intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

Thêm vào BST
Báo xấu
9
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm THCS "Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết" được thực hiện với mục đích hướng dẫn học sinh phân loại được các dạng bài tập khác nhau liên quan đến chia hết và giải chúng như thế nào? Từ đó xây dựng lời giải hoàn thiện bằng hệ thống tư duy logic chặt chẽ với mục đích là học sinh xây dựng được phương pháp tư duy tích cực trong học toán và giải toán, giúp các em phấn khởi tự tin hình thành thói quen phân tích tổng hợp khi học toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết

  1. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết I. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Đối với học sinh lớp 6, trong chương I " Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên",   sau 17 tiết ôn tập và bổ túc về tập hợp số tự nhiên và các phép tính trên tập hợp  đó, chương trình tiếp tục với 6 tiết về tính chất chia hết của một tổng và dấu   hiệu chia hết. Thực ra  ở Tiểu học học sinh đã được học các dấu hiệu chia hết   cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, nhờ các bảng chia nhưng do chưa học các tính chất   chia hết của một tổng nên chưa đủ  cơ  sở  lý luận để  giải thích được các dấu  hiệu chia hết đó. Các hạn chế đó được khắc phục ở lớp 6. Trong chương I, dấu   hiệu chia hết cho 2, cho 5 học sinh được học trong một bài; dấu hiệu chia hết   cho 3, cho 9 cũng vậy, nhờ đó vừa giảm được một số tiết học, vừa làm nổi bật   nét chung của hai dấu hiệu chia hết. Tuy chỉ với 6 tiết được bố trí song những kiến thức được trang bị này có   môt ý nghĩa rất lớn chúng làm cơ  sở  cho việc trình bày và tiếp thu nhiều kiến  thức cơ  bản về  sau như: số  nguyên tố  ­ Hợp số,  ƯC­BC,  ƯCLN­BCNN, rút  gọn, quy đồng so sánh, cộng trừ phân số...ở lớp 6; phân tích đa thức thành nhân  tử, quy đồng mẫu thức ...ở lớp 8. Mặt khác nó góp vai trò quan trọng trong việc   nghiên cứu về đa thức, phân thức ở môn đại số các lớp sau. Phần kiến thức này có  một  ý nghĩa  đặc biệt là trang bị  cho học sinh   phương pháp tư duy có hệ thống, logic chặt chẽ, giúp học sinh phương pháp suy  luận mới từ dự đoán ­> chứng minh, từ phân tích ­> tổng hợp, từ cụ thể ­> khái   quát. Mở rộng khả năng đào sâu suy nghĩ, phát hiện và vận dụng những vấn đề  mới có liên quan. Rèn luyện khả năng sử  dụng ngôn ngữ  chính xác, bồi dưỡng   phát triển năng lực tư duy, óc linh hoạt, tính độc lập và sáng tạo bước đầu hình  thành thói quen tự học, tự nghiên cứu, biết diễn đạt chính xác, khoa học ý tưởng   của mình và hiểu ý tưởng của người khác. GV: Bùi Thị Nga ­1­              Trường THCS Mạo Khê II
  2. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết  Chương trình Số học 6 góp phần giúp học sinh chủ động khám phá kiến  thức mới. Khai thác những kiến thức cơ  bản áp dụng vào việc hoàn chỉnh các  bài toán liên quan bằng việc xây dựng quy trình suy luận có lý xuất phát từ  những điều đã biết để đi đến kết quả cuối cùng. 1.2. Tính cần thiết của đề tài Trong quá trình giảng dạy tôi thấy có nhiều vấn đề  nảy sinh: Học sinh   lớp 6 mới chỉ tiếp cận với các phương pháp suy luận cụ thể, giải quyết các bài  toán đơn lẻ. Suy luận logic còn hạn chế ảnh hưởng đến năng lực tiếp thu và mở  rộng kiến thức của học sinh trung bình, khá. Đối với học sinh khá giỏi các em có   nhu cầu được tìm hiểu những kiến thức cao hơn song sách giáo khoa chưa đáp   ứng (sách giáo khoa mới chỉ dừng ở các kiến thức cơ bản). Sử dụng những kiến  thức này các em mới chỉ  giải quyết được những bài tập  ứng dụng đơn thuần.  