Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải quyết một số bài toán về hàm số bằng cách sử dụng các yếu tố của đạo hàm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải quyết một số bài toán về hàm số bằng cách sử dụng các yếu tố của đạo hàm" giúp học sinh nhận thấy được mối quan hệ chặt chẽ giữa hàm số f(x) và đạo hàm của nó f'(x) thông qua một số bài toán thường gặp về hàm số, đồng thời có được cái nhìn tổng thề có tính hệ thống về lớp các bài toán dạng này. Từ đó học sinh có thể định hướng được năng lực tư duy và tiếp cận được tốt các bài toán dạng này trong các kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải quyết một số bài toán về hàm số bằng cách sử dụng các yếu tố của đạo hàm

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ---------------  -------------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: " Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải quyết một số bài toán về hàm số bằng cách sử dụng các yếu tố của đạo hàm." LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Vinh, tháng 4/2022 1
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG PT HERRMANN GMEINER ---------------  -------------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: " Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải quyết một số bài toán về hàm số bằng cách sử dụng các yếu tố của đạo hàm." LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Giáo viên: Phạm Thị Ngọc Hương Điện thoại: 0919553836 Đơn vị: Trường PT Hermann Gmeiner Vinh, tháng 4/2022 2
MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I. Đặt vấn đề ...........................................................................................2 PHẦN II. Nội dung nghiên cứu. .........................................................................4 I.Cơ sở khoa học của đề tài .................................................................................4 I.1. Cơ sở lý luận của đề tài ................................................................................4 I.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài .............................................................................5 II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ..........................6 III. Các sáng kiến và giải pháp để giải quyết vấn đề............................................6 III.1. Các yếu tố của đạo hàm và sự biến thiên của hàm số .................................6 III.2. Các yếu tố của đạo hàm và cực trị của hàm số .........................................20 III.3. Các yếu tố của đạo hàm và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số .............29 III.4. Các yếu tố của đạo hàm và bài toán biện luận nghiệm của phương trình, bất phương trình .....................................................................................................34 III.5. Các yếu tố của đạo hàm và bài toán về đồ thị của hàm số ........................42 IV. Kết quả thực nghiệm sư phạm ....................................................................45 PHẦN III. Kết luận và kiến nghị ......................................................................47 Tài liệu tham khảo ............................................................................................50 3
PHẦN I. MỞ ĐẦU. I. Lí do chọn đề tài: Sự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm đã và đang được chứng minh từ những nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới, bởi những ưu điểm như: tính khách quan, tính bao quát và tính kinh tế . Theo chủ trương của Bộ Giáo dục & Đào tạo, kì thi THPT quốc gia môn toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớn trong việc kiểm tra đánh giá đối với bộ môn toán. Khi thi trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải có sự hiểu biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình tự tư duy logic hơn, nhanh hơn để đáp ứng thời gian hoàn thành một câu trả lời trong vòng 1,8 phút nhanh hơn gấp 10 lần so với yêu cầu kiểm tra đánh giá cũ. Trong chương trình toán THPT, "Ứng dụng của đạo hàm" được giới thiệu trong SGK Giải tích lớp 12 . Đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán. Giữa hàm số f ( x ) và đạo hàm của nó f ' ( x ) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Đạo hàm của hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng các công thức thì còn được thể hiện thông qua bảng biến thiên, bảng xét dấu hay đồ thị của nó. Việc dựa vào các yếu tố của hàm đạo hàm f ' ( x ) để tìm ra các tính chất của hàm số f ( x ) đưa đến cho chúng ta nhiều điều thú vị cũng như những bài toán hay. Việc tiếp cận các dạng toán này của cả người dạy lẫn người học hiện nay đa phần còn chưa có tính hệ thống vì vậy mặc dù đây là một vấn đề không phải quá mới nhưng trong quá trình làm bài học sinh thường gặp khó khăn trong việc định hướng, đặc biệt là các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Xuất phát từ những vấn đề đó, việc hệ thống hóa các dạng toán sử dụng các yếu tố của hàm đạo hàm trong việc giải một số bài toán liên quan đến hàm số một cách chi tiết đồng thời cập nhật một số xu hướng mới của dạng toán này trong đề thi của Bộ trong kỳ thi THPT quốc gia và trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh có thể giúp người dạy, người học tiếp cận dạng toán một cách tự nhiên và có hệ thống. Từ đó tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài: " Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải quyết một số bài toán về hàm số bằng cách sử dụng các yếu tố của đạo hàm." II. Mục đính nghiên cứu: Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh các bài toán gốc, bài toán cơ bản để qua đó các em có thể làm được những bài toán khó và phức tạp hơn, đồng thời rèn luyện cho các em năng lực ứng biến khi đối mặt với tình huống mới. Phát triển năng lực và tư duy toán học cho học sinh thông qua việc sử dụng nhiều hướng giải quyết bài toán ứng dụng đạo hàm. Đề tài giúp học sinh nhận thấy được mối quan hệ chặt chẽ giữa hàm số f ( x ) và đạo hàm của nó f ' ( x ) thông qua một số bài toán thường gặp về hàm số, đồng thời có được cái nhìn tổng thề có tính hệ thống về lớp các bài toán dạng này. Từ đó 4
