Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển các năng lực toán học thông qua một số bài toán tích phân có vận dụng phương trình hàm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển các năng lực toán học thông qua một số bài toán tích phân có vận dụng phương trình hàm" nhằm giúp học sinh các em học sinh có hứng thú, tích cực và giải tốt các bài toán tích phân, góp phần hiểu những ứng dụng của tích phân trong thực tế. Giúp các em có kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia, làm tốt các bài thi năng lực của các trường đại học. Giúp các em học tốt môn Toán và có sự say mê giải Toán hơn nữa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển các năng lực toán học thông qua một số bài toán tích phân có vận dụng phương trình hàm

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN CÁC NĂNG LỰC TOÁN HỌC THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CÓ VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ 3 ===== ===== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN CÁC NĂNG LỰC TOÁN HỌC THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CÓ VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Tên tác giả : Trần Thanh Bình Trường : THPT Tân Kỳ 3 Số ĐT : 0948240913 Tổ bộ môn : Toán - Tin Năm thực hiện : 2022 - 2023
MỤC LỤC Trang I. MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 1.1. Lý do chọn đề tài...................................................................................... 1 1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................................ 1 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................ 2 1.4. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 2 1.5. Điểm mới của đề tài ................................................................................. 2 1.6. Dự kiến đóng góp của đề tài ..................................................................... 3 II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .............................................. 4 2.1. Cơ sở lý luận ............................................................................................ 4 2.1.1. Năng lực ............................................................................................ 4 2.1.2. Năng lực toán học .............................................................................. 5 2.2. Cơ sở thực tiễn ......................................................................................... 7 2.2.1. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ............. 7 2.2.2. Phiếu điều tra và phân tích tình hình học tập của học sinh ................. 8 2.2.3. Những khó khăn và sai lầm của học sinh. .......................................... 8 2.3. Các giải pháp thực hiện .......................................................................... 11 2.3.1. Bài toán dạng 1 ................................................................................ 11 2.3.2. Bài toán liên quan đến phương trình hàm hợp .................................. 25 2.3.3. Bài toán dùng kỹ thuật phương trình hàm ........................................ 33 2.3.4. Bài toán dạng u ( x) f ′( x) = v( x) f ( x) ...................................................... 42 2.3.5. Bài toán liên quan đến tích phân từng phần...................................... 52 2.4. Phụ lục: Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất ....... 57 2.4.1. Mục đích khảo sát ............................................................................ 57 2.4.2. Nội dung và phương pháp khảo sát .................................................. 57 2.4.3. Đối tượng khảo sát ........................................................................... 57 2.4.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất .................................................................................................. 58