Đối với các bài tập đòi hỏi có sự suy luận và phát triển thì hầu hết học sinh gặp   khó khăn. Vì vậy các em thường trình bày không rõ ràng, giải thích thiếu hệ  thống các vấn đề. Ví dụ: Học sinh sẽ  gặp nhiều lúng túng khi giải quyết bài  tập: Chứng minh rằng: Với mọi n   N thì số  5n ­ 1 4 hay chứng minh rằng số  gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27... Mặt khác sau chương I, học sinh lại tiếp tục được làm việc với bài toán  chia hết (ước và bội) của số nguyên. Vậy làm thế nào để vừa sử dụng tốt kiến  thức cơ bản vừa khai thác sâu chúng để  phát triển, mở rộng theo một hệ thống   chặt chẽ  giúp học sinh phát huy tích cực, chủ  động tìm tòi vận dụng sáng tạo   vào việc giải các bài tập có nội dung liên quan, đồng thời dễ dàng tiếp thu kiến  thức mới. Số học quả là mênh mông! Kiến thức thì vô tận! Trong phạm vi đề tài này  tôi trình bày một số  kinh nghiệm của bản thân về   "Phân loại và hướng dẫn   học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết" . Hy vọng những kiến  thức này sẽ  giúp đỡ  phần nào cho các em trong quá trình vươn lên chinh phục  những đỉnh cao kiến thức của nhân loại. GV: Bùi Thị Nga ­2­              Trường THCS Mạo Khê II
  3. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết 1.3. Mục đích nghiên cứu đề tài Dựa trên cơ  sở  khoa học và thực tiễn giảng dạy, để  góp phần nâng cao   chất lượng dạy và học trong giảng dạy tôi luôn có ý thức tìm ra biện pháp thích  hợp và hiệu quả nhất bằng cách: ­ Khắc sâu kiến thức cơ  bản và mở  rộng phát triển từ  cái đã biết: Tính  chất chia hết của một tổng, các dấu hiệu chia hết, sau đó khai thác hướng dẫn   cho học sinh phát hiện tính chia hết có liên quan đến những kiến thức nào. ­ Hướng dẫn học sinh phân loại được các dạng bài tập khác nhau liên  quan đến chia hết và giải chúng như  thế  nào? Từ  đó xây dựng lời giải hoàn   thiện bằng hệ  thống tư duy logic chặt chẽ với mục đích là học sinh xây dựng  được phương pháp tư  duy tích cực trong học toán và giải toán. Từ  đó các em   phấn khởi tự tin hình thành thói quen phân tích tổng hợp khi học toán. 1.4. Đối tượng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên cứu 4.1. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 6 4.2. Phạm vi nghiên cứu: Trong 2 lớp 6A1, 6A2 ­ Trường THCS Mạo Khê  2 4.3. Thời gian nghiên cứu: 3 năm (2008 ­ 2010) 1.5. Đóng góp về mặt lý luân thực tiễn Môn số  học thực sự  là một lĩnh vực có nhiều hấp dẫn chỉ  từ  những con  số quen thuộc, đơn giản. Song chúng đã tạo ra một thế giới đầy bí ẩn và có sức   thu hút kỳ diệu. Nghiên cứu nó, ta thấy có nhiều tính chất hay, quy luật đẹp đến   bất ngờ. Vì vậy thông qua các bài tập liên quan đến tính chất chia hét, giúp học   sinh phát huy được tính tích cực, tự  giác, chủ  động, sáng tạo trong học tập.   Đồng thời rèn luyện kỹ  năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Tác động đến   tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. II. PHẦN NỘI DUNG II.1. Thực trạng vấn đề GV: Bùi Thị Nga ­3­              Trường THCS Mạo Khê II
  4. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết II.1.1. Sơ lược về trường THCS Mạo Khê 2 Trường THCS Mạo Khê II có 1018 học sinh chia làm 28 lớp theo các khối  6,7,8,9 mỗi khối 7 lớp. Những vấn đề  lớn nhà trường quan tâm là duy trì chất   lượng đại trà hàng năm đã đạt: Tốt nghiệp 99 ­ 100%. Lên lớp 98% giữ  vững   chất lượng mũi nhọn 8 ­ 10% học sinh đạt học sinh giỏi các cấp hàng năm. Năm  học 2008 ­ 2009 học sinh giỏi cấp huyện có 43 em (lớp 9); Tỉnh có 21 em (lớp  9). Giữ vững nề nếp kỷ cương trong dạy và học, tăng cường các hoạt động giáo   dục ngoài giờ và quản lý học sinh. đặc biệt là đưa các nội dung dạy pháp luật   có chất lượng hơn. Thực hiện tốt một số chuyên đề lớn như giáo dục ­ dân số ­  môi trường ­ phòng chống ma tuý. Phấn đấu theo khẩu hiệu nhà trường “Một   địa chỉ tin cậy của nhân dân trong khu vực”. Do đó với nhiệm vụ đáp   ứng nhu  cầu bậc học trung học cơ  sở   ở  khu trung tâm thị  trấn và phấn đấu đạt chuẩn  quốc gia giai đoạn 2 của ngành. Nhà trường phải tăng cường cơ  sở  vật chất:  đến năm 2015 tăng 100% số phòng học (28 lớp), đủ các phòng thiết bị bộ môn.  