học sinh có thể định hướng được năng lực tư duy và tiếp cận được tốt các bài toán dạng này trong các kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới. III. Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa hàm số f ( x ) và đạo hàm của nó f ' ( x ) , nhằm mục đích để học sinh hiểu sâu hơn về các vấn đề khảo sát hàm số như: Sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, sự tương giao của các đồ thị,... Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề hàm số thuộc bộ môn Toán ở trường trung học Phổ thông. IV. Phương pháp nghiên cứu: • Trong quá trình nghiên cứu, đề tài đã sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. • Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đốc rút ra các khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản. • Thống kê số liệu để phân loại được các bài toán về ứng dụng đạo hàm và rút ra được hệ thống sơ đồ tư duy trong giải các bài tập khó. • Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy và học ở trường sở tại để đưa ra được thuật giải logic, ngắn gọn, dễ hiểu và dễ nhớ nhất. • Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có rút kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết luận. • Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng cho bài toán. V. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm: • Về mặt lý luận. Đề tài đã hệ thống kiến thức nền tảng theo từng dạng toán giữa hàm đạo hàm và các vấn đề liên quan. Hình thành cách tư duy giải các bài toán dựa trên suy luận từ các yếu tố của hàm đạo hàm. • Về mặt thực tiễn. Giải quyết được tình huống thực tiễn khi khảo sát về hàm y = f ' ( x ) . Xây dựng được hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực và rèn luyện kỹ năng cho học sinh. Đặc biệt, đề tài đã khai thác, phát triển các bài toán ứng dụng, đưa ra các hướng dự đoán trong đề thi THPT quốc gia sắp tới. 5
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU. I. Cơ sở khoa học của đề tài 1. Cơ sở lý luận. 1.1. Khái niệm hàm số. Cho hai đại lượng biến thiên x và y , trong đó x nhận giá trị thuộc tập số D  . Khi đó, đại lượng y được gọi là hàm số của đại lượng x nếu: • Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi. • Với mỗi giá trị của x  D ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y  . Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x . Tập D được gọi là tập xác định của hàm số. 1.2. Cách cho một hàm số. Một hàm số có thể cho bằng các cách sau a) Hàm số cho bằng bảng. b) Hàm số cho bằng biểu đồ. c) Hàm số cho bằng công thức. 1.3. Đồ thị của hàm số. Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D. Đồ thị của hàm số y = f ( x ) là tập hợp tất cả các điểm M ( x0 ; y0 ) trên hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn x0  D và y0  f ( x0 ) . 1.4. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng. Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ( a; b ) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( a; b ) . Khi đó ta gọi hàm số f ': ( a; b ) → . x f '( x) là đạo hàm của hàm số y = f ( x ) trên khoảng ( a; b ) , kí hiệu là y ' hoặc f ' ( x ) . 6
1.5. Một số dạng toán thường gặp về hàm số trong chương trình THPT. Trong chương trình THPT, khái niệm hàm số và các kiến thức cơ bản về hàm số đã được trình bày đầy đủ và phù hợp với học sinh THPT. Sách giáo khoa Giải tích 12, chương 1 đã trình bày ứng dụng cơ bản của đạo hàm để nghiên cứu các vấn đề cơ bản về hàm số, cụ thể: Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số. Khái niệm cực trị, các dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, cực tiểu. Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số và các phương pháp tìm GTLN, GTNN. Khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của hàm số và các phương pháp tìm đường tiệm cận. Khảo sát hàm số các hàm cơ bản và sự tương giao của hai đồ thị. Trên cơ sở các kiến thức cơ bản đã nêu, trong sách giáo khoa và sách bài tập Giải tích 12 cũng đã xây dựng hệ thống bài tập rất cơ bản gồm tự luận và trắc nghiệm để khắc sâu, củng cố kiến thức cho học sinh, cũng như để học sinh làm quen với các câu ở mức độ nhận biết và thông hiểu về hàm số trong kì thi THPT QG. 2. Cơ sở thực tiễn. Dưới sự lãnh đạo của Ban giám hiệu nhà trường, đội ngũ giáo viên chúng tôi luôn trăn trở tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh . Nhà trường không chỉ chú trọng truyền thụ tri thức mà còn phát triển tư duy cho học sinh thông qua các bài học, làm hành trang vững chắc cho các em bước vào tương lai. Trong các kì thi THPT QG, các bài toán về hàm số được khai thác nhiều, ở cả 4 mức độ. Đối với các câu hỏi mức độ nhận biết và thông hiểu thì các dạng câu hỏi thường tương tự như trong sách giáo khoa và nhiều sách tham khảo. Tuy nhiên trong những năm gần đây, ở mức độ vận dụng và vận dụng cao nhiều bài toán về hàm số được khai thác ở các dạng tương đối mới và lạ so với SGK. Trong quá trình dạy học cũng như ôn tập cho học sinh, tôi thấy đa số các em chưa định hình được cách giải và còn nhiều lúng túng trong việc xử lí triệt để các bài toán dạng này. Chính vì vậy, tôi tập trung nghiên cứu tài liệu về các bài toán liên quan đến các yếu tố của hàm đạo hàm trong chủ đề hàm số, đồng thời cố gắng sắp xếp, phân chia các dạng một cách có hệ thống để khắc phục những khó khăn đề cập ở trên. 7
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong giải tích, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán, vẫn là môn học có nhiều vấn đề khó đối với đại đa số học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình và yếu. Khi giải các bài toán về ứng dụng của đạo hàm, nếu tiến hành theo các bước cơ bản không được thì tâm lý học sinh thường nản và bỏ qua. Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở hai lớp tôi trực tiếp áp dụng năm học 2021-2022 kết quả như sau: Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài 12A1 45 18 2021-2022 123 47 16 Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong sách giáo khoa. Song song với việc cung cấp tri thức tôi chú trọng rèn luyện kỹ năng giải toán, nâng cao năng lực, phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác. III. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề III.1. Các yếu tố của hàm đạo hàm và sự biến thiên của hàm số. III.1.1. Cho bảng xét dấu hoặc công thức của hàm đạo hàm. Phương pháp giải Nếu cho bảng xét dấu của đạo hàm ta dựa vào đó để suy ra trực tiếp sự biến thiên của hàm y = f ( x ) hoặc dựa vào đó để lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm g ' ( x ) , từ đó kết luận tính đơn điệu của hàm số y = g ( x ) = f ( u ( x ) ) + v ( x ) . Nếu cho công thức của hàm số f ' ( x ) , ta thực hiện theo ba bước như sau: Bước 1. Tìm các giá trị x mà f  ( x ) = 0 hoặc những giá trị làm cho f  ( x ) không xác định, từ đó suy ra giá trị x mà g ' ( x ) = 0 hoặc giá trị làm cho g ' ( x ) không xác định. Bước 2. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm g ' ( x ) . 8
