Học viện Nông nghiệp Việt Nam
Khoa CNTT - Bộ môn Toán
Đề số 09
Ngày thi: 30/8/2015
ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015
Học phần: Giải tích
Thời gian làm bài: 90 phút
Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu
Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm)
Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi:
).80ln(
64
)( 2
x
x
xf −+=
a) Tính đạo hàm
)(' xf
của hàm cầu
)(xf
.
b) Tính vi phân của hàm
f
tại điểm
4=x
. Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,01 đơn vị tiền so với
giá ban đầu là 4 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu?
Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm)
Cho hàm số
a) Tính đạo hàm
)(' xg
của hàm số
)(xg
. Từ đó tính
.)]('[1 2
xg+
b) Tính độ dài đường cong
OA
cho bởi phương trình
)(xgy =
với
)0;0(O
và
)
163
4
;1(
π
−A
.
Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm)
Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là
x
và
y
. Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng
yx,
là hàm
hai biến
h(x,y)
xác định như sau:
h(x,y)=125x+70y−2x2−xy −y2+15.
Hãy tìm mức sản lượng
yx,
để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm)
Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau:
a)
.0)2()2( =++−dyyxdxyx
b)
y"−y'−6y=xe−x.
Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm)
Xét sự hội tụ của chuỗi số
∑
+∞
=
+
1!
3)12(
n
n
n
n
(Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be).
……………………………. Hết …………………………….
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Cán bộ ra đề
Nguyễn Văn Hạnh
Nguyễn Hữu Hải
Duyệt đề
Phạm Việt Nga
Học viện Nông nghiệp Việt Nam
Khoa CNTT - Bộ môn Toán
Đề số 10
Ngày thi: 30/8/2015
ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015
Học phần: Giải tích
Thời gian làm bài: 90 phút
Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu
Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm)
Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi:
).95ln(
75
)( 2
x
x
xf −+=
a) Tính đạo hàm
)(' xf
của hàm cầu
)(xf
.
b) Tính vi phân của hàm
f
tại điểm
5=x
. Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,02 đơn vị tiền so với
giá ban đầu là 5 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu?
Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm)
Cho hàm số
.arctan
4
1
12
1
)( 3xxxxg −+=
a) Tính đạo hàm
)(' xg
của hàm số
)(xg
. Từ đó tính
.)]('[1 2
xg+
b) Tính độ dài đường cong
OA
cho bởi phương trình
)(xgy =
với
)0;0(O
và
)
43
1
;1(
π
−A
.
Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm)
Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là
x
và
y
. Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng
x,y
là hàm
hai biến
h(x,y)
xác định như sau:
h(x,y)=85x+80y−x2−xy −y2+20.
Hãy tìm mức sản lượng
yx,
để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm)
Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau:
a)
.0)2()2( =−+−dyyxdxyx
b)
y"+y'−6y=(2x+1)e−x.
Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm)
Xét sự hội tụ của chuỗi số
∑
+∞
=
+
1!
2)13(
n
n
n
n
(Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be).
……………………………. Hết …………………………….
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Cán bộ ra đề
Nguyễn Văn Hạnh
Nguyễn Hữu Hải
Duyệt đề
Phạm Việt Nga