71
CHÖÔNG 2
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN
Baøi 1:
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ.
Heä phöông trình baäc nhaát hai aån.
111
222
ax by c 0
(I) ax by c 0
++=
⎧
⎨++=
⎩
Caùch giaûi: Ñaët D = 11 12 21
22
ab ab ab
ab =−
11
x1221
22
bc
Dbcbc
bc
==−
11
y
12 21
22
ca
Dcaca
ca
==−
*
x
y
D
xD
D 0 :(I) D
yD
⎧=
⎪
⎪
≠⇔
⎨
⎪=
⎪
⎩
* D = 0 vaø x
D0≠ hay y
D0:(I)≠voâ nghieäm.
* xy
DDD0:(I)=== coù theå voâ nghieäm hoaëc coù voâ soá nghieäm
Chuù yù:
Trong thöïc haønh, khi D = 0, ta thöôøng thay vaøo heä caùc giaù trò cuï theå
cuûa tham soá ñeå keát luaän.
72
II. CAÙC VÍ DUÏ.
Ví duï 1:
Ñònh m ñeå heä sau voâ nghieäm:
2
2m x 3(m 1)y 3
(I) m(x y) 2y 2
⎧
+
−=
⎪
⎨+− =
⎪
⎩
Giaûi
Ñeå heä voâ nghieäm, ta phaûi coù tröôùc heát :
23(m 1)
2m
D0 0
m2
m
−
=
⇔=
−
322 32
m0
2m 4m 3m 3m 0 2m 7m 3m 0 m 3
1
m2
⎡
⎢
=
⎢
⇔
− − +=⇔ − +=⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
* Vôùi 3y 3 y 1
m0:(I) 2y 2 x R
−
==−
⎧⎧
=⇔ ⇔
⎨⎨
−= ∈
⎩⎩
khoâng thoûa ñeà baøi.
* Vôùi
1
18x 6y 3 3x y
m 3:(I) 2
3x y 2 3x y 2
⎧
+=
=
⎧⎪
=⇔ ⇔
⎨⎨
+=
⎩⎪
=
⎩
heä voâ nghieäm
m3⇒= nhaän.
*
13
xy3
122
m:(I) 132xy2
22
⎧
−
=
⎪
⎪
=⇔
⎨
⎪
−
=
⎪
⎩
heä voâ nghieäm 1
m2
⇒= nhaän.
Toùm laïi heä voâ nghieäm khi m = 3 1
m2
∨=.
73
Ví duï 2:
Ñònh m nguyeân ñeå phöông trình sau coù nghieäm nguyeân.
mx y 3 0
xmy2m10
+−=
⎧
⎨+−−=
⎩
Giaûi
Ta coù : 2
m1
Dm1(m1)(m1)
1m
==−=+−
x
13
D 2m13m m1
m2m 1
−
==−−+=−
−−
22
y
3m
D 3 2m m 2m m 3 (m 1)(2m 3)
2m 1 1
−
==−++=+−=−+
−−
TH1: D0 m 1:≠⇔ ≠± nghieäm heä.
x
y
Dm1 1
xD(m1)(m1)m1
D(m1)(2m3) 2m3 1
y2
D(m1)(m1)m1 m1
−
⎧== =
⎪+− +
⎪
⎨−+ +
⎪== = =+
⎪+− + +
⎩
xz∈ vaø 1
y
zzm1
m1
∈⇔ ∈⇔ +
+laø öôùc soá cuûa 1
nghóa laø: m11 m 0
m1 1 m 2
+= =
⎡⎡
⇔
⎢⎢
+=− =−
⎣⎣
TH 2: D = D m1⇔=±
. m = 1 : Heä xy30
xy30
+−=
⎧
⇔⇒
⎨+−=
⎩heä coù nghieäm nguyeân xtz
y3t
=
∈
⎧
⎨
=
−
⎩
. m = - 1 : Heä xy30
xy10
−+ −=
⎧
⇔⎨−+=
⎩ Heä voâ nghieäm m1⇒=−
loaïi
Toùm laïi: m = 1, m = 0, m = - 2
74
Ví duï 3:
Tìm caùc giaù trò cuûa b sao cho vôùi moïi a R
∈
, thì heä phöông trình:
2
x2ayb
ax (1 a)y b
+=
⎧
⎪
⎨
+
−=
⎪
⎩
coù nghieäm.
