Tích phân Lebesgu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được các yêu cầu phát triển trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử…

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tích phân Lebesgu

LEBESGUE INTEGRAL ThS. Nguyễn Thị Hằng Đại học Hàng Hải Việt Nam TÍCH PHÂN LEBESGUE Email: hang1903@vimaru.edu.vn LEBESGUE INTEGRAL Ngày tòa soạn nhận được bài báo:09/03/2021 ThS. Nguyễn Thị Hằng Ngày phản biện đánh giá: 19/03/2021 Đại học Hàng Hải Việt Nam Email: hang1903@vimaru.edu.vn Ngày bài báo được duyệt đăng: 26/03/2021 Ngày tòa soạn nhận được bài báo:09/03/2021 Tóm tắt: Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán Ngày học phảnHenri Lebesgue biện đánh giá: 19/03/2021 xây dựng vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều Ngày bài báo được duyệt đăng: 26/03/2021 nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích tắt: Tóm phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được Lý các tích thuyết yêu phân cầu phát tổngtriển quát trong được các nhà lĩnh toánvực: Xác suất, học Henri Phương Lebesgue xâytrình dựngđạovào đầu hàm thế kỷ XX.riêng, Sau đó,Cơnó học lượng được tử… hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phânTừ khóa: của Hội tụcòn Lebesgue tuyệt đối, đáp ứngtíchđược phân,các khả tích, yêu cầuđộphát đo hữu triểnhạn, tronghội cáctụlĩnh đều,vực: bị Xác suất,chặn hầu trình Phương khắp đạo nơi.hàm riêng, Cơ học lượng tử… Abstract: Từ Thetụtheory khóa: Hội of general tuyệt đối, integral tích phân, wasđộestablished khả tích, by hội đo hữu hạn, Henri Lebesgue tụ đều, bị chặn hầu khắpinnơi. the early twentieth century. After that, it was perfected by many great mathematicians. This theory has overcome the shortcomings of Riemann Summary: integral. In addition, the integral theory of Lebesgue also satisfied The theory of general integral was established by Henri Lebesgue in the early requirements twentieth development century. After that, it wasinperfected many fields by manysuch greatasmathematicians. probability, partial This theory derivative equation, quantum mechanics... absolute convergence, integral, has overcome the shortcomings of Riemann integral. In addition, the integral theory of intergrability, Lebesgue finite measure, also satisfied requirementsuniformly convergent, development blocked. in many fields such as probability, partial derivative equation, quantum mechanics... absolute convergence, integral, Key words: intergrability, absolute finite measure,convergence, integral, intergrability, uniformly convergent, blocked. finite measure, uniformly convergent, blocked. Key words: absolute convergence, integral, intergrability, finite measure, uniformly convergent, blocked. 