Tiếp tục bồi dưỡng chuẩn hoá đội ngũ giáo viên đạt 50% đại học 2015. Tích  cực thực hiện đổi mới phương pháp dạy học và tăng cường  ứng dụng công  nghệ thông tin đáp ứng việc đổi mới chương trình THCS của Bộ. II.1.2. Một số thành tựu đạt được: Sau khi giảng dạy về  tính chất chia hết của một tổng và các dấu hiệu  chia hết, HS  ở  hai lớp 6A1, 6A2 đã vận dụng thành thạo các tính chất và dấu   hiệu chia hết vào giải các bài tập có liên quan. Đặc biệt HS làm bài diễn đạt  chính xác, có nhiều cách giải hay, lập luận logic, hợp lý các em hăng hái xây   dựng bài, tạo ra các giờ  học thoải mái, tiếp thu kiến thức một cách nhẹ  nhàng,  từ đó giúp các em thêm yêu bộ môn Toán hơn và bước đầu hình thành khả năng  vận dụng kíên thức toán học  vào đời sống và các môn khoa học khác II.1.3. Một số tồn tại và nguyên nhân Học sinh ở 2 lớp 6A1, 6A2 học lực không đồng đều, còn một số học sinh   chưa chăm học: Trong lớp còn hay nói chuyện, ghi bài không đầy đủ, lười học  GV: Bùi Thị Nga ­4­              Trường THCS Mạo Khê II
  5. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết bài và làm bài tập. Một số  em này do hổng kiến thức từ  cấp 1, gia đình thiếu  quan tâm đôn đốc, mải chơi...=> kết quả học tập chưa cao. II.1.4. Vấn đề đặt ra GV cần giúp học sinh suy đoán, suy diễn, hoạt động tư  duy để  dẫn đến   các tính chất chia hết, từ đó học sinh vận dụng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9   vào các tình huống cụ thể của hoạt động giải toán. Rèn luyện tư  duy linh hoạt   sáng tạo: tìm thêm các cách giải khác và chọn cách giải tối ưu. Nghiên cứu khả  năng ứng dụng kết quả hay phương pháp cho các bài toán khác, đề xuất bài toán  mới... II.2. Áp dụng trong giảng dạy II.2.1. Các bước tiến hành Qua khảo sát chất lượng đầu năm học, tôi thu được kết quả như sau: Lớp SS Nữ Giỏi Khá TB Yếu Kém 6A1 43 23 39.5% 45.9% 7.6% 7% 0 6A2 39 22 53.3% 28.9% 15.3% 2.5% 0 II.2.2. Bài dạy minh hoạ 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Định nghĩa: Cho 2 số tự nhiên a; b (b   0) ta nói a chia hết cho b nếu  tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q 1.2. Các tính chất 1.2.1. Tính chất chung: 1.2.1.1. Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho 1 và chính nó. 1.2.1.2. Số 0 chia hết cho mọi số khác 0 1.2.1.3. Tính chất bắc cầu: a  b và b   c thì a   c 1.2.2. Tính chất chia hết của tổng và hiệu: 1.2.2.1.  a   m; b   m => a + b   m; a ­ b   m (a   b) * Hệ quả: Nếu a + b   m và a   m thì b   m 1.2.2.2.  a  / m; b   m => a + b  / m; a ­ b  / m (a   b) GV: Bùi Thị Nga ­5­              Trường THCS Mạo Khê II
  6. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết 1.2.2.3. Tính chất chia hết của một tích + Nếu a   m => ab   m + Nếu b   m và b   n => ab   mn * Hệ quả: Nếu a   b thì an  bn 1.3. Một số dấu hiệu chia hết: 1.3.1. n   2  Chữ số tận cùng của n chẵn => n : 2 dư r => n = 2k + r (k N), r = 0;1. 1.3.2. n   5  Chữ số tận cùng của n là 0 hoặc 5 => n : 5 dư r => n = 5k + r (k N), r = 0;1;2;3;4. 1.3.3. n   4  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng của n chia hết cho 4. 1.3.4. n   25  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng của n chia hết cho 25. 1.3.5. n   8  Số tạo bởi ba chữ số tận cùng của n chia hết cho 8. 1.3.6. n   2k  Số tạo bởi k chữ số tận cùng của n chia hết cho 2k. 1.3.7. n   5k  Số tạo bởi k chữ số tận cùng của n chia hết cho 5k. 1.3.8. n   3  Tổng các chữ số của n chia hết cho 3. 1.3.9. n   9  Tổng các chữ số của n chia hết cho 9. n   9 => n   3. Điều ngược lại không đúng 1.3.10. n   11 Tổng các  Tổng các  chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số  hàng lẻ có hiệu chia hết cho 11. 2. NỘI DUNG CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHIA HẾT. 2.1. BÀI TOÁN VỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG: 2.1.1. Ví dụ 1:  Cho A = 51n + 47102 ( n  N). Chứng tỏ A   10. *  Hướng dẫn: Mấu chốt của bài toán này là học sinh phải nắm được  một số như thế nào thì chia hết cho 10. Trong trường hợp này muốn chứng tỏ A    10 thì ta cần giải theo hướng đi tìm chữ số tận cùng của A. Bài toán này trở về  bài toán dạng: Tìm chữ số tận cùng của A. Nếu A có chữ số tận cùng bằng 0 thì  chứng tỏ A 10. Ta có: 51n có tận cùng là 1 GV: Bùi Thị Nga ­6­              Trường THCS Mạo Khê II
