CHUYÊN Đ 5: S CHÍNH PH NGỀ Ố ƯƠ
I. S chính ph ng:ố ươ
A. M t s ki n th c:ộ ố ế ứ
S chính ph ng: s b ng bình ph ng c a m t s khácố ươ ố ằ ươ ủ ộ ố
Ví d :ụ
4 = 22; 9 = 32
A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2
+ S chính ph ng không t n cùng b i các ch s : 2, 3, 7, 8ố ươ ậ ở ữ ố
+ S chính ph ng chia h t cho 2 thì chia h t cho 4, chia h t cho 3 thì chia h t cho 9,ố ươ ế ế ế ế
chia
h t cho 5 thì chia h t cho 25, chia h t cho 2ế ế ế 3 thì chia h t cho 2ế4,…
+ S ố
{
n
11...1
= a thì
{
n
99...9
= 9a
9a + 1 =
{
n
99...9
+ 1 = 10n
B. M t s bài toán:ộ ố
1. Bài 1:
Ch ng minh r ng: M t s chính ph ng chia cho 3, cho 4 ch có th d 0 ho c 1ứ ằ ộ ố ươ ỉ ể ư ặ
Gi iả
G i A = nọ2 (n
N)
a) xét n = 3k (k
N)
A = 9k2 nên chia h t cho 3ế
n = 3k
1 (k
N)
A = 9k2
6k + 1, chia cho 3 d 1ư
V y: s chính ph ng chia cho 3 d 0 ho c 1ậ ố ươ ư ặ
b) n = 2k (k
N) thì A = 4k2 chia h t cho 4ế
n = 2k +1 (k
N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 d 1ư
V y: s chính ph ng chia cho 4 d 0 ho c 1ậ ố ươ ư ặ
Chú ý: + S chính ph ng ch n thì chia h t cho 4ố ươ ẵ ế
+ S chính ph ng l thì chia cho 4 thì d 1( Chia 8 c ng d 1)ố ươ ẻ ư ủ ư
2. Bài 2: S nào trong các s sau là s chính ph ngố ố ố ươ
a) M = 19922 + 19932 + 19942
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002
e) R = 13 + 23 + ... + 1003
Gi iả
a) các s 1993ố2, 19942 chia cho 3 d 1, còn 1992ư2 chia h t cho 3 ế
M chia cho 3 d 2 doư
đó M không là s chính ph ngố ươ
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 g m t ng hai s chính ph ng ch n chia h t choồ ổ ố ươ ẵ ế
4, và hai s chính ph ng l nên chia 4 d 2 suy ra N không là s chính ph ngố ươ ẻ ư ố ươ
c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 d 2 nên không là s chính ph ngư ố ươ
d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002
S Q g m 50 s chính ph ng ch n chia h t cho 4, 50 s chính ph ng l , m i s chiaố ồ ố ươ ẵ ế ố ươ ẻ ỗ ố
4 d 1 nên t ng 50 s l đó chia 4 thì d 2 do đó Q chia 4 thì d 2 nên Q không là sư ổ ố ẻ ư ư ố
chính ph ngươ
e) R = 13 + 23 + ... + 1003
G i Aọk = 1 + 2 +... + k =
k(k + 1)
2
, Ak – 1 = 1 + 2 +... + k =
k(k - 1)
2
Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 khi đó:
13 = A12
23 = A22 – A12
.....................
n3 = An2 = An - 12
C ng v theo v các đ ng th c trên ta có:ộ ế ế ẳ ứ
13 + 23 + ... +n3 = An2 =
( )
2 2
2
n(n + 1) 100(100 1) 50.101
2 2
+
� � � �
= =
� � � �
� � � �
là s chính ph ngố ươ
3. Bài 3:
CMR: V i m i n ớ ọ ∈ N thì các s sau là s chính ph ng.ố ố ươ
a) A = (10n +10n-1 +...+.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1
A = (
)(10 n+1 + 5) + 1
1
1
10 1.(10 5) 1
10 1
n
n
++
−
= + +
−
Đ t a = 10ặn+1 thì A =
a - 1
9
(a + 5) + 1 =
2
2 2
a + 4a - 5 + 9 a + 4a + 4 a + 2
9 9 3
� �
= = � �
� �
b) B =
n
111.....1
142 43
n - 1
555.....5
142 43
6 ( có n s 1 v n-1 s 5)ố ố
B =
n
111.....1
142 43
n
555.....5
142 43
+ 1 =
n
111.....1
142 43
. 10n +
n
555.....5
142 43
+ 1 =
n
111.....1
142 43
. 10n + 5
n
111.....1
� �
� �
� �
142 43
+ 1
Đ t ặ
= a thì 10n = 9a + 1 nên
B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 =
{
2
n - 1
33....34
c) C =
.+
44.....4
n
142 43
+ 1
Đ t a = ặ
Thì C =
+ 4.
+ 1 = a. 10n + a + 4 a + 1
= a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
d) D =
n
99....9
123
8
n
00.....0
1 2 3
1 . Đ t ặ
n
99....9
123
= a
10n = a + 1
D =
n
99....9
123
. 10n + 2 + 8. 10n + 1 + 1 = a . 100 . 10n + 80. 10n + 1
= 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = (
n + 1
99....9
123
)2
e) E =
n + 1
22.....2
1 2 3
5 =
n + 1
22.....2
1 2 3
00 + 25 =
.10n + 2 + 2.
