Tài liệu toán " Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn "

Chia sẻ: Phạm Hùng Vĩ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

807
lượt xem 229
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về các hệ phương trình trong toán học

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu toán " Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn "

CHÖÔNG 2 II. CAÙC VÍ DUÏ. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN Ví duï 1: Ñònh m ñeå heä sau voâ nghieäm: ⎧2m 2 x + 3(m − 1)y = 3 ⎪ Baøi 1: (I) ⎨ ⎪m(x + y) − 2y = 2 ⎩ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN Giaûi Ñeå heä voâ nghieäm, ta phaûi coù tröôùc heát : I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. 2m 2 3(m − 1) D=0⇔ =0 Heä phöông trình baäc nhaát hai aån. m m −2 ⎧a x + b1y + c1 = 0 ⎡ (I) ⎨ 1 ⎢m = 0 ⎩ a 2 x + b 2 y + c2 = 0 ⎢ 3 2 2 3 2 a1 b1 ⇔ 2m − 4m − 3m + 3m = 0 ⇔ 2m − 7m + 3m = 0 ⇔ ⎢ m = 3 Caùch giaûi: Ñaët D = = a1b2 − a2 b1 ⎢ 1 a2 b 2 ⎢m = ⎣ 2 b1 c1 c1 a1 Dx = = b1c2 − b2 c1 Dy = = c1a2 − c2 a1 ⎧−3y = 3 ⎧y = −1 b 2 c2 c2 a 2 * Vôùi m = 0 : (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨ khoâng thoûa ñeà baøi. ⎩−2y = 2 ⎩x ∈ R ⎧ Dx ⎪x = ⎪ D ⎧ ⎧18x + 6y = 3 ⎪3x + y = 1 * D ≠ 0 : (I) ⇔ ⎨ * Vôùi m = 3 : (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨ 2 heä voâ nghieäm ⎪y = Dy ⎩3x + y = 2 ⎪3x + y = 2 ⎩ ⎪ ⎩ D ⇒ m = 3 nhaän. * D = 0 vaø D x ≠ 0 hay D y ≠ 0 : (I) voâ nghieäm. ⎧1 3 * D = D x = D y = 0 : (I) coù theå voâ nghieäm hoaëc coù voâ soá nghieäm 1 ⎪2 x − 2 y = 3 ⎪ 1 * m = : (I) ⇔ ⎨ heä voâ nghieäm ⇒ m = nhaän. Chuù yù: 2 ⎪1 x − 3 y = 2 2 Trong thöïc haønh, khi D = 0, ta thöôøng thay vaøo heä caùc giaù trò cuï theå ⎪2 ⎩ 2 cuûa tham soá ñeå keát luaän. 1 Toùm laïi heä voâ nghieäm khi m = 3 ∨ m = . 2 71 72
Ví duï 2: Ví duï 3: Ñònh m nguyeân ñeå phöông trình sau coù nghieäm nguyeân. Tìm caùc giaù trò cuûa b sao cho vôùi moïi a ∈ R , thì heä phöông trình: ⎧mx + y − 3 = 0 ⎪x + 2ay = b ⎧ ⎨ ⎨ coù nghieäm. ⎩x + my − 2m − 1 = 0 ⎪ax + (1 − a)y = b ⎩ 2 Giaûi (ÑH COÂNG ÑOAØN 1998). m1 Giaûi Ta coù : D = = m 2 − 1 = (m + 1)(m − 1) 1m 1 2a Ta coù: D = = 1 − a − 2a2 = −2a2 − a + 1 = (a + 1)(1 − 2a) 1 −3 a1 − a Dx = = −2m − 1 + 3m = m − 1 m −2m − 1 1 . D = 0 ⇔ a = −1 ∨ a = −3 m 2 Dy = = −3 + 2m 2 + m = 2m 2 + m − 3 = (m − 1)(2m + 3) −2m − 1 1 ⎪ x − 2y = b ⎧ ⎪x − 2y = b ⎧ + a = -1 : heä ⇔ ⎨ 2 ⇔⎨ 2 Heä coù nghieäm. TH1: D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1: nghieäm heä. ⎪ −x + 2y = b ⎩ ⎪x − 2y = − b ⎩ ⎧ Dx m −1 1 ⇔ b = − b2 ⇔ b(b + 1) = 0 ⇔ b = 0 ∨ b = −1 ⎪x = D = (m + 1)(m − 1) = m + 1 ⎪ ⎧x + y = b ⎨ 1 ⎪ ⎪x + y = b ⎧ ⎪y = D y = (m − 1)(2m + 3) = 2m + 3 = 2 + 1 + a= : Heä ⇔ ⎨ 1 1 2 ⇔⎨ 2 Heä coù nghieäm. ⎪ 2 ⎪2 x + 2 y = b ⎪x + y = 2b ⎩ ⎩ D (m + 1)(m − 1) m +1 m +1 ⎩ 1 2 1 x ∈ z vaø y ∈ z ⇔ ∈ z ⇔ m + 1 laø öôùc soá cuûa 1 ⇔ b = 2b ⇔ b(2b − 1) = 0 ⇔ b = 0 ∨ b = m +1 2 ⎡m + 1 = 1 ⎡m = 0 1 nghóa laø: ⎢ ⇔⎢ . D ≠ 0 ⇔ a ≠ −1 ∧ a ≠ thì heä cho coù nghieäm vôùi ∀b . ⎣ m + 1 = −1 ⎣ m = −2 2 TH 2: D = D ⇔ m = ±1 Toùm laïi vôùi b = 0 thì heä cho coù nghieäm ∀a ∈ R . Ví duï 4 : ⎧x + y − 3 = 0 ⎧x = t ∈ z . m = 1 : Heä ⇔ ⎨ ⇒ heä coù nghieäm nguyeân ⎨ ⎪ax + y = b ⎧ ⎩x + y − 3 = 0 ⎩y = 3 − t Cho heä phöông trình : ⎨ 2 ⎪x + ay = c + c ⎩ ⎧−x + y − 3 = 0 . m = - 1 : Heä ⇔ ⎨ Heä voâ nghieäm ⇒ m = −1 loaïi 1. Vôùi b = 0, haõy giaûi vaø bieän luaän heä theo a vaø c ⎩x − y + 1 = 0 2. Tìm b ñeå vôùi moïi a, ta luoân tìm ñöôïc c sao cho heä coù nghieäm. Toùm laïi: m = 1, m = 0, m = - 2 Giaûi 1. Giaûi vaø bieän luaän theoa vaø c: ⎪ax + y = 0 ⎧ ⎪y = −ax ⎧ b = 0 : heä ⇔ ⎨ 2 ⇔⎨ 2 ⎪x + ay = c + c ⎪x + a(−ax) = c + c ⎩ ⎩ 73 74
⎧y = −ax ⎪ (1) Ví duï 5: ⇔⎨ 2 2 ⎪(1 − a )x = c + c (2) ⎧ax + by = c ⎩ ⎪ Giaû söû heä phöông trình : ⎨ bx + cy = a c2 + c ⎛ c2 + c ⎞ ⎪cx + ay = b * 1 − a2 ≠ 0 :⇔ a ≠ ±1: Heä coù nghieäm: x = ; y = −a ⎜ 1 − a2 ⎜ 1 − a2 ⎟ ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ Coù nghieäm. Chöùng minh raèng: a3 + b3 + c3 = 3abc * 1 − a2 = 0 ⇔ a = ±1: (2) ⇔ 0x = c2 + c Giaûi + Neáu c2 + c ≠ 0 ⇔ c ≠ 0 vaø c ≠ −1: (2)VN ⇒ heä VN Goïi (x 0 ,y 0 ) laø nghieäm cuûa heä : + Neáu c2 + c = 0 ⇔ c = 0 ∨ c = −1: (2) ⇔ 0x = 0 ⇒ Heä coù ⎧ 2 2 ⎧xa0 + by 0 = c ⎪a bx 0 + ab y 0 = abc ⎧x = t ∈ R ⎪ ⎪ 2 2 nghieäm: ⎨ ⎨ bx 0 + cy 0 = a ⇒ ⎨ b cx 0 + bc y 0 = abc ⎩y = −at ⎪cx + ay = b ⎪ 2 2 ⎩ 0 0 ⎪ac x 0 + a cy 0 = abc ⎩ ⎧x = t ∈ R ⎧x = t ∈ R a =1⇒ ⎨ a = −1 ⇒ ⎨ ⇒ a2 (bx 0 + cy 0 ) + b2 (ay 0 + cx 0 ) + c2 (by 0 + ax 0 ) = 3abc ⎩y = −t ⎩y = t 2. Tìm b. ⇔ a3 + b3 + c3 = 3abc. (Ñpcm). ⎧ax + y = b ⎪ ⎧y = −ax + b ⎪ III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ Ta coù : ⎨ 2 ⇔⎨ 2 ⎪x + ay = c + c ⎪x + a(−ax + b) = c + c ⎩ ⎩ ⎧(a2 − 1)x + (a − 1)y = a3 − 1 ⎪ ⎧y = −ax + b ⎪ 1.1. Giaûi vaø bieän luaän heä: ⎨ ⇔⎨ 2 2 2 3 ⎪(a + 1)x(a + 1)y = a + 1 ⎩ ⎪(1 − a )x + ab − (c + c) = 0 (*) ⎩ Heä coù nghieäm ⇔ (*) coù nghieäm. 