Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phương pháp giải các bài toán cực trị trong Đại số 8

Chia sẻ: Bobietbo | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là sau khi học và phân dạng cách giải các bài tập cực trị trong giải toán Đại số 8 thì: Học sinh là người chủ động, chủ đạo kiến thức. Học sinh phải tư duy tốt và thâu tóm được kiến thức đã học để tận dụng vào làm bài tập . Học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng bài toán “ Toán Cực chỉ”.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phương pháp giải các bài toán cực trị trong Đại số 8

Phần 1: MỞ ĐẦU 1. Mục đích của sáng kiến. Để thực hiện mục tiêu: “Tiếp tục đổi mới toàn diện về G iáo dục và Đ ào tạo, nâng cao hiệu quả về chất lượng Giáo dục và Đào tạo gắn chặt với mục tiêu phát triển Kinh tế - Xã hội của địa phương”, “Tiếp tục đổi m ới phương pháp dạy học ,cải cách thủ tục hành chính”. Là một giáo viên dạy học Toán ở trường THCS,cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài tập về "Các bài toán cực trị trong đại số" là một trong những phần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS. Thế nhưng thực trạng học sinh trường chúng tôi và những trường tôi đã từng dạy là: học sinh không có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ các bài toán về cực trị đại số ở trường THCS không theo một phương pháp nhất định nên các em rất lúng túng khi làm toán về cực trị, các em không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào. Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác. Qua nhiều năm nhiên cứu, đọc tài liệu và giảng dạy môn Toán lớp 8 ở trường THCS, tôi mạnh dạn thực hiện sáng kiến: "Phương pháp giải các bài toán cực trị trong Đại số 8". 2. Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến. 1
* Sáng kiến với các giải pháp được trình bày có nhiều điểm khác, mới so với các giải pháp cũ trước đây: - Lấy lý luận dạy học hiện đại làm cơ sở. - Đáp ứng được mục tiêu dạy học. - Tạo được hứng thú học tập cho học sinh. - Học sinh chủ động lĩnh hội tri thức một cách nhanh và chính xác cũng như nhớ lâu được kiến thức. * Sáng kiến được áp dụng lần đầu thực tiễn tại đơn vị bắt đầu từ đầu năm học 2017-2018; ưu điểm nổi bật của sáng kiến là: - Học sinh có hứng thú hơn và chất lượng học sinh giỏi có sự tiến bộ rõ rệt. - Rèn tư duy nhanh nhạy, kỹ năng quan sát, phân tích tổng hợp, khái quát hoá kiến thức, phát triển kỹ năng phán đoán của học sinh. - V ận dụng và thực hiện được yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay: giáo viên thực sự là người tổ chức, hướng dẫn, điều khiển hoạt động của học sinh còn học sinh là đối tượng tham gia trực tiếp, chủ động, linh hoạt, sáng tạo trong hoạt động học tập của mình tạo ra một không khí phấ n khởi, hào hứng trong học tập Toán học. 3. Đóng góp của sáng kiến. Qua sáng kiến này học sinh có cách suy nghĩ, tìm tòi tài liệu góp phần phát triển khả năng tư duy trừu tượng, sáng tạo cùng với các thao tác tư duy: Có kỹ năng phân tích, tổng hợp, từ đó đưa ra phương pháp giải một số dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong giải toán một cách chính xác. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của nhà trường. 2
- Kích thích hứng thú, phát huy tính tích cực, tự giác, tư duy sáng tạo và khả năng hợp tác cao trong học tập cũng như trong cuộc sống của học sinh. - Tạo điều kiện để cá thể hoá hoạt động dạy học. - Giáo dục học sinh tính tự giác, trung thực, sự kiên trì, tính kỷ luật và tinh thần đồng đội trong học tập cũng như trong cuộc sống hàng ngày. Phần 2: NỘI DUNG Chương 1: Mục tiêu hướng tới khi thực hiện việc sử dụng phương pháp giải các bài toán cực trị trong Đại số 8 . Q ua nhiều năm giả ng dạy bộ môn Toán học ở cấp trung học cơ sở tôi có nhận thấy: Học sinh chưa biết cách giải các bài tập cực trị trong giải toán, chưa biết cách biến đổi biểu thức toán học về dạng đã học, học sinh hiểu và làm rất mơ hồ, một số học sinh làm được chỉ nằm vào một số học sinh khá- giỏi. Số còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải thích bài toán như thế nào, một số học sinh khác có biết hướng biến đổi. Sau khi học và phân dạng cách giải các bài tập cực trị trong giải toán Đại số 8 thì: Học sinh là người chủ động, chủ đạo kiến thức. Học sinh phải tư duy tốt và thâu tóm được kiến thức đã học để tận dụng vào làm bài tập . Học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng bài toán “ Toán Cực chỉ”. Sau đây tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải các bài toán cực trị trong đại số 8. Chương 2: N hững giải pháp đã được áp dụng. 3
Để đáp ứng yêu cầu của cải cách giá o dục, từng bước vận dụng phương pháp dạy học mới “lấy học sinh là nhâ n vật trung tâm, giáo viên chỉ là người tổ chức, hướng dẫn cho học sinh học tập”. Để hướng dẫn học giải các bài toán cực trị trong đại số 8 đạt kết quả: Tôi đã nghiên cứu kỹ sách giáo khoa trước khi soạn bài, đọc các tài liệu tham khảo về Toán học nâng cao dành cho giáo viên và học sinh, tham khảo một số đề thi học sinh giỏi cấp huyện, tỉnh, các sách viết về chuyên đề giải bài tập Toán học 8, 9... Kết hợp với chương trình dạy ở các khối lớp tôi đã biên soạn thành hệ thống nội dung kiến thức và bài tập theo mạch kiến thức từ dễ đến khó sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi, nghiên cứu để lựa chọn nội dung cơ bản của tiết dạy, chọn phương pháp phù hợp để học sinh tiếp thu kiến thức của bài học một cách thoải mái, không bị gò bó, thụ động, gây được sự hứng thú học tập đối với học sinh. Từ đó định ra những kiến thức cần chuẩn bị cho học sinh. H oạch định những thao tác tư duy cần được sử dụng thành thạo, những đơn vị kiến thức cần truyền thụ, trao đổi với các đồng nghiệp trong nhóm, tổ chuyên môn, từng bước thử nghiệm qua từng bài dạy, chuẩn bị các kiến thức cơ bản cho nội dung bài này. G iảng kỹ các kiến thức đã dạy, đặc biệt là kiến thức cơ bản, trọng tâm trong chương trình Toán học THCS. 1. Giải pháp thứ nhất:Cung cấp khái niệm, nguyên tắc, kiến thức cần nhớ toán cực trị trong Đ ại số 8. a. Kh¸i niÖm vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc Cho biÓu thøc nhiÒu biÕn sè P(x, y, ..., z) víi x, y, ..., z thuéc miÒn S nµo ®ã x¸c ®Þnh. NÕu víi bé gi¸ trÞ cña c¸c biÕn (x 0 , y 0 , ...z 0 )  S mµ ta cã: P(x 0 , y 0 , ...z 0 )  P(x, y, ..., z) hoÆc P(x 0 , y 0 , ...z 0 )  P(x, y, ..., z) th× ta nãi P(x, y, ..., z) lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) trªn miÒn S. 4