Bước 3. Kết luận tính đơn điệu của hàm số y = g ( x ) = f ( u ( x ) ) + v ( x ) (chọn đáp án). Lưu ý: Khi xét dấu hàm đạo hàm cần lưu ý cho học sinh đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội lẻ. Ví dụ 1. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm: Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 3; 4 ) . B. ( 2; 4 ) . C. (1;3) . D. ( −; −1) . Lời giải Dựa vào bảng xét dấu f ' ( x ) , ta thấy hàm số y = f ( x ) đồng biến trên (1;3) và ( 4; + ) . Suy ra hàm số y = f ( x ) đồng biến trên (1;3) . Chọn C. Lưu ý: Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì nó cũng đồng biến (nghịch biến) trên tập K  D . Ví dụ 2. (Chuyên KHTN - 2021) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn −10  m  10 và hàm số y = f ( x 2 + 2 x + m) đồng biến trên khoảng (0;1) ? A. 5 . B. 4 . C. 6 D. 1 . Lời giải Xét y = g ( x) = f ( x 2 + 2 x + m) . Ta có: y ' = g '( x) = 2( x + 1) f '( x 2 + 2 x + m) . Vì x + 1  0x  (0;1) nên để hàm số y = f ( x 2 + 2 x + m) đồng biến trên khoảng (0;1) khi và chỉ khi f '( x 2 + 2 x + m)  0x  (0;1) , do hàm số x 2 + 2 x + m luôn đồng biến trên (0;1) nên Đặt t = x2 + 2 x + m , do x  (0;1) nên t  (m; m + 3) .  m + 3  −2  m  −5 Dựa vào bảng xét dấu của f '( x) ta có:  m  0    m + 3  3 m = 0 9
Mà −10  m  10 nên m = {−9; −8; −7; −6; −5;0} Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn C. Ví dụ 3. (Mã đề 101 – Đề chính thức 2019) Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f ' ( x ) như sau: Hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 9 . B. 3 . C. 7 . D. 5 . Lời giải  −3  3 − 2 x  −1 3  x  2 Ta có y = −2 f  ( 3 − 2 x )  0  f  ( 3 − 2 x )  0    . 3 − 2 x  1 x  1 Vì hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;1) nên nghịch biến trên ( −2;1) . Chọn B. Ví dụ 4. (THPT Thanh Chương 1- Nghệ An - 2021) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hàm số y = 3 f ( 2 x − 1) − 4 x3 + 15 x 2 − 18 x + 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. ( 3; + ) . B. 1;  . C.  ;3  . D.  2;  . 3 5 5  2   2   2  Lời giải  Ta đặt: y = g ( x) = f ( 2 x − 1) − 4 x3 + 15 x 2 − 18 x + 1 .  g ( x) = 6 f  ( 2 x − 1) − 12 x 2 + 30 x − 18 = 6  f  ( 2 x − 1) − 2 x 2 + 5 x − 3 . x = 1 2 x − 1 = 1  2 x − 1 = 2 x = 3 Có f  ( 2 x − 1) = 0     2 . Từ đó, ta có bảng xét dấu như sau: 2 x − 1 = 3 x=2   2 x − 1 = 4 x = 5  2 10
Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng 1;  . Chọn B. 3 2   Ví dụ 5. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có dấu đạo hàm f '( x) như sau: Xét hàm số g ( x) = 12 f ( x 2 ) + 2 x6 − 15 x 4 + 24 x 2 + 2019 . Khẳng định đúng là A. Hàm số g ( x) đồng biến trên (2; +) C. Hàm số g ( x) đồng biến trên (−; −2) B. Hàm số g ( x) nghịch biến trên (−2; −1) . D. Hàm số g ( x) nghịch biến trên (0;1) . Lời giải  Đầu tiên từ BBT trên ta có được: f '( x) = a( x + 1)( x − 1)( x − 4)  Tứ đó hàm số trên tương đương với: g ( x) = 12 f ( x 2 ) + 2 x 6 − 15 x 4 + 24 x 2 + 2019  g '( x) = 24 xf '( x 2 ) + 12 x5 − 60 x3 + 48x = 12 x ( x 2 + 1)( x 2 − 1)( x 2 − 4) + ( x 2 − 1)( x 2 − 4)  = 12 x( x 2 − 1)( x 2 − 4)( x 2 + 2) x = 0 x = 0  2 Cho g '( x) = 0   x = 4   x = 2 . Từ đó ta có bảng biến thiên hàm g ( x) như sau:  x2 = 1  x = 1  Từ BBT ta kết luận Chọn A. 11
