zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Số phức

Chia sẻ: Gió Biển | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Báo xấu

107
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 1: Số phức" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Dạng đại số của số phức, dạng lượng giác của số phức, khai căn của số phức, định lý cơ bản của đại số. Cuối chương có các bài tập dành cho người đọc tự ôn tập lại kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Số phức

GIẢI TÍCH 1
CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 1. Dạng đại số của số phức: a/ Định nghĩa:  Dạng đại số của số phức là: z  a  i b Trong đó: a : được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu là Re z  b : được gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Im z  i : được gọi là đơn vị ảo với i 2  1
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC  Tập hợp số phức được ký hiệu là C hay còn gọi là mặt phẳng phức. y Biểu diễn hình học của số phức: b z Trục Ox : được gọi là trục thực Trục Oy : được gọi là trục ảo x O a Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là z hoặc mod z 
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC  z  a  i b được gọi là số phức liên hợp của z b/ Các phép toán:  z1  a1  i b1 Cho hai số phức   z2  a2  i b2 a1  a2  z1  z2   b1  b2  z1  z2  a1  a2   i b1  b2   z1 z2  a1  i b1  a2  i b2  x x  a1 a2  b1 b2   i a1 b2  a2 b1 
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Quy tắc: Ta thực hiện phép nhân tương tự như trong trường hợp số thực với chú ý: i 2  1 Dễ nhận thấy nếu z  a  i b thì z. z  a 2  b 2 và nếu z  0 thì 1 1 a ib   z aib a  i b a  i b  a  b   2 2  i  2 2 a b  a b 
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC  z1  a1  i b1  a1  i b1  a2  i b2  z2 a2  i b2 a1  i b1  a2  i b2  (z 2  0)  a1 a2  b1 b2   a2 b1  a1 b2    2 2   i  2 2   a2  b2   a2  b2 
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng minh các công thức sau:  z  z  a  i b   a  i b   2 a  2 Re  z   z  z  a  i b   a  i b   2 i b  2 i Im z   z1 z2  z1  z2  z1 z2  z1  z2  z1. z2  z1. z2  z1  z1      z2  z2
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số 1 3i z 1 i Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp 1  i ta được z 1  3 i 1  i   42 i  2i 1  i 1  i  2
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VD2: Cho f  z   z 3  2  i  z 2  2  i  z  2i a/ Tính f i  b/ Giải phương trình f  z   0 Giải: a/ Dễ dàng tính được f i   0 b/ z  i là 1 nghiệm của phương trình nên ta phân tích được f  z    z  i  z 2  2 z  2   0
1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Nhận xét : Phương trình z 2  2 z  2  0 có 2 nghiệm là 1  i ở đây '   1  i 2 Kết luận : Phương trình f  z   0 có 3 nghiệm là z  i , z 1 i
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 2. Dạng lượng giác của số phức: y a/ Định nghĩa: z b Cho số phức z  a  i b , z  0 r Gọi r là khoảng cách từ  gốc toạ độ O tới z x O a và  là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với vectơ bán kính của điểm z . (0  φ  2π) Khi đó ta có : z  a  i b  r cos  i sin  
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Biểu thức z  r cos  i sin   được gọi là dạng lượng giác của số phức z Trong đó: r  z  a 2  b 2 chính là mođun của số phức z  được gọi là acgumen của số phức z , ký hiệu arg  z  b b Ta có : tg     arctg a a Chú ý : chọn  sao cho b và sin  cùng dấu
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VD : Số phức z  1  i 2 2 Ta có: z  r   1   1  2 1 5 tg  1     hoặc   1 4 4 5 Ta chọn   4  5 5  Vậy z  1  i  2  cos  i sin   4 4 
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC b/ Các phép toán: Cho hai số phức z1  r1 cos 1  i sin 1  z2  r2 cos  2  i sin 2  r1  r2  z1  z2   , k Z 1  2  k 2π  z1 z2  r1.r2 cos 1  2   i sin 1  2  x z1 r1   cos 1  2   i sin 1  2  , z2  0 z2 r2
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Từ các phép toán này ta có thể chứng minh được các công thức sau:  Công thức Moivre k r cos  i sin    r k cos k  i sin k  k  Z  Công thức Euler ei  cos  i sin 
2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Vậy số phức z  r cos  i sin    r ei Biểu thức z  r ei được gọi là dạng mũ của số phức z VD : Tính  1  i 8  π π Ta có :  1  i   2 cos  i sin   4 4   1  i  8  24 cos 2π  i sin 2π   24
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC 3. Khai căn của số phức: Ta giải phương trình z n   với  z  C  Giả sử α  r cos   i sin   α  C Ta đặt z  ρ cos θ  i sin θ  Khi đó ta có z n  ρ n cos nθ  i sin nθ   r cos   i sin    n ρ  n r   r ρ   nθ    k 2π    k 2π θ  n , kZ
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC n Vậy nghiệm của phương trình z   là n     k 2π     k 2π  () zk  r cos    i sin     n   n  ở đây k  0 , 1 , ... , n  1 là ta có đủ nghiệm của phương trình. Vậy phương trình z n   có đúng n nghiệm cho bởi công thức (*) với k  0 , 1 , ... , n  1 và chúng được gọi là các căn bậc n của số phức  .
3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC 3 VD: Tìm 1 Ta có : 1  cos 0  i sin 0 3 3  k 2π k 2π  vậy 1 cos 0  i sin 0   cos  i sin   3 3  với k  0 , 1 , 2 Vậy 3 1 là ε0  cos 0  i sin 0  1 2π 2π 1 3 ε1  cos  i sin   i 3 3 2 2 4π 4π 1 3 ε2  cos  i sin   i 3 3 2 2

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.