  7. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết 47102 = 47100. 472 = (474)25.472 = ( ...1 ).( ...9 ) 0= số có tận cùng là 9 => A =  ...1  +  ...9  có tận cùng là 0 nền A   10. 2.1.2. Ví dụ 2 Cho A = 2 + 22 + 23 +....+220 Tìm chữ số tận cùng của A. * Hướng dẫn: Bài toán này thuộc loại toán tìm chữ số tận cùng của tổng  các luỹ thừa của 2 nên ta phải xét xem tổng đó có đặc điểm gì? Tìm chữ số tận   cùng bằng cách nào? * Lời giải: Bài tập này có nhiều cách giải, song nên hướng dẫn học sinh   theo hai cách cơ bản sau: * Cách 1:  A = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 +....+28)+...+(217 + 218+219+220) = (2 + 22 + 23 + 24) + (1 + 24 +....+216) = 30(1 + 24 +....+216) Mà 30   10 => A   10 => A có tận cùng là 0. * Cách 2:  A = 2 + 22 + 23 + ...+220 => 2A = 22 + 23+...+ 221 2A ­ A = 221 ­ 2 A = 221 ­ 2 = (24)5.2 ­ 2 A = 165.2 ­ 2 =  ........2  ­ 2 = số có tận cùng là 0 * Nhận xét: Bản chất đều là dạng toán: Tìm chữ số tận cùng, giải quyết thông  qua tính chất chia hết. Hai bài toán có yêu cầu ngược nhau: Để  có sự  chia hết phải tìm chữ  số  tận cùng ( Ví dụ  1). Để  biết chữ  số  tận cùng phải xét tính chia hết (ví dụ  2).   Tuy nhiên bản chất hai bài toán này đều là xác định chữ số tận cùng. Để  thành thạo loại toán này đòi hỏi học sinh phải xác dịnh được chữ  số  tận cùng của một luỹ thừa, một tích từ đó định hướng cách giải. 2.2.3. Bài toán tương tự GV: Bùi Thị Nga ­7­              Trường THCS Mạo Khê II
  8. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết 2.2.3.1 ­ Cho A = 119 + 118 + 117 + ...+ 11 + 1. Chứng minh rằng A chia hết cho   5. *  Hướng dẫn: Tìm chữ  số  tận cùng của A bằng cách nhóm các số  hạng rồi  chứng minh A có tận cùng là 0 nên chia hết cho 5. 2.2.3.2. Chứng minh rằng:  n   N thì n2 + n + 6  / 5 * Hướng dẫn: Lưu ý  n2 + n = n(n+1), tích 2 số tự nhiên liên tiếp chỉ tận cùng  bằng 0; 2; 6 => n2 + n + 6 chỉ tận cùng bằng 6; 8; 2  /5 2.2.3.3. Chứng tỏ rằng: 175 + 244 ­ 1321   10 * Hướng dẫn: Tương tự như ví dụ 1 2.2. BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Ngoài các tính chất đã nêu ở trên, với các kiến thức về số nguyên tố, nguyên tố  cùng nhau ta cần chú ý thêm một số tính chất về chia hết sau: 1) Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia  hết cho p. * Hệ quả: an+  p => a  p 2) Nếu ab   m ; (b,m) = 1 => a   m 2.2.1. Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3   7 * Hướng dẫn: * Cách 1:   18n + 3   7  14n + 4n + 3   7  4n + 3   7  4n + 3 ­ 7  7  4n ­7  7  4(n ­ 1)   7 Do (4;7) = 1 nên n ­ 1   7 Vậy n = 7k + 1 (n  N) * Cách 2:     18n + 3   7 18n + 3 ­ 21  7 GV: Bùi Thị Nga ­8­              Trường THCS Mạo Khê II
  9. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết 18n ­18   7 18(n ­1)   7 Do (18;7) = 1 => n = 7k + 1 ( k  N) Đây là bài tập không khó. Nó khắc sâu cho học sinh các tính chất chia hết  có tổng (hiệu) mối quan hệ giữa số nguyên tố, các số nguyên tố cùng nhau. ­ Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến một   bài toán chia hết cho 7 mà ở đó hệ số của n bằng 1. 2.2.2. Ví dụ 2: Cho a + 4b   13 ( a, b  N). Chứng minh : 10a + b   13 a 4b x * Hướng dẫn: Đặt          (1) 10a b y * Cách 1:  10a 40b 10 x Từ (1) =>  10a b y => 10x ­ y = 39b   13  => 10 x ­ y   13  mà x   13  => y   13 hay 10a + b   13  * Cách 2:  x a 4b Từ (1) =>  4 y 40a 4b => 4y ­ x = 39a   13   Do x   13  => 4y   13   13. Do (4;13) = 1 => y   13  (đpcm) * Cách 3: Xét: 3x + y = 2(a+4b) + 10a + b = 13a + 13b = 13(a + b)   13   Như vậy: 3x + y   13   Do x   13   => 3x   13   * Cách 4: Xét x + 9y = a + 4b + 9 (10a+b) = 91a + 13b = 13(7a + b)   13   Do x   13  => 9y  13   mà (9;13) = 1 => y   13   GV: Bùi Thị Nga ­9­              Trường THCS Mạo Khê II
