Bài giảng Giải tích 1: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 3: Tích phân • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Tích phân bất định. 2 – Tích phân xác định. 3 – Tích phân suy rộng. 4 – Ứng dụng của tích phân. Tài liệu: Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу, Том 2, 2003.
I. Tích phân bất định Định nghĩa Hàm số y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm hàm y  f ( x) trong [a,b], nếu y = F(x) liên tục, có đạo tại mọi điểm thuộc đoạn [a,b] và F ' ( x)  f ( x) . Hai nguyên hàm sai khác nhau một hằng số. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của y = f(x) được gọi là tích phân bất định của hàm y = f(x), ký hiệu  f ( x)dx  F ( x)  C
I. Tích phân bất định Tính chất ' 1.   f ( x)dx   f ( x) 2. d   f ( x)dx   f ( x)dx ' 3. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì  f ( x)dx  f ( x)  C 4. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì  df ( x)  f ( x)  C 5.   f ( x)dx    f ( x)dx 6.   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Tích phân của một số hàm cơ bản 1.  sinh xdx  cosh x  c  cosh xdx  sinh x  c dx dx 2.  2  tanh x  c  2   coth x  c cosh x sinh x dx 1 x 3.  2 2  arctan  c x a a a dx x x 4.   arcsin  c   arccos  c a2  x2 a a dx 5.  2 x a 2  2  ln x  x  a 2 C a0
Phương pháp đổi biến Nếu tồn tại hàm hợp f ( ( x)) và hàm t   ( x) liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b), thì '  f ( ( x ))   ( x) dx   f (t )dt t  ( x ) 1 Nếu tồn tại hàm hợp x   (t ) của hàm t   ( x) , thì '  f (t )  dt   f ( ( x)) ( x)dx x  1 (t ) '  f ( x)  dx   f ( (t )) (t )dt t  1 ( x )
Ví dụ Tính dx I  sin x dx sin xdx d cos x dt I   2   2   2 sin x sin x 1  cos x 1 t 1  dt dt  1  cos x  1  1  x      2 ln  cos x  1   C  2 ln  tan 2   C 2  t 1 t  1      ln(arccos x)dx Ví dụ Tính I  2 1  x  arccos x  dx t  ln(arccos x)  dt  1  x 2 arccos x 2 ln(arccos x)dx t 1 2 I    tdt   C  ln  arccos x   C 2 1  x  arccos x 2 2
Phương pháp tích phân từng phần. Giả sử hai hàm u  u ( x), v  v( x) liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b). ' ' Nếu tồn tại  v  u dx , thì tồn tại  u  v dx . Ngoài ra: ' '  u  v dx  u  v   v  u dx  u  dv  u  v   v  du
Phương pháp tích phân từng phần. dx u  ln  ax   du  x  Pn ( x)ln  ax  dx đặt dv  P ( x)dx  v   P ( x)dx n n ax P  n ( x )  e  dx   Pn ( x)  cos ax  dx  Pn ( x)  sin ax  dx đặt u  Pn ( x)  Pn ( x)  arcsin ax  dx dv  phaà n coø n laï  Pn ( x)  arccos ax  dx  Pn ( x)  arctan ax  dx  Pn ( x)  arccot  ax   dx
Ví dụ Tính I   arccos 2 xdx 2 2arccos xdx Đặt u  arccos x  du  dv  dx  v  x 1  x2 2 2 x arccos x 2  I  x arccos x   dx  x arccos x  I1 1  x2 dx u  arccos x  du  1  x2 xdx xdx 2 dv  v   1 x  C 2 2 1 x 1 x 2 2 I1   1  x arccos x   dx   1  x arccos x  x  C2
Tích phân của hàm hữu tỷ Pn ( x) Pn , Qm các đa thức bậc n và  Qm ( x)dx m với hệ số thực. 1. Chia tử cho mẫu, đưa về tích phân phân thức đúng. 2. (Đại số). Mẫu là đa thức với hệ số thực, phân tích ra thừa số bậc nhất và bậc hai. s1 sk t1  2   2 Qm ( x)   x  a1  ... x  ak   x  p1 x  q1  x  pv x  qv
ích phân của hàm hữu tỷ. Pn ( x) Pn ( x) 3. Phân tích:  t1 Qm ( x)  x  a s1 1  x 2  p1 x  q1  A1 A2 As1   2  s1   x  a1   x  a1   x  a1  B1 x  C1 B2 x  C2 Bt1 x  Ct1     x 2  p1 x  q1  x 2  p1 x  q1  2 x 2  p1 x  q1  t1 4. Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tìm các hệ số. 5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau.