1.TÍCH PHÂN CỦA HÀM ĐƠN GIẢN Xét các hàm đơn giản trên ( X , A , µ ) . Chú ý rằng trong chủ đề này tất cả các hàm ta nói đến đều đo được nên không cần nói đến f hay g ,... là đo được. Ngoài ra, f chỉ có thể nhận 1 số hữu hạn các giá trị và các tổng lấy theo mọi giá trị của f có thể chỉ là một số hữu hạn các số hạng, nhưng ta vẫn sẽ dùng thuật ngữ “Chuỗi” để nói về những tổng như vậy và tổng hữu hạn luôn được coi là chuỗi hội tụ, thậm chí là hội tụ tuyệt đối. TẠP CHÍ KHOA HỌC 33 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
Giả sử f là hàm đơn giản và f ( X ) = { y1 , y2 ,..., yk ,..} . Đặt Ak = f −1 ({ yk }) và ký hiệu Y1 , Y2 lần lượt là tập các giá trị không âm và không dương của f , (khi đó Y1 ∩ Y2 = ∅ hoặc Y1 ∩ Y2 ={0} ) Xét các chuỗi sau ∑ yk ∈ f ( X ) yk µ ( Ak ) (1.1) ∑ y µ(A ) yk ∈Y1 k k (1.2) ∑ y µ(A ) yk ∈Y2 k k (1.3) Dễ thấy chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi 2 chuỗi (1.2 ) và (1.3) đều hội tụ. Trong trường hợp đó tổng của chuỗi (1.2 ) là số không âm, còn tổng của chuỗi (1.3) là số không dương. Định nghĩa 1.1: Nếu chuỗi (1.1) là hội tụ tuyệt đối thì tổng của nó được gọi là tích phân của hàm f trên X và ký hiệu bằng một trong các biểu thức sau: ∫ f ( x ) d µ , ∫ f ( x ) µ dx , ∫ fd µ , ∫ fd µ X X X Trong trường hợp này, ta nói f khả tích (hay khả tổng) trên X Từ định nghĩa ta có thể có được các mệnh đề đơn giản sau: • f khả tổng khi và chỉ khi f − và f + đều khả tổng. Khi đó ∫f + d µ và ∫f − d µ lần lượt là các tổng của các chuỗi (1.2 ) và (1.3) ; do đó: ∫ fd µ = ∫f + d µ − ∫ f −d µ (1.4 ) X X X Từ đó cũng suy ra rằng f khả tổng khi và chỉ khi f khả tổng. Khi đó ∫= f dµ ∫ f + d µ + ∫ f −d µ (1.5) X X X Và do đó ∫ fd µ ≤ ∫ f dµ (1.6 ) X X • Mọi hàm đơn giản bị chặn, trong đó có tất cả các hàm bậc thang, đều khả tổng trên không gian với độ đo hữu hạn. Với những hàm như vậy ta có ∫ fd µ ≤ Sup f ( x ) µ ( X ) (1.7 ) X x∈ X • I A khả tổng khi và chỉ khi µ ( A) < ∞ và khi đó ∫ fd µ = µ ( A) 34 TẠP CHÍ KHOA HỌC • Nếu QUẢN vàCÔNG ≥ 0VÀ f LÝ khả tổng NGHỆ thì ∫ I A d µ ≥ 0 • Nếu f , g khả tổng (trên X ) thì với mọi α , β ∈ � hàm α f + β g đều khả tổng và
∫ fd µ ≤ Sup f ( x ) µ ( X ) (1.7 ) X x∈ X • I A khả tổng khi và chỉ khi µ ( A) < ∞ và khi đó ∫ fd µ = µ ( A) • Nếu f ≥ 0 và khả tổng thì ∫ I A d µ ≥ 0 • Nếu f , g khả tổng (trên X ) thì với mọi α , β ∈ � hàm α f + β g đều khả tổng và ∫ (α f + β g ) d µ = α ∫ fd µ + β ∫ gd µ X X X (1.8) Ta sẽ có hệ quả 1.1: Nếu f và g cùng khả tổng và f ≥ g trên X thì ∫ fd µ ≥ ∫ gd µ X X 2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT. Trước hết giả sử µ là độ đo hữu hạn. Định nghĩa tích phân của hàm tùy ý, ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.1: Nếu { f n } là dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ đều thì dãy {I n } ,với In = ∫ fn ( x ) d µ X Là dãy hội tụ. Chứng minh: Ta có Im = − In ∫ ( f ( x ) − f ( x )) d µ X m n ≤ sup ( f m ( x ) − f n ( x ) ) .