intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 1: Đạo hàm và các ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST
Báo xấu
19
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 1: Đạo hàm và các ứng dụng, cung cấp những kiến thức như Các quy tắc của đạo hàm; Đạo hàm hàm chuỗi; Ý nghĩa hình học; Ứng dụng của đạo hàm. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Đạo hàm và các ứng dụng

  1. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm Chương 2 Đạo hàm và các ứng dụng Giải tích 1: Hàm số một biến 37 / 136
  2. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 1.1 Định nghĩa đạo hàm Đạo hàm của hàm số y = f (x) theo biến x là hàm f như sau f (x + h) − f (x) df dy f (x) = lim = = =y. (13) h→0 h dx dx √ Ví dụ: Tìm đạo hàm của f (x) = x + 2. √ √ ( x + h + 2) − ( x + 2) f (x) = lim h→0 h √ √ x +h− x = lim h→0 h 1 1 = lim √ √ = √ . h→0 x +h+ x 2 x Giải tích 1: Hàm số một biến 38 / 136
  3. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 1.1 Định nghĩa đạo hàm Hàm số f (x) có đạo hàm tại x nếu và chỉ nếu nó có đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải và các đạo hàm này bằng nhau: f (x + h) − f (x) f (x + h) − f (x) lim = lim+ = f (x) (14) h→0− h h→0 h Hàm số f (x) được gọi là khả vi trên một miền mở nếu nó có đạo hàm tại tất cả các điểm trong miền này. Hàm số f (x) khả vi trên một miền đóng [a, b] nếu nó khả vi trên miền mở (a, b) và có đạo hàm bên phải tại điểm biên trái và có đạo hàm bên trái tại điểm biên phải. Nếu f có đạo hàm tại x, thì nó liên tục tại x. Nếu f liên tục tại x, nó có đạo hàm tại x không? Giải tích 1: Hàm số một biến 39 / 136
  4. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 1.1 Định nghĩa đạo hàm Ví dụ: Chứng minh rằng f (x) = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Ta có |0 + h| − |0| f− (0) = lim = −1, h→0− h |0 + h| − |0| f+ (0) = lim+ = 1. h→0 h Do f− (0) = f+ (0) nên f (x) không có đạo hàm tại x = 0. Giải tích 1: Hàm số một biến 40 / 136
  5. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 1.1 Định nghĩa đạo hàm Bài tập: Dùng định nghĩa để tính các đạo hàm sau 1 1) f (x) = x 2 + 1 tại x = 1. 2) f (x) = tại x = 2. x −1 √ 3) f (x) = x + 3 tại x = 1. 4) f (x) = sin x tại x = π. Bài tập: Các hàm số sau đây có khả vi hay không? x, x < 0, x, x ≤ 1, 5) y = 6) y = 2 + 2x, x > 1. −x, x ≥ 0. −x x, x ≤ 0, 1 x 2 sin , x = 0, 7) y = 1 8) y = x , x > 0. 0, x = 0. x Giải tích 1: Hàm số một biến 41 / 136
  6. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 1.2 Qui tắc tính đạo hàm Các quy tắc tính đạo hàm (i). c = 0. (ii). x = 1. (iii). (cx) = c. (iv). (cu) = cu . (v). (x n ) = nx n−1 . (vi). (u n ) = nu u n−1 . (vii). (u + v) = u + v . (viii). (u − v) = u − v . u u v −v u (ix). = . (x). (uv) = u v + v u. v v2 Đạo hàm của một số hàm sơ cấp (xi). (sin u) = u cos u. (xii). (cos u) = −u sin u. u u (xiii). (tan u) = . (xiv). (cot u) = − 2 . cos2 u sin u (xv). (eu ) = u eu . (xvi). (au ) = u au ln a. u u (xvii). (ln u) = . (xviii). (loga u) = . u u ln a Giải tích 1: Hàm số một biến 42 / 136