P(x, y, ..., z) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 )  S cßn gäi lµ P ®¹t cùc ®¹i t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoÆc P m a x t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ). T¬ng tù ta cã: P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊ t t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 )  S cßn gäi lµ P ®¹t cùc tiÓu t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoÆc P m i n t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ). Gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P trªn miÒn x¸c ®Þnh S gäi lµ c¸c cùc trÞ cña P trªn miÒ n S. b. Nguyªn t¾c chung t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc T×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc trªn mét miÒn x¸c ®Þnh nµo ®ã lµ vÊn ®Ò réng vµ phøc t¹p, nguyªn t¾c chung lµ: *) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z) trªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh ha i bíc: - Chøng tá r»ng P  k ( víi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ cña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S - ChØ ra trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. *) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z) trª n miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh ha i bíc: - Chøng tá r»ng P  k ( víi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ cña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S - ChØ ra trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. Chó ý r»ng kh«ng ®îc thiÕu mét bíc nµo trong hai bíc trªn. VÝ dô : Cho biÓu thøc A = (x-1) 2 + (x - 3) 2 Mét häc sinh t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A nh sau: Ta cã (x-1) 2 ; (x - 3) 2  0 nªn A  0. VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0. Lêi gi¶i trªn cã ®óng kh«ng? Gi¶i : Lêi gi¶i trªn kh«ng ®óng. Sai lÇm cña lêi gi¶i trªn lµ míi chøng tá r»ng A  0 nhng cha chØ ra ®îc trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. DÊu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, v× kh«ng thÓ cã ®ång thêi: 5
(x-1) 2 = 0 vµ (x - 3) 2 = 0 . Lêi gi¶i ®óng lµ: A = (x-1) 2 + (x - 3) 2 = x 2 -2x + 1 + x 2 - 6x +9 = 2x 2 - 8x + 10 = 2(x 2 -4x +4) + 2 = 2(x - 2) 2 + 2 Ta cã: (x - 2) 2  0 , x  2(x - 2) 2 + 2  2 x  A  2 x Do ®ã A = 2  x = 2. VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng 2 víi x = 2. c.KiÕn thøc cÇn nhí: §Ó t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc ®¹i sè, ta cÇn n¾m v÷ng: a) C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, c¸c c¸ch chøng minh bÊt ®¼ng thøc. b) Sö dông thµnh th¹o mét sè bÊt ®¼ng thøc quen thuéc: * a2  0, tæng qu¸t: a 2 k  0 (k nguyªn d¬ng) X¶y ra dÊu ®¼ng thøc  a = 0 * -a 2  0, tæng qu¸t: -a 2 k  0 (k nguyªn d¬ng) X¶y ra dÊu ®¼ng thøc  a = 0 * a  0. ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc  a = 0) *- a a a . ( X¶y ra dÊu ®¼ ng thøc  a = 0) * a  b  a  b ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc  ab  0) 1 1 * a 2 , a >0 vµ a   2 , a
2 a  b2  a  b  *    ab  a,b ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc  a = b) 2  2  1 1 * a  b, ab >0   ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc  a = b) a b 2. Giải pháp thứ hai: Phân dạng bài tập và hướng dẫn cách giải Bài tập toán cực trị trong Đại số 8: Th«ng qua c¸c bµi to¸n trong s¸ch gi¸o khoa (s¸ch tham kh¶o) t«i tiÕn hµnh ph©n lo¹i thµnh mét sè d¹ng c¬ b¶n nhÊt vÒ c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè ë THCS råi híng dÉn häc sinh t×m kiÕn thøc cã liªn quan cÇn thiÕt ®Ó gi¶i tõng d¹ng to¸n ®ã. Sau ®©y lµ mét sè d¹ng c¬ b¶n thêng gÆp: D¹ng 1 : bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét bi Óu thøc lµ tam thø c bËc hai. VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A(x) = x 2 - 4x+9 Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy c¸c gi¸ trÞ thùc bÊt kú. Híng dÉn gi¶i: Gîi ý: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A(x) ta cÇn ph¶ i biÕn ®æi vÒ d¹ng A(x)  k (k lµ h»ng sè) víi mäi gÝa trÞ cña biÕn vµ chØ ra trêng hîp x¶y ra ®¼ng thøc Lêi gi¶i: A(x) = x 2 - 4x+9 = x 2 - 2.2x+9 = (x 2 - 2.2x+4) + 5 = (x- 2) 2 + 5 Víi mäi gi¸ trÞ cña x: (x - 2) 2  0 nªn ta cã: A(x) = (x- 2) 2 + 5  5 7
