Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình

Chia sẻ: Hòa Phát | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khi giải phương trình học sinh được giới thiệu rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình được dùng một cách ẩn tàng ( như phép giải các phương trình hệ quả và phép thử nghiệm). Một khái niệm được hình thành luôn tiềm tàng đã nhân rộng cách giải phương trình lên đáng kể. Trong sáng kiến này, tác giả làm sáng tỏ thêm khái niệm đó để xét được các ứng dụng đẹp (nhất là trong các bài toán có chứa tham số) của nó trong phạm vi cho phép.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TOÁN LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29 =====0===== Đề tài: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Sinh viên thực hiện: 1. Phan Duy Luân 2. Lê Thị Lư 3. Nguyễn Thị Ly 4. Lê Nguyễn Hoàng Lý 5. Nguyễn Trọng Minh 6. Nguyễn Thị Nga 7. Hồ Văn Nguyên. Gv hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ Quy Nhơn: 11/2009
LỜI NÓI ĐẦU Như chúng ta đã biết trong thực tế khi giải phương trình học sinh được giới thiệu rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình được dùng một cách ẩn tàng ( như phép giải các phương trình hệ quả và phép thử nghiệm). Một khái niệm được hình thành luôn tiềm tàng đã nhân rộng cách giải phương trình lên đáng kể. Ở đây chúng tôi quyết định làm sáng tỏ thêm khái niệm đó để xét được các ứng dụng đẹp (nhất là trong các bài toán có chứa tham số) của nó trong phạm vi cho phép. Ở đây chúng tôi chỉ trình bày một số bài toán điển hình của phương pháp này mà nó thường hay xuất hiện. Tuy nhiên do đây là một phương pháp không quen thuộc đối với học sinh nên các em thường ít sử dụng. Nhưng nếu các em sử dụng thì có những bài toán sẽ được nhanh hơn. Vì thời gian có hạn, còn rất nhiều dạng toán khác của chuyên đề này không được trình bày ở đây. Hy vọng một dịp nào đó chúng tôi sẽ trình bày một cách đầy đủ hơn. Với phương pháp này mong rằng sẽ trang bị cho các bạn thêm một phương pháp mới về giải phương trình. Cuối cùng chúng tôi mong nhận được sự góp ý, phê bình của độc giả về nội dung, cách trình bày của chuyên đề này. Xin chân thành cảm ơn! Nhóm sinh viên thực hiện.
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU.............................................. Chương I: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT DUY NHẤT NGHIỆM Dạng. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x, m) =0 có nghiệm duy nhất Chương II: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM. Dạng 1. Giải bài toán về tính chất các nghiệm cho phương trình.................................................... Dạng 2. Giải bài toán về tập nghiệm.......... Dạng 3. Giải bài toán về phương trình hệ quả.. Dang 4. Giải bài toán về hai phương trình tương đương.............................................................. Chương III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT THAM SỐ
Dạng. Phương trình nghiệm đúng với giá trị xác định của tham số............................................. TÀI LIỆU THAM KHẢO. CHƯƠNG I: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM. Dạng . Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x, m) =0 (1) có nghiệm duy nhất. PHƯƠNG PHÁP: I. Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong (1) có nghĩa. Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm là x = x 0 , khi đó: a. Dựa trên tính chất đối xứng của các biểu thức giải tích trong (1), ta đi khẳng định khi đó x = φ ( x 0 ) cũng là nghiệm của (1). b. Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất cần có: x 0 = φ ( x 0 ) Giá trị x 0 . (2) c. Thay (2) vào (1) ta xác định được điều kiện cần cho tham số m để (1) có nghiệm duy nhất, giả sử m Dm . Bước 3: Điều kiện đủ:
