§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
Các bài toán nâng cao dành cho ban t nhiênự
1,T p h p và các phép toán.ậ ợ
1. Cho t p h p E={1;2;3;4}.Hãy tìm các t p con X và Y c a t p E sao cho v i m i t p con Aậ ợ ậ ủ ậ ớ ọ ậ
c a t p E ta đ u có Aủ ậ ề
ề
Y=A
X
2. Cho hai t p A và B .Các m nh đ sau đúng hay sai?ậ ệ ề
•x
∉
A
A
B khi ch khi xỉ
∉
A ho c xặ
∉
B
•x
∉
A
B khi và ch khi xỉ
∉
A ho c xặ
∉
B
•x
∉
A\B khi và ch khi xỉ
∉
A ho c xặ
∈
B
3. Cho A,B,C là các t p h p th a mãn ậ ợ ỏ
CBCACBCA ⊂⊂ ;
ch ng minh Aứ
⊂
B.Đi uề
đ o l i có đúng không?ả ạ
2,S g n đúng và sai số ầ ố.
1. M t v t th có th tích V=180,57 cmộ ậ ể ể 3
±
0.05 cm3 .Xác đ nh s ch s ch c và sai s t ngị ố ữ ố ắ ố ươ
đ i c a giá tr g n đúng y.ố ủ ị ầ ấ
2. Cho giá tr g n đúng c a s ị ầ ủ ố
32
=1,25992104 v i 6 ch s ch c .hãy vi t giá tr g n đúng c aớ ữ ố ắ ế ị ầ ủ
32
d i d ng chu n và tính sai s tuy t đ i c a giá tr này?ướ ạ ẩ ố ệ ố ủ ị
3,ph ng pháp quy n p toán h c.(n là s t nhiên )ươ ạ ọ ố ự
1. ch ng minh 1+2+3+ứ…+n=n(n+1)/2
2. ch ng minh 1.4+2.7+ứ…+n(3n+1)=n(n+1)2
3. Cho a
≥
-1 ch ng minh (1+a)ứn
≥
1+na (b t đ ng th c Bernouilli)ấ ẳ ứ
4. ch ng minh ứ
22...22 <+++
trong đó có n d u căn.ấ
Ch ng II.Hàm s b c nh t và hàm b c hai.ươ ố ậ ấ ậ
1,hàm s b c nh t .ố ậ ấ
1. Cho hàm s y=ố
.Tìm m đ y xác đ nh v i m i x>1.ể ị ớ ọ
2. Tìm hàm s y=f(x) v a là hàm s ch n v a là hàm s l .ố ừ ố ẵ ừ ố ẻ
3. Cho hai hàm s cùng ph thu c tham s mố ụ ộ ố :
Hàm s y=f(x) =(m+ố
2
)(x+2) có đ th là đ ng th ng dồ ị ườ ẳ m và hàm s y=g(x)=(m-ố
2
)x+m2-1
có đ th là đ ng th ng ∆ồ ị ườ ẳ m.
•Có hay không giá tr m đ dị ể m//∆m. ?
•Cmr các đ ng th ng dườ ẳ m(khi m thay đ i) luôn đ ng quy t i m t đi m c đ nh trong khiổ ồ ạ ộ ể ố ị
đ ng th ng ∆ườ ẳ m không đi qua đi m c đ nh nào c .ể ố ị ả
2,Hàm s b c hai.ố ậ
1. Cho parabol (P) có ph nươ g trình y=ax2+bx+c luôn ti p xúc v i đ ng th ng (d)ế ớ ườ ẳ : y=2x+1 t iạ
A(1 ;3)
•Tính b,c theo a.
•Tìm qu tích đ nh c a (P) khi a thay đ i.ỹ ỉ ủ ổ
•Tìm các đi m trong (Oxy) mà (P) không th đi qua .ể ể
2. Cho hàm s y=f(x) =xố2-2(m+1/m)x+m trong đó m là tham s khác 0. Gi số ả ử
[ ]
)(min
1;1
1
xfy
x
−∈
=
và
[ ]
)(max
1;1
2
xfy
x
−∈
=
.Hãy tìm các giá tr c a m sao cho yị ủ 2-y1=8.