VËy A(x ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 5 khi x=2 VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt c ña biÓu thøc B(x) = -5x 2 - 4x+1 Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy gi¸ trÞ thùc bÊt kú Híng dÉn gi¶i: Gîi ý: §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B(x) ta cÇn ph¶ i biÕn ®æi ®a B(x) vÒ d¹ng B(x)  k (k lµ h»ng sè) víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña B(x)= k vµ chØ ra khi nµo x¶y ra ®¼ng thøc Lêi gi¶i: B(x) = -5x 2 - 4x+1 4 = -5 (x 2 + x) +1 5 2 2  2 2 2  = -5  x 2  2 . x         1  5 5  5   2  2 4 =  5   x     1  5 25  2  2 4 = -5  x    1  5 5 2  2 9 = -5  x     5 5 2 2 2 2 Víi mäi gi¸ trÞ cña x:  x    0 nªn -5  x    0  5  5 2 2 9 9 suy ra: B(x)= -5  x   +   5 5 5 9 2 VËy B(x)®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi B(x)= , khi x = - 5 5 8
VÝ dô 3 : (Tæng qu¸t) Cho tam thøc bËc hai P = ax 2 +bx + c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu a > 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P nÕu a < 0 Híng dÉn gi¶i: Gîi ý: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt) cña P ta cÇn ph¶i biÕn ®æi sao cho P = a.A 2 (x ) + k. Sau ®ã xÐt víi tõng trêng hîp a>0 hoÆc a0 th× a x    0 do ®ã P  k  2a  2  b +NÕu a0) 2a hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng k (nÕu a
D¹ng 2: bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nh á nhÊt,gi¸ tri lín nhÊt cñ a ®a thøc bËc ca o: VÝ dô4 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = (x 2 + x + 1) 2 Híng dÉn gi¶i: (?) Ta nhËn thÊy A = (x 2 + x + 1) 2  0, nhng gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A cã ph¶i b»ng 0 hay kh«ng? V× sao? Tr¶ lêi : MÆc dï A  0 nhng gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A kh«ng ph¶i b»ng 0 v×: x 2 + x +1 ≠ 0 Do ®ã A m i n  (x 2 + x +1) m i n (?) H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 2 + x +1? vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A? 1 1 1 Tr¶ lêi: Ta cã x 2 + x +1 = x 2 + 2x. + - + 1 2 4 4 2 1 3 3 =  x   +   2 4 4 3 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 2 + x + 1 b»ng víi x = - 4 2 2 3 9 1 Tr¶ lêi: Gi¸ trÞ nhá nhÊ t cña A b»ng    víi x = - 4 16 2 VÝ dô 5 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x + 9 Híng dÉn gi¶i: Gîi ý: -H·y viÕt biÓu thøc díi d¹ ng A 2 (x) + B 2 (x)  0 -XÐt xem x¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi nµo? Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng bao nhiªu? 10
Lêi gi¶i: x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x +9 = x 4 - 2.x 2 .3x + (3x) 2 + x 2 - 2x.3 +3 2 = (x 2 - 3x) 2 + (x - 3) 2  0 X¶y ra ®¼ng thøc khi vµ chØ khi: x 2 – 3x = 0 x(x-3) = 0 x= 0   x= 3 x=3 x – 3=0 x– 3= 0 x =3 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3 §¸p sè: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3 D¹ng 3 : bµi to¸n T×m gi ¸ tr Þ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lí n nhÊt cñ a ®a thøc cã chøa dÊ u gi¸ tr Þ tuyÖt ®èi VÝ dô6 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =  x - 2 + x - 5 Híng dÉn gi¶i: Gîi ý: Bµi to¸n ®Ò cËp tíi dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi do ®ã chóng ta ph¶i nghØ tíi c¸c kho¶ng nghiÖm vµ ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc. A NÕu A  0 A= - A NÕu A  0 C¸ch 1: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A, ta tÝnh gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng nghiÖm. So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng nghiÖm ®ã ®Ó t×m ra gi¸ trÞ nhá nhÊt c ña A. Lêi gi¶i + Trong kho¶ng x < 2 th× x - 2 = - (x -2) = 2 - x x - 5 = - (x - 5) = 5 - x 11