2.5. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................ 61 2.5.1. Mục đích của thực nghiệm ............................................................... 61 2.5.2. Nội dung thực nghiệm ..................................................................... 61 2.5.3. Tổ chức thực nghiệm ....................................................................... 61 2.5.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ........................................... 61 III. KẾT LUẬN .............................................................................................. 63 3.1. Kết luận ................................................................................................. 63 3.3.1. Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau .......................................... 63 3.1.2. Hướng phát triển của đề tài .............................................................. 63 3.1.3. Một số kinh nghiệm được rút ra ....................................................... 63 3.2. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài sáng kiến kinh nghiệm .................. 64 3.3. Những kiến nghị, đề xuất ....................................................................... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 67
I. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Hội nghị lần thứ 8 BCH TW Đảng Cộng Sản Việt Nam khóa XI, đã thông qua nghị quyết số 29/NQ-TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo. Chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 được xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh, trong đó Phát triển các năng lực toán học đóng vai trò rất quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành. Chỉ thị số 16/CT-TTg về việc tăng cường năng lực tiếp cận cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ tư. Một trong các giải pháp mà Chỉ thị đề ra nhằm thúc đẩy giáo dục STEM. Xuất phát từ thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy tuy các em tiếp thu nhanh các kiến thức Toán học cụ thể là các kiến thức về Đại số - Giải tích, song quá trình giải toán tích phân mắc phải một số sai lầm, khó khăn, nhất là bài toán tích phân khi chưa biết hàm f ( x) mà chỉ cho biết f ( x) thỏa mãn một phương trình hàm cho trước, dẫn đến hiệu quả làm toán không cao. Vì vậy tôi viết sáng kiến này nhằm mục đích cùng trao đổi thêm về vấn đề giải các bài toán tích phân hàm ẩn. Tôi thấy rằng: các bài toán tích phân là nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán ở THPT, góp phần kiến thức quan trọng trong nội dung thi THPT Quốc Gia, là các chủ đề thi năng lực vào các trường đại học. Người giáo viên có vai trò hướng dẫn, điều khiển quá trình học tập của học sinh nên giúp các em phát triển các năng lực toán học và tự nhận ra phương pháp giải trong giải toán và có giải pháp phù hợp là việc cần thiết. Chính vì những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài là: “Phát triển các năng lực toán học thông qua một số bài toán tích phân có vận dụng phương trình hàm ”. 1.2. Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp học sinh các em học sinh có hứng thú, tích cực và giải tốt các bài toán tích phân, góp phần hiểu những ứng dụng của tích phân trong thực tế. Giúp các em có kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia, làm tốt các bài thi năng lực của các trường đại học. Giúp các em học tốt môn Toán và có sự say mê giải Toán hơn nữa. 1
