Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh (tt)

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

130
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 2: Ứng dụng đạo hàm" cung cấp cho người học các kiến thức: Taylor Maclaurint, quy tắc Lôpital, khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh (tt)

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Taylor Maclaurint. 2 – Qui tắc Lôpital. 3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
II. Qui tắc Lôpital Định lý 1 Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Xác định trong lân cận của điểm x0 và f ( x0 )  g ( x0 ) . ' ' 2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn f ( x0 ), g ( x0 )  0. ' f ( x) f ( x) Khi đó: lim  lim ' x  x0 g ( x ) x  x0 g ( x ) f ( x)  f ( x0 ) ' f ( x) x  x0 f ( x) lim  lim  lim ' x  x0 g ( x ) x  x0 g ( x )  g ( x0 ) x  x0 g ( x ) x  x0
II. Qui tắc Lôpital 0 Định lý 2 (Qui tắc Lôpital ) 0 Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Khả vi trong khoảng (a,b). ' 2) x  (a, b) : g ( x)  0. 3) Tồn tại lim f ( x)  lim g ( x)  0 x a x a f ' ( x) 4) Tồn tại lim ' hữu hạn hay vô hạn. x a g ( x ) f ( x) f ( x) f ' ( x) Khi đó tồn tại lim và lim  lim ' x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )
II. Qui tắc Lôpital Chứng minh
II. Qui tắc Lôpital  Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )  Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Khả vi trong khoảng (a,b). ' 2) x  (a, b) : g ( x)  0. 3) Tồn tại lim f ( x)  lim g ( x)   x a xa ' f ( x) 4) Tồn tại lim ' hữu hạn hay vô hạn. x a g ( x ) f ( x) f ( x) f ' ( x) Khi đó tồn tại lim và lim  lim ' x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )
II. Qui tắc Lôpital Chứng minh
II. Qui tắc Lôpital Dạng vô định: 0 f 0  f g  dạng  f 0 1/ g 0  g   f   f g  dạng 1/ g  Các dạng vô định:   , 1 ,  , 0  0 0 Các dạng vô định trên đều đưa về dạng vô định 0.
III. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: ) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn. ' ) Tìm đạo hàm cấp 1: ( x) y ) Tìm đạo hàm cấp hai y '' ( x) ) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng. 5) Lập bảng biến thiên. 6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ.
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm y  f ( x) cho bởi p/trình tham số t3 t 3  2t 2 x 2 ,y 2 t 1 t 1 2 2 ' 2 ' t (t  3) ' y (t ) (t  1)(t  t  4) x (t )  2 2  0  t  0   y ( x)  '  2 (t  1) x (t ) t (t  3) ' y ( x)  0  t  1 Tồn tại hai điểm tới hạn: 1 x  0 (t  0); x  (t  1) 2 ' y ( x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạ cực đại tại x = 0. ' y ( x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạ cực tiểu tại x = 1/2.
Ví dụ. Tìm điểm uốn của hàm y  y( x) cho bởi p/trình tham số cos(2t ) x  1  cot(t ), y  ,0  t   sin t y '' (t )  x ' (t )  x '' (t )  y ' (t ) y '' ( x)  3  x (t )  ' '' 3  y ( x)  0  t   t  4 4 '' 3  y ( x) đổi dấu khi qua t   t  4 4 Vậy hàm có hai điểm uốn:  0,0  và (2,0) (ứng với hai giá trị của t ở trên)
Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) iệm cận đứng: lim f ( x)    x  x0 là tiệm cận đứng x  x0 Tìm tiệm cận đứng tại những điểm gián đoạn của hàm.  f ( x)  y  ax  b  a  xlim  x Tiệm cận xiên:  là tiệm cận xiên b  lim  f ( x)  ax   x  Nếu a = 0, thì y = b là tiệm cận ngang.
Ví dụ. arctan 2 x Tìm tiệm cận của đồ thị y x(1  x) Tiệm cận đứng: có hai điểm gián đoạn x = 0 và x = 1. arctan 2 x lim 2 x = 0 không là tiệm cận đứng. x 0 x (1  x ) arctan 2 x lim  x = 1 là tiệm cận đứng. x 1 x (1  x ) arctan 2 x lim 0 y = 0 là tiệm cận ngang. x  x (1  x )
Hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t): Nếu x(t): hàm chẳn, y(t): hàm lẻ, thì đồ thị đối xứng qua Ox. Nếu x(t): hàm lẻ, y(t): hàm chẵn, thì đồ thị đối xứng qua Oy. Nếu x(t) và y(t) cùng lẻ, thì đồ thị đối xứng qua gốc O.
Tiệm cận của đường cong tham số x = x(t), y = y(t):  lim x(t )  a  t t0 Nếu   x  a , thì x  a là tiệm cận đứng tlim y (t )     t0  lim x(t )    t  t0 Nếu   y  b , thì y  b là tiệm cận ngang  tlim y (t )  b  t0  y (t )  lim x(t )    lim a  t  t0 và t t0 x(t ) Nếu   lim t t y (t )    lim  y (t )  a  x(t )   b  0  t  t0 thì y  ax  b là tiệm cận xiên.
Các bước vẽ đường cong tham số x = x(t), y = y(t): 1) Khảo sát hàm một biến x = x(t) theo t. 2) Khảo sát hàm một biến y = y(t) theo t. 3) Lập trên cùng bảng biến thiên hai hàm x(t) và y(t). 4) Tìm tiệm cận và một số điểm đặc biệt của x(t), y(t). 5) Vẽ. Dựa vào bảng biến thiên: từ trái qua phải, xét x biến thiên và y biến thiên trên từng đoạn.
Ví dụ. Khảo sát vẽ đồ thị hàm y  y( x) cho bởi p/trình tham số 2 3 x  t , y  t  3t ' ' x (t )  2t x (t )  0  t  0 ' 2 y (t )  3t  3  0  t  1  t  1 Tiệm cận xiên: không có.
x ' (t )  2t ' 2 y (t )  3t  3   3 1 0 1 3  t)    0      3 1 3 ) 0 1 t)   0   0   2  ) 0 0 0  2
Ví dụ. Khảo sát vẽ đồ thị hàm y  y( x) cho bởi p/trình tham số 2 3 t t x ,y 4(1  t ) 8(t  1) ' t (2  t ) ' x (t )  2 x (t )  0  t  0  t  2 4(1  t ) 2 ' t (2t  3) 2 y (t )  2  0  t  0t  8(t  1) 3 Điểm đặc biệt: