Số nguyên tố
Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
Ngoài ra nó không chia hết cho bất cứ số nào khác. Số 0 và 1
không được coi là số nguyên tố.
[1]. Các số nguyên tố từ 2 đến 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.[2]
Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất, và 2 cũng là số nguyên tố chẵn
duy nhất.
[sửa] Tính chất
Ký hiệu "b a" nghĩa là b là ước của a, ký hiệu a b nghĩa là a
chia hết cho b.
1. Ước tự nhiên khác 1 nhỏ nhất của một số tự nhiên là số
nguyên tố .
Chứng minh: Giả sử d a; d nhỏ nhất; d 1.
Nếu d không nguyên tố d = d1.d2; d1, d2 > 1
d1|a với d1 < d: mâu thuẫn với d nhỏ nhất. Vậy d là nguyên tố.
2. Cho p là số nguyên tố; a N; a 0. Khi đó
(a,p) = p (a p)
(a,p) = 1 (a p)
3. Nếu tích của nhiều số chia hết cho một số nguyên tố p thì có ít
nhất một thừa số chia hết cho p.
p ai p
4. Ước số dương bé nhất khác 1 của một hợp số a là một số
nguyên tố không vượt quá
5. 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy
nhất
6. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn (tương đương với việc
không có số nguyên tố lớn nhất).
Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố: p1 < p2 < ... < pn
Xét a = p1.p2. ... pn + 1
Ta có: a > 1 và a ¹ pi; "i = Þ a là hợp số Þ a có ước nguyên tố pi,
hay aMpi và ( pi) M pi Þ 1M pi: mâu thuẫn.
Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
Tuy nhiên, vì tập hợp số nguyên tố là tập con của số tự
nhiên, mà tập hợp số tự nhiên là đếm được nên tập hợp các
số nguyên tố là đếm được. Lưu ý khái niệm đếm được
trong toán học khác với ngôn ngữ đời thường, một tập hợp
có vô hạn phần tử vẫn có khả năng đếm được