(ÑH COÂNG ÑOAØN 1998).
Giaûi
Ta coù: 22
12a
D1a2a2aa1(a1)(12a)
a1 a
==−−=−−+=+−
−
. 1
D0 a 1a2
=
⇔=−∨=
+ a = -1 : heä 22
x2yb x2yb
x2yb x2y b
−= −=
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−+ = − =−
⎪⎪
⎩⎩
Heä coù nghieäm.
2
bb b(b1)0b0b1
⇔
=− ⇔ + = ⇔ = ∨ =−
+ 1
a:
2
=
Heä 22
xyb xyb
11
xyb xy2b
22
+=
⎧+=
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+= +=
⎪
⎪⎩
⎩
Heä coù nghieäm.
21
b2b b(2b1)0 b0b2
⇔
=⇔ −=⇔=∨=
. 1
D0 a 1a2
≠
⇔≠−∧≠ thì heä cho coù nghieäm vôùi b
∀
.
Toùm laïi vôùi b = 0 thì heä cho coù nghieäm a R
∀
∈.
Ví duï 4 :
Cho heä phöông trình : 2
ax y b
xayc c
+=
⎧
⎪
⎨
+
=+
⎪
⎩
1. Vôùi b = 0, haõy giaûi vaø bieän luaän heä theo a vaø c
2. Tìm b ñeå vôùi moïi a, ta luoân tìm ñöôïc c sao cho heä coù nghieäm.
Giaûi
1. Giaûi vaø bieän luaän theoa vaø c:
b = 0 : heä 22
ax y 0 y ax
xayc c xa(ax)c c
+= =−
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+=+ +− =+
⎪⎪
⎩⎩
75
22
y ax (1)
(1 a )x c c (2)
=−
⎧
⎪
⇔⎨−=+
⎪
⎩
* 2
1a 0: a 1:−≠⇔≠±Heä coù nghieäm:
2
2
cc
x1a
+
=− ;
2
2
cc
ya
1a
⎛⎞
+
=− ⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
* 22
1a 0 a 1:(2) 0x c c−=⇔=± ⇔ =+
+ Neáu 2
cc0c0+≠⇔≠ vaø c 1:(2)VN≠− ⇒heä VN
+ Neáu 2
cc0c0c1:(2)0x0+=⇔=∨=− ⇔ =⇒ Heä coù
nghieäm: xtR
yat
=∈
⎧
⎨=−
⎩
xtR
a1 yt
=∈
⎧
=⇒
⎨=−
⎩ xtR
a1 yt
=
∈
⎧
=− ⇒⎨=
⎩
2. Tìm b.
Ta coù : 22
ax y b y ax b
xayc c xa(axb)c c
+= =− +
⎧⎧
⎪⎪
⇔
⎨⎨
+=+ +−+=+
⎪⎪
⎩⎩
22
yaxb
(1 a )x ab (c c) 0 (*)
=− +
⎧
⎪
⇔⎨−+−+=
⎪
⎩
Heä coù nghieäm (*)⇔coù nghieäm.
+ Neáu 2
1a 0 a 1:(*)−≠⇔≠± coù nghieäm duy nhaát ⇒Heä phöông trình
cho coù nghieäm b.
∀
+ Neáu a = 1: (*) 2
ccb0x,⇔+−= ñeå coù nghieäm 2
ccb0,
+
−= thì ta
phaûi coù ñieàu kieän ñeå coù ñöôïc c : 1
14b0 b 4
∆= + ≥ ⇔ ≥−
+ Neáu a = - 1: (*) 2
ccb0x⇔++= vaø coù nghieäm khi 2
ccb0
+
+=
ñeå tìm ñöôïc c ta phaûi coù: 1
14b 0 b 4
∆= − ≥ ⇔ ≤ .
Vaäy ñeå a
∀, ta luoân tìm ñöôïc c sao cho heä coù nghieäm thì : 11
b
44
−
≤≤ .