Nhận xét: Thông qua bảng xét dấu f  ( x ) → xác định được nghiệm của phương trình g  ( x ) = 0 . - Hàm số y = g ( x ) đồng biến → đánh giá y  0 . - Hàm số y = g ( x ) nghịch biến → đánh giá y  0 . Ví dụ 6. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương – 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên và có đạo hàm f  ( x ) = ( x + 2 )( x − 1) ( x − 2 ) . Hàm số y = f ( x + 3) nghịch 2019 2020 tục trên biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây? A. ( −2;1) . B. (1; 2 ) . C. ( −; −5) . D. ( −5; −2 ) . Lời giải Ta có: f  ( x ) = ( x + 2 )( x − 1) ( x − 2 )  f  ( x + 3) = ( x + 5 )( x + 2 ) ( x + 1) 2019 2020 2019 2020  x = −5 f ' ( x + 3) = 0   x = −2 . Bảng xét dấu hàm y = f ' ( x + 3)  x = −1 (Boäi chaün) Hàm số f ( x + 3) nghịch biến trên khoảng ( −5; −2 ) . Chọn D. III.1.2. Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm đạo hàm. Phương pháp giải Đồ thị hàm số y = f  ( x ) nằm phía trên trục Ox trên khoảng ( a ; b ) . Suy ra hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( a ; b ) . Đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía dưới trục Ox trong khoảng ( a ; b ) . Suy ra hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ( a ; b ) . 12
Nếu cho đồ thị hàm số y = f  ( x ) mà hỏi sự biến thiên của hàm y = f ( u ) thì sử dụng đạo hàm của hàm số hợp và xét dấu y = f  ( u ) dựa vào dấu của hàm y = f  ( x ) . Ví dụ 1. (THPT Hậu Lộc 4 - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f  ( x ) được cho như hình vẽ bên. Hàm số g ( x ) = f ( x 2 + 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? y -2 O 2 x A. ( −;0 ) . B. ( 0;1) . C. ( 0; + ) . D. ( −1;1) . Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f  ( x ) ta suy ra: f  ( x ) = 0  x = −2 hoặc x = 0 hoặc x = 2 f  ( x )  0  x  −2 hoặc x  2 . f  ( x )  0  −2  x  0 hoặc 0  x  2 . x = 0 x=0  2 x = 0  x + 1 = − 2 g  ( x ) = 2 x. f  ( x 2 + 1) = 0    2   x = 1  f  ( x + 1) = 0 2  x +1 = 0   x = −1  x 2 + 1 = 2 x − −1 0 1 + g ( x) + 0 − 0 + 0 − g ( x) Ví dụ 2. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho các hàm số y = f ( x ) ; y = g ( x ) liên tục trên và có đồ thị các đạo hàm f  ( x ) ; g  ( x ) (đồ thị hàm số y = g  ( x ) là đường đậm hơn) như hình vẽ. 13
Hàm số h ( x ) = f ( x − 1) − g ( x − 1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;1 . D.  −1;  . 1 B. (1; +  ) . C. ( 2; +  ) . 1  2   2 Lời giải Ta có: h ( x ) = f  ( x − 1) − g  ( x − 1) Dựa vào hình vẽ ta có hàm số h ( x ) nghịch biến  h ( x )  0  f  ( x − 1)  g  ( x − 1)  1  1 − 2  x − 1  − −1  x   2  2    0  x − 1  1 1  x  2 Do đó hàm số h ( x ) nghịch biến trên các khoảng  −1;  và (1; 2 ) . Chọn D. 1  2 Ví dụ 3. (THPT Đồng Quan - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số tham số m nguyên thuộc đoạn  −20; 20 để hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1; 2 ) biết g ( x ) = 3 f ( − x3 − 3x + m ) + ( x3 + 3x − m ) ( −2 x3 − 6 x + 2m − 6 ) . 2 A. 23 . B. 21 . C. 5 . D. 17 . Lời giải g ( x ) = 3 f ( − x 3 − 3 x + m ) + 2 ( − x 3 − 3x + m ) ( − x 3 − 3x + m − 3) 2 = 3 f ( − x 3 − 3 x + m ) + 2 ( − x 3 − 3x + m ) − 6 ( − x 3 − 3x + m ) 3 2 Ta có g ' ( x ) = −9 ( x 2 + 1) f ' ( − x3 − 3x + m ) − 18 ( x 2 + 1)( − x 3 − 3x + m ) + 36 ( x 2 + 1)( − x 3 − 3x + m ) 2 Để hàm số nghịch biến trên ( −1; 2 ) thì g ' ( x )  0, x  ( −1; 2 )  f ' ( − x3 − 3x + m ) + 2 ( − x3 − 3x + m ) − 4 ( − x3 − 3x + m )  0 , x  ( −1; 2 ) 2  f ' ( − x3 − 3x + m )  −2 ( − x3 − 3x + m ) + 4 ( − x 3 − 3x + m ) , x  ( −1; 2 ) 2 14
