intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Hàm giải tích

Chia sẻ: Nhung Nhung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST
Báo xấu
395
lượt xem 44
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán kỹ thuật: Phần 3 - Hàm phức và ứng dụng sẽ giới thiệu tới các bạn về hàm giải tích với các nội dung chính về hàm biến phức; giới hạn và liên tục; đạo hàm; điều kiện Cauchy - Riemann; các tính chất của hàm giải tích;... Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Hàm giải tích

  1. Toán kỹ thuật I. Giải tích Fourier II. Phép biến đổi Laplace III.Hàm phức và ứng dụng
  2. Hàm phức và ứng dụng 1. Hàm giải tích 2. Tích phân phức 3. Chuỗi hàm phức 4. Lý thuyết thặng dư 5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 6. Phép biến đổi bảo giác
  3. 1. Hàm giải tích a. Hàm biến phức b. Giới hạn và liên tục c. Đạo hàm d. Điều kiện Cauchy – Riémann e. Các tính chất của hàm giải tích f. Cám hàm phức sơ cấp
  4. 1. Hàm giải tích a. Hàm biến phức Định nghĩa: w = f(z) với z = x + jy w = u(x,y) + jv(x, y) Ví dụ: 1 w  f ( z )   u ( x, y )  jv( x, y ) z 1 x y f ( z)   2 j 2 x  jy x  y 2 x  y2 x y  u ( x, y )  2 ; v ( x, y )   2 x y 2 x  y2
  5. 1. Hàm giải tích b. Giới hạn và liên tục Định nghĩa: Giới hạn: lim f ( z )  w0 z  z0    0,  ( ) : f ( z )  w0   , z  0  z  z0   ( ) Liên tục: Hàm f(z) gọi là liên tục tại z0 nếu: lim f ( z )  f ( z0 ) z  z0
  6. 1. Hàm giải tích c. Đạo hàm Định nghĩa: dw f ( z  z )  f ( z )  w '  f '( z )  lim dz z 0 z Với điều kiện nào thì hàm biến phức f(z) có đạo hàm?
  7. 1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann w = f(z) = u(x,y) + jv(x,y)  u v   Điều kiện Cauchy – Riémann:  x y   u   v  y x - f(z) có đạo hàm tại z = z0  f(z) thỏa điều kiện Cauchy – Riémann tại z0. - f(z) có đạo hàm tại z = z0 và tại mọi điểm trong lân cận của z0: f(z) giải tích tại z0. z0 là một điểm thường của f(z). - f(z) giải tích trong D  f(z) giải tích tại mọi điểm trong D.
  8. 1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann Đạo hàm của hàm giải tích: u v v u f '( z )  j  j x x y y Ví dụ: Khảo sát điều kiện Cauchy – Riémann cho các hàm số sau: a. f ( z )  z b. f ( z )  z.Re  z c. f ( z )  z 2 d . f ( z )  e z Giải: a, c: xem sách.
  9. 1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann b. f ( z )  ( x  jy ) x  x 2  jxy  u ( x, y )  x 2 ; v( x, y )  xy u v u v  2 x;  x;  0;  y x y y x f(z) chỉ tồn tại đạo hàm tại z = 0. x u  e cos  y d. f ( z)  e ( x  jy )  e  cos  y  j sin  y    x x  v  e sin  y u v   e x cos  y;   e x cos  y; x y u v   e sin  y;   e x sin  y x y x u v f '( z )   j   e x (cos  y  j sin  y )   e z x x
  10. 1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann Ví dụ: cho u(x,y) = x2 – y2 + 2x; tìm hàm v(x,y) sao cho f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích. Giải: Điều kiện Cauchy – Riemann: v u   2 x  2  v  2 xy  2 y  F ( x) y x u v dF    2 y   2 y   F ( x)  C y x dx Có thể chọn C bất kỳ, giả sử C = 0: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z
  11. 1. Hàm giải tích e. Các tính chất của hàm giải tích: Khái niệm Hàm điều hòa: Φ(x,y) được gọi là hàm điều hòa nếu thỏa phương trình Laplace:  2  2  2 0 x 2 y Tính chất 1: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích thì u, v là hai hàm điều hòa. Trong trường hợp này u, v được gọi là hai hàm điều hòa liên hợp. Ví dụ: xét hàm: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z
  12. 1. Hàm giải tích e. Các tính chất của hàm giải tích: Tính chất 2: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích trong miền D thì các đường cong u(x,y) = c1 là những quỹ đạo trực giao với các đường cong v(x,y) = c2. Tính chất 3: Nếu f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích, thay zz zz x ; y 2 2i ta sẽ thu được hàm theo biến z.