µ ( X ) Do tính liên tục nên sup ( f m ( x ) − f n ( x ) ) → 0 khi m, n → ∞ . Do đó, dãy {I n } là dãy cơ bản nên nó hội tụ (đpcm). Bổ đề 2.2: Nếu { f n } và { g n } là 2 dãy hàm đơn giản khả tổng và cùng hội tụ tới f thì lim ∫ f n ( x ) d µ = lim ∫ g n ( x ) d µ X X Việc chứng minh thực hiện bằng các xen kẽ 2 dãy hàm. Hai bổ đề trên đảm bảo tính hợp lý cho định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1: Nếu { f n } là dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ đều tới f thì lim ∫ f n ( x ) d µ được gọi là tích phân của hàm f trên X và ký hiệu là ∫ f ( x) d µ ( n X X hoặc ∫ f ( x ) µ ( dx ) ,...) Khi đó X n f cũng được gọi là hàm khả tích hay khả tổng. Định nghĩa này không có mâu thuẫn với định nghĩa tích phân và tính khả tổng của các hàm đơn giản. TẠP CHÍ KHOA HỌC 35 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ Định nghĩa 2.2: Cho ( X , A , µ ) là không gian với độ đo σ − hữu hạn. Ta nói hàm f khả tổng trên X , nếu:
lim ∫ f n ( x ) d µ được gọi là tích phân của hàm f trên X và ký hiệu là ∫ f ( x) d µ ( n X X hoặc ∫ f ( x ) µ ( dx ) ,...) Khi đó X n f cũng được gọi là hàm khả tích hay khả tổng. Định nghĩa này không có mâu thuẫn với định nghĩa tích phân và tính khả tổng của các hàm đơn giản. Định nghĩa 2.2: Cho ( X , A , µ ) là không gian với độ đo σ − hữu hạn. Ta nói hàm f khả tổng trên X , nếu: i. f khả tổng trên mọi tập hợp A∈ A với µ ( A) < +∞ ( A xem như là không gian con của X ) ∞ X và µ ( X n ) < +∞ thì dãy ii. Với mọi dãy X 1 , X 2 ,..., X n ,... ∈ A sao cho X n ⊂ X n +1 ,  X n = n =1 số In = ∫ f ( x) d µ Xn n ( 2.1) Đều hội tụ. Khi đó, giới hạn của dãy ( 2.1) (có thể chứng minh rằng không phụ thuộc vào việc chọn dãy X 1 , X 2 ,... ) được gọi là tích phân của f trên X và cũng ký hiệu ∫ f ( x ) d µ ,( X hay ∫ f ( x ) µ ( dx ) ,...) X Từ các định nghĩa trên suy ra các mệnh đề sau: • Hàm bị chặn trong không gian với độ đo hữu hạn luôn khả tổng. Có thể thay tính bị chặn thành tính bị chặn hầu khắp nơi. • Nếu f , g khả tổng với mọi α , β ∈ � , hàm α f + β g đều khả tổng và ∫ (α f + β g )d µ = α ∫ fd µ + β ∫ gd µ X X X Tính chất này được chứng minh bằng cách xét các dãy hàm đơn giản { f n } , { g n } và {α f n + β g n } rồi chuyển qua giới hạn. • Nếu f khả tổng trên A và B sao cho A ∩ B =∅ thì f khả tổng trên A ∪ B và A∪ B ∫= fd µ ∫ fd µ + ∫ fd µ A B (tính cộng được của tích phân) Tính chất này được chứng minh bằng nhận xét là I A∪= B I A + IB • Nếu f khả tổng trên mọi tập con đo được của A . • Nếu µ ( A) = 0 thì ∫ fd µ = 0 A Để chứng minh tính chất này, trước hết ta xét hàm đơn giản g trên A , với 36 TẠP CHÍ KHOA HỌC g ( QUẢN A ) = {LÝ y1 , VÀ y2 ,...} . Ta CÔNG có: NGHỆ ∫ gd µ = ∑ y µ ( A ) A k k