Đặt t = − x3 − 3x + m . Với x  ( −1; 2 ) , t ' = −3x 2 − 3  0 x  ( −1; 2 )  t  ( m − 14; m + 4 ) Xét bất phương trình ( ) ( ) 1 f ' t  −2t 2 + 4t (1) Đồ thị hàm số y = f ' ( t ) và y = −2t 2 + 4t trên cùng hệ trục tọa độ  t  ( m − 14, m + 4 ) t  ( m − 14, m + 4 )   t  1 m + 4  1  m  −3 Để (1) luôn đúng  t  1    . t  2  t  ( m − 14, m + 4 )  m − 14  2  m  16   t  2  Do m   −20; 20 nên số giá trị của m là ( −3 + 20 ) + 1 + ( 20 − 16 ) + 1 = 23 . Chọn A. Ví dụ 4. (THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh - 2021) Cho ba hàm số y = f ( x), y = g ( x), y = h( x) . Đồ thị của ba hàm số y = f ( x) , y = g ( x) , y = h( x) được cho như hình vẽ. Hàm số k ( x) = f ( x + 7) + g (5 x + 1) − h  4 x +  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 3  2 A.  − ;0  . B.  ; +  . C.  ;1 . D.  − ;1 . 5 5 3 3  8  8  8   8  Lời giải Ta có: k ( x) = f ( x + 7) + 5 g (5 x + 1) − 4h  4 x +  . 3  2   7.375  x + 7  8  f ( x + 7)  10   Khi x   ;1 thì 2,875  5 x + 1  6   g (5 x + 1)  2  5 g (5 x + 1)  10 3 . 8    h  4 x +   5  −4h  4 x +   −20 3 3 3 3  4 x +  5,5  2   2  2 15
Do đó k ( x) = f ( x + 7) + 5 g (5 x + 1) − 4h  4 x +   0 , x   ;1 . 3 3  2 8  Hàm số k ( x) = f ( x + 7) + g (5 x + 1) − h  4 x +  đồng biến trên  ;1 . Chọn A. 3 3  2 8  Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biên thiên dưới đây Hàm số g ( x ) = f  2 x 2 − 5 x − 3  nghịch biến trên khoảng nào sau đây ?  2 2 A.  −1; 1  . B.  1 ;1 . C. 1; 5  . D.  9 ; +  .  4 4   4  4  Lời giải  x  −2 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f  ( x )  0   và f  ( x )  0  −2  x  3. x  3 Ta có g  ( x ) =  4 x − 5  f   2 x 2 − 5 x − 3  . Xét g  ( x )  0  2  2 2  5  5 4 x − 2  0  x  8 9 TH 1:   1 x  .  f   2 x 2 − 5 x − 3   0 −2  2 x 2 − 5 x − 3  3 4   2 2  2 2  5 4 x − 2  0  x  −1 TH 2:   1 . Đối chiếu các đáp án, ta chọn C.  5 3   f   2x − x −   0 2  x5   4 8 2 2 Ví dụ 6. (TT lần 2 – THPT Lương Văn Tụy – Ninh Bình – 2020) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Bảng biến thiên của hàm số f  ( x ) như dưới đây 16
Hàm số g ( x ) = f 1 − x  + x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?  2 A. ( −4; −2 ) . B. ( −2;0 ) . C. ( 0; 2 ) . D. ( 2; 4 ) . Lời giải Ta có g  ( x ) = − 1 f  1 − x  + 1. Xét g  ( x )  0  f  1 − x   2 2  2  2   ✓ TH1: f  1 − x   2  2  1 − x  3  −4  x  −2. Hàm số nghịch biến trên ( −4; −2 )  2  2 ✓ TH2: f  1 − x   2  −1  1 − x  a  0  2  2 − 2a  x  4 nên hàm số chỉ nghịch  2  2 biến trên khoảng ( 2 − 2a; 4 ) chứ không nghịch biến trên toàn khoảng ( 2; 4 ) . Vậy hàm số g ( x ) = f 1 − x  + x nghịch biến trên ( −4; −2 ) . Chọn A.  2 2.1.3. Cho biểu thức f ' ( x, m ) . Tìm m để hàm số f u ( x )  đồng biến, nghịch biến. Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( x − 1) ( x 2 − 2 x ) với mọi x  . Có bao 2 nhiêu số nguyên m  100 để hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 8 x + m ) đồng biến trên ( 4; + ) ? A. 18. B. 82. C. 83. D. 84. Lời giải x  0 Ta có f  ( x ) = ( x − 1) ( x 2 − 2 x )  0   . Xét g  ( x ) = ( 2 x − 8 ) . f  ( x 2 − 8 x + m ) . 2 x  2 Để hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 4; + ) khi và chỉ khi g  ( x )  0, x  4  ( 2 x − 8 ) . f  ( x 2 − 8 x + m )  0, x  4 .  x 2 − 8 x + m  0, x  ( 4; + )  f ( x − 8 x + m )  0, x  4   2  2  m  18.  x − 8 x + m  2, x  ( 4; + ) Vậy 18  m  100. Chọn B. 17