  13. 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp i. Hàm mũ ez: e z  e x cos y  je x sin y Các tính chất:  e0  1  e z w  e z ew  e z  0; z  e  z  1/ e z  e jt  e  jt ; t   e z  1  z  2n j; n   e z  2 n j  e z  de z / dz  e z
  14. 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp i. Hàm mũ ez: Ví dụ: Giải phương trình ez = 1 + 2j Giải: e z  e x cos y  je x sin y  1  2 j  e x cos y  1  e 2 x  5  x  e sin y  2  tan y  2  1  x  ln 5 1  2  z  ln 5  j arctan(2)  y  arctan(2) 2
  15. 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp ii. Hàm lượng giác cosz, sinz: e jz  e  jz e jz  e  jz cos z  ; sin z  2 2j  cos 2 z  sin 2 z  1  cos jy  cosh y; sin jy  j sinh y  cos z  cos( x  jy )  cos x cosh y  j sin x sinh y  sin z  sin( x  jy )  sin x cosh y  j cos x sinh y  cos( z1  z2 )  cos z1 cos z2 sin z1 sin z2  sin( z1  z2 )  sin z1 cos z2  cos z1 sin z2  d (cos z ) / dz   sin z; d (sin z ) / dz  cos z  sin z  0  z  n ; cos z  0  z  (2n  1) / 2; n   sin( z  2n )  sin z; cos( z  2n )  cos z; n 
  16. 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp iii. Hàm hyperbol: e z  e z e z  e z cosh z  ; sinh z  2 2 sinh z cosh z tanh z  ; coth z  cosh z sinh z Các tính chất:  cosh jy  cos y; sinh jy  j sin y  cosh z  cosh x cos y  j sinh x sin y  sinh z  sinh x cos y  j cosh x sin y
  17. 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp iv. Hàm logarithm lnz : w  ln z  e w  z  ln z  ln r  j (  2n )   z  re (     )  ln z  ln | z |  j arg z j Nhánh chính: Lnz = lnr + iθ (n = 0) Các tính chất:  ln( z1 z2 )  ln z1  ln z2 z1  ln  ln z1  ln z2 z2  ln z m  m ln z
  18. 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp iv. Hàm logarithm lnz : Ví dụ:  j   2 n        ln(1  j )  ln  2e  4    ln 2  j   2n    4       ln(3)  ln 3e j  2 n 1  ln 3  j (2n  1)
  19. 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp z s  e s ln z ; s  v. Hàm lũy thừa zs: 1 s  z zs Nhánh chính: z s  e sLnz ; | z | 0;    arg z   Ví dụ:  j   2 n   2 j ln 1e  2      2 j . j   2 n   j 2 j  e 2 j ln j  e   e 2   e(4 n 1)        (1 j ) ln 2  j    2 n   ln 2   2 n j  ln 2   2 n  (1  j )1 j  e(1 j )ln(1 j )  e   4  e 4 e  4   2 n         2e 4   cos ln 2   2 n   j sin  ln 2   2 n    4   4    2 n        2e 4   cos ln 2    j sin  ln 2     4   4 
  20. 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp vi. Hàm lượng giác ngược và hypebolic ngược:  arcsin z   j ln z  1  z 2  arccos z   j ln  z  z2 1 1 jz arctan z  j ln 2 jz  arcsinh z  ln z  z 2  1  arccosh z  ln  z  z2 1 1 1 z arctanh z  ln 2 1 z
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2