intTypePromotion=3

Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Chuỗi hàm phức

Chia sẻ: Nhung Nhung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

0
82
lượt xem
17
download

Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Chuỗi hàm phức

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tìm hiểu chuỗi hàm phức; chuỗi hàm phức hội tụ đều; chuỗi lũy thừa; chuỗi Taylor; chuỗi Laurent được trình bày cụ thể trong "Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Chuỗi hàm phức". Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Chuỗi hàm phức

  1. Toán kỹ thuật I. Giải tích Fourier II. Phép biến đổi Laplace III.Hàm phức và ứng dụng
  2. Hàm phức và ứng dụng 1. Hàm giải tích 2. Tích phân phức 3. Chuỗi hàm phức 4. Lý thuyết thặng dư 5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 6. Phép biến đổi bảo giác
  3. 3. Chuỗi hàm phức  a. Chuỗi hàm phức  b. Chuỗi hàm phức hội tụ đều  c. Chuỗi lũy thừa  d. Chuỗi Taylor  e. Chuỗi Laurent
  4. 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức Định nghĩa:  f n 1 n ( z )  f1 ( z )  f 2 ( z )  ...  f n ( z )  ... Tổng riêng: n Sn ( z )   f k ( z ) k 1 Hội tụ về S(z)    0, N ( , z ) : S ( z )  S n ( z )   , n  N Miền hội tụ: tập hợp cái điểm z tại đó chuỗi hội tụ.
  5. 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức - Chuỗi S(z) gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi:   n 1 f n ( z )  f1 ( z )  f 2 ( z )  ...  f n ( z )  ... hội tụ. - Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ là các chuỗi phần thực và phần ảo:    Re  f n ( z );  Im  f n ( z) n 1 n 1 hội tụ.
  6. 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức Tiêu chuẩn d’Alembert: Xét giới hạn: f n 1 ( z ) lim  r ( z) n  f ( z ) n 0 ≤ |r(z)| < 1: chuỗi hội tụ tuyệt đối |r(z)| > 1: chuỗi phân kỳ |r(z)| = 1: không có kết luận Ví dụ: Tìm miền hội tụ của chuỗi: 1  1  z  z 2  ...  z n  ... 1 z
  7. 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức Chuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm phức được gọi là hội tụ đều về hàm f(z) trong miền D nếu:   0; N ( ) : f ( z )  S n ( z )   ; n  N , z  D Phép thử M-Weierstrass: Nếu có một dãy hằng số dương {Mn} sao cho |fn(z)| ≤ Mn (∀n và ∀z ∈ D) và chuỗi 𝑀𝑛 hội tụ thì chuỗi 𝑓𝑛 hội tụ đều trong D. Tính chất của chuỗi hội tụ đều: Tham khảo tài liệu.
  8. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa có dạng:   n a n 1 ( z  a ) n Miền hội tụ: |z – a| < R = 1/L Với L  lim an 1 n  a n Ví dụ: tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:   1 z 2n a.   z  2 j  b.  n n 1 ( n  1)2 n n 1 n !   1 c.  e  nz d. n 1 n 1 ( n  j ) z n
  9. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Giải: a. Hội tụ với mọi z b. Đặt w = z2, hội tụ với |w| < 2 => |z| < 2 c. Đặt w = e-z, hội tụ với |w| < 1 => x > 0. d. Đặt w = z-1, hội tụ với |w| < 1 => |z| > 1.
  10. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Ví dụ: Cho chuỗi sau: 1  1  z  z 2  ...  z n  ... 1 z Chuỗi trên có bán kính hội tụ R = 1 Sử dụng chuỗi trên để biểu diễn hàm 1 z 3 thành tổng lũy thừa trong 3 miền sau: i. |z| < 3 ii. |z| > 3 iii. |z – 2| < 1