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
3. Kh o sát và v đ th hàm s ả ẽ ồ ị ố
2
3 1
;
2 2
1
2 3 ; 2
x x
y
x x x
x− +x−
−
−
==
=− + + > −
−
−
4. Kh o sát và v đ th hàm s ả ẽ ồ ị ố
2 2
2 4 12 9y x x x x= − + − +
5. Vi t ph ng trình parabol bi t ế ươ ế
•Parabol đi qua A(0;2),B(-1;7),C(1;1)
•Parabol có đ nh to đ I(2;5) và đi qua A(1;4)ỉ ạ ộ
•Parabol đi qua A(2;0) B(-2;-8) và đ t c c tr b ng 1.ạ ự ị ằ
•Parabol có đ nh A(1;-2) và ch n đ ng th ng (d): y=x+1 m t dây cung MN=ỉ ắ ườ ẳ ộ
34
3, Các y u t c đ nh c a m t h đ ng cong.ế ố ố ị ủ ộ ọ ườ
1. Tìm các đi m c đ nh c a h đ ng cong y=mể ố ị ủ ọ ườ 2x2+2(m-1)x+m2-1 theo 2 cách.
2. cmr các parabol trong h parabol Pọm v a ti p xúc nhau v a ti p xúc v i m t đ ng th ng cừ ế ừ ế ớ ộ ườ ẳ ố
đ nhị
3. cmr t t c các đ ng th ng thu c h (dấ ả ườ ẳ ộ ọ m) cho b i ph ng trình y=2mx-mở ươ 2+2m đ u ti p xúcề ế
v i m t parabol c đ nh có tr c đ i x ng // v i tr c tung.ớ ộ ố ị ụ ố ứ ớ ụ
4. Cho hàm s y=ố
( )
1
22 2
−
−+
x
xmx
v i m là tham s .Trên m t ph ng to đ hãy tìm t t c cácớ ố ặ ẳ ạ ộ ấ ả
đi m mà đ th hàm s không th đi qua .ể ồ ị ố ể
4,Tìm t p xác đ nh c a hàm s ậ ị ủ ố
Bài 1:tìm t p xác đ nh c a hàm s ậ ị ủ ố
22
2
3 2
2
2
2
2 7 13 5 13
1, 2, 3 3, 4,
2 10 4 4 3 4
16
5, 5 2 3 6, 7,
1 5 5
1
8, 2 1 9, 10, 2 3 1
12 4 9
x x x
y y x y y
x x x x
x x x
y x x y y
x x x
y x x y y x x x
x x
+ + +
= = − = =
− − + −
+ −
= − + = =
− − + −
= − − = = − + − −
− −
Bài2 : Tìm m đ hàm s sau xác đ nh trên ể ố ị
(
]
1;3D=
:
2 2
1
, , 3 2
2
a y b y m x m x
x m
= = + −
−
Bài 3: Tìm m đ hàm s ể ố
2
2
( 2) 1 4
m
y x m x= − + + −
có t p xác đ nh là R.ậ ị
5,s bi n thiên c a hàm s ự ế ủ ố
Kh o sát s bi n thiên c a các hàm s ả ự ế ủ ố
2 3
1
2 7 5 3 1
x
y x x y x x x y x
+
= + = − + − = −
6,Tính ch n l c a hàm s ẵ ẻ ủ ố
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
1. Xét tính ch n l c a hàm sẵ ẻ ủ ố
4 3 2
, 1 , 1 1 , 1 , , 1a y x b y x x c y x d y x x e y x= + = + − − = + = + = +
2. Tìm m đ đ th hàm s ể ồ ị ố
2 2
( 1) 2 1y mx m x x= + − + −
có tr c đ i x ng là Oyụ ố ứ
Ch ng III.Ph ng trình và h ph ng trình .ươ ươ ệ ươ
1,ph ng trình và h ph ng trình b c nh t .ươ ệ ươ ậ ấ
1. Gi i h ph ng trình :ả ệ ươ
=+
=−−
13
32
yx
xyx
2. Cho h ph ng trình v i tham s m: ệ ươ ớ ố
−=+
+=+
122
12
mmyx
mymx
xác đ nh nh ng giá tr nguyên c aị ữ ị ủ
tham s m đ h ph ng trình có nghi m nguyên?ố ể ệ ươ ệ
3. Cho (x;y) là nghi m c a h : ệ ủ ệ
=−−
=−+
4)1(
9)2(6
myxm
ymmx