 A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x Do x < 2 nªn -2x > -4 do ®ã A = 7 - 2x >3 + Trong kho¶ng 2  x  5 th× x - 2 = x - 2 x - 5 = - (x - 5) = 5 - x  A = x - 2 + 5 - x = 3 + Trong kho¶ng x > 5 th× x - 2 = x - 2 x - 5= x - 5  A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7 Do x > 5 nªn 2x > 10 do ®ã A = 2x - 7 > 3 So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng trªn, ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2  x  5 Vậy A m i n = 3 khi vµ chØ khi 2  x  5 C¸ch 2: Ta cã thÓ sö dông tÝnh chÊt: gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét tæng nhá h¬n hoÆc b»ng tæng c¸c gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A. Lêi gi¶i: A = x - 2+ x  5 = x - 2+ 5  x Ta cã: x - 2 + 5 - x  x - 2 + 5 - x = 3 A = 3  (x - 2) (5 - x)  0  2  x  5 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2  x  5 d¹ng 4: Bµi to¸n T×m gtnn, gtln cña ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè, mÉu lµ tam th øc bËc hai 12
3 VÝ dô 7 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M = 2 4x - 4x  5 Híng dÉn gi¶i: 1 1 Gîi ý: Sö dông tÝnh chÊt a  b, ab >0   hoÆc theo a b quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cïng tö, tö vµ mÉu ®Òu d¬ng. Lêi gi¶i: 3 3 3 XÐt M = = 2 = 2 4x - 4x  5 (2 x)  4 x  1  4 (2x - 1)2  4 Ta thÊy (2x - 1) 2  0 nªn (2x - 1) 2 + 4  4 3 3 Do ®ã:  (2x - 1)2  4 4 1 Dấu bằng xảy ra khi 2x - 1 = 0 => x = 2 3 1 Tr¶ lêi: VËy M lín nhÊt b»ng khi x = 4 2 1 VÝ dô 8 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B = 2x - x 2 - 4 Híng dÉn gi¶i: 1 1 1 Ta cã: B = =- = - 2x - x 2 - 4 2 x - 2x  4 (x - 1) 2  3 V× (x - 1) 2  0 => (x + 1) 2 + 3  3 1 1 1 1 => 2  => - 2  - (x - 1)  3 3 (x - 1)  3 3 Dấu bằng xảy khi x - 1= 0 => x =1 1 VËy B nhá nhÊt b»ng - khi x =1. 3 13
Chó ý: Khi gÆp d¹ng bµi tËp nµy c¸c em thêng xuyªn lËp luËn r»ng M (hoÆc B) cã tö lµ h» ng sè nªn M (hoÆc B) lín nhÊt (nhá nhÊt) khi mÉu nhá nhÊt (lín nhÊt) LËp luËn trªn cã thÓ dÉn ®Õn sai lÇm, ch¼ng h¹n víi ph©n thøc 1 2 x 3 MÉu thøc x 2 - 3 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -3 khi x = 0 1 1 Nhng víi x = 0 th× 2 = - kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt x 3 3 cña ph©n thøc 1 1 Ch¼ng h¹ n víi x = 2 th× 2 =1> - x 3 3 1 1 Nh vËy tõ -3 < 1 kh«ng thÓ suy ra - > 3 1 1 1 VËy tõ a < b chØ suy ra ®îc > khi a vµ b cïng dÊu . a b d¹ng 5: Bµi to¸n T× m g i¸ trÞ n há nhÊt, lín nh Êt cña ph©n thøc cã mÉu lµ b×nh ph¬ ng cña nhÞ thøc x2  x  1 VÝ dô 9 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = ( x  1) 2 C¸ch1: Gîi ý: H·y viÕ t tö thøc díi d¹ng lòy thõa cña x + 1, råi ®æi biÕn b»ng c¸ch viÕt A díi d¹ng tæng c¸c biÓu thøc lµ lòy thõa cña 1 . Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. x 1 Lêi gi¶i: Ta cã: x 2 + x + 1 = (x 2 + 2x + 1) - (x +1) + 1 = (x + 1) 2 - (x + 1) + 1 ( x  1) 2 ( x  1) 1 1 1 Do ®ã A=   2 = 1- + ( x  1) 2 ( x  1) 2 ( x  1) x 1 ( x  1) 2 14