  7. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 1.2 Qui tắc tính đạo hàm Bài tập: Tìm các đạo hàm sau √ √ 3 1 1 1 1) y = x + x+ x. 2) y = + +√ . x2 x x √ x +1 x −1 3) y = 2 . 4) y = . x +2 x +1 5) y = ex ln x. 6) y = x 2 ex . cos x sin x 7) y = x sin x − . 8) y = tan x cot x + . x cos x Giải tích 1: Hàm số một biến 43 / 136
  8. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 1.3 Đạo hàm bậc cao Hàm số f được gọi là đạo hàm bậc hai của f nếu nó là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất của f d df d 2f d 2y f (x) = = = . (15) dx dx dx 2 dx 2 Hàm số f (n) được gọi là đạo hàm bậc n của f nếu nó là đạo hàm của đạo hàm bậc (n − 1) của f d (n−1) d (n−1) f (n) (x) = f (x) = y (x)(y (n−1) (x)) . (16) dx dx 1 Ví dụ: Tìm đạo hàm bậc 3 của y = f (x) = + xex . x 1 x 1 x + xe x , Ta có y = + xe =− 2 +e x x 1 x + xe x 2 y = (y ) = − 2 + e = 3 + 2ex + xex , x x 2 6 y = (y ) = + 2ex + xex = − 4 + 3ex + xex . x3 x Giải tích 1: Hàm số một biến 44 / 136
  9. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 1.3 Đạo hàm bậc cao Bài tập: Tìm đạo hàm bậc 2 của các hàm số sau đây 2 1) y = e−x . 2) y = e2x sin 3x. √ 3) y = 2x + 1 tại x = 3. 4) y = (x + 1) ln x tại x = 1. Bài tập: Tìm đạo hàm bậc 3 của các hàm số sau đây 5) y = sin2 x. 6) y = x ln x. 7) y = ex cos x tại x = 0. 8) y = xex tại x = 2. Giải tích 1: Hàm số một biến 45 / 136
  10. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 2.1 Đạo hàm hàm hợp Nếu y = f (u) có đạo hàm tại điểm u = g(x) và g(x) khả vi tại điểm x, thì hàm hợp f ◦ g(x) = f (g(x)) khả vi tại x, và dy dy du (f ◦ g) (x) = f (g(x))g (x) hoặc = . (17) dx du dx √ 1 Ví dụ: Đặt g(x) = x và f (u) = . Tìm đạo hàm của h = f ◦ g. +1 u2 1 u Ta có g (x) = √ , f (u) = −2 2 . Đặt u = g(x) thì 2 x (u + 1)2 √ −2u 1 − x 1 −1 (f ◦ g) (x) = f (u)g (x) = 2 √ = 22 x 2 √ = . (u + 1) (x + 1) x (x + 1)2 Giải tích 1: Hàm số một biến 46 / 136
  11. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 2.2 Đạo hàm hàm ngược Cho hàm số y = f (x) và hàm ngược x = f −1 (y). dx dx dy Ta có = = 1. Như vậy dx dy dx 1 xy = . (18) yx Ví dụ: Cho f (x) = x + ln x. Tìm đạo hàm của (f −1 ) . 1 1+x Đặt y = f (x) và x = f −1 (y). Ta có yx = 1 + = . x x 1 x Vậy xy = = . yx 1+x Giải tích 1: Hàm số một biến 47 / 136
  12. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 2.2 Đạo hàm hàm ngược Bài tập: Tìm các đạo hàm của hàm (y ◦ t)(x) 1) y(t) = 3t − t 2 , t(x) = 2x − x 2 . 2) t(x) = x 2 , y(t) = tet . 3) y(x) = 2x 2 + x, t(x) = x 2 − 2. 4) y(x) = x 2 , t(x) = 2x . Bài tập: Tìm các đạo hàm của hàm y −1 (x) 5) y(x) = ex − e−x . 6) y(x) = ln x − x 2 . √ 1−x 7) y(x) = 1 − x 2. 8) y(x) = . 1+x Giải tích 1: Hàm số một biến 48 / 136
  13. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 2.3 Đạo hàm hàm ẩn Ta nói hàm số y = f (x), x ∈ (a, b) được cho dưới dạng hàm ẩn F (x, y) = 0. nếu với mọi x ∈ (a, b), ta có F (x, f (x)) = 0. Để tính đạo hàm hàm số y = f (x), ta đạo hàm hàm F (x, y) theo biến x sau đó giải phương trình vừa tìm được đối với f (x) Ví dụ : Cho x 3 + y 3 − 3xy = 0. Tìm đạo hàm của y = f (x). Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta thu được 3x 2 + 3y 2 y − 3(y + xy ) = 0. y − x2 Giải phương trình trên, ta thu được y = . y2 − x Giải tích 1: Hàm số một biến 49 / 136