Với m Dm , ta đi kiểm tra lại tính duy nhất nghiệm cho (1). Thông thường trong bước này, ta chỉ phải xét các phương trình cụ thể (thường là không có tham số hoặc nếu có thì đã được đơn giản đi nhiều). Kết quả của bước này cho phép ta loại đi khỏi tập Dm các giá trị không thích hợp của m. Bước 4: Kết hợp ba bước giải trên ta tìm được đáp số. II. VÍ DỤ MINH HỌA Trước tiên chúng ta minh họa các ví dụ sử dụng tính chất hàm chẵn để xác định điều kiện cần, tức là xuất phát từ nhận xét: Giả sử phương trình có nghiệm x 0 khẳng định rằng nó cũng nhận − x 0 nghiệm Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: x 0 = − x 0 � x 0 = 0 .  Ví dụ 1:[1] Tìm m để phương trình: mx 4 − 2(m −1)x 2 + m −1 = 0. (1) Có nghiệm duy nhất. Giải Điều kiện cần: Giải sử (1) có nghiệm x 0 , suy ra m.x 0 4 − 2(m −1).x 0 2 + m −1 = 0 � m( −x 0 ) 4 − 2(m −1)( −x 0 ) 2 + m −1 = 0 Tức là − x 0 cũng là nghiệm của phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: − x 0 = x 0 � x 0 = 0. Khi đó: (1) � m − 1 = 0 � m = 1. Điều kiện đủ: Với m=1, ta có:
x 4 = 0 � x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.  Chú ý: 1. Yêu cầu trên hoàn toàn có thể được thực hiện bằng phương pháp đặt ẩn phụ, cụ thể: Đặt t = x 2 , t 0 . Phương trình có dạng: f(t) = mt 2 −2(m −1)t +m −1 = 0. (2) Trường hợp 1. Với m = 0 1 1 1 (2) � 2t − 1 = 0 � t = � x2 = � x = � . 2 2 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Trường hợp 2. Với m 0. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất (2) có nghiệm 2(m −1) 0 S 0 m 0 =t 2 t1 � �� m =1 P =0 m −1 =0 m Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm duy nhất. 2. Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình trùng phương: a.x 4 + bx 2 + c = 0 (1) Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp điều kiện cần và đủ được thực hiện theo các bước: Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x 0 , suy ra − x 0 cũng là nghiệm của phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: − x 0 = x0 �x 0 = 0.
Khi đó: (1) � c = 0. Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất. Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại với c=0.  Ví dụ 2 : [1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất : 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 = m. (1) Giải Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu phương trình có nghiệm x 0 , thì cũng nhận − x 0 làm nghiệm. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x 0 = − x 0 � x 0 = 0 Khi đó: (1) � 1 + 2 = m � m = 3. Điều kiện đủ: Với m=3, khi đó phương trình có dạng: 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 = 3. 1− x2 1 Vì: � 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 �3. 3 1− x2 1 Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 − x 2 =1 � x = 0. 3 1 − x 2 =1 Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=3.
Ví dụ 3 :[1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy  nhất: x 4 + mx 3 + 2mx 2 + mx +1 = 0. (1) Giải Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương trình. Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x 0 0, suy ra x 0 4 + mx 03 + 2mx 0 2 + mx 0 +1 = 0 1 1 1 1 �1 + m + 2m 2 + m 3 + 4 = 0 x0 x0 x0 x0 4 3 2 �1 � �1 � �1 � 1 � � �+ m � �+ 2m � �+ m +1 = 0 x �0 � x �0 � x �0 � x 0 1 Tức là x cũng là nghiệm của phương trình. 0 Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: 1 = x 0 �x 0 = � 1. x0 Với x 0 = 1 , ta được: 1 (1) � 1 + m + 2m + m + 1 = 0 � m = − . 2 Với x 0 = −1 , ta được: (1) � 1 − m + 2m − m + 1 = 0 , vô nghiệm. 1 Vậy, m = − là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy 2 nhất. 1 Điều kiện đủ: Với m = − 2 , ta có: 1 1 (1) � x 4 − x 3 − x 2 − x + 1 = 0 � 2x 4 − x 3 − 2x 2 − x + 2 = 0 2 2 � (x − 1) 2 (2x 2 + 3x + 2) = 0 � x = 1 1 Vậy, m = − 2 phương trình có nghiệm duy nhất.