00 + 25
= [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = (
n
33.....3
1 2 3
5)2
f) F =
100
44.....4
1 2 3
= 4.
là s chính ph ng thì ố ươ
là s chính ph ngố ươ
S ố
là s l nên nó là s chính ph ng thì chia cho 4 ph i d 1ố ẻ ố ươ ả ư
Th t v y: (2n + 1)ậ ậ 2 = 4n2 + 4n + 1 chia 4 d 1ư
có hai ch s t n cùng là 11 nên chia cho 4 thì d 3ữ ố ậ ư
v y ậ
không là s chính ph ng nên F = ố ươ
100
44.....4
1 2 3
không là s chính ph ngố ươ
Bài 4:
a) Cho cc s A = ố
2m
11........11
1 42 43
; B =
m + 1
11.......11
142 43
; C =
m
66.....66
142 43
CMR: A + B + C + 8 l s chính ph ng .ố ươ
Ta có: A
2
10 1
9
m
−
; B =
1
10 1
9
m+
−
; C =
10 1
6. 9
m
−
Nên:
A + B + C + 8 =
2
10 1
9
m
−
+
1
10 1
9
m+
−
+
10 1
6. 9
m
−
+ 8 =
2 1
10 1 10 1 6(10 1) 72
9
m m m
+
− + − + − +
=
2
10 1 10.10 1 6.10 6 72
9
m m m
− + − + − +
=
( )
22
10 16.10 64 10 8
9 3
m m m
+ + � �
+
=� �
� �
b) CMR: V i m i x,y ớ ọ ∈ Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là s chính ph ng.ố ươ
A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2
= (x2 + 5xy + 5y2)2
Bài 5: Tìm s nguyên d ng n đ các bi u th c sau là s chính ph ngố ươ ể ể ứ ố ươ
a) n2 – n + 2 b) n5 – n + 2
Gi iả
a) V i n = 1 thì nớ2 – n + 2 = 2 không là s chính ph ngố ươ
V i n = 2 thì nớ2 – n + 2 = 4 là s chính ph ngố ươ
V i n > 2 thì nớ2 – n + 2 không là s chính ph ng Vìố ươ
(n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2
b) Ta có n5 – n chia h t cho 5 Vìế
n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1)
V i n = 5k thì n chia h t cho 5ớ ế
V i n = 5k ớ
1 thì n2 – 1 chia h t cho 5ế
V i n = 5k ớ
2 thì n2 + 1 chia h t cho 5ế
Nên n5 – n + 2 chia cho 5 thì d 2 nên nư5 – n + 2 có ch s t n cùng là 2 ho c 7 nênữ ố ậ ặ
n5 – n + 2 không là s chính ph ngố ươ
V yậ : Không có giá tr nào c a n thoã mãn bài toánị ủ
Bài 6 :
a)Ch ng minh r ngứ ằ : M i s l đ u vi t đ c d i d ng hi u c a hai s chính ph ngọ ố ẻ ề ế ượ ướ ạ ệ ủ ố ươ
b) M t s chính ph ng có ch s t n cùng b ng 9 thì ch s hàng ch c là ch s ch nộ ố ươ ữ ố ậ ằ ữ ố ụ ữ ố ẵ
Gi iả
M i s l đ u có d ng a = 4k + 1 ho c a = 4k + 3ọ ố ẻ ề ạ ặ
V i a = 4k + 1 thì a = 4kớ2 + 4k + 1 – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2
V i a = 4k + 3 thì a = (4kớ2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2
b)A là s chính ph ng có ch s t n cùng b ng 9 nên ố ươ ữ ố ậ ằ
A = (10k
3)2 =100k2
60k + 9 = 10.(10k2
6) + 9
S ch c c a A là 10kố ụ ủ 2
6 là s ch n (đpcm)ố ẵ
Bài 7:
M t s chính ph ng có ch s hàng ch c là ch s l . Tìm ch s hàng đ n vộ ố ươ ữ ố ụ ữ ố ẻ ữ ố ơ ị
Gi iả
G i nọ2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên ch s hàng đ n v c n tìm là ch s t nữ ố ơ ị ầ ữ ố ậ
cùng c a bủ2.
Theo đ bài , ch s hàng ch c c a nề ữ ố ụ ủ 2 là ch s l nên ch s hàng ch c c a bữ ố ẻ ữ ố ụ ủ 2 ph i lả ẻ
Xét các giá tr c a b t 0 đ n 9 thì ch có bị ủ ừ ế ỉ 2 = 16, b2 = 36 có ch s hàng ch c là ch sữ ố ụ ữ ố
l , chúng đ u t n cùng b ng 6.ẻ ề ậ ằ
V yậ : n2 có ch s hàng đ n v là 6.ữ ố ơ ị
Bài t p:ậ
Bài 1: Các s sau đây, s nào là s chính ph ng.ố ố ố ươ
a) A =
50
22.....2
1 2 3
4 b) B = 11115556 c) C =
n
99....9
1 2 3
25
d) D =
n
44.....4
142 43
{
n - 1
88....8
9 e) M =
2n
11.....1
14243
–
f) N = 12 + 22 + ...... + 562
Bài 2: Tìm s t nhiên n đ các bi u th c sau là s chính ph ng.ố ự ể ể ứ ố ươ
a) n3 – n + 2
b) n4 – n + 2
Bài 3: Ch ng minh r ng.ứ ằ
a)T ng c a hai s chính ph ng l không là s chính ph ng.ổ ủ ố ươ ẻ ố ươ
b) M t s chính ph ng có ch s t n cùng b ng 6 thì ch s hàng ch c là ch s l .ộ ố ươ ữ ố ậ ằ ữ ố ụ ữ ố ẻ
Bài 4: M t s chính ph ng có ch s hàng ch c b ng 5. Tìm ch s hàng đ n v .ộ ố ươ ữ ố ụ ằ ữ ố ơ ị