76
Ví duï 5:
Giaû söû heä phöông trình :
ax by c
bx cy a
cx ay b
+
=
⎧
⎪
+
=
⎨
⎪
+
=
⎩
Coù nghieäm. Chöùng minh raèng: 333
abc3abc
+
+=
Giaûi
Goïi 00
(x ,y ) laø nghieäm cuûa heä :
22
00
00
22
00 0 0
22
00 00
abx aby abc
xa by c
bx cy a b cx bc y abc
cx ay b ac x a cy abc
⎧+=
+=
⎧⎪
⎪⎪
+=⇒ + =
⎨⎨
⎪⎪
+= +=
⎩⎪
⎩
222
00 00 00
a (bx cy ) b (ay cx ) c (by ax ) 3abc⇒+++++=
333
abc3abc.⇔++= (Ñpcm).
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ
1.1. Giaûi vaø bieän luaän heä:
23
23
(a 1)x (a 1)y a 1
(a 1)x(a 1)y a 1
⎧
−
+− = −
⎪
⎨++=+
⎪
⎩
1.2. Ñònh m vaø n ñeå hai heä phöông trình sau cuøng voâ nghieäm.
(m 1)x (2n 1)y 5n 1
(I) (m 1)x ny 2
++ +=−
⎧
⎨−+=
⎩ vaø (m 1)x my n
(II) 3x (4 n)y 2n 1
++=
⎧
⎨
+
−=−
⎩
1.3. Cho heä phöông trình : mx y 2m
xmym1
+=
⎧
⎨
+
=+
⎩
a. Ñònh m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát. Tìm heä thöùc ñoäc laäp giöõa caùc
nghieäm.
b. Ñònh m nguyeân ñeå nghieäm duy nhaát cuûa heä laø nghieäm nguyeân.
77
Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét
1.1. D 2(a 1),=− − 2
x
D2a(a1),=− − 2
y
D2a(a1)=− −
. a1:≠ nghieäm
x
y2
D
xa(a1)
D
D
ya
D
⎧==+
⎪
⎪
⎨
⎪==
⎪
⎩
. a 1:=Heä 0x 0y 0 x R
xy1 y1x
+= ∈
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
+= =−
⎩⎩
1.2.
I
2
II
Dmn3nm1
Dm4
=− + − +
=− +
Ñeå 2 heä cuøng voâ nghieäm, tröôùc tieân ta phaûi coù:
I
2
II
mn 3n m 1 0 (1)
D0
D0 m 4 0 (2)
−+−+=
⎧
=
⎧⎪
⇔
⎨⎨
=−+=
⎪
⎩⎩
(2) m 2⇔=±
. m = 2: (1) n 1⇔=
. m = - 2 : (1) 3
n5
⇔=−
Thöû laïi: Vôùi m = 2, n = 1: thay vaøo heä (II): 3x 2y 1
3x 2y 1
+
=
⎧
⎨
+
=
⎩
⇒heä coù voâ soá nghieäm (loaïi)
. m = - 2, 3
n5
=− theá vaøo heä (I) vaø heä (II) ta coù:
2 heä cuøng VN. m2,⇒=− 3
n5
=− (nhaän).
1.3. a. 2
Dm 1=−
Heä coù nghieäm duy nhaát D 0 m 1⇔≠⇔≠±
Goïi x vaø y laø nghieäm cuûa heä, ta coù:
mx y 2m m(x 2) y
xmym1 x1 m(y1)
+= − =−
⎧⎧
⇔
⎨⎨
+=+ −=− −
⎩⎩
78
(x 1)(x 2) y(y 1)⇒− −= − laø heä thöïc ñoäc laäp giöõa caùc nghieäm.
b. 2
x
D2mm1,
=
−−
y
Dm(m1)
=
−
YCBT
mz,m 1 mz,m 1
1
x2 z 1
m1 z
m1
1
y1 z
m1
⎧
⎪∈≠±
∈
≠±
⎧
⎪
⎪⎪
⇔=− ∈⇔
⎨⎨
+∈
⎪⎪
+
⎩
⎪=− ∈
⎪+
⎩
mz,m 1 m0m 2
m11m1 1
∈≠±
⎧
⇔
⇔=∨=−
⎨+=∨ +=−
⎩