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán tích phân mà chỉ cho biết f ( x) thỏa mãn một số phương trình hàm cho trước. - Phương pháp dạy học hình thành và phát triển năng lực của học sinh thông qua bài toán tích phân mà chỉ cho biết f ( x) thỏa mãn một số phương trình hàm cho trước. - Thiết kế các hoạt động dạy học theo hướng bài dạy STEM - Là học sinh từ mức khá, giỏi của trường THPT Tân Kỳ 3. - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán tích phân có chứa phương trình hàm và Một số bài toán thực tế ứng dụng tích phân không vượt quá chương trình lớp 12. 1.4. Phương pháp nghiên cứu - Xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu các tài liệu từ sách, báo, mạng internet về hình thành các năng lực toán học cho học sinh. - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích những sai lầm của học sinh khi giải toán, phân tích dữ kiện của bài toán, tìm các dấu hiệu và lựa chọn các giải pháp hợp lý để giải toán. - Phương pháp điều tra thực nghiệm: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp, thăm do tình hình học tập của học sinh 1.5. Điểm mới của đề tài Thứ nhất: Đề tài được xây dựng thành hệ thống các dạng bài tập. Tích phân liên quan đến biểu thức f ′( x).u ( x ) − f ( x).u′( x) u ( x ). f ′( x ) + u′( x ). f ( x) = g ( x ) , 2 = g ( x) [u ( x)] f ′( x ) + f ( x ) = g ( x ) , f ′( x) + p ( x ). f ( x) = g ( x ) , f ( u ( x ) ) = v( x). Thứ hai: Đề tài có áp dụng quy trình xây dựng kế hoạch bài dạy stem Thứ ba: Đề tài đưa ra được Phương pháp giải qua đó giúp cho học sinh hình thành được các phẩm chất và năng lực toán học cần thiết Thứ tư: Rèn luyện cho học sinh một phong cách học tập, làm việc khoa học, cẩn thận, tránh được những thiếu sót và đạt được hiệu quả cao trong học tập. Thứ năm: Đề tài giúp cho học sinh làm quen với chu trình nghiên cứu khoa học và năng lực sáng tạo, năng lực sử dụng công cụ toán học. 2
1.6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trên cơ sở tập hợp, hệ thống hóa, bổ sung, xử lý nguồn tư liệu một cách khoa học, dự kiến đóng góp của đề tài các vấn đề sau: - Phân tích làm rõ bản chất và lấy ví dụ minh họa của các bài toán tính tích b phân ∫ f ( x)dx a khi chưa biết f ( x) mà chỉ cho biết f ( x) thỏa mãn một phương trình hàm cho trước. - Thông qua các bài toán cụ thể giúp học sinh hiểu và giải quyết tốt một số bài toán tính tích phân khi chưa biết f ( x) . - Nhằm giúp cho học sinh 12 phát triển các năng lực toán học đối với bài toán tích phân, đặc biệt là tích phân hàm ẩn, khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính tích phân khi chưa biết f ( x) . Từ đó giúp học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề tích phân. Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi TN THPTQG, ôn thi đánh giá năng lực. 3
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỂN 2.1. Cơ sở lý luận 2.1.1. Năng lực * Khái niệm năng lực Năng lực là tập hợp các kỹ năng, kiến thức, khả năng, hành vi của một người có thể đáp ứng một công việc nhất định nào đó, đây cũng là một trong những yếu tố quan trọng để cá nhân có thể hoàn thành một việc nào đó hiệu quả hơn so với người khác. Năng lực được tạo nên từ tư chất tự nhiên và do luyện tập, học hỏi và làm việc mà có. Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành phát triển nhờ vào các tố chất và quá trình học tập rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kinh nghiệm, kỷ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí thực hiện đạt kết quả các hoạt động trong những điều kiện cụ thể. CT GDPT 2018 đã xác định mục tiêu hình thành và phát triển cho học sinh các năng lực cốt lỏi bao gồm các năng lực chung và các năng lực đặc thù. Năng lực chung là nhửng năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lỏi, làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống lao động và nghề nghiệp. Năng lực đặc thù là những năng lực được hình thành và phát triển cơ sở các năng lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần thiết cho hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu cho một hoạt động như toán học, mỹ thuật, âm nhạc,.. Năng lực chung được hình thành và phát triển thông qua các môn học và các hoạt động giáo dục bao gồm - Năng lực tự chủ và tự học. - Năng lực giao tiếp và hợp tác. - Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Năng lực đặc thù được hình thành và phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định bao gồm - Năng lực ngôn ngữ 4
- Năng lực tính toán - Năng lực khoa học - Năng lực công nghệ - Năng lực tin học - Năng lực thẩm mỹ - Năng lực thể chất 2.1.2. Năng lực toán học Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi, khám phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó 2.1.2.1. Phân loại các năng lực trong môn toán Năng lực tư duy và lập luận toán học Năng lực mô hình hoá toán học Năng lực giải quyết vấn đề toán học Năng lực giao tiếp toán học Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán 2.1.2.2. Phương trình hàm Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm số, giải phương trình hàm tức là tìm các hàm số chưa biết đó. Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần chính: * Miền xác định và miền giá trị. * Phương trình hoặc hệ phương trình hàm. * Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục, khả vi,…). Người ta phân loại phương trình hàm theo hai yếu tố chính: miền giá trị và số biến tự do. 2.1.2.3. Quy trình xây dựng bài dạy STEM Do đặc tính mới lạ và đặc thù quy trình thiết kế kĩ thuật, nội dung dưới đây: Việc thiết kế và trình bày bài dạy STEM có thể tham khảo hướng dẫn tại Công văn số 5512/BGDĐT-GDTrH, ngày 18/12/2020 của Bộ Giáo dục và Đào 5
tạo về việc xây dựng và tổ chức thực hiện kế hoạch giáo dục của nhà trường. Bên cạnh đó, bài dạy STEM cũng cần phản ánh tính đặc thù khi tiến trình dạy học dựa trên quy trình thiết kế kĩ thuật và được tổ chức thành 5 hoạt động chính. Việc xây dựng bài dạy STEM được thực hiện dựa trên việc phân tích định hướng về nội dung, môn học chủ đạo cùng các yêu cầu cần đạt, nhiệm vụ của học sinh, những nội dung tích hợp của các lĩnh vực STEM. Trên cơ sở đó, giáo viên đề ra mục tiêu bài dạy STEM, lựa chọn hoạt động dạy học, phương tiện thiết bị dạy học, và ý tưởng về các phương pháp, kĩ thuật dạy học sẽ sử dụng một cách phù hợp. Quy trình xây dựng bài dạy STEM có thể dựa trên các bước cơ bản sau đây: Lựa chọn nội dung dạy học Nội dung bài dạy STEM có thể lựa chọn bằng cách: - Dựa vào những nội dung kiến thức trong chương trình môn học và các hiện tượng, quá trình gắn với các kiến thức đó trong thực tiễn; - Xuất phát từ việc đáp ứng một số nhu cầu thiết thực trong sinh hoạt hàng ngày, trong sản xuất, trong cuộc sống, trong học tập; - Thông qua những câu chuyện về các phát minh, sáng chế của các nhà khoa học nổi tiếng dẫn đến nhu cầu mong muốn thử nghiệm, chứng minh thông qua các bài dạy STEM; - Tham khảo ý tưởng từ những bài học, hoạt động, dự