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 1) ( x 2 + mx + 9) , x  . Có 2 bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g ( x ) = f ( 3 − x ) đồng biến trên ( 3; + ) ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải Từ giả thiết suy ra f  ( 3 − x ) = ( 3 − x )( 2 − x )2 ( 3 − x )2 + m ( 3 − x ) + 9 . Ta có g  ( x ) = − f  ( 3 − x ) . Để hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 3; + ) khi và chỉ khi g  ( x )  0, x  ( 3; + )  f  ( 3 − x )  0, x  ( 3; + )  ( 3 − x )( 2 − x ) ( 3 − x ) + m ( 3 − x ) + 9  0, x  ( 3; + ) 2 2   ( x − 3) +9 ( x − 3) +9 2 2 m , x  ( 3; + )  m  min h ( x ) với h ( x ) = . x−3 ( 3;+ ) x −3 9 Ta có h ( x ) = ( x − 3) + m +  6. Vậy suy ra m  6 ⎯⎯⎯ → m  1; 2;3; 4;5;6 . Chọn B. x −3 III.1.4. Cho các yếu tố của hàm f ' u ( x )  , xác định khoảng đơn điệu hàm f v ( x )  . Nhận xét: Đây hiện tại đang là một dạng toán mới đối với đa số học sinh, tần suất xuất hiện trong các đề thi thử khá nhiều và gây ra không ít sự lúng túng cho học sinh khi tiếp cận nó. Điểm “mới” của nó là là thay vì mô típ cho các yếu tố hàm f ' ( x ) tìm khoảng đơn điệu của hàm f u ( x )  , thì ở đây bài toán lại cho f ' u ( x )  tìm khoảng đơn điệu của hàm f ( x ) hoặc hàm f v ( x )  . Ví dụ 1. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) và đồ thị hàm y = f ' ( 3 − 2 x ) như hình vẽ Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây A. ( −; −1) B. ( 0; + ) C. ( 3; + ) D. ( 0; 2 ) 18
Lời giải  x = −1  t = 5 Đặt t = 3 − 2 x . Dựa vào đồ thị ta có: f ' ( t ) = 0  f ' ( 3 − 2 x ) = 0   x = 0   t = 3  x = 2 t = −1  x=5 Vậy f ' ( x ) = 0   x = 3 . Ta có bảng xét dấu của f ' ( x )  x = −1 Dựa vào bảng xét dấu, ta suy ra hàm số nghịch biến trên ( −; −1) . Chọn A. Ví dụ 2. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Giả sử f ( x ) là đa thức bậc 4. Đồ thị của hàm số y = f ' (1 − x ) được cho như hình bên. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 3) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( −2;1) . B. ( −1; 0 ) . C. (1; 2 ) . D. ( 0;1) . Lời giải Đặt t = 1 − x  f ( t ) = f (1 − x )  f ' ( t ) = − f ' (1 − x )  x = 0 t = 1 Ta có f ' ( t ) = 0  f ' (1 − x ) = 0   x = 2   t = −1  x = 3  t = −2 x  0 t  1 f ' ( t )  0  f ' (1 − x )  0    2  x  3  −2  t  −1 BBT của f ( t ) x = 0 Mặt khác g ' ( x ) = 2 x. f ' ( x 2 − 3) Nên g ' ( x ) = 0  2 x. f ' ( x 2 − 3) = 0   ( )  f ' x − 3 = 0 2 19
 x2 − 3 = 1  x = 2   ( ) Ta có f ' x 2 − 3 = 0   x 2 − 3 = −1   x =  2  x 2 − 3 = −2  x = 1   x  2  x  −2  x2 − 3  1  ( 2 ) f ' x −3  0     − 2  x  −1  −2  x − 3  −1 2   1  x  2 Bảng xét dấu của g ' ( x ) Dựa vào bảng xét dấu g ' ( x ) suy ra hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( 0;1) . Chọn D. Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên . Hàm số y = f ' ( 3x − 1) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g ( x ) = f (1 − 2 x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( 2;6 ) B. ( 5; + ) C. ( −; −2 ) D. (1;5) Lời giải  x = −2 t = −2 Dựa vào đồ thị, ta có f ' ( 3x − 1) = 0   x = 1 , vậy f ' ( 3t − 1) = 0   t = 1   x = 2  t = 2  x=4  x=4 t = −2   Đặt 1 − 2 x = 3t − 1   t = 1 thì  x = − , khi đó g ' ( x ) = −2 f ' (1 − 2 x ) = 0   x = − 1 1  2  2  t = 2  x = −2  x = −2   Dựa vào bảng xét dấu g ' ( x ) , ta suy ra hàm số nghịch biến trên ( 5; + ) . Chọn B. 20