  10. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết * Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đưa ra các bài toán mà sau khi rút gọn  có một số hạng là bội của 13; khi đó số  hạng thứ  hai (nếu có) cũng là bội của   13. Hệ số của a ở x là 1; hệ số của a ở y là 10; nên xét bài toán 10x ­ y nhằm   tạo ra hệ số của a bằng 13. Hệ  số  của b  ở  x là 4; hệ  số  của b  ở  y là 1 nên xét bài toán 4y ­ x nhằm  khử  b, xét bài toán x + 9y nhằm tạo ra hệ số  của b bằng 13... Bài toán có thể  giải được bằng cách khác nhờ việc chọn hệ số phù hợp. 2.2.3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p­1)(p+1)   24 * Hướng dẫn: Giáo viên gợi mở học sinh thông qua các câu hỏi: 1) p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì chẵn hay lẻ? 2) Từ đó suy ra p ­ 1 và p + 1 là số chẵn hay lẻ? 3) Hai số chẵn liên tiếp khi chia cho 4 có đặc điểm gì? Tích của chúng có  chia hết cho 8 không? Cụ thể:  Ta có (p­1)p(p+1)   3 mà (p;3) = 1 nên (p­1)(p+1)   3   (1) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ => p ­1 và p + 1 là 2 số chẵn liên tiếp.  Trong 2 số chẵn liên tiếp sẽ có 1 số  chia hết cho 4 nên tích của chúng chia hết   cho 8  (2) Do (3;8) = 1  Từ (1) và (2) => (p­1)(p+1)   3.8 Hay (p­1)(p+1)   24 2.3. BÀI  TOÁN VỀ  ƯCLN, BCNN Trên cơ sở những kiến thức SGK về chia hết, về  ƯC­BC,  ƯCLN­BCNN,   trên thực tế tôi đã cung cấp thêm cho học sinh tính chất sau: * Nếu a   m và a   n => a   BCNN(m,n) * Nếu ƯCLN (a,b) = d   a', b'   N/a = da' ; b = db'; (a',b') = 1 GV: Bùi Thị Nga ­10­              Trường THCS Mạo Khê II
  11. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết 2.3.1. Ví dụ  1: Tìm số  tự  nhiên b biết rằng chia 326 cho b thì dư  11; còn chia  553 cho b thì dư 13. * Hướng dẫn: Mấu chốt của bài toán là  ở  chỗ: giáo viên hướng dẫn học sinh   biến đổi đưa phép chia có dư về chia hết. Sau đó dẫn dắt đến phương pháp làm:   b có quan hệ như thế nào với 315; 540? Tìm ƯC? * Cách giải: 326 chia cho b dư 11 => 326 ­ 11 = 315   b (b > 11) 553 chia cho b dư 13 => 553 ­ 13 = 540   b  (b + 13) => b   ƯC(315;540) với b > 13 ta tìm được ƯCLN (315;540) = 45. => ƯC(315;540) = ƯC(45) = {1;3;5;9;15;45} => b   {1;3;5;9;15;45}. Do b > 13 => b   {15;45} Bài toán có hai đáp số. 2.3.2. Ví dụ  2: Tìm hai số  tự  nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84;  ƯCLN  của chúng bằng 6 * Hướng dẫn: Giáo viên gợi mở Giả sử hai số là a,b (a b). ƯCLN (a;b) = 6. Mối quan hệ của a và b với 6?  Hãy thiết lập mối tương quan giữa a và b với 84? Cụ thể: Gọi 2 số đó là a và b (a b). . Ta có: (a,b) = 6 nên: a 6a '      với (a',b') = 1; (a',b',a,b  N; a'   b') b 6b' Do a + b = 84 => 6(a'+b') = 84 => a'+b' = 14 Lập bảng xét các trường hợp. Sau đó chọn cặp số  a',b' nguyên tố  cùng  nhau có tổng bằng 14 (a'  b'), ta được: a' 1 3 5 b' 13 11 9 Do đó a 6 18 30 b 78 66 54 GV: Bùi Thị Nga ­11­              Trường THCS Mạo Khê II