án có sẵn trong các nguồn tài liệu trong nước và quốc tế (sách, báo, internet,...). - Trong quá trình dạy học các môn học thuộc lĩnh vực STEM, cần thường xuyên đặt câu hỏi “những kiến thức đã học trong bài được ứng dụng ở đâu trong thực tiễn, có thể dùng nó để giải quyết những vấn đề gì”. Đặc biệt là những câu hỏi liên hệ, vận dụng vào bối cảnh thực tiễn địa phương, nhà trường. Xác định vấn đề cần giải quyết Dựa trên nội dung bài dạy STEM dự định triển khai, có thể đưa ra một tình huống có vấn đề mang tính thực tiễn khiến học sinh có nhu cầu thực hiện một nhiệm vụ cụ thể để giải quyết vấn đề. Nhiệm vụ học tập phải bao gồm các yêu cầu cụ thể về sản phẩm mà để hoàn thành nhiệm vụ, học sinh cần liên hệ và vận dụng kiến thức các môn học thuộc lĩnh vực STEM. Tình huống đặt ra cần có tiềm năng trong việc khuyến khích học sinh hoạt động và vận dụng kiến thức của nhiều môn học khác nhau, có tính khả thi về thời gian, phù hợp với năng lực của học sinh, điều kiện cơ sở vật chất của nhà trường và địa phương,... Ngoài ra, các tình huống cũng cần phù hợp với sở trường, đặc điểm của đối tượng học sinh, tạo ra sự quan tâm, hứng thú của học sinh thông qua việc thấy được ý nghĩa và lợi ích của việc thực hiện. 6
Xây dựng tiêu chí sản phẩm/giải pháp giải quyết vấn đề Tiêu chí của sản phẩm trong bài dạy STEM là yếu tố quan trọng có vai trò định hướng mục tiêu, nội dung và cách thức tổ chức các hoạt động trong bài dạy. Các tiêu chí đặt ra cho sản phẩm giúp học sinh là căn cứ để đề xuất giải pháp giải quyết vấn đề cũng như lập kế hoạch để thực hiện hoạt động chế tạo sản phẩm. Giáo viên cần xác định các tiêu chí cụ thể cho sản phẩm sao cho: - Học sinh huy động kiến thức đã học (với bài dạy STEM vận dụng) hoặc khám phá được kiến thức mới (đối với bài dạy STEM kiến tạo) mới có thể đáp ứng các yêu cầu sản phẩm học tập giáo viên đưa ra. - Học sinh vận dụng kiến thức và kinh nghiệm thực tiễn để đề xuất được các giải pháp có tính khoa học và khả thi; chế tạo sản phẩm; cải tiến, phát triển sản phẩm. - Thông qua việc thực hiện các hoạt động thiết kế trong bài dạy, học sinh có cơ hội phát triển các năng lực chung cốt lõi như tự chủ và tự học, giao tiếp và hợp tác, giải quyết vấn đề và sáng tạo. Thiết kế tiến trình tổ chức hoạt động dạy học - Tiến trình tổ chức hoạt động dạy học được thiết kế theo các phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực với các hoạt động học bao hàm các bước của quy trình thiết kế kĩ thuật. - Mỗi hoạt động học được thiết kế rõ ràng về mục tiêu, nội dung, sản phẩm học tập mà học sinh phải hoàn thành và cách thức tổ chức hoạt động học tập. Các hoạt động học tập đó có thể được tổ chức cả ở trong và ngoài lớp học (ở trường, ở nhà và cộng đồng). 2.2. Cơ sở thực tiễn 2.2.1. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh trường THPT Tân kỳ 3 (các lớp tôi trực tiếp giảng dạy) về các bài toán tính tích phân của hàm ẩn, đã thu được kết quả như sau: Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12A1 43 5 11,6% 15 34,9% 22 51,2% 1 2,3% 0 0% 12A3 41 0 0% 12 29,3% 24 58,5% 5 12,2% 0 0% 7