• Nếu f khả tổng trên mọi tập con đo được của A . • Nếu µ ( A) = 0 thì ∫ fd µ = 0 A Để chứng minh tính chất này, trước hết ta xét hàm đơn giản g trên A , với g ( A ) = { y1 , y2 ,...} . Ta có: ∫ gd µ = ∑ y µ ( A ) A k k Trong đó Ak = g −1 ({ yk }) Vì µ ( Ak ) ≤ µ ( A) Nên µ ( Ak ) = 0 . Suy ra ∫ gd µ = 0 A Vì trên A thì f là giới hạn (hội tụ đều) của dãy hàm đơn giản nên chính f có tích phân bằng 0 • Nếu f khả tổng trên X và g tương đương với f thì g khả tổng và tích phân của Nếu bằng •chúng f khảnhau. tổng trên X và g tương đương với f thì g khả tổng và tích phân của chúng gd µ = bằng fd µ nhau. ∫ ∫ ∫ gd µ = ∫ fd µ X X • Nếu f và g khả tổng và X X f ≤ g hầu khắp nơi thì • fdNếu ∫X µ ≤ ∫X fgdvàµ g khả tổng và f ≤ g hầu khắp nơi thì ∫ fd µ ≤ ∫ gd µ •X Nếu X f khả tổng và g ≤ f hầu khắp nơi thì g khả tổng. •Từ Nếu mệnhf đề khảtrên tổng và dễ cũng f hầu g ≤suy khắp nơi ra rằng f và thìf hoặc g khả cùng tổng.khả tổng hoặc cùng không Từ khảmệnh tổng.đề trên cũng dễ suy ra rằng f và f hoặc cùng khả tổng hoặc cùng không khả tổng. 3.TÍNH σ − CỘNG ĐƯỢC CỦA TÍCH PHÂN. 3.TÍNH σ − CỘNG ĐƯỢC CỦA TÍCH PHÂN. ∞ Định lý 3.1: Giả sử f khả tổng trên A = ∞ An , với An ∈ A , Am ∩ An = ∅, m ≠ n Định lý 3.1: Giả sử f khả tổng trên A =  An , với An ∈ A , Am ∩ An = n =1 ∅, m ≠ n Khi đó n =1 Khi đó ∞ ∫ fd µ = ∑ ∫ ∞ fd µ ( 3.1) ∫ fd µ = ∑ ∫ ( 3.1) n =1 An A fd µ Ngoài A ra A phải của ( 3.1) là chuỗi hội tụ tuyệt đối. n =1 vế n Ngoài raminh: Chứng vế phải Trước ( 3.1giả của hết ) là sử chuỗi f làhội hàmtụ đơn tuyệtgiản đối.trên A với các giá trị y , y ,... Đặt 1 2 Chứng −1minh: Trước hết giả sử f là hàm đơn giản trên A với các giá trị y , y ,... Đặt Bk = f ({ yk } ) và Bnk= An ∩ Bk . Khi đó 1 2 µ =f ({yykµ} )( và B ) Bnk= An ∩ Bk . Khi đó −1 Bfd k = ∫ ∑ k k ∫ A fd µ = ∑ y µ (B ) k k k = ∑ y ∑µ (B ) A k k nk = ∑ y ∑µ (B ) k n ( 3.2 ) = ∑∑ y µ ( B ) k nk k nk nk ( 3.2 ) = ∑∑ y µ ( B ) n k k nk = ∑ ∫ fd µ n k TẠP CHÍ KHOA HỌC 37 = ∑ ∫ fd µ n An QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ n A thời các chuỗi trong 3.2 đều hội tụ tuyệt đối. Đồng n ( ) Đồng thời Bây giờ giảcác sửchuỗi trongkhả f là hàm ) đềutùy ( 3.2tổng hộiý.tụKhi tuyệt đó,đối. với mỗi k nguyên dương đều tồn