  12. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết 2.3.3. Ví dụ  3: Tìm hai số  tự  nhiên biết:  ƯCLN của chúng bằng 15 và BCNN   của chúng bằng 300 * Hướng dẫn: Giống như bài trên: Giáo viên hướng dẫn học sinh: ­ Tạo ra hai số cần tìm ? ƯCLN của chúng bằng 15 suy ra điều gì? ? Quan hệ giữa ƯCLN và BCNN? * Cách giải: Gọi các số phải tìm là a, b (a b) Ta có (a,b) = 15 nên a = 15a';  b=15b' (a' bvà ('a',b')=1). Do đó: ab=[a,b].(a,b) = 300.15 = 4500    ab = 225 a'b' => a'b' = 20 Lập bảng xét các trường hợp. Ta chọn các trường hợp: a' 1 4 a 15 60 Do đó b' 20 5 b 300 75 *  Nhận xét: Trong cách giải này: Giáo viên củng cố  thêm cho học sinh   tính chất: ab =  ƯCLN(a,b). BCNN(a,b). Với học sinh đại trà chỉ  yêu cầu công  nhận công thức, với học sinh giỏi giáo viên có thể  hướng dẫn  để  học sinh  chứng minh cụ thể. Loại toán này đòi hỏi học sinh thật sự nhuần nhuyễn kiến   thức về chia hết, số nguyên tố, nguyên tố  cùng nhau, ƯCLN, BCNN, mối quan   hệ giữa ƯC­ƯCLN và BC ­ BCNN từ đó giải quyết các bài toán. 2.3.4. Bài toán tương tự 2.3.4.1. Tìm hai số biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của chúng là 105 2.3.4.2. Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27 2.3.4.3. Tìm hai số  tự  nhiên biết tích của chúng là 2940 và BCNN của  chúng là 210 * Hướng dẫn: Cách làm các bài này như ví dụ 2.3.2 2.3.4.4. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số chia cho 11 thì dư 5, chia  cho 13 thì dư 8 GV: Bùi Thị Nga ­12­              Trường THCS Mạo Khê II
  13. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết * Hướng dẫn: Phân tích suy ra cách làm như ví dụ 2.3.1 (song ở đây liên  quan đến BCNN) 2.4. BÀI TOÁN VỀ TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN TRONG BIỂU THỨC: 2.4.1. Ví dụ 1: Tìm các số x, y   N sao cho: (3x ­ 2)(2y­3) = 1 * Hướng dẫn: Giáo viên chỉ rõ cho học sinh thấy rằng nếu đi biến đổi vế  trái bằng cách áp dụng việc nhân phá ra thì sẽ  dẫn đến một biểu thức vô cùng   phức tạp, việc giải bài toán đó để  tìm x, y là rất khó khăn thậm chí đi đến bế  tắc. Giáo viên gợi mở cho học sinh như sau: 1) (3x­2) và (2y­3) có quan hệ gì với 1? 2) Nhận xét gì về thừa số (2y ­ 3) * Cách giải: x, y   N  => (3x ­ 2)(2y­3) là các ước của 1 Trong N số 1 chỉ có 1 ước là chính nó. Nên có bảng sau: 3x ­ 2 1 2y ­ 3 1 x 1 y 2 x 1 Vậy có 1 cặp số  thoả mãn y 2 * Nhận xét: Dưới sự  phân tích và hướng dẫn của giáo viên bài toán này  tương đối đơn giản song trong thực tế dạy và học toán có những bài toán phức  tạp hơn. Chẳng hạn: 2.4.2. Ví dụ 2: Tìm x, y   N  nếu biết: (x+1)(2y­5) = 143 * Hướng dẫn: Như ví dụ 2.4.1 5 * Cách giải: x, y   N  => 2y ­ 5 và x + 1 là các ước của 143 (y >  ) 2 ƯC (143) = {1;11;13;143}. Mặt khác 2y ­ 5 là số lẻ => 2y ­ 5   {11;13;143} Lập bảng 2y­5 11 13 143 GV: Bùi Thị Nga ­13­              Trường THCS Mạo Khê II
  14. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết y 8 9 74 x 12 10 0 Nhận xét Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn x 14 x 10 x 0 Vậy có các cặp số (x,y) thoả mãn là:    ;  ;   y 8 y 9 y 74 * Nhận xét: Với dạng toán này trong tập số N còn có thể mở  rộng trong  tập số  nguyên Z. Cách làm tương tự. Song có một số  bài tập phức tạp đòi hỏi  người học sinh phải linh hoạt, sáng tạo để  tìm ra hướng giải quyết nếu không   rất dễ rơi vào bế tắc. 2.4.3. Bài tập tương tự 2.4.3.1. Tìm số x, y   N   sao cho: a) (2x+1)(y­3) = 10 b) (x+1)(2y­1) = 12 c) (x­3) = y(x+2) d) x + 6 = y(x­1) Riêng phần c, d ta có thể phân tích theo cácch khác như sau: x+6 = y(x­1) => x + 6   x ­ 1 => x ­ 1 + 7   x ­ 1 => 7   x ­ 1 => x ­ 1   Ư(7) 2.4.3.2. Tìm x, y   Z biết:    a) (x+2)(y­3) = 5 b) (x+1)(xy­1) = 3 2.5. BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHÂN SỐ CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN * Hướng dẫn: Nhìn chung, đây là một dạng toán khó đói với học sinh đại  trà. vì vậy khi giảng dạy phần này tôi chỉ áp dụng cho học sinh khá và giỏi. Sau   đây là một số ví dụ minh  hoạ. 2.5.1. Ví dụ 1: 3n 3 Tìm số tự nhiên n  để phân số  A  có giá trị là một số nguyên n 4 GV: Bùi Thị Nga ­14­              Trường THCS Mạo Khê II