1 §Æt y= khi ®ã biÓu thøc A trë thµnh: A = 1 - y + y2 x 1 1 1 3 Ta cã: A = 1 - y + y 2 = y 2 - 2.y. + ( )2 + 2 2 4 2 1 3 3 =  y   +   2 4 4 Dấu bằng xảy khi vµ chØ khi: 1 1 y- =0  y= 2 2  x + 1 = 2  x = 1 3 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng khi vµ chØ khi: x=1. 4 C¸ch 2: Gîi ý: Ta cã thÓ viÕt A díi d¹ng tæng cña mét sè víi mét biÓu thøc kh«ng ©m. Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Lêi gi¶i: x 2  x  1 4 x 2  4 x  1 3x 2  6 x  3  x 2  2 x  1 A   x  12 4 x  1 2 4x  1 2 3( x  1)2  ( x  1) 2 A 4( x  1) 2 3 ( x  1) 2 A  4 4( x  1)2 2 3  x 1  A   4  2( x  1)  3  x 1  2 3 A= +  4  2( x  1)  4 15
Dấu bằng xảy khi vµ chØ khi: x-1=0  x=1 3 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng khi x=1 4 d¹ng 6: bµi to ¸n t×m gi¸ tr Þ nh á nhÊt, lín nhÊ t cña A( x) mét biÓu thøc ®¹i sè b»ng c¸ch ®a vÒ d¹ng  0 k2 A( x) (hoÆc  0) k2 VÝ dô 10 : 3x 2  6 x  10 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M( x ) = x2  2x  3 (V íi x thuéc tËp hîp sè thùc) Híng dÉn gi¶i: 3x 2  6 x  10 Gîi ý: Tõ M ( x ) = ta cã: x2  2x  3 3x 2  6 x  9  1 3( x 2  2 x  3)  1 M( x ) = = x2  2x  3 x2  2x  3 (?) Ta cã thÓ chia c¶ tö thøc vµ mÉu thøc cña biÓu thøc cho x 2 + 2x + 3 ®îc kh«ng? V× sao? Tr¶ lêi: V× x 2 + 2x + 3 = x 2 + 2x + 1 + 2 = (x+1) 2 +2 > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. nªn sau khi chia c¶ tö vµ mÉu cho x 2 + 2x + 3 ta ®îc 1 M(x) = 3 + ( x  1) 2  2 (?) Bµi to¸n xuÊt hiÖn ®iÒu g× míi? Tr¶ lêi: Bµi to¸n trë thµnh t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 1 ( x  2) 2  2 16
1 (?) H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tõ ®ã suy ra gi¸ ( x )2  2 trÞ lín nhÊt cña M(x) Tr¶ lêi: V × (x+1) 2  0 Víi mäi x Nªn (x+1) 2 + 2  2 víi mäi x 1 1 Do ®ã 2  ( x  1)  2 2 Tõ ®ã ta cã: 1 1 1 M(x) = 3 + 2  3 + =3 ( x  1)  2 2 2 DÊu “=” x¶y ra khi x+1=0 hay x=-1 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña M(x) = 3 khi vµ chØ khi x=-1. 2 DẠNG 7: BÀI TOÁN TÌ M GIÁ TR Ị N HỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦ A PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ NHỊ TH ỨC BẬC NHẤT Ví dụ 11 : 42  x Cho F = . Tìm số nguyên x để F đạt giá trị nhỏ nhất. x  15 (Đề thi khảo sát lớp chất lượng cao Huyện Gia Bình năm học 2012 - 2013) Hướng dẫn giải: 42  x 27 27 Ta thấy F = = -1 + đạt GTNN  nhỏ nhất x  15 x  15 x  15 27 Xét x-15 > 0 thì >0 x  15 27 27 Xét x-15 < 0 thì < 0. Vậy nhỏ nhất khi x-15 x = 14. Vậy x= 14 thì F nhỏ nhất và F = -28 17
Chương 3: K iểm chứng các giải pháp đã triển khai của sáng kiến. Cách làm trê n được vận dụng vào dạy học sinh học lớp 8 ở tr- ường THCS Nhân Thắng cho cả đối tượng giỏi, khá, trung bình. Nhờ có áp dụng phương pháp này cùng với sự trao đổi kinh nghiệm thư- ờng xuyên với các bạn đồng nghiệp tôi thấy kết quả bộ môn Toán học ở lớp tôi dạy được nâng lên rõ rệt, tạo cho học sinh sự say mê học tập bộ môn. Với cách làm như trên kết quả bộ môn Toán học (về nhận thức, độ nhanh nhạy tìm hướng giải) của học sinh đã tăng lên đáng kể. Thời gian đầu khi tiếp xúc với dạng bài tập này các em rất lúng túng và hoang mang vì đây hoàn toàn là kiến thức mới. Nhưng chỉ sau một thời gian được sự hướng dẫn và làm quen với dạng bài tập này, các em đã tiến bộ rất nhiều. Đặc biệt năng lực tư duy của học sinh, nhất là khả nă ng sử dụng các thao tác tư duy để tìm lời biện luận. Từ phương pháp này 87,3% các em đã vận dụng và giải đ ược bài tập ở dạng cơ bản trong SGK và có 30% HS lớp 8A giải thêm được bài tập trong các sách nâng cao. Kết quả thi cuối năm học như sau: * Thi cuối năm: Lớp Số H S Điểm 0-2 Đ iểm 9- Đ iểm > 5 10 8A 36 0 07 34 8B 35 0 03 31 18