.L p h th c đ c l p gi a x và y v i m.ậ ệ ứ ộ ậ ữ ớ
4. Cho h ph ng trình ệ ươ
+=−
−=+
332
42
myx
myx
Tìm m đ h ph ng trình có nghi m th a mãn xể ệ ươ ệ ỏ 2+y2
nh nh t.ỏ ấ
5. Tìm m đ h ph ng trình ể ệ ươ
==−
=+
5102
52
mxy
yx
có nghi m (x;y) sao cho xy l n nh t.ệ ớ ấ
2.ph ng trình và h ph ng trình b c hai.ươ ệ ươ ậ
1. Tìm m đ ph ng trình có nghi m duy nh t | xể ươ ệ ấ 2+2mx+1 | =x+1
2. Cho h ph ng trình ệ ươ
+=+
+=++
mmyxxy
mxyyx
2
)(
12
•Ch ng minh v i m i m thì h ph ng trình có nghi m .ứ ớ ọ ệ ươ ệ
•Tìm m đ h ph ng trình có nghi m duy nh t.ể ệ ươ ệ ấ
3. Cho h ph ng trình ệ ươ
=+−
=+−
myxx
myxy
2)(
2)(
2
2
•Gi i h ph ng trình khi m=0ả ệ ươ
•Tìm m đ h ph ng trình có nghi m duy nh t.ể ệ ươ ệ ấ
3,h ph ng trình đ ng c p.ệ ươ ẳ ấ
1. Tìm các giá tr c a m đ h ph ng trình có nghi m duy nh t ị ủ ể ệ ươ ệ ấ
+=++
+=+
)2(22
)1(2
22
myxxy
mxyyx
2. Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
=+−
=+−
015132
932
22
22
yyxx
yxyx
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
3. Cho h ph ng trình ệ ươ
( )
+=+
=+
)1(2
4
22
2
myx
yx
.Tìm m đ h ph ng trình có đúng 2 nghi m .ể ệ ươ ệ
4. gi i h ph ng trình ả ệ ươ
+=
−=−
12
11
3
xy
y
y
x
x
5. Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
=+
=+
222
22
51
6
xyx
xxyy
4,ph ng trình b c ươ ậ hai.
•Tìm m đ ph ng trình ể ươ
2
( 3) 2( 3) 2 0m m x m x m− + − + =
có nghi m (có nghi m trái d u).ệ ệ ấ
•Tìm m đ -2 xen gi a các nghi m c a ph ng trình (m+3)xể ữ ệ ủ ươ 2-3(m-1)+4m=0
•Cho ph ng trình xươ 3+(m-1)x2-3mx+2m-4=0
1. ch ng minh ph ng trình có 1 nghi m không ph thu c m.ứ ươ ệ ụ ộ
2. Tìm m đ ph ng trình có đúng 2 nghi m .ể ươ ệ
•Khi m
22 −
tìm nghi m bé nh t (có th ) c a ph ng trình 3xệ ấ ể ủ ươ 2-(m+23)x+2m+22=0
•Tìm m đ xể2+x+m+1=0 có 2 nghi m th a mãn ệ ỏ
1 2 1 2
3( ) 5 0x x x x+ + + =
•Tìm m đ ph ng trình xể ươ 2-2(m+2)x+4m+5=0có 2 nghi m th a mãn a, đ uệ ỏ ề
d ng b, ươ
1 2
. 2x x =
•Tìm m đ ph ng trình 3xể ươ 2+4(m-1)x+m2-4m+1=0 có 2 nghi m xệ1,x2 th a mãnỏ
( )
1 2
2 1
1 1 1
2x x
x x
+ = +
•Tìm m đ ph ng trình xể ươ 2-(m+2)+m2+1=0 có hai nghi m xệ1,x2 th a mãn ỏ
2 2
1 2 1 2
2 3 .x x x x+ =
•Tìm h th c đ c l p v i m liên h v i các nghi m c a m i ph ng trình sau a,ệ ứ ộ ậ ớ ệ ớ ệ ủ ỗ ươ
x2+mx+2m-3=0 b, (m+2)x2-(m+4)x+2-m=0
•Cho ph ng trình (m-5)tươ 2-2mt+m+4=0 G i S và P là t ng và tích c a 2 nghi m .Trong m tọ ổ ủ ệ ặ
ph ng to đ Oxy g i M(S;P) v i x=S,y=P.ch ng minh khi m thay đ i thì các đi m M luônẳ ạ ộ ọ ớ ứ ổ ể