  15. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết * Hướng dẫn: Đối với bài tập này yêu cầu học sinh hiểu rằng bản chất   a của phân số   = a : b ( b khác 0) b a Vậy thì để   Z thì phép chia a : b (b khác )) có gì đặc biệt? b Suy ra học sinh phải kết luậnđược ngay là : a   b ( b khác 0). * Cách giải: Để phân số A có giá trị là một số nguyên thì tử phải chia hết cho mẫu Ta có: 3n ­ 5   n + 4 => 3(n + 4) ­ 17   n + 4 => 17   n + 4. Do đó n + 4   Ư(17) Ư(17) = { 1; 17 } Ta có nhận xét: n + 4 4  n  N => n + 4 chỉ nhận giá trị 17 Ta có: n + 4 = 17 => n = 13 (thoả mãn) Vậy với n = 13  thì phân số A có giá trị là một số nguyên n 10 2.5.2. Ví dụ 2:  Tìm n   N để phân số  A  có giá trị là một số nguyên 2n 8 *  Hướng dẫn: Ví dụ  2.5.2 giống ví dụ  2.5.1 về  yêu cầu, điều kiện và   dạng của phân số. Song phân số của ví dụ 2.5.2 khác phân số của ví dụ 2.5.1 ở  chỗ: Biểu thức tử có hệ số của n nhỏ hơn hệ số của n ở biểu thức mẫu. Vì vậy   không thể  hiểu diễn biểu thức  ở  tử  thông qua biểu thức  ở  mẫu được. Vậy thì  phải làm thế  nào? Đây là cái khó đối với học sinh và nhiệm vụ  của giáo viên  phải hướng dẫn. * Cách giải: Để  phân số  có giá trị  là một số  nguyên thì tử  phải chia hết   cho mẫu. Ta có: n + 10   2n ­ 8 tức là n + 10   2(n ­ 4) => n + 10   n ­ 4 => n ­ 4 + 14   n ­ 4 => 14   n ­ 4 => n ­ 4  Ư(14). Ư(14) = { 1; 2; 7; 14 } Do n ­ 4   ­4 (n   N ) => n ­ 4   { 1; 2;7;14 } GV: Bùi Thị Nga ­15­              Trường THCS Mạo Khê II
  16. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết Ta có: n­4 1 ­1 2 ­2 7 14 n 5 3 6 2 11 18 A 15 13 16 4 12 3 21 28 1 2 2 4 4 14 28 Nhận xét Loại Loại Thoả  Thoả  Loại Thoả  mãn mãn mãn Vậy n có 3 giá trị: n = 6 => A = 4 n = 2 => A = ­3 n = 18 => A = 1 * Chú ý: Các giá trị của n = 5;3;11 làm cho giá trị tương ứng của A không  là số nguyên. Sở dĩ phải tính giá trị của A mới kết luận được n = 6;2;18 vì trong  lời giải trên chỉ có: n + 10   2n ­ 8 => n + 10   n ­ 4 mà không có điều ngược lại Phương pháp làm nói chung của các bài tập dạng này là: biến đổi biểu  thức  ở  tử  thông qua biểu thức  ở  mẫu. Từ  đó tìm ra mối quan hệ  về  chia hết   giữa một thành phần của tử  và mẫu. Tuy nhiên trong mỗi trường hợp cụ  thể  cần linh hoạt để lựa chọn ra cách biến đổi như thế nào cho phù hợp. 2.5.3. Bài tập tương tự 2.5.3.1 Tìm các giá trị  nguyên của n để  các phân số  sau có giá trị  là số  nguyên: 3n 4 6n 3 a)  A ; B n 1 3n 1 2.5.3.2. Tìm các số  nguyên n sao cho các phân số  sau đồng thời có giá trị  nguyên 12 2n 3 a)  ; 3n 1 7 2.6. BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN Với dạng này cần bổ sung kiến thức về phân số tối giản: a m Nếu ( |a|, |b| ) = 1 thì   là phân số tối giản. Nếu   là dạng tối giản của   b n a phân số   thì tồn tại số k  Z | a = mk và b = nk b GV: Bùi Thị Nga ­16­              Trường THCS Mạo Khê II
  17. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết n 2 2.6.1. Ví dụ 1: Cho  Q  với n   N, n > 2. Các số tự nhiên n phải thoả mãn  n 1 điều kiện nào để Q là một phân số tối giản? * Hướng dẫn: ta xét những giá trị  của n để  Q là một phân số  có thể  rút   gọn được. Gọi k là ước chung lớn hơn 1 của n ­2 và n + 1 thì: => n + 1   k và n ­ 2   k => [(n+1) ­ (n ­ 2)]  k => 3   k Do k > 1 => k = 3 Như vậy nếu n là các số tự nhiên sao cho n + 1 chia hết cho 3 và n ­ 2 chia   hết cho 3 tức là n chia cho 3 dư  2 thì Q là một phân số  rút gọn được. Để  Q là   phân số tối giản thì phải lấy các giá trị của n khác giá trị n chia cho 3 dư 2. Tức   là n hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1. => n =3k hoặc n =3k =1 VD: n = 9 hoặc n = 13 2.6.2. Ví dụ 2: a a Cho     là một phân số  tối giản hỏi phân số   có phải là phân số  tối  b a b giản không? II.3. Phương pháp nghiên cứu, kết quả sau thực nghiệm II.3.1. Phương pháp nghiên cứu ­ Nghiên cứu lý luận qua đọc tài liệu tham khảo, học tập chuyên môn tại  trường, cụm, Phòng Giáo dục, Sở giáo dục đào tạo tổ chức ­ Tổng kết kinh nghiệm bằng thực tế giảng dạy. Bồi dưỡng học sinh giỏi   của bản thân, học hỏi, trao đổi với đồng nghiệp. ­ Cập nhật thông tin qua mạng Internet và ứng dụng CNTT vào việc soạn  giáo án và dạy học. ­ Quan sát sư phạm qua dự giờ thăm lớp hội thảo chuyên môn. II.3.2. Kết quả nghiên cứu GV: Bùi Thị Nga ­17­              Trường THCS Mạo Khê II
