. ........................................................................... 2
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .................................................. 3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ................................................... 3
2.1.1. Những kiến thức cơ bản: ......................................................................... 3
2.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức4
2.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng: ......................................... 4
2.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn: ........................................... 5
2.1.2.3. Quỹ tích điểm biểu diễn là elip: ....................................................... 6
2.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của
số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip. ............................................ 6
2.1.3.1. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5
cách giải ) ...................................................................................................... 7
2.1.3.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5
cách giải) ....................................................................................................... 9
2.1.3.3. Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn 𝒛+𝑨=𝒌, 𝑨,𝑩 ∈𝕮,𝒌>𝟎 .
Tìm z sao cho 𝑷=𝒛+𝑩 đạt min, max. ..................................................... 11
2.1.3.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4
cách giải) ..................................................................................................... 12
2.1.4.
Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó
............ 12
2.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức ............................. 14
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN .................................. 19
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:..................................... 20
2.4. Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy ..................................... 20
III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 20
1. Kết luận ....................................................................................................... 20
2. Kiến nghị ..................................................................................................... 21
DAYHOCTOAN.VN
DAYHOCTOAN.VN
2
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học như
hiện nay, môn Toán được kiểm tra đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm. Mảng
kiến thức về số phức trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng hiện
nay đã được khai thác khá sâu trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm. Một trong
những dạng toán được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của số phức. Để
giải các bài toán này nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn được phương án trả
lời đúng trong đề bài, chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh có một tư duy linh
hoạt và nhạy bén. Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu và rộng kiến thức,
người thầy còn phải biết cách dạy học sinh các kĩ năng như loại trừ, thử đáp án,
chọn lựa...và đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết. Đó là lí
do tôi chọn đề tài này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của SKKN này là nghiên cứu các phương pháp để
hướng dẫn học sinh nhanh chóng giải quyết được bài toán về modul của số phức,
đặc biệt là các bài toán về “tìm modul của số phức ’’, “tìm modul lớn nhất, nhỏ
nhất của số phức ’’, “tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức
z’’... Để giải quyết tốt các loại toán này, ta cần vận dụng thành thạo các kiến thức
về bất đẳng thức, hình học, lượng giác, hàm số, đánh giá...Tuy nhiên phần lớn
học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi vận dụng. Với thực trạng như vậy, tôi viết
sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp giải các bài toán về modul của số
phức”. Sáng kiến kinh nghiệm này chứa đựng những kĩ năng cơ bản quan trọng
mà học sinh cần phải nắm được nếu muốn tiến đến trình độ giải quyết tốt các bài
toán số phức, đồng thời chứa đựng những kĩ thuật, kĩ xảo, ý tưởng vận dụng các
năng lực toán học tương đối cao, phức tạp trong tư duy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu là:
* Các quỹ tích quen thuộc của điểm biểu diễn của số phức như đường thẳng,
đường tròn, đường elíp.
* Cách vận dụng các phương pháp như bất đẳng thức, phương pháp hình học,
phương pháp hàm số. lượng giác hóa, đánh giá, mối quan hệ giữa số phức và số
phức liên hợp của nó để giải quyết các bài toán về modul của số phức.
* Một số phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo dùng để giải quyết một bài toán trắc
nghiệm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Tự giải các bài toán về số phức bằng nhiều cách, kết hợp với thực tế giảng dạy
để đúc rút nên cách thức giảng dạy phù hợp nhất.
DAYHOCTOAN.VN
DAYHOCTOAN.VN
3
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Những kiến thức cơ bản:
2.2.1.1. Một số phức là một biểu thức có dạng
yix
, trong đó 𝑥,𝑦∈𝑅, và i là số
thoả mãn
1
2
i
. Ký hiệu số phức đó là z và viết
yixz
.
* i được gọi là đơn vị ảo
* x được gọi là phần thực, kí hiệu là Re(z).
* y được gọi là phần ảo, kí hiệu là Im(z).
* Tập hợp các số phức ký hiệu là ℭ .