 Chú ý: 1. Yêu cầu trên hoàn toàn có thể được thực hiện bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 0 , ta được: 1 1 x 2 + mx + 2m + m. + 2 = 0 x x �2 1 � � 1 � �� x + 2� + m. �x+ �+ 2m = 0 � x � � x � 1 Đặt t = x + , điều kiện t 2. x 1 � x2 + 2 = t 2 − 2. x Khi đó phương trình có dạng: f(t) = t 2 + mt + 2m − 2 = 0. (2) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất pt (2) có đúng một nghiệm thỏa mãn t 2. 2. Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình hồi quy: a.x 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, với a 0 (1) Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp điều kiện cần và đủ được thực hiện theo các bước: Bước 1: Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương trình. Bước 2: Điều kiện cần:
1 Giả sử (1) có nghiệm x 0 , suy ra x cũng là nghiệm của 0 phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: 1 = x 0 �x 0 =� 1 � Giá trị tham số. x0 Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất. Bước 3: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại.  Ví dụ 4:[1] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 4 x + 4 2 − x + x + 2 − x = m. (1) Giải Điều kiện cần : Giả sử phương trình (1) có nghiệm là x = x 0 suy ra 2 x 0 cũng là nghiệm của (1). Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x 0 = 2 − x 0 � x 0 =1. Thay x 0 =1 vào (1), ta được m=4. Điều kiện đủ: Với m=4 , khi đó (1) có dạng: 4 x + 4 2 − x + x + 2 − x = 4. (2) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được: x + 2 − x 2 và 4 x + 4 2 − x 2 Do đó: x + 2 −x = 2 (2) 4 x + 4 2 −x = 2 �x =1  Ví dụ 4 : Tìm a, b, c để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x − a + x − b = c. (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm là x = x 0 suy ra x − a + x 0 − b = c � (a + b − x 0 ) − a + (a + b − x 0 ) − b = c 0 Suy ra a + b x 0 cũng là nghiệm của (1). Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi a +b x0 = a +b −x0 � x0 = 2 a+b Thay x 0 = 2 vào (1), ta được: c = a − b . Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất. Điều kiện đủ: Giả sử c = a − b , khi đó (1) có dạng: x −a + x −b = a −b � x −a + x −b = (x −a) −(x −b) �( x −a ) ( x −b ) �0 (2) Nếu a b ( ta giả sử khi đó a
Điều kiện cần: giả sử (1) có nghiệm x 0 , suy ra ( x 0 + 1) + ( x 0 + 3) = 2m � ( − x 0 − 1) + ( − x 0 − 3) = 2m 4 4 4 4 �3 + ( − x 0 − 4 ) � 1+ ( − x0 − 4) � 4 4 �� + � � � = 2m Tức là x 0 − 4 cũng là nghiệm của phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: x 0 − 4 = x 0 � x 0 = − 2. Khi đó : (1) � ( −2 + 1) + ( −2 + 3) = 2m � m = 1. 4 4 Điều kiện đủ: Với m=1, ta có: (1) � ( x + 1) + ( x + 3) = 2. (2) 4 4 1+3 Đặt t = x + = x + 2, suy ra: 2 x +1 =t −1 . x +3 =t +1 Khi đó : (2) �( t −1) + ( t +1) = 2 � 2t 4 +12t 2 = 0 4 4 � t 2 (t 2 + 6) = 0 � t = 0 � x + 2 = 0 � x = −2 Vậy, m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.  Chú ý : 1. Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình. ( x +a ) + ( x + b ) = c. (1) 4 4 Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp đk cần và đủ được thực hiện theo các bước: Bước 1: Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm x 0 , suy ra − x 0 − a − b cũng là nghiệm của phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: a+b −x 0 − a − b = x 0 � x 0 = − � Giá trị tham số. 2 Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại. 2.Yêu cầu trên có thể thực hiện được bằng phương pháp đặt ẩn phụ, cụ thể: 1+3 x +1 =t −1 Đặt t = x + = x + 2 , suy ra: . 2 x +3 = t +1 Khi đó:(1) � ( t − 1) + ( t + 1) = 2m � 2t 4 + 12t 2 + 2 = 2m 4 4 � t 4 + 6t 2 + 1 − m = 0. (2) Đặt u = t 2 , u 0. Khi đó: (2) � f (u) = u 2 + 6u + 1 − m = 0. (3) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất (3) có nghiệm u1 0 = u2 Kết luận m=1 phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ 6: [2] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x + 2 −x = m. (1) Giải Điều kiện 0 x 2. Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x 0 .Khi đó: x0 + 2 − x0 = m � 2 − ( 2 − x0 ) + 2 − x0 = m � 2 − x0 + 2 − ( 2 − x0 ) = m Tức là 2 −x 0 cũng là nghiệm của (1). Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi 2 − x 0 = x 0 � x 0 = 1 Khi đó: (1) � m = 2. Điều kiện đủ: Với m=2, ta có:
( ) 2 x + 2− x = 2 � 4 = x + 2− x �( 1 + 1) ( x + 2 − x ) = 4 (Bunhicopxki) � x = 2 − x � x = 1 là nghiệm duy nhất.  Chú ý: 1. Như vậy để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình: x + a + b − x = c. (1) Có nghiệm duy nhất, bằng pp điều kiện cần và đủ được thực hiện theo các bước: Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x 0 , suy ra x0 + a + b − x0 = c � b − ( −x 0 − a + b ) + a + ( −x 0 − a + b ) = c � a + ( −x 0 − a + b ) + b − ( −x 0 − a + b ) = c Tức là −x 0 − a + b cũng là nghiệm của phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện là: b −a −x 0 − a + b = x 0 � x 0 = � Giá trị của tham số. 2 Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại. 2. Yêu cầu trên hoàn toàn có thể thực hiện được bằng phương pháp như: đặt ẩn phụ, pp hàm số, pp lượng giác hóa. 3. Mở rộng cho phương trình m a − f (x) + m b + f (x) = c. BÀI TẬP THAM KHẢO CHƯƠNG I. Bài 1.Tìm giá trị của tham số m để pt sau có nghiệm duy nhất ( 3m − 2 ) .2 x −1 = 1 Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
4 x + 4 1 − x + x + 1 − x = m Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất. x + 1 − x + 2m x ( 1 − x ) − 2 4 x ( 1 − x ) = m3 . ************************ Chương 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM Dạng 1: Giải bài toán về tính chất các nghiệm cho phương trình I. PHƯƠNG PHÁP:
Với yêu cầu: “Tìm điều kiện của tham số (giả sử m) để phương trình: f(x, m) = 0 có nghiệm thỏa mãn tính chất “K”, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm thỏa mãn tính chất K, khi đó ta có:  Hệ thức Viet giữa các nghiệm (I)  Biểu diễn điều kiện thông qua (I)  Suy ra điều kiện cho tham số. Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện phép thử lại. II. VÍ DỤ MINH HỌA:  VD1 : [2] Xác định m để phương trình: (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 4(x1 + x1) = 7x1x2 (*) Giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn (*) khi đó: 2(m 1) x1 + x 2 = m +1 m2 x1.x 2 = m +1 2(m 1) m2 Từ đó: (*) � 4 m + 1 = 7 m + 1 � m = 6 Điều kiện đủ: Với m = 6 thay vào (1) ta được: 5x2 + 14x – 8 = 0 x1 = 2 thỏa mãn (*)