Qua kết quả trên đã cho thấy rõ việc đưa phương pháp này vào dạy học đã có hiệu quả. Chất lượng điểm bài kiểm tra của học sinh đã có sự tiến bộ so với kết quả khảo sát đầu năm. Hơn thế, học sinh đã tự giác, tích cực, chủ động, bước đầu đã tự tìm tòi và phát hiện được kiến thức. Đồng thời học sinh đã có lòng yêu thích, hứng thú đối với môn Toán. Một số học sinh đã say mê với môn học, đầu tư nhiều thời gian và trí tuệ cho môn học hơn, điểm số cũng theo đó mà cao hơn. Qua điều tra sơ bộ cho thấy chất lượng học tập của học sinh có tiến bộ hơn, tuy nhiê n vẫn còn học sinh bị điểm dưới trung bình. Phần 3. KẾT LUẬN 1. Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập đến của sáng kiến kinh nghiệm. - Phương pháp giải các bài tập Toán Cực trị trong Đại số 8. - Một số dạng bài tập áp dụng. Sau khi ¸p dôngc¸c c¸ch gi¶i bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8 thùc tÕ häc sinh dÇn dÇn chó träng khi gi¶i to¸n chø kh«ng lóng tóng nh tríc. 2. Hiệu quả thiết thực của sáng kiến kinh nghiệm. Sau khi thực hiện giảng dạy phần "Phương pháp giải các bài toán cực trị trong Đại số 8". theo nội dung đề tài này kết quả mà tôi thu được ở trường THCS N hân Thắng với nhiều đối tượng khác nhau và thu được kết quả khả quan. Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài toán về cực trị trong đại số 8 có phương hơn, có hiệu quả hơn và vận dụng vào giải quyế t các bài tập có liên quan kích thíc h được sự đam mê học toán nói chung và sự say mê giải các bài toán cực trị nói riêng. Y êu cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng tư duy tích cực độc lập, sáng tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán đã được học. 19
Về mặt tư tưởng các bài toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống, rèn luyện nếp nghĩ khoa học . luôn mong muốn làm được những công việc đạt hiệu quả cao nhât, tốt nhất. Vì vậy tôi mong bạn bè đồng nghiệp tham khảo, mong nhà trường tạo điều kiện để được áp dụng rộng rãi hơn. 3. Kiến nghị với các cấp quản lý. Với đề tài "Phương pháp giải các bài toán cực trị trong Đại số 8" Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong đại số 8. Trong mỗi giờ dạy tôi có đưa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ trong mỗi ví dụ đó có gợi ý và hướng dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi gặp các ví dụ khác các em có thể giải được. Để thực hiện mục tiêu của bộ môn, bản thân tôi đó phải cố gắng học hỏi, trao đổi kinh nghiệm, tự tìm các tài liệu để nghiên cứu, song vẫn cũn những hạn chế nhất định. Đ ể sáng kiến thực sự đem lại kết quả tôi xin có một số kiến nghị như sau: - Ban giám hiệu, bộ phận thiết bị cần bổ sung một số tài liệu về phương pháp giải các bài toán cực trị trong đại số 8. - Với thời lượng học chính khoá không đủ để các em có thể tiếp cận với công thức, cách giải bài tập nên đề nghị BGH nhà trường triể n khai cho các em học một số buổi đại trà để phụ đạo thêm cho các em. - Mong Ban giám hiệu nhà trường quan tâm hơn nữa đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, động viên khen thưởng kịp thời những giáo viên và học sinh có thành tích cao trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và đạt danh hiệu giáo viên dạy giỏi các cấp. - Đề nghị Phòng giáo dục và Đào tạo tổ chức nhiều buổi sinh hoạt chuyên môn cấp huyện để giáo viên có cơ hội dự giờ đồng nghiệp, nâng cao tay nghề. 20