Bài giảng Giải tích 1: Đạo hàm và vi phân

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

578
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1: Đạo hàm và vi phân" mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết: Đạo hàm tại 1 điểm, cách tính đạo hàm, đạo hàm các hàm lượng giác ngược, đạo hàm hàm cho theo tham số, công thức đạo hàm cấp cao,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Đạo hàm và vi phân

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN.
ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM Cho y = f(x) xác định trong (a, b) x0, xét tỷ số ∆f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = = ∆x x − x0 ∆x Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x → x0 hay x → 0 thì f có đạo hàm tại x0. Đặt ∆f ( x 0 ) f ( x0 ) = lim x x0 ∆x ( ∆x 0)
∆f ( x0 ) tan ϕ = f(x0) ∆x x x0 tan α = f ( x0 ) x x0 x f’(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) tại tiếp điểm M(x0, f(x0))
∆f ( x0 ) Đạo hàm trái tại x0: f− ( x0 ) = lim x x0− ∆x ( ∆x 0− ) ∆f ( x0 ) f+ ( x0 ) = lim Đạo hàm phải tại x0: x x0+ ∆x ( ∆x 0+ ) f có đạo hàm tại x0 f− ( x0 ) = f+ ( x0 )
Cách tính đạo hàm 1. Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm sơ cấp và các quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp). 2. Nếu tại x0, biểu thức f ’ không xác định: tính bằng định nghĩa. 3. Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x0: tính bằng định nghĩa. 4. Nếu f(x) = u(x)v(x) hoặc f(x) là tích thương của nhiều hàm: tính (lnf)’
Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra x ln x 1 / f (x) = 2 tại x = 1 x ln x f (x) = 2 ln 2( x ln x ) x ln x =2 ln 2(ln x + 1) f (1) = ln 2
2 / f (x) = x tại x = 0 x, x 0 f (x) = − x, x < 0 f ( x ) − f (0) x − 0 = x −0 x 0+ 1 x x 0- 1 f ’(0) không tồn tại
2 1 x sin , x 0 3 / f (x) = x 0, x =0 1 1 x 0 f ( x ) = 2 x sin − cos x x x =0 Tính bằng định nghĩa.
2 1 f ( x ) − f (0) x sin − 0 = x x −0 x 1 x 0 = x sin 0 x � f (0) = 0
2 x , x 1 4 / f (x) = tại x = 1 2 x − 1, x >1 f ( x ) − f (1) 2 x −1 lim = lim = 2 x 1 − x −1 x 1 − x −1 f ( x ) − f (1) 2x − 1 − 1 lim = lim = 2 x 1 + x − 1 x 1+ x −1 � f (1) = 2
Đạo hàm hàm ngược Cho y = f(x): (a, b) (c, d) liên tục và tăng ngặt. Khi đó tồn tại hàm ngược f 1: (c, d) (a, b) liên tục và tăng ngặt. Nếu tồn tại f ’(x0) 0, xo (a, b) thì tại y0 = f(x0), f 1 có đạo hàm và −1 1 (f ) ( y 0 ) = f ( x0 ) −11 Ta thường viết: (f ) = f
Đạo hàm các hàm lượng giác ngược �π π � 1. y = arcsinx, x (-1, 1) x = sin y, y ��− , � �2 2� 1 1 1 1 y (x) = = = = x ( y ) cos y 2 1 − sin y 1− x 2 � π π� 2. y = arctanx, x R x = tan y, y ��− , � �2 2� 1 1 1 y (x) = = = x ( y ) 1 + tan 2 y 1 + x 2
Bảng công thức đạo hàm các hàm mới 1 ( arcsin x ) = 2 ( cosh x ) = sinh x 1− x ( arccos x ) = − 1 ( sinh x ) = cosh x 2 1− x 1 1 ( tanh x ) = 2 ( arctan x ) = 2 cosh x 1+ x 1 1 ( coth x ) = − 2 ( arccot ) = − 2 sinh x 1+ x
Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình F (x, y ) = 0 ( ) gọi là hàm ẩn xác định bởi ( ) Cách tìm y’(x): lấy đạo hàm pt ( ) theo x, giải tìm y’ theo x và y.
Ví dụ 1. Tìm y’(x) với y xác định từ pt : 2 2 x + y =1 ( ) Lấy đạo hàm pt ( ) theo x x 2 x + 2y .y = 0 � y = − y So sánh với kết quả lấy đạo hàm từ các biểu thức 2 −x y= 1− x y = 2 1− x
Ví dụ 2. Tìm y’(0) với y = y(x) xác định bởi y 1 + y + x.2 = 0 ( ) Lấy đạo hàm pt ( ) theo x 0 + y +2 y + x.2 y ln 2.y = 0 ( ) Từ ( ), với x = 0 y = -1 Thay vào ( ): y (0) + 2−1 + 0 = 0 1 � y (0) = − 2
3. Tìm đạo hàm tại x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi pt: x+y ( x − 1)e + xy = 0 ( ) Lấy đạo hàm ( ) hai theo x x+y x+y e + ( x − 1)(1 + y )e + y + xy = 0 ( ) Từ ( ), x = 1 y = 0, thay vào ( ) 1 e + 0 + 0 + 1.y (1) = 0 � y (1) = −e
Đạo hàm hàm cho theo tham số x = x (t ) Cho các hàm số : y = y (t ) Nếu : * x = x(t) có hàm ngược t = t(x) * x(t) và y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ 0 y ( x ) = y (t ).t ( x ) y (t ) y (x) = x (t )
Ví dụ t Cho : x (t ) = t .e − 1 Tính y’(x) tại x = -1 2 y (t ) = t + t y (t ) 2t + 1 y (x) = = t t x (t ) e + t .e x = -1 t.et – 1 = – 1 t=0 � y (−1) = 1
ĐẠO HÀM CẤP CAO Cho f(x) có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x0, nếu f’ có đạo hàm tại x0, đặt f ( x0 ) = ( f ( x ) ) x = x0 Có thể viết: f (x) = ( f (x)) Tổng quát: đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) (n ) � ( n −1) f (x) = � f (x)� �