ch y trên m t đ ng th ng c đ nh. Tính T=ạ ộ ườ ẳ ố ị
( ) ( )
5 5
1 5 1 5− + +
5, ng d ng c a bi t th c ∆ứ ụ ủ ệ ứ
1. Tính gía tr nh nh t ,gtln c a bi u th c Q=ị ỏ ấ ủ ể ứ
1
324
2
2
+
++
x
xx
2. Tìm a,b đ Q=ể
1
·
2+
+
x
bax
đ t gtln=4 và gtnn=-1ạ
3. ch ng minh r ng ứ ằ
Ryx ∈∀ ,
luôn có Q
0
≥
v i ớ
•Q=x2+2xy+3y2+2x+6y+3
•Q=4x2+13y2-12xy-4y+1
4. tìm m đ Q=xể2+4y2+my+3
Ryx ∈∀≥ ,,0
5. Tìm gtnn c a Q=(x-2y+1)ủ2+(2x+ay+5)2 trong đó a là m t s th c cho tr c.ộ ố ự ướ
§oµn ViÖt Dòng THPT A THANH LI£M Hµ NAM
6. gi s x,y liên h v i nhau b i bi u th c Q=36xả ử ệ ớ ở ể ứ 2+16y2-9=0 hãy tìm gtnn,gtln c aủ
U=y-2x+5
7. Cho x,y là các s th c liên h v i nhau b i Q=(xố ự ệ ớ ở 2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0 ch ng minhứ
r ng ằ
2
53
2
53 22 +
≤+≤
−yx
8. Cho x,y,z tho mãn ả
=++
=++
4
8
222
zxyzxy
zyx
ch ng minh ứ
3
8
,,
3
8≤≤− zyx
9. Cho a+b+c=6 ch ng minh r ng aứ ằ 2+b2+c2
12≥
6,D u hi u nh n bi t ph ng trình b c hai có nghi mấ ệ ậ ế ươ ậ ệ .
1. cho hai ph ng trình xươ 2+p1x+q1=0 và x2+p2x+q2=0 và p1.p2
≥
2(q1+q2) khi đó có ít
nh t m t trong 2 ph ng trình có nghi m .ấ ộ ươ ệ
2. ch ng minh r ng có ít nh t 1 trong 3 ph ng trình sau có nghi m axứ ằ ấ ươ ệ 2+2bx+c=0 và
bx2+2cx+a=0 và cx2+2ax+b=0
3. Tìm a đ ph ng trình ể ươ
0224
2=−+−−+ aaxxx
có đúng 2 nghi m phân bi t .ệ ệ
4. Tìm a đ ph ng trình ẻ ươ
012 =−++ aaxx
có m t nghi m duy nh t.ộ ệ ấ
5. Tìm a đ ph ng trình (a+1)xể ươ 2-(8a+1)x+6a=0 có đúng 1 nghi m thu c kho ng (0;1)ệ ộ ả
6. Cho m
1−≥
.tìm nghi m l n c a ph ng trình xệ ớ ủ ươ 2+(2m-6)x+m-11=0
7.Tìm giá tr nh nh tvà l n nh t b ng tam th c b c hai.ị ỏ ấ ớ ấ ằ ứ ậ
1. Tìm gía tr nh nh t ,giá tr l n nh t c a hàm s f(x)=xị ỏ ấ ị ớ ấ ủ ố 2+2x+3 trên D=
[ ]
0;3−
E=
[ ]
3;0
2. gi s x,y là nghi m c a hpt ả ử ệ ủ
+−=
−=+
147
1
2aaxy
ayx
tìm a đ U=xể2+y2 đ t gía tr nh nh t .ạ ị ỏ ấ
3. Tìm giá tr l n nh t gía tr nh nh t c a y=ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ
xx
xx
24
24
cos2sin3
sin4cos3
+
+
4. tìm m đ xể2-2mx+2
02 >+− mx
no đúng
Rx
∈∀
5. Cho f(x)=x2+(m+1)x+2
2
)1(1 ++−+ mmx
tìm m đ ể
3)(min
≤
xf
R
8.PH NG TRÌNH VÔ T ,BPT VÔ TƯƠ Ỉ Ỉ
1. Gi I ph ng trình ả ươ
xx −=− 332
2. Gi I ph ng trình ả ươ
( )
0514352 22 =−+−+ xxxx
3. Gi I ph ng trình ả ươ
1221 −=−−+ xxx
4. Gi I ph ng trình ả ươ
765352 22 −=+−− xxxx
5. Gi I ph ng trình ả ươ
( )
22 114122 xxxx +−=++
6. Gi I ph ng trình ả ươ
32653 22 −+=+− xxxxx
7. Gi I ph ng trình ả ươ
211 22 =−++−− xxxx
8. Gi I ph ng trình ả ươ
x
x
x
x
x211
22 =−++