Bài giảng giải tích 1 - ThS. Nguyễn Hữu Hiệp

Chia sẻ: Lê Xuân Chính | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:111

Thêm vào BST

Báo xấu

587
lượt xem 152
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu Bài giảng giải tích 1 - ThS. Nguyễn Hữu Hiệp môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân, giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể, biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật. Để nắm vững nội dung mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng giải tích 1 - ThS. Nguyễn Hữu Hiệp

Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Bộ môn Toán Ứng dụng . Bài Giảng Giải Tích 1 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp E-mail: nguyenhuuhiep@hcmut.edu.vn Ngày 8 tháng 9 năm 2014 Mục tiêu môn học • Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân. • Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể. • Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật. Tài liệu tham khảo 1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,. . . Phép tính vi phân hàm một biến. NXBGD, 2005 2) Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1. 3) Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia MỤC 1 2 3 Giới hạn và liên tục 1.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . 1.1.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . 1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα . . . . 1.2.2 Hàm lượng giác . . . . . . . 1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit . . . 1.2.4 Hàm y = ln x . . . . . . . . 1.2.5 Hàm Hyperbolic . . . . . . 1.2.6 Các hàm lượng giác ngược 1.2.7 Hàm Hợp . . . . . . . . . . 1.2.8 Hàm ngược . . . . . . . . . 1.2.9 Hàm tham số hóa . . . . . . 1.3 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . 1.3.2 Các giới hạn cơ bản . . . . . 1.3.3 Vô cùng bé . . . . . . . . . . 1.3.4 Vô cùng lớn . . . . . . . . . 1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 10 11 11 12 14 15 16 16 17 18 18 19 19 21 22 26 29 . . . . . . . . . . . . . . 33 33 33 36 37 38 41 41 45 52 52 54 57 58 61 Tích phân 3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đạo hàm và vi phân 2.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . 2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa 2.1.3 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Công thức H’Lopital . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Công thức taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị . . . . . . . . . 2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MỤC LỤC 3.2 3.3 4 MỤC LỤC 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Phương pháp tính tích phân bất định 3.1.3 Nguyên hàm hàm hữu tỷ . . . . . . . 3.1.4 Nguyên hàm hàm lượng giác . . . . . 3.1.5 Nguyên hàm hàm vô tỷ . . . . . . . . Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . Ứng dụng hình học của tích phân . . . . . . . 3.3.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . 3.3.2 Độ dài đường cong . . . . . . . . . . . 3.3.3 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . 3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . Phương trình vi phân 4.1 Phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . 4.1.1 Phương trình vi phân tách biến . 4.1.2 Phương trình vi phân đẳng cấp . 4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần 4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính 4.1.5 Phương trình vi phân Bernulli . 4.1.6 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . 4.2 Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . 4.2.1 PTVP cấp 2 thuần nhất . . . . . . 4.2.2 PTVP cấp 2 - dạng 1 . . . . . . . 4.2.3 PTVP cấp 2 - Dạng 2 . . . . . . . 4.2.4 PTVP cấp 2 - dạng 3 . . . . . . . 4.3 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . 4.3.1 Ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . . 4.3.2 Hệ phương trình vi phân . . . . 4.4 Bài tập ôn tập cuối kỳ . . . . . . . . . . . 4.5 Đề thi cuối kỳ . . . . . . . . . . . . . . . Đại học Bách khoa TPHCM Trang 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 66 68 70 73 75 78 78 79 80 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 83 83 85 86 88 90 91 95 95 95 97 97 98 98 98 101 102 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 1. GIỚI 1.1 HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1 (Sup-Inf của tập hợp) Cho tập A ⊂ R. • Cận trên nhỏ nhất của tập A gọi là Supremum, ký hiệu sup(A). • Cận dưới lớn nhất của A gọi là infimum, ký hiệu inf(A). Ví dụ 1.1 a) A = [0, 1) thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0. Chú ý tập max(A) = 0 nhưng min(A) không tồn tại. Khái niệm sup và inf là mở rộng của max và min. 1 b) A = { |n ∈ N } thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0. n c) A = (−∞, 3) thì sup(A) = 3 nhưng không có inf Định nghĩa 1.2 (Dãy số) Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R. u : N −→ R n → u(n) := un . Ký hiệu 1 dãy số (un )+∞ hay đơn giản (un ). un gọi là số hạng thứ n của dãy. n=1 √ 1 Ví dụ 1.2 a) Cho dãy số dạng liệt kê (un ) = {1; −2; 1; 4; 0; −5, 8; −3; 3, − 3 , ...}. Số hạng thứ 5 là u5 = 0. b) Cho dãy số dạng số hạng tổng quát (un ) : un = Số hạng thứ 7 là u7 = 3 (−1)7 + 7 = . 2+1 7 25 (−1)n + n . n2 + 1 u1 = 1 un+1 = 2un + 3, n ≥ 1. Ta có u2 = 2u1 + 3 = 5, u3 = 2u2 + 3 = 13, ... c) Cho dãy số dạng truy hồi (un ) : Định nghĩa 1.3 (Dãy số đơn điệu) . Dãy số (xn ) gọi là tăng nếu xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N Dãy số (xn ) gọi là giảm nếu xn ≥ xn+1 , ∀n ∈ N Bỏ dấu "=" trong đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt). Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là đơn điệu. Ví dụ 1.3 Xét tính đơn điệu của dãy số (xn ) : xn = Ta có n+1 . n+2 (n + 1) + 1 n + 1 (n + 2)2 − (n + 1)(n + 3) 1 xn+1 − xn = − = = > 0, ∀n. (n + 1) + 2 n + 2 (n + 3)(n + 2) (n + 3)(n + 2) =⇒ xn+1 > xn suy ra (xn ) là dãy tăng. 5