  18. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết Với kiến thức về phép chia hết cùng những dạng bài tập điển hình có liên  quan, đảm bảo tính vừa sức với từng đối tượng học sinh trên tinh thần "Đổi  mới phương pháp dạy học tón trong trường phổ  thông" đã dược tôi áp dụng  thực nghiệm tại đơn vị đối với học sinh lớp 6A1 và 6A2. Lớp 6A2 giảng bài tập theo hướng dẫn của sách giáo viên, lớp 6A1 theo   nội dung nghiên cứu của để tài. Qua các bài kiểm tra tôi thấy: ­ Học sinh lớp 6A1 hầu hết đã biết phân tích đề bài, xác định hướng giải,  xây dựng được hệ  thống lập luận rõ ràng. Trình bày bài khoa học gọn gàng,  hoàn chỉnh hơn. ­ Học sinh lớp 6A2 đa số các em còn lúng túng khi phân tích đề bài và đề  xuất hướng giải quyết. Bài làm chưa thể  hiện tính hệ  thống, còn lủng củng,  chưa hoàn thiện. Kết quả đối chứng như sau: Lớp Giỏi Khá TB Yếu Kém Mặc   dù  6A1 32 7 0 0 0 6A2 23 16 4 0 0 những  vấn đề được trình bày ở đề  tài này là tương đối khó với học sinh đại trà. Song  vẫn là một nội dung quan trọng trong chương trình số  học 6, kết quả  trên rõ  ràng tỷ lệ học sinh khá giỏi ở lớp 2 đã tăng, tỷ lệ học sinh yếu kém đã giảm rõ   rệt. Đặc biệt không khí học tập ở 6A1 nổi hẳn lớp 6A2. Các em hăng hái nhưng   số học sinh hiểu bài vận dụng tốt ở 6A1 hơn hẳn so với 6A2 và tích cực làm bài  hơn. Đề tài này có thể áp dụng với hầu hết học sinh lớp 6 song tuỳ đối tượng   học sinh, giáo viên nên cung cấp mức độ vừa sức với học sinh. + Với học sinh đại trà: Giáo viên có thể cung cấp cho học sinh dạng 1, 2   và dạng 3 hoặc kết hợp 3 dạng với một số bài tập ở dạng đơn giản. + Với học sinh khá giỏi: Ngoài nội dung của đề  tài nên sưu tầm và giới  thiệu thêm cho học sinh những bài tập ở mức độ khó và phức tạp hơn nữa. GV: Bùi Thị Nga ­18­              Trường THCS Mạo Khê II
  19. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết Như  vậy trong đề  tài này tôi đã hình thành việc triển khải sự  liên quan   giữa tính chia hết với các kiến thức: chữ  số  tận cùng, số  nguyên tố,  ƯCLN­ BCNN, phân số tối giản và phân số giá trị nguyên, tìm điều kiện của bíên trong  biểu thức...Đây là những vấn đề  cơ  bản thường gặp: Song vì thời gian nghiên  cứu đề tài còn hạn chế nên còn một số vấn đề liên quan mà tôi chưa giải quyết   được. Ví dụ: số chính phương... Trong những năm học tới, tôi sẽ  tiếp tục nghiên cứu vấn đề này với tinh  thần khai thác sâu hơn và rộng hơn về tính chia hết. GV: Bùi Thị Nga ­19­              Trường THCS Mạo Khê II
  20. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ III.1. Kết luận  Trên đây tôi đã trình bày xong về  phân loại và hướng dẫn học sinh giải  các bài tập liên quan đến tính chia hết: "Trong trình bày tôi đã cố gắng chọn lọc   các kiến thức, các ví dụ  minh hoạ  tiêu biểu đảm bảo vừa sức và có sáng tạo,   phát triển tư duy với mỗi đối tượng học sinh." Tuy nhiên do thời gian hạn chế, do năng lực còn có hạn, kinh nghiệm   giảng dạy chưa nhiều, nên nội dung đề tài này không tránh khỏi những hạn chế.   Rất mong nhận được sự đóng góp chân tình từ các bạn đồng nghiệp. III.2. Kiến nghị Việc nghiên cứu đạt chất lượng cao. Để việc ứng dụng đề tài được rộng  rãi hơn thì: ­ Lượng sách tham khảo về Toán nói chung và số học nói riêng cần được  cung cấp nhiều. Sở và Phòng cần tăng cường tổ chức các buổi thảo luận ngoại   khoá cùng trao đổi trong trường, các trường về  vấn đề  liên quan để  học hỏi,   nâng cao chất lượng giảng dạy. ­ Đầu tư cơ sở vật chất, trang thiết bị dạy và học.       Mạo Khê, ngày 20 tháng 5 năm 2009 NGƯỜI VIẾT Bùi Thị Nga GV: Bùi Thị Nga ­20­              Trường THCS Mạo Khê II
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2