Như vậy số lượng học sinh nắm bắt dạng này không nhiều, có rất nhiều em chưa định hình được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và năng lực cần thiết. - Thực tế dạy học và kết quả kỳ thi học kỳ, các kỳ thi tốt nghiệp THPT QG tại trường THPT Tân Kỳ 3 và kỳ thi đánh giá năng lực 2.2.2. Phiếu điều tra và phân tích tình hình học tập của học sinh Để khảo sát và tìm hiểu về tình hình học tập của học sinh tôi phát phiếu khảo sát cho học sinh hai lớp 12A1, 12A3 với nội dung phiếu khảo sát như sau. PHIẾU KHẢO SÁT Họ và tên học sinh: …………………………. Lớp:............ Em hãy trả lời các câu hỏi sau: Câu Nội dung Có Không 1 Phân tích và làm rỏ bản chất của bái toán tich phân hàm ẩn em có thấy cần thiết không? 2 Thiết kế các hoạt động học tập theo định hướng giáo dục STEM em thấy có hiệu quả không? 3 Em có thích ôn tập các kiến thức cơ bản về đạo hàm, nguyên hàm và tích phân không? 4 Tính tích phân từng phần bằng kỷ thuật lập bảng có dể hiểu hơn so với phương pháp tính tích phân từng phần theo SGK? 2.2.3. Những khó khăn và sai lầm của học sinh Bài tập minh họa: 2 dx Bài 1: Tính tích phân: I = ∫ ( x + 1) −2 2 2 2 2 dx d ( x + 1) 1 1 4 * Sai lầm thường gặp: I = ∫ 2 =∫ 2 =− = − −1 = − −2 ( x + 1) −2 ( x + 1) x + 1 −2 3 3 * Nguyên nhân sai lầm: 1 Hàm số y = 2 không xác định tại x = −1∈ [ −2;2] suy ra hàm số ( x + 1) không liên tục trên [ −2;2] nên không áp dụng được công thức newtơn - leibnitz như¸cách giải trên. 8
* Lời giải đúng 1 Hàm số y= 2 không xác định tại x = −1∈ [ −2;2] suy ra hàm số ( x + 1) không liên tục trên [ −2;2] do đó tích phân trên không tồn tại. * Chú ý đối với học sinh: b Khi tính ∫ f ( x)dx a cần chú ý xem hàm số y = f ( x ) có liên tục trên [ a; b ] không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. π dx Bài 2:Tính tích phân: I = ∫ 0 1 + sinx x 2dt 1 1+ t2 * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan thì dx = ; = 2 1 + t 2 1 + sinx (1 + t )2 dx 2dt 2 ⇒ ∫ 1 + sinx (1 + t )2 t + 1 + C ⇒ =∫ =− π π dx −2 −2 2 I =∫ = = + =? 1 + sinx tan x + 1 π tan 0 + 1 0 tan + 1 2 0 2 π do tan không xác định nên tích phân trên không tồn tại 2 * Nguyên nhân sai lầm: x x Đặt t = tan , x ∈ [ 0;π ] tại x = π thì tan không có nghĩa. 2 2 * Chú ý đối với học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [ a; b ] 4 Bài 3: Tính I = ∫ x 2 − 6 x + 9dx 0 * Sai lầm thường gặp: 4 4 4 2 4 I = ∫ x 2 − 6 x + 9dx = ∫ 2 ( x − 3) ( x − 3) dx = ∫ ( x − 3)d ( x − 3) = = −4 0 0 0 2 0 9
* Nguyên nhân sai lầm: 2 Biến đổi ( x − 3) = x − 3 với x ∈ [ 0;4] là sai mà đúng là 2 ( x − 3) = x−3 * Lời giai đúng: 4 4 4 3 4 2 I = ∫ x − 6 x + 9dx = ∫ 2 ( x − 3) dx = ∫ x − 3 dx = −∫ ( x − 3)dx + ∫ ( x − 3)dx = 15 0 0 0 0 3 * Chú ý đối với học sinh: 2n 2n [ f ( x )] = f ( x) , n ≥ 1, n ∈ ¥ (n ≥ 1, n ∈ N ) b b I= ∫ ( f (x )) 2n 2n = ∫ f (x )dx ta phải xét dấu hàm số f ( x) trên [ a; b ] rồi dùng tính chât a a tích phân ta viết thành tổng các tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đói. 1 4 x3 Bµi 4: Tính tích phân I = ∫ dx 0 1 − x2 *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt x = 0 ⇒ t = 0  Đổi cận:  1 x = 4 ⇒ t = ?  * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa thì thường đặt x = sin t 1 − x2 1 nhưng đối với tích phân này sẻ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = không 4 tìm được chính xác t = ? * Lời giải đúng: −x Đặt t = 1 − x 2 ⇒ dt = dx ⇒ tdt = − xdx 2 1− x  x = 0 ⇒ t =1  Đổi cận:  1 15 x = ⇒ t =  4 4 10
1 15 1 1 4 x 3 4 (1 − t 2 )tdt  t3  2 1 15 I =∫ dx = − ∫ = ∫ 2 (1 − t )dt =  t −  = − . 