1.2. Ñònh m vaø n ñeå hai heä phöông trình sau cuøng voâ nghieäm. + Neáu 1 − a2 ≠ 0 ⇔ a ≠ ±1: (*) coù nghieäm duy nhaát ⇒ Heä phöông trình ⎧(m + 1)x + (2n + 1)y = 5n − 1 ⎧(m + 1)x + my = n (I) ⎨ vaø (II) ⎨ cho coù nghieäm ∀b. ⎩(m − 1)x + ny = 2 ⎩3x + (4 − n)y = 2n − 1 + Neáu a = 1: (*) ⇔ c2 + c − b = 0x, ñeå coù nghieäm c2 + c − b = 0, thì ta 1 ⎧mx + y = 2m phaûi coù ñieàu kieän ñeå coù ñöôïc c : ∆ = 1 + 4b ≥ 0 ⇔ b ≥ − 1.3. Cho heä phöông trình : ⎨ 4 ⎩x + my = m + 1 + Neáu a = - 1: (*) ⇔ c + c + b = 0x vaø coù nghieäm khi c2 + c + b = 0 2 a. Ñònh m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát. Tìm heä thöùc ñoäc laäp giöõa caùc 1 nghieäm. ñeå tìm ñöôïc c ta phaûi coù: ∆ = 1 − 4b ≥ 0 ⇔ b ≤ . 4 b. Ñònh m nguyeân ñeå nghieäm duy nhaát cuûa heä laø nghieäm nguyeân. 1 1 Vaäy ñeå ∀a , ta luoân tìm ñöôïc c sao cho heä coù nghieäm thì : − ≤ b ≤ . 4 4 75 76
Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét ⇒ (x − 1)(x − 2) = y(y − 1) laø heä thöïc ñoäc laäp giöõa caùc nghieäm. b. Dx = 2m 2 − m − 1, D y = m(m − 1) 2 2 1.1. D = −2(a − 1), D x = −2a(a − 1), D y = −2a (a − 1) ⎧ ⎧ Dx ⎪ m ∈ z,m ≠ ±1 ⎪x = = a(a + 1) ⎪ ⎧m ∈ z,m ≠ ±1 ⎪ D ⎪ 1 ⎪ . a ≠ 1: nghieäm ⎨ YCBT ⇔ ⎨ x = 2 − ∈z ⇔ ⎨ 1 ⎪y = Dy ⎪ m +1 ⎪m +1∈z = a2 ⎪ 1 ⎩ ⎪ ⎩ D ⎪ y =1− ∈z ⎧ 0x + 0y = 0 ⎧x ∈ R ⎩ m +1 . a = 1: Heä ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎧ m ∈ z,m ≠ ±1 ⎩x + y = 1 ⎩y = 1 − x ⇔⎨ ⇔ m = 0 ∨ m = −2 ⎩ m + 1 = 1 ∨ m + 1 = −1 1.2. D I = − mn + 3n − m + 1 D II = − m 2 + 4 Ñeå 2 heä cuøng voâ nghieäm, tröôùc tieân ta phaûi coù: ⎧DI = 0 ⎧− mn + 3n − m + 1 = 0 (1) ⎪ ⎨ ⇔⎨ 2 ⎩ D II = 0 ⎪−m + 4 = 0 ⎩ (2) (2) ⇔ m = ±2 . m = 2: (1) ⇔ n = 1 3 . m = - 2 : (1) ⇔ n = − 5 ⎧3x + 2y = 1 Thöû laïi: Vôùi m = 2, n = 1: thay vaøo heä (II): ⎨ ⎩3x + 2y = 1 ⇒ heä coù voâ soá nghieäm (loaïi) 3 . m = - 2, n = − theá vaøo heä (I) vaø heä (II) ta coù: 5 3 2 heä cuøng VN. ⇒ m = −2, n = − (nhaän). 5 1.3. a. D = m 2 − 1 Heä coù nghieäm duy nhaát ⇔ D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 Goïi x vaø y laø nghieäm cuûa heä, ta coù: ⎧mx + y = 2m ⎧m(x − 2) = − y ⎨ ⇔⎨ ⎩x + my = m + 1 ⎩x − 1 = − m(y − 1) 77 78