ích phân của hàm hữu tỷ. dx 1 1.  n  n 1  C, n  1 ( x  a)  n  1 x  a  2.  Mx  n  dx  M 2x  p  dx   N  Mp  dx  x2  px  q  2 2 x  px  q   2 2  x  px  q dx 1 2nxdx 3. I n   u  du  2 n 2 n 2 n 1 x 2 a  x 2 a  x 2 a  dv  dx  v  x 2 x x dx In   2n  2 n 2 n 1 x 2 a  x 2 a 
ích phân của hàm hữu tỷ. In  x  2n   x 2  a 2  a 2 dx  2 n 2 n 1 x 2 a  x 2 a  x dx 2 dx In   2n   2na  2 n 2 n 2 n 1 x 2 a  x 2 a  x 2 a  x In   2nI n  2na 2 I n1 2 n x 2 a    1  x Hệ thức truy hồi: I n 1  n   2n  1 I n  2na 2  x 2  a 2      dx 1 x I1   2 2  arctan  C x a a a
dx Ví dụ Tính I  ( x  2)3 d ( x  2) 3 I  3   ( x  2) d ( x  2) ( x  2) 1 31 1    x  2 C  2 C 2 2( x  2) Ví dụ Tính I   2 dx x  2x  5 dx d  x  1 1 x  1 I  2 2  2 2  arctan C ( x  1)  2 ( x  1)  2 2 2
( x  4) dx Ví dụ Tính I  ( x  2)( x  1) x4 A B   ( x  2)( x  1) x  2 x  1 (*) Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = -1. 2dx dx ( x  2) 2 I    2ln( x  2)  ln( x  1)  C  ln C x  2 x 1 x 1 Chú ý. Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh: Để tìm A, nhân hai vế (*) cho (x – 2) rồi thay x = 2 vào. Để tìm B, nhân hai vế (*) cho (x +1) rồi thay x = -1 vào.
3 2 2 x  x  5x  1 Ví dụ Tính I  2 2 dx ( x  3)( x  x  1) 3 2 2 x  x  5x  1 Ax  B Cx  D 2 2  2  2 ( x  3)( x  x  1) x  3 x  x  1 Qui đồng, đồng nhất, tìm có: A = 0, B = 1, C = 2, D = 0. dx I  2  2 2 xdx dx  2   2 2 x  1  1 dx x 3 x  x 1 x 3 x  x 1 1 x 2 2 2x 1  arctan  ln( x  x  1)  arctan C 3 3 3 3
2 4 x  8x Ví dụ Tính I  2 2 2 dx ( x  1) ( x  1) P( x) A B Cx  D Ex  F 2 2 2   2  2  2 (*) ( x  1) ( x  1) x  1  x  1 x 1 2 x 1   ìm được: A = 2, B = -1, C = -2, D = -1, E = -2, F = 4. (2 x  4) dx 2 xdx 4dx  2  2  2 x 2  1 x 2  1 x 2 1 4dx Dùng hệ thức truy hồi, tính I 2   2 qua I1. x 2 1 
ể tìm các hệ số A, B, C, … nhanh, có thể sử dụng khai iển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toán tử, ảng viên Đặng Văn Vinh. ừ (*) , ta có: 4 x 2  8 x  A( x  1)( x 2  1) 2  B( x 2  1)2  2 2 2 (Cx  D)( x  1) ( x  1)  ( Ex  F )( x  1) hay x = 1, tìm được B = -1. hay x = -1, cân bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4. Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i Thay x = i, tìm được C= -2, D = -1.
Tích phân của hàm hữu tỷ: Phương pháp Ostrogradskii P( x) P1 ( x) P2 ( x)  Q( x) dx  Q ( x)   Q ( x) dx (*) 1 2 Q2 ( x) đa thức chỉ có nghiệm đơn là nghiệm của Q(x), P1 ( x), P2 ( x) là hai đa thức với các hệ Q ( x) Q1 ( x)  Q2 ( x) số cần tìm, có bậc tương ứng nhỏ hơn bậc của Q1 ( x), Q2 ( x). Để tìm các hệ số của P1 ( x), P2 ( x), đạo hàm hai vế (*), Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm các hệ số.