0 1 − x2 1 t 15  3 15 3 16 4 4 4 * Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 − x 2 thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghỉ đến phương pháp khác. 2.3. Các giải pháp thực hiện - Phân tích làm rõ bản chất và lấy ví dụ minh họa của các bài toán tính tích b phân ∫ f ( x)dx a khi chưa biết f ( x) mà chỉ cho biết f ( x) thỏa mãn một phương trình hàm cho trước. - Thiết kế các hoạt động theo hướng bài dạy stem - Tính tích phân từng phần theo kỷ thuật lập bảng - Ôn tập các kiến thức cơ bản sau + Bảng các nguyên hàm + Các công thức tính đạo hàm: ′ ′ ( u.v )′ = u′v + uv′ ;  u  = u′v − uv′ ,  u ′ = u′ ,  1  = −v′     2 u v  v v2  v2 + Tính chất của nguyên hàm ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C + Tính chất của tích phân + Phương pháp đổi biến số b b b + Tích phân từng phần: ∫ udv = uv − ∫ vdu a a a + Ứng dụng của tích phân 2.3.1. Bài toán dạng 1 Tích phân liên quan đến biểu thức f ′( x).u ( x ) − f ( x).u′( x) u ( x ). f ′( x ) + u′( x ). f ( x) = g ( x ) , 2 = g ( x) [u ( x)] f ′( x ) + f ( x ) = g ( x ) , f ′( x ) + p ( x ). f ( x ) = g ( x ) . 11
THIẾT KẾ KẾ HOẠCH BÀI DẠY STEM I. Mục tiêu b 1. Về kiến thức: Học sinh được học về các bài toán tính tích phân ∫ f ( x)dx a khi chưa biết f ( x) mà chỉ cho biết f ( x) thỏa mãn một trong các biểu thức f ′( x).u ( x ) − f ( x).u′( x) u ( x ). f ′( x ) + u′( x ). f ( x) = g ( x ) , 2 = g ( x) [u ( x)] f ′( x ) + f ( x ) = g ( x ) , f ′( x ) + p ( x ). f ( x ) = g ( x ) . 2. Về năng lực: - phát hiện được và dự đoán được mối liên hệ của bài toán với các công  u ′ u′v − uv′ thức ( u.v )′ = u′v + uv′ ;   = v v2 - Nhận diện được các bài toán có áp dụng công thức tính đạo hàm ; vận dụng vào giải các bài toán cùng dạng - Vận dụng kiến thức đả học vào giải các bài toán thực tiễn 3. Về phẩm chất: Quan sát kĩ lưỡng giả thiết của bài toán và sự thay đổi các giả thiết đó để định hướng, dự đoán lời giải. II. Thiết bị dạy học III.Tiến trình dạy học 1. Hoạt động 1: Đặt vấn đề a) Mục tiêu: Học sinh nhận biết được vế trái của biểu thức u ( x ). f ′( x ) + u ′( x ). f ( x ) = g ( x ) là công thức tính đạo hàm của tích b) Tổ chức thực hiện Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: Giáo viên cho học sinh nhắc lại công thức ′ tính đạo hàm ( u.v )′ = u′v + uv′ ;  u  = u′v − uv′ .Giáo viên giao nhiệm vụ Phân tích   v v2 giả thiết và dự đoán kết quả của bài toán như ở mục nội dung Nội dung Dạng 1. b Tính tích phân ∫ f ( x)dx a khi chưa biết f ( x) mà chỉ cho biết f ( x) thỏa mãn các biểu thức u ′( x) f ( x) + u ( x) f ′( x) = g ( x) (Trong đó u(x), g(x) là các hàm số đã cho theo x) 12
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh quan sát giả thiết và rút ra nhận xét ở vế trái Sản phẩm: - u ( x ). f ′( x) + u′( x). f ( x ) = g ( x ) ⇔ [u ( x). f ( x) ]′ = g ( x) ′ - u ( x ) . f ( x) = ∫ [u ( x). f ( x)] dx = ∫ g ( x)dx - Từ đó tìm được f ( x) Bước 3: Báo cáo thảo luận: Giáo viên huy động tinh thần xung phong của học sinh. Gọi 1-2 học sinh có nhận xét chi tiết phát biểu tại chổ Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận về: Nếu thay giả thiết trên bởi f ′( x).u ( x ) − f ( x).u′( x) 2 = g ( x) hoặc f ′( x) + f ( x ) = g ( x) thì bài toán được giải [u ( x)] quyết như thế nào? Bước 4: Kết luận, nhận định: b Giáo viên chốt lại: Để giải bài toán: Tính tích phân ∫ f ( x)dx khi chưa biết a f ( x) mà chỉ cho biết f ( x) thỏa mãn các biểu thức u ( x ). f ′( x) + u′( x). f ( x) = g ( x ) (Trong đó u(x), g(x) là các hàm số đã cho theo x) Ta thực hiện theo các bước như sau. - u ( x). f ′( x) + u′( x). f ( x) = g ( x) ⇔ [u ( x). f ( x) ]′ = g ( x) - u ( x ) . f ( x) = ∫ [u ( x). f ( x)]′dx = ∫ g ( x)dx b - Từ đó tìm được f ( x) và tính ∫ f ( x)dx a 2. Hoạt động 2: Áp dụng giải bài toán cụ thể a) Mục tiêu: Học sinh áp dụng bài toán tổng quát ở trên giải được bài toán cụ thể b) Tổ chức thực hiện: Bước 1: Chuyễn giao nhiệm vụ: Giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện nhiệm vụ trong mục nội dung. 13