= ∑ yk ∑ µ ( Bnk ) k n ( 3.2 ) = ∑∑ yk µ ( Bnk ) n k = ∑ ∫ fd µ n An Đồng thời các chuỗi trong ( 3.2 ) đều hội tụ tuyệt đối. Bây giờ giả sử f là hàm khả tổng tùy ý. Khi đó, với mỗi k nguyên dương đều tồn tại hàm đơn giản f k khả tổng trên A sao cho 1 fk ( x ) − f ( x ) < ( 3.3) k Theo chứng minh trên thì ∫ f dµ = ∑ ∫ f dµ A k n An k ( 3.4 ) Và chuỗi ở vế phải của ( 3.4 ) là chuỗi hội tụ tuyệt đối. Mặt khác, vì 1 ∫ fd µ − ∫ f d µ ≤ ∫ k f − f k d µ ≤ .µ ( An ) An An An k Nên −1 .µ ( An ) + ∫ f k d µ ≤ ∫ fd µ k An An 1 ≤ .µ ( An ) + ∫ f k d µ k An Từ đó suy ra tính tính hội tụ tuyệt đối của chuỗi ∑ ∫ fd µ . Ngoài ra n An −1 1 .µ ( An ) + ∫ f k d µ ≤ ∫ fd µ ≤ .µ ( An ) + ∫ f k d µ ( 3.5) k An An k An Từ ( 3.3) suy ra ∫ f d µ → ∫ fd µ . Kết hợp điều này với (1.5) ta có: k A A ∑ ∫ fd µ = ∫ fd µ n An A Định lý đã được chứng minh. Hệ quả 3.1: Nếu f là hàm khả tổng không âm trên ( X , A , µ ) thì ánh xạ từ A vào � + biến A thành ∫ fd µ là hàm độ đo trên X. A Theo một nghĩa nào đó ta có thể coi đây là mệnh đề đảo của định lý 3.1 Định lý 3.2: Nếu A1 , A2 ,... ∈ A , A i ∩ Aj =∅(i ≠ j ), A = An n Và38chuỗi TẠP CHÍ KHOA HỌC ∑∫ n An QUẢN f d µ LÝ VÀ CÔNG NGHỆ ( 3.6 ) Hội tụ thì f khả tổng trên A
Định lý 3.2: Nếu A1 , A2 ,... ∈ A , A i ∩ Aj =∅(i ≠ j ), A = An n Và chuỗi ∑∫ n An f dµ ( 3.6 ) Hội tụ thì f khả tổng trên A Chúng ta thừa nhận định lý này. 4.BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHOV Ta chứng minh một bất đẳng thức về tích phân cần dùng cho bài toán sau. Cho f ≥ 0 và khả tổng. Khi đó, với α > 0 thì 1 µ ({ x ∈ X : f ( x ) ≥ α } ) ≤ ∫ fd µ ( 4.1) α X (bất đẳng thức Chebyshov) Thật vậy, với C ={ x ∈ X : f ( x ) ≥ α } thì ∫ fd µ = ∫ fd µ + ∫ fd µ ≥ ∫ fd µ ≥ α ∫ fd µ = α .µ ( C ) X C c C C C 1 Suy ra µ ( C ) ≤ ∫ fd µ α X Vậy công thức ( 4.1) được chứng minh. Hệ quả 4.1: Nếu f ≥ 0 , khả tổng và ∫ fd µ = 0 thì f ( x ) = 0 hầu khắp nơi. X Chứng minh: Với mỗi n nguyên dương, thì  1  µ   x ∈ X : f ( x ) ≥   ≤ n ∫ fd µ = 0  n  X Do đó  ∞ 1  µ ({ x ∈ X : f ( x ) > 0= }) µ    x ∈ X : f ( x ) ≥ n    n =1   ∞  1  ≤ ∑ µ  x ∈ X : f ( x) ≥  =0 n =1  n  Từ đó suy ra điều phải chứng minh. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội. [2] Nguyễn Minh Chương, Ya. D. Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992) , Giải TẠP CHÍ KHOA HỌC 39 xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật. QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ [3] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội. [2] Nguyễn Minh Chương, Ya. D. Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992) , Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật. [3] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội. [4] B. N. Mandal, A. Chakrabarti (2011), Applied singular intergral equations, Science Publishers. [5] A. Chakrabarti (2008), Applied intergral equations, Vijay Nicole Imprints Pvt. Ltd. Chennai. 40 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