  11. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Giải: 1 1 1 1 1 i.     |z| < 3  |w| < 1 z 3 3 1 z 3 1 w 3  2 n    1  w  w  ...  w  ...   1    ...  n  ...  1 1 1 z z z  2 n z 3 3 3 3 9 3  1 1 1 1 1 ii.   |z| > 3  |w| < 1 z  3 z 1 3 z 1 w z  n   1 1 z 3 z  2 n  1 3 z z z 9 3  1  w  w  ...  w  ...  1   2  ...  n  ...  z 
  12. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Giải: 1 1 1 |z - 2| < 1  |w| < 1 iii.   z 3 1  ( z  2) 1 w   1  w  w2  ...  wn  ...  1  z 3   1  ( z  2)  ( z  2) 2  ...  ( z  2) n  ... Kết luận: Tại mỗi miền khác nhau trên mặt phẳng phức, tương ứng ta có các chuỗi khác nhau cùng hội tụ về hàm 1 z 3
  13. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Định lý Taylor: Nếu f(z) giải tích trong miền D giới hạn bởi đường cong kín C, a ∈ D, thì: f '(a ) f ''(a ) f ( n 1) (a ) f ( z )  f (a )  ( z  a)  ( z  a )  ...  2 ( z  a ) n 1 1! 2! (n  1)! ( z  a)n f (t )dt  2 j  C (t  a ) n (t  z ) Rn ( z ) Nếu C là đường tròn tâm z = a, ta có chuỗi Taylor  f ( n ) (a) f ( z)   ( z  a)n n 0 n!
  14. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor  Khi a = 0 ta có chuỗi Mac Laurin  Bán kính hội tụ R, với R có thể tính như ở chuỗi lũy thừa hoặc: R = Min{|z – zi|}, với zi là các điểm bất thường của f(z). Ví dụ: Khai triển chuỗi Taylor đến số hạng n = 4 của hàm: 1 f ( z)  z( z  2 j) quanh điểm z = j.
  15. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor 1  1 1 f ( z)      f ( j)  1 2j  z2j z  1  1 1  f (1) ( z )     2   f (1) ( j)  0 2 j  ( z  2 j) 2 z  1  2 2 f ( z)  (2)   3   f (2) ( j )  2 2 j  ( z  2 j) z  3 1  6 6 f ( z)  (3)    4   f (3) ( j)  0 2 j  ( z  2 j) 4 z  1  24 24  f (4) ( z )    5   f (4) ( j )  24 2 j  ( z  2 j) 5 z 
  16. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor 1 2 24   1  ( z  j ) 2  ( z  j ) 4  ... z( z  2 j) 2! 4!  1  ( z  j ) 2  ( z  j ) 4  ... Bán kính hội tụ R = 1, miền hội tụ |z – j| < 1.
  17. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor  Chuỗi Mac Laurin zn i. e   z của một số hàm: n 0 n !  3n n  2 ii. z e   z 2 z n 0 n !  2 n 1 z iii.sin z   (1) n n 0 (2n  1)!  z 2n iv.cos z   (1) n n 0 (2n)!  1 v.   zn; R  1 1  z n 0  1 vi.   (1) n z n ; R  1 1  z n 0
  18. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Ví dụ: 1. Tìm chuỗi Mac Laurin của các hàm sau: 1 z i. f1 ( z )  ii. f 2 ( z )  z 3 z2  4 z 1 1 iii. f 3 ( z )  iv. f 4 ( z )  2 z 1 z  3z  2 2. Tìm chuỗi Taylor của i. Hàm f3(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 1 ii. Hàm f4(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 2 1 iii. f ( z)  quanh điểm a = j z( z  2 j)
  19. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Giải: 1. Chuỗi Mac Laurin 1 1 1 1  z z2  1 z z2 i. f1 ( z )    1    ..      ... z  3 3 1 z 3  3 9  3 9 27 3 z z 1 z  z2 z4  z z3 z5 ii. f 2 ( z )  2   1    ...      ... z 4 4 z 2 4 4 16  4 16 64 1 4 z 1  1  iii. f 3 ( z )  z 1  1 2  1 z   1  2 1  z z 2  ...  1  2 z  2 z 2  ...
  20. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Giải: 1. Chuỗi Mac Laurin 1 1 1 iv. f 4 ( z )  2   z  3z  2 z  1 z  2 1  1  z  z 2  z 3  ... z 1 1 1 1 1  z z 2 z3    1     ...  z  2 2 1 z 2  2 4 8  2 1 3 7 2 15 3  f 4 ( z )   z  z  z  ... 2 4 8 16

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản