Bài giảng Giải tích 1: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh (P2)

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

305
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân suy rộng" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân suy rộng loại một, tích phân hàm không âm, hội tụ tuyệt đối, tích phân suy rộng loại hai, ... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh (P2)

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 3: Tích phân suy rộng • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – Tích phân suy rộng. Tài liệu: 1) Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по мат. анализу, Том 2, Москва, 2003. 2) James Stewart. Calculus. 6th edition, USA, 2008
I. Tích phân suy rộng loại một Bài toán Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong: y  f ( x )  0, trục hoành, đường thẳng x = a.  b s   f ( x)dx  lim  f ( x)dx b a a b  
Tích phân suy rộng loại một y  f ( x) khả tích trên đoạn  a, b, với mọi b  a  b Tích phân  f ( x)dx  blim   f ( x )dx a a được gọi là tích phân suy rộng loại một. Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một a a  f ( x)dx  blim   f ( x)dx  b  a   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   a
 b  f ( x)dx  blim   f ( x) dx a a Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng, thì tích phân gọi là phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp) 2) Khảo sát sự hội tụ.
Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz) Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  a,    b  f ( x)dx  blim   f ( x) dx  blim   F (b)  F ( a )  a a Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim F (b) : F ( ) b    f ( x)dx  F ( x)  F ()  F (a ) a a
Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 1 y  2 , trục hoành và đường thẳng x = 1. x b  dx b dx  1   1    2  lim  2  lim    lim   1   1 1 x b 1 x b x x  b  1    Diện tích của miền S bằng 1, hữu hạn.
Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 1 y , trục hoành và đường thẳng x = 1. x dx  dx b  1 x  lim  b 1 x  blim  ln| x | b 1   lim x   ln b    S là miền có diện tích vô hạn, bằng 
Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 1 y  2 , trục hoành. x 1  dx  dx S 2  x  1 2 2 0 x 1  2  blim   arctan x b 0    Diện tích của miền S bằng  .
 2 x Ví dụ Tính tích phân I e dx 1 2 x   2 x e  e  e 2  1 I e dx        2 1 2 1  2 2  2e  dx Ví dụ Tính tích phân I  2 e x ln x    dx d (ln x) 1  1 1  I  2   2       1. e x ln x e ln x ln x e  ln() ln e 
 dx Ví dụ Tính tích phân I  4 x2  5x  6 1 1 1 1 2    x  5 x  6 ( x  2)( x  3) x 3 x 2   1 1    I   dx  ln | x  3 | 4  ln | x  2 | 4 4  x 3 x2  ()  () Dạng vô định.? Không được phép dùng: lim ( f  g )  lim f  lim g x  x  x  khi chưa đảm bảo hai giới hạn vế phải chắc chắn tồn tạ  x 3  x 3  43 1 I  ln  lim  ln   ln 4  2  ln1  ln 2  ln 2 x  2 4 x  x  2 
 dx Ví dụ Tính I  5 10 1 x 1 x  x 1 1  dx Đổi biến: t  5  dt   6 dx I x x  6 1 1 1 x 10  5 1 x 1 t 1 x x Đổi cận: x    t  0 0 1 dt dt I    1 t2  t 1 0  t  1/ 2  2  3/ 4 1 2  ln  t  1/ 2    t  1/ 2   3/ 4 0
 2 x Ví dụ Tính I e cos xdx 0 2 x 2 x Đặt ue  du  2e dx dv  cos xdx  v  sin x   I  e2 x sin x  2  e2 x sin xdx 0 0  Ta có   lim e 2 x sin x  0 nên I  2  e 2 x sin xdx x  0 2 x 2 x ue  du  2e dx dv  sin xdx  v   cos x   2 I  2 e  2 x cos x  0 4 e 2 x cos xdx  2  4I  I  5 0
 arctan x Ví dụ Tính I   dx 2 3/ 2 0 1  x  dx Đổi biến: t  arctan x  dt  2 1 x  Đổi cận: x  0  t  0 x    t  2 1 2 x  tan t  1  x  2 cos t    /2 arctan x arctan x dx  I  dx    2   t cos tdt  1 2 3/ 2 2 1 x 0 1  x  0 1 x 0 2
Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ) Trường hợp 1:  1   1 1 1 1 1 hữu hạn, khác 0.   dx    1    1 a 0 x 1  x a  1 a tích phân hội tụ. Trường hợp 2:   1 1   1 x     dx  Tích phân phân kỳ. a 0 x 1 a Trường hợp 3:  1  1     dx  ln | x | a Tích phân phân kỳ. a 0 x
Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)  1  hoä i tuï , neá u   1   dx   a 0 x  phaâ n kyø , neá u   1 Neá u   1, thì I hoä i tuï .  1 Neáu   1, thì I phaân kyø . I     dx 2 x ln x Neáu   1,   1, thì I hoäi tuï . Neáu   1,   1, thì I PK.
Tích phân hàm không âm Tiêu chuẩn so sánh 1.  x  a  f ( x)  0, g ( x)  0 và khả tích trên  a,   f ( x)  g ( x) ở lân cận của . Khi đó:   1) Nếu  g ( x)dx hội tụ, thì  f ( x)dx hội tụ. a a   2) Nếu  f ( x)dx phân kỳ, thì  g ( x)dx phân kỳ. a a  ể khsát sự hội tụ của I   f ( x)dx, thường đem so sánh  a dx ới  đã biết kết quả. a x
Chú ý (trong tiêu chuẩn 1): 1) f(x) và g(x) là hai hàm không âm. 2) Chỉ cần tồn tại   a  x   ,    f ( x)  g ( x)  dx 3) Cận dưới của tích phân   là số dương ( a  0. ) a x  dx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I   2 2 1 2 x  sin 3 x 1 1 Ta có f ( x)  2 2  2  g ( x) 2 x  sin 3 x 2 x  dx Vì  2 hội tụ , nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1. 1 2x
 dx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I  1 x 2  sin 2 3 x 1 2 Ta có f ( x)  2 2  2  g ( x) x  sin 3 x x  dx Vì  2 hội tụ , nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1. 1 x  3 ln xdx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I  1 x5 3 ln x 1 1 Ta có f ( x)     g ( x) x  5 x  5 x  5 2x  dx Vì  phân kỳ , nên I phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1. 1 2x
Tích phân hàm không âm Tiêu chuẩn so sánh 2.  x  a  f ( x)  0, g ( x)  0 và khả tích trên  a,   f ( x) K  xlim Khi đó:  g ( x)   1) K  0 : nếu  g ( x)dx hội tụ, thì  f ( x)dx hội tụ. a a 2) K höõ u haï n,  0 :    f ( x)dx và  g ( x)dx cùng HT hoặc cùng PK. a a   3) K   : nếu  f ( x)dx hội tụ, thì  g ( x)dx hội tụ. a a