Nội dung Bài 1.1. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] . Biết f (1) = −1 1 và ( x + 1) f ′( x ) + f (x) = 3 x 2 − 2 x . Tính ∫ f ( x)dx 0 4 3 A. − 4ln 2 B. − 4ln 2 3 4 4 4 C. + 4ln 2 D. − + 4ln 2 3 3 Bài 1.2. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [1; 2 ] thỏa mãn f (1) = 4 và f ( x ) = xf ' ( x ) − 2 x 3 − 3 x 2 . Tính giá trị f (2) . A. 5 . B. 20 . C. 10 D. 15 . Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh thực hiện nhận dạng và biến đổi biểu thức ở vế trái của giả thiết bài toán. Sau đó áp dụng tính chất 1 của nguyên 1 hàm tìm C, f ( x) và tính ∫ f ( x)dx 0 Sản phẩm: Bài 1.1. ( x + 1) f ′( x) + f ( x) = 3 x 2 − 2 x ⇔ ( x + 1) f ( x) ′ = 3 x 2 − 2 x   1. 2. ( x + 1) f ( x) = ∫ (3x 2 − 2 x)dx = x 4 − x 2 + C x3 − x2 − 2 f ( x) = 3. vì f (1) = −1 ⇒ C = −2 . Do đó x +1 1 1 x3 − x2 − 2 4 ∫ 0 f ( x)dx = ∫ 0 x +1 dx = − 4ln 2 3 Bài 1.2. Xét x ∈ [1; 2 ] , ta có 14
xf ' ( x ) − f ( x )  f ( x ) ′ f ( x) = 2x + 3 ⇒   = 2x + 3 ⇒ = x2  x  x . ∫ ( 2 x + 3 ) dx ⇒ f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + Cx Vì f (1) = 4 nên C = 0 hay là f ( x ) = x 3 + 3 x 2 . Vậy f ( 2 ) = 23 + 3.2 2 = 20 . Bước 3: Báo cáo, thảo luận: Giáo viên chọn 1 học sinh có chuẩn bị tôt (biến đổi đúng hoặc gần đúng) lên trình bày Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận Bước 4: Kết luận, nhận định: Giáo viên chốt lại: điểm cốt lõi là học sinh nhận dạng được ở bài 1.1 là u ( x ). f ′( x ) + u′( x ). f ( x) = g ( x ) ⇔ [u ( x). f ( x) ]′ = g ( x) Bài 1.2 học sinh nhận dạng, biến đổi đưa được về dạng f ′( x).u ( x ) − f ( x).u′( x)  f ( x ) ′ = g ( x) ⇔  = g ( x) 2 [u ( x)]  u ( x)  3. Hoạt động 3: Xây dựng cách giải đối với bài toán liên quan đến biểu thức f ′( x ) + f ( x ) = g ( x ) Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: a) Mục tiêu: Học sinh biết được nhân hai về của biểu thức với e x vá đưa về bài toán dạng 1 b) Tổ chức thực hiện: Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: Giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện nhiệm vụ ỏ mục nội dung Nội dung b Dạng 2: Tính tích phân ∫ f ( x)dx khi chưa biết f ( x) mà chỉ cho biết f ( x) a thỏa mãn các biểu thức f ′( x ) + f ( x) = g ( x ) (*) (Trong đó g(x) là các hàm số đã cho theo x) 15
1 Áp dụng: Bài 1.3:Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx biết f ( x) là hàm số liên tục trên 0 ¡ và thỏa mãn f ′( x ) + f ( x ) = (2 x + 1)e x , ∀x ∈ ¡ và f (1) = e . Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh thực hiện nhân hai vế với e x và biến đổi đưa bài toán trên về bài toán dạng 1 Áp dụng tính chất 1 của nguyên hàm tìm f ( x) Sản phẩm - Nhân hai vế của biểu thức (*) với e ta có: e . f ′( x) + e . f ( x) = e .g ( x) x x x x -  e x . f ( x ) ′ = e x . g ( x )   - e x . f ( x) = ∫ e x . f ( x) ′dx = ∫ e x g ( x)dx   - Từ đó tìm được f ( x) Bước 3: Báo cáo thảo luận: Giáo viên chọn 1 học sinh có chuẩn bị tôt (biến đổi đúng hoặc gần đúng ) lên trình bày Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận Bước 4: Kết luận, nhận định: Giáo viên nêu phương pháp giải toán dạng 2 như sau. 1. Nhân hai vế của biểu thức (*) với e x ta có: e x . f ′( x) + e x . f ( x) = e x .g ( x) ⇔ e x . f ( x) ′ = e x .g ( x)   2. Ta có: e x . f ( x) = ∫ e x . f ( x) ′dx = ∫ e x g ( x)dx   3. Từ đó suy ra hằng số C và tìm được f ( x) Giáo viên cho học sinh áp dụng giải bài toán 1.4. 1 Bài 1.4.Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx biết f ( x) là hàm số liên tục trên ¡ và 0 thỏa mãn f ′( x) + f ( x) = ( 2 x + 1) e x , ∀x ∈ ¡ và f (1) = e Nhận xét: - Năng lực tư duy và lập luận toán học thể hiện ở chổ là khi có u′ + u thì 16