  14. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 2.4 Đạo hàm hàm chứa tham số Cho hàm số y = f (x) là hàm chứa tham số có dạng y = y(t), x = x(t), t ∈ [a, b] Khi đó đạo hàm của y = f (x) được cho bởi dy y (t) (t) = t dx xt (t) Ví dụ : Cho y(x) thỏa y(t) = t + sin t và x(t) = t 2 − t. Tìm đạo hàm của y = f (x). Ta có yt (t) = 1 + cos t và xt (t) = 2t − 1. dy y (t) 1 + cos t Do đó = t = . dx xt (t) 2t − 1 Giải tích 1: Hàm số một biến 50 / 136
  15. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 2.4 Đạo hàm hàm chứa tham số Bài tập: Tìm các đạo hàm của hàm y(x) 1) x 2 + y 2 = 1 tại x = 1/2. 2) y = 1 + xey tại y = 1. 3) y = x 2 + ln y − x 2 ey . 4) (x + y)3 = −1 Bài tập: Tìm các đạo hàm của hàm y(x) 5) y = t 2 − t + 2, x = t 3 − 1. 6) y = tet , x = t ln t. √ √ 7) y = 3 cos t, x = 2 sin t. 8) y = t 2 + 1, x = t +1 Giải tích 1: Hàm số một biến 51 / 136
  16. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 3.1 Độ dốc - Tiếp tuyến - Pháp tuyến Độ dốc của đường cong y = f (x) tại điểm P(xP , yP ) là đạo hàm f (xP ). Tiếp tuyên của đường cong tại P là đường thẳng qua P có độ dốc f (xP ). Pháp tuyến của đường cong tại P là đường thẳng qua P và vuông góc với tiếp tuyến qua P. Ví dụ: Tìm độ dốc của y = x 2 tại x = 3. Độ dốc của hàm số là k(x) = f (x) = 2x. Độc dốc tại x = 3 là k(3) = 2 · 3 = 6. Giải tích 1: Hàm số một biến 52 / 136
  17. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 3.1 Độ dốc - Tiếp tuyến - Pháp tuyến Ví dụ: Tìm tiếp tuyến của y = f (x) = x 2 tại x = 3. Tiếp tuyến của đường cong có dạng y1 = kx + b. Độ dốc tại x = 3 là k = 6. Do (3, 9) nằm trên tiếp tuyến, nên 9 = 6 · 3 + b ⇔ b = −9. Đường tiếp tuyến là y1 = 6x − 9 Giải tích 1: Hàm số một biến 53 / 136
  18. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 3.1 Độ dốc - Tiếp tuyến - Pháp tuyến Ví dụ: Tìm pháp tuyến của y = f (x) = x 2 tại x = 3. Pháp tuyến của đường cong có dạng ¯ y2 = kx + c. Pháp tuyến vuông góc với tiếp ¯ tuyến nên k = −1/k = −1/6. Do (3, 9) nằm trên pháp tuyến, nên 9 = −3/6 + c ⇔ c = 19/2. Đường pháp tuyến là x 19 y2 = − + 6 2 Giải tích 1: Hàm số một biến 54 / 136
  19. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 3.1 Độ dốc - Tiếp tuyến - Pháp tuyến Bài tập: Tìm tiếp tuyến và pháp tuyến của các đường cong sau √ 1) y = x tại x = 4. 2) y = sin 2x + cos x 2 tại x = 0. 3) y = x 2 − 2x + 3 tại x = 0. 4) y = x 3 + 2x 2 − 4x − 3 tại x = −2. √ 5) y = 3 x − 1 tại x = 1. 6) y = ln x tại x = 0. 7) y = x + cos x tại x = 0. 8) y = ex − e−x tại x = 1. Giải tích 1: Hàm số một biến 55 / 136
  20. Hàm số và tính chất Các quy tắc của đạo hàm Đạo hàm và các ứng dụng Đạo hàm hàm chuõi Tích phân và các ứng dụng Ý nghĩa hình học Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của đạo hàm 3.2 Cực trị của hàm số Cho f là một hàm số có tập xác định D. Nếu tại c f đạt giá trị lớn nhất ⇔ f (c) ≥ f (x), ∀x ∈ D. f đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ f (c) ≤ f (x), ∀x ∈ D. f đạt cực đại địa phương ⇔ f (c) ≥ f (x), ∀x ∈ (c − r , c + r ). f đạt cực tiểu địa phương ⇔ f (c) ≤ f (x), ∀x ∈ (c − r , c + r ). Giải tích 1: Hàm số một biến 56 / 136
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
9=>0