2 x 2 = 5 Vậy, với m = 6 thỏa mãn điều kiện đầu bài.  VD2:[2] Phương trình: ax2 + bx + c = 0 Có hai nghiệm x1, x2. Chứng minh hệ thức: b3 + a2c + ac2 = 3abc là điều kiện cần và đủ để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại. Giải: Theo giả thuyết ta được: b S = x1 + x2 = a c P = x1x2 = a Xét biểu thức: P = (x1 – x 22 ) (x 2 x12 ) = x 1x 2 + x12 x 22 (x13 + x 22 ) = x1x2 + x12 x 22 [(x1 + x 2 )3 3x1x 2 (x1 + x 2 )] c c2 �b3 c b � b3 + a 2c + ac3 3abc = a + � + 3 . �= a 2 �a 3 a d� a3 Vậy, nếu: b3 + a2c + ac2 = 3abc thì một trong hai thừa số của P bằng 0 và ngược lại (Đpcm).  VD3: [3] Giải phương trình : ax2 + bx + c = 0 Có hai nghiệm x1, x2. Chứng minh hệ thức: (k + 1)2ac – kb2 = 0 (k 0) là điều kiện cần và đủ để phương trình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại. Giải: Theo giả thiết ta được:
b x1 + x2 = a c x1x2 = a Xét: P = (x1 – kx2)(x2 – kx1) = x1x2 – k( x12 + x 22 ) + k 2 x1x 2 = x1x2 – k[(x1 + x2)2 – x1x2 ] + k2x1x2 c b2 � c � 2 c (k + 1)2 ac kb 2 = a � 2 a �+ k a = k 2 a � � a2 Vậy, nếu (k + 1)2ac – kb2 = 0 thì một trong hai thừa số của P phải bằng 0 và ngược lại (Đpcm).  VD4: [3] Xác định m để phương trình: x3 – 3mx2 – 3x + 3m +2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn x12 + x 22 + x 32 > 15. Giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 khi đó x1 + x2 + x3 = 3m x1x2 + x2x3 + x3x1 = 3 x1x2x3 = 3m – 2 Khi đó: 15 1 m >1 Điều kiện đủ: Viết lại phương trình về dạng (x – 1) [x2 – (3m – 1)x – 3m – 2] = 0
x = 1 g(x) = x2 – (3m – 1)x – 3m – 2 = 0 (2) ta chứng minh với m >1 thì (2) có 2 nghiệm phân biệt khác, tức là chứng minh: g > 0 9m2 + 6m + 9 = 0 luôn đúng với m >1 g(1) 0 m 0 Vậy với m >1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.  Chú ý: Bài toán trên cũng có thể được trình bày như sau: Viết lại phương trình về dạng: (x – 1) [x2 – (3m – 1)x – 3m – 2] = 0 x = 1 g(x) = x2 – (3m – 1)x – 3m – 2 = 0 (2) Trước hết (1) có 3 nghiệm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt 1 g > 0 g(1) 0 9m2 + 6m + 9 > 0 m 0 m 0 Với điều kiện (1) có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn: x1 + x2 + x3 = 3m x1x2 + x2x3 + x3x1 = 3 x1x2x3 = 3m – 2 Khi đó: 15 1 m >1 Vậy với m >1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
 VD5:[3] Xác định m để phương trình: x3 – 3x2 – 9x + m = 0 (1) Có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng, khi đó: x1 + x3 = 2x2 x1 + x2 + x3 = 3 3x2 = 3 x2 = 1 Với x2 = +1 thay vào (1) ta được: 11 – m = 0 m = 11 Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. Điều kiện đủ: Với m = 11, ta được: x3 – 3x2 – 9x + 11 = 0 (x – 1) (x2 – 2x – 11) = 0 x1 = 1 – 12 x2 = 1 , thỏa mãn (1) x3 = 1 + 12 Vậy với m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.  Chú ý: 1. Trong bài toán trên ở điều kiện đủ ta khẳng định được. a. pt (1) có 3 nghiệm phân biệt. b. Ta có x1 + x3 = 2x2, tức là x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng. Do đó có kết luận m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.