Bài giảng Toán cao cấp B1 - ĐH Phạm Văn Đồng

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI<br /> <br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG<br /> <br /> ------------<br /> <br /> BÀI GIẢNG<br /> <br /> TOÁN CAO CẤP B1<br /> <br /> NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYỄN VIẾT TRÍ<br /> ĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢN<br /> <br /> QuảngNgãi, tháng 04 - 2014<br /> <br /> GIỚI THIỆU MÔN HỌC<br /> Toán cao cấp B1 là chương trình toán dành cho sinh viên khối ngành kỹ<br /> thuật. Nội dung của toán cao cấp B1 gồm những kiến thức cơ bản về dãy số, hàm<br /> số, giới hạn và liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân của hàm một<br /> biến số. Các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số thực. Phương trình vi phân,<br /> lý thuyết chuỗi. Đặc biệt là các ứng dụng các nội dung nêu trên trong kỹ thuật.<br /> Tập bài giảng này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2013 của<br /> Trường Đại học Phạm Văn Đồng cho khối ngành kỹ thuật, trình độ cao đẳng đào<br /> tạo theo học chế tín chỉ.<br /> Chương trình có 7 chương ứng với 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học).<br /> Chương 1: Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến.<br /> Sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số, giới hạn của<br /> dãy số và hàm số, hàm số liên tục, các hàm số thường dùng trong kỹ thuật.<br /> Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến.<br /> Sinh viên nắm chắc khái niệm, cách tính và ý nghĩa đạo hàm, vi phân các cấp<br /> của hàm số. Áp dụng của đạo hàm vi phân trong kỹ thuật.<br /> Chương 3: Tích phân của hàm số một biến.<br /> Sinh viên nắm vững định nghĩa, các phương pháp tính nguyên hàm, tích<br /> phân xác định của các hàm số (hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ...). Nắm và<br /> biết khai thác các ứng dụng của tích phân trong kỹ thuật và cuối cùng nắm được tích<br /> phân suy rộng.<br /> Chương 4: Hàm số nhiều biến số.<br /> Sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến số, các vấn đề về<br /> tính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhiều biến<br /> số. Áp dụng trong kỹ thuật.<br /> Chương 5: Phương trình vi phân.<br /> Sinh viên nắm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp1, 2 cơ bản<br /> thường gặp. Các ứng dụng thực tế của chúng<br /> Chương 6: Chuỗi số.<br /> Sinh viên nắm vững các khái niệm chuỗi số, sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số.<br /> Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi số bất kỳ.<br /> Chương 7: Chuỗi hàm số.<br /> Sinh viên nắm vững các khái niệm dãy hàm số, định nghĩa và các dấu hiệu về<br /> sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số, chuỗi hàm số. Định nghĩa, cách khai triển và<br /> ứng dụng của chuỗi lũy thừa, Chuỗi lượng giác.<br /> Trong mỗi chương sau việc trình bày lý thuyết đều có nêu lên các thí dụ để<br /> minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán để giúp sinh viên dễ dàng<br /> trong tiếp thu bài học, cũng như tự học. Cuối chương có các câu hỏi và bài tập<br /> <br /> 2<br /> <br /> luyện tập, giúp sinh viên nắm chắc hơn lý thuyết và kiểm tra mức độ tiếp thu bài<br /> học. Sinh viên cần trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ bài tập sau mỗi chương.<br /> Để học tốt học phần này, sinh viên cần chú ý những vấn đề sau:<br /> + Thu thập đầy đủ các tài liệu tham khảo.<br /> [1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình<br /> toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM.<br /> [2] Nguyễn Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM.<br /> [3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Đà Nẵng.<br /> [4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II ,<br /> NXBGD.<br /> [5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật<br /> [6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP.<br /> [7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM<br /> [8] ĐanKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài tập toán cao cấp<br /> (Sách dùng cho các trường Đại học kỹ thuật), NXB Giáo dục.<br /> + Nắm vững lịch trình giảng dạy, nghiên cứu nắm những kiến thức cốt lõi của bài<br /> giảng trước khi lên lớp học.<br /> + Khi kết thúc mỗi chương sinh viên phải hoàn thành các bài tập do giảng viên yêu<br /> cầu của chương đó vào tuần tiếp theo, cuối mỗi phần lớn có các bài tập tổng hợp.