2.2.1.2. Hai số phức bằng nhau.
Cho 2 số phức z = x + yi và z’ = x’ + y’i khi đó z = z’
'
'
yy
xx
2.2.1.3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
2.2.1.4. Modul của số phức: Cho số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x; y),
khi đó ta định nghĩa modul của số phức z là khoảng cách OM.
|𝑧|=𝑂𝑀=√𝑎2+𝑏2
2.2.1.5. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
' ( ') ( ')
' ( ') ( ')
z z a a b b i
z z a a b b i
2.2.1.6. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i
2.2.1.7. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức
z
= a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức
trên.
Tính chất của số phức liên hợp:
*
*
''z z z z
DAYHOCTOAN.VN
DAYHOCTOAN.VN
4
*
. ' . 'z z z z
* 𝑧.𝑧=𝑎2+𝑏2=|𝑧|2=|𝑧|2
2.2.1.8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
• Ta định nghĩa số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 là số z-1 được xác định bởi
z-1=
2
22
11
..zz
ab z
• Thương
'z
z
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như
sau:
1
2
' '.
'.
z z z
zz
zz

Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính
chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực
thông thường.
2.2.1.9. Các đẳng thức và bất đẳng thức về modul của số phức:
* |𝑧2|=|𝑧|2=|𝑧2|=|𝑧|2=𝑧.𝑧. Đặc biệt: Khi |𝑧|=1 𝑡ℎì 𝑧=1
𝑧 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑧=1
𝑧.
* |𝑧| là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến gốc tọa độ O của mặt
phẳng phức.
* |𝑧−𝑧′| là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến điểm M’ biểu
diễn của số phức z’.
* |𝑧.𝑧′|=|𝑧|.|𝑧′|, |𝑧
𝑧′|=|𝑧|
|𝑧′|.
* |𝑧|−|𝑧′|≤||𝑧|−|𝑧′||≤|𝑧+𝑧′|≤|𝑧|+|𝑧′|.
2.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số
phức
2.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:
Ta xét một ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 1 : Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
|3𝑧+1−𝑖|=|−3𝑧+2+3𝑖|
Giải:
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y ∈𝑅), ta có
(3x + 1)2 + (3y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 18x – 24y – 11 = 0
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
DAYHOCTOAN.VN
DAYHOCTOAN.VN
5
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường thẳng có dạng ax + by + c = 0. Ta tìm a, b,
c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
|3𝑋+1−𝑖|2−|−3𝑐𝑜𝑛𝑗𝑔(𝑋)+2+3𝑖|2 CALC X = 0 → −11 →𝑐= −11
|3𝑋+1−𝑖|2−|−3𝑐𝑜𝑛𝑗𝑔(𝑋)+2+3𝑖|2+11 CALC X = 1 →18→𝑎= 18
CALC X = i →−24→𝑏= −24
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Nhận xét: Đây là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với
học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và
chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính
cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng
trên dưới 20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng nếu số phức
z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
|𝑚𝑧+𝑎+𝑏𝑖|=|𝑚′.𝑧+𝑎′+𝑏′𝑖|
|𝑚𝑧+𝑎+𝑏𝑖|=|m'.𝑧 + a' + b'i|
|𝑚𝑧 +𝑎+𝑏𝑖|=|m'.𝑧 + a' + b'i|
Mà m = m’ hoặc m = - m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường
thẳng.
2.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:
Ta xét 2 ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
|𝑧−(𝑎+𝑏𝑖)|=𝑅 𝑣ớ𝑖 𝑅>0
Giải: Dễ thấy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
|𝑧+1−𝑖|=|−3𝑧+2+3𝑖|
Giải:
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y ∈𝑅), ta có
(x + 1)2 + (y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 -8x2 – 8y2 +14x – 20y – 11 = 0
𝑥2+𝑦2−7
4𝑥+5
2𝑦+11
8=0
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn: 𝑥2+𝑦2−7
4𝑥+5
2𝑦+11
8=0
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.