<br /> <br /> 3<br /> <br /> Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC<br /> 1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số<br /> 1.1.1 Dãy số<br /> Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ f : N *  R từ tập số nguyên dương N * vào tập số<br /> thực R được gọi là dãy số. Đặt f (n)  an thì dãy số được viết dưới dạng<br /> a1 , a2 ,..., an ,... (1) hay an  hay ( an )<br /> <br /> Gọi an là số hạng ( hay phần tử) tổng quát thứ n của dãy số (1).<br /> Thí dụ 1.1.1 1, 3, 5, ..., 2n  1,... là một dãy số có số hạng tổng quát: an  2n  1 .<br /> 3<br /> 2n<br /> 2n<br /> 1, 2, , ...,<br /> ,... là một dãy số có số hạng tổng quát: an <br /> 2<br /> n 1<br /> n 1<br /> <br /> 1.1.2 Các dãy số đặc biệt<br /> 1.1.2.1 Dãy số đơn điệu<br /> Định nghĩa 1.1.2 Dãy a n  được gọi là:<br /> - Dãy số tăng (hoặc tăng nghiêm ngặt) nếu an 1  an .(hoặc an 1  an ) ;   N *<br /> - Dãy số giảm ( hoặc giảm nghiêm ngặt) nếu an 1  an .(hoặc an1  an ) ; n  N *<br /> - Dãy số có tất cả các phần tử đều bằng nhau được gọi là dãy dừng<br /> - Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là dãy số đơn điệu<br /> Thí dụ 1.1.2 Dãy an    21<br /> <br /> <br /> ; n  N *  là dãy giảm nghiêm ngặt<br /> n 1<br /> <br /> <br /> Dãy an  với an   1  1   1  1  ...  1  1n  là dãy tăng nghiêm ngặt<br /> 2<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> <br /> Dãy an   (1)<br /> <br /> n 1<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br />   1, 1,1,..., (1)<br /> <br /> n 1<br /> <br /> <br /> <br /> ,... là dãy số không đơn điệu<br /> <br /> 1.1.2.2 Dãy số bị chặn<br /> Định nghĩa 1.1.3 Dãy a n  được gọi là:<br /> - Dãy số bị chặn trên nếu với k  R : an  k ; n  N *<br /> - Dãy số bị chặn dưới nếu với k  R : an  k ; n  N *<br /> - Dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy số bị chặn<br /> ( tức là  k  R: k  0 sao cho an  k với n  N * )<br /> Thí dụ 1.1.3 Dãy an    22<br /> <br /> n 1<br /> <br /> <br /> ; n  N *  là dãy số giảm nghiêm ngặt và bị chặn (bị<br /> <br /> <br /> chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0).<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1.1.3 Dãy con<br /> Định nghĩa 1.1.4 Từ dãy số an   a1 , a2 , ..., an ,...(1) ta trích ra một dãy<br /> <br /> a   a<br /> nk<br /> <br /> n1 , an2 ,..., ank<br /> <br /> ;... Với các chỉ số n1 , n2 ,..., nk ,... là dãy số tự nhiên tăng<br /> <br /> a  được gọi là dãy con trích ra từ dãy số a .<br /> Thí dụ 1.1.4 Cho dãy số a    1 .thế thì dãy a    1   1,1,...,1,... là dãy<br /> nghiêm ngặt. Khi đó, dãy số<br /> <br /> nk<br /> <br /> n<br /> <br /> 2k<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> k<br /> <br /> n<br /> <br /> con của dãy a n    1n <br /> Nhận xét: nk  n ; n<br /> 1.1.4 Một số dãy số thường được dùng trong tin học:<br /> - Dãy số theo thứ tự tăng (hoặc giảm) dần: Trong tin học thường yêu cầu nhập vào<br /> một dãy số và sắp xếp dãy số ấy theo thứ thự tăng dần hoặc giảm dần, chẳng hạn bài<br /> toán tuyển sinh sau khi có dãy các tổng điểm, để xác định điểm chuẩn và danh sách<br /> trúng tuyển cần sắp xếp tổng điểm theo thứ tự giảm dần.<br /> - Các dãy số được cho bởi công thức truy hồi (Chẳng hạn dãy số biểu thị bài toán<br /> tháp Hà Nội, Dãy số Fibonaci, …)<br /> 1.1.5 Giới hạn của dãy số<br /> 1.1.5.1 Định nghĩa 1.1.5 Ta nói rằng dãy số thực an  có giới hạn l  R khi<br /> n   và viết<br /> <br /> lim an  l hay an  l khi n   nếu   0 bé tuỳ ý cho trước,<br /> n <br /> <br /> tồn tại số nguyên dương<br /> <br /> N ( )<br /> <br /> sao cho n  N * : n  N ( )  an  l  <br /> <br /> Dãy số thực có giới hạn còn gọi là dãy hội tụ, dãy số không có giới hạn gọi là dãy<br /> phân kỳ<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> Thí dụ 1.1.5 Chứng minh lim  2    2<br /> n <br /> n<br /> <br /> <br /> Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là an  2 <br /> <br /> 1<br /> n<br /> <br /> Với    0 bé tuỳ ý cho trước, ta cần chứng minh tồn tại số nguyên dương<br /> <br /> N ( )<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> sao cho n  N * : n  N ( )  an  l  2    2    . Muốn vậy ta xét an  l  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />    n  . Do đó chọn N ( )    (Với  x  là phần nguyên của số thực x)<br /> n<br /> <br />  <br /> <br /> 1.1.5.2 Các dấu hiệu hội tụ<br /> Định lý 1.1.1 Nếu 3 dãy số thực an  , bn  , cn  thỏa mãn<br /> bn  a n  cn ;  n  N * : n  n 0 và lim bn  lim cn  l thì a n  cũng hội tụ và lim an  l .<br /> n <br /> <br /> n <br /> <br /> 5<br /> <br /> n <br /> <br />