IV. CHUỖI LŨY THỪA
1.Định nghĩa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
n xxa ( ) 0 n n 1 )
X
(
n
0xx n Xa
1
Bằng phép biến đổi
ta đưa chuỗi trên về dạng n Do đó các kết quả về chuỗi lũy thừa chỉ cần xét cho
n
trường hợp chuỗi có dạng
n nxa 1 n hội tụ tại
0x
nxa
n
1
Rõ ràng chuỗi
2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
n nxa 1 n
Số R > 0 sao cho chuỗi lũy thừa
: Rxx
hội tụ với mọi và phân kỳ với mọi
: Rxx
được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.
n
Khoảng (-R, R) được gọi là khoảng hội tụ của
nxa 1 n
chuỗi lũy thừa
2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
n nxa 1 n
Nếu chuỗi lũy thừa
hội tụ x R ta cho R = + .
n nxa
n
1
Nếu chuỗi lũy thừa
phân kỳ x 0 ta cho R = 0.
3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
lim n
a 1 n a
n
n nxa Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 n
a) Định lý Abel: Giả sử
R
0
,0 0,1 ,
là:
3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
n
b. Định lý Cauchy:
a n
lim n
n nxa khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 n
Giả sử
R
0
,0 0,1 ,
là:
n nxa 1 n
Chú ý: Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
Bước 1:
Ta dựa vào hai định lý trên để tìm bán kính hội tụ R.
Bước 2:
Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa này là: -R < x < R
Bước 3:
Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút của khoảng hội tụ.
n nxa 1 n
Từ đó ta sẽ có được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
4. Một số ví dụ:
n x n
1n
VD1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
a n
n
1
n
a n 1 a n
1 n Vậy R = 1
Ta có:
Khoảng hội tụ của chuỗi là -1 Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = 1
1
Tại x = 1 ta có chuỗi
n n
1 phân kỳ 4. Một số ví dụ - VD 1(tt): hội tụ theo 1)1(
n
n n 1
Tại x = -1 ta có chuỗi tiêu chuẩn Leibnitz. ( Vậy miền hội tụ của chuỗi là -1 ≤ x <1
n
1
n n
Đặt X = (x+2) chuỗi ban đầu trở thành
n n
x
)2
n
3.
n
X
1 3.
n VD2: Tìm miền hội tụ của chuỗi 4. Một số ví dụ - VD2(tt): a
n a
n n 1
3 1
n
n
3 1
n
n
3. Ta có: Vậy R = 3 3- X
3 3- ( x
3 2)
5- x
1 Khoảng hội tụ của chuỗi là 4. Một số ví dụ - VD2(tt): Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = -5 và
x = 1: 1)1(
n
n hội tụ. Tại x = -5 ta có chuỗi
n
1
1
phân kỳ.
n n
1 Tại x = 1 ta có chuỗi Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -5 ≤ x <1 n
2
x
n
9.
n
VD3: Tìm miền hội tụ của chuỗi
n
1 n 4. Một số ví dụ (tt): n Xa 1n Đặt X = x2 , chuỗi ban đầu trở thành 1
a
n n
n
9. n a n 1
9 n
9 1
n Ta có: Vậy R = 9 4. Một số ví dụ - VD3(tt): 2 x 3 3- 3x Khoảng hội tụ của chuỗi là Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = 3:
1
n n
1 phân kỳ. Tại x = 3 ta có chuỗi Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -3 < x < 3 n 4. Một số ví dụ (tt): VD4: Tìm miền hội tụ của chuỗi n
)1(
n
2
1 1
1
x
x
n
1
X
Đặt 1
1
x
x n n X )1(
n
2
1 1
Chuỗi ban đầu trở thành
n a
n n
)1(
n
2
1 R 1 1 n
2
n
2
1
3 a
n
a
1
n Ta có: 1- X
1 x 0 4. Một số ví dụ - VD4 (tt): x
x Khoảng hội tụ của chuỗi là
1 1-
1
1 Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút x = 0: n
)1(
n
2
1
Tại x = 0 ta có chuỗi
n
1
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Vậy miền hội tụ của chuỗi là: 0 ≤ x < + 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa: a) Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm số liên tục trên miền hội tụ của nó. 1
n
xna
n n
xa
n
n
1
n
1
b) Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy đạo hàm từng số
1
hạng của từng chuỗi lũy thừa, nghĩa là
n
nxna
n
1
khi đó chuỗi cũng có bán kính hội tụ là R. 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt): c) Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy tích phân từng số x x n 1
n
dt n
x ta
n ta
n hạng của chuỗi lũy thừa, nghĩa là: a
n
n 1 1
n n n 1
dt
0 1
a
n
n x
1
n
1
n
khi đó chuỗi cũng có bán kính hội tụ là: R 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt): xS
)( x
... n
)1( ... 3
x
3 5
x
5 n
12
x
2
n
1 VD1: Hãy tính tổng của chuỗi trong miền hội tụ của chúng. xS
)( n
)1(
n
12
x
có bán kính hội tụ là R=1
1
2
n
n
0
2 n 2 n
cũng có bán xS
)(' n
.)1(
x ( x ) n 0 Ta có: n
0
)(
xS 1
2
x 1 . Vậy kính hội tụ là R=1 x x )(
xS
S )0(
)(
tS dt dt 2 1
1 t 0 0
arctg x 0
arctg 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD1 (tt): Mà S(0)= 0 nên S(x) = arctgx 3 n n
1 xS
)( x
)1( ... ... x
2 x
3 x
n VD2: Hãy tính tổng của chuỗi
2 trong miền hội tụ của chúng. n 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt): )(
xS n
1)1(
x
n n 1
n 1
n 1
n Ta có: có bán kính hội tụ là R=1
xS
)( )1(
x ( x ) n 1
n 0 Vậy cũng có bán kính hội tụ là R = 1.
)(
xS 1
1 x Cho nên x x
xS
)( S )0(
)(
tS dt dt 1ln( x
) 1
t 1 0 0
Mà S(0) = 0 nên S(x) = ln(1+x) 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt): 2 xS 3 x
... nnx
1 ... x
21)(
trong miền hội tụ của chúng. VD3: Hãy tính tổng của chuỗi 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD3 (tt):
1
có bán kính hội tụ là R=1 xS
)( n
xn
n
1 x n tS
)( dt x Ta có: n 1
0 cũng có bán kính hội tụ là R=1 tS
)( 1 1 x
0
xS
)( tS
)( dt 1 Vậy 1 1
x x
x
0 1
xS
)( 1
2
x
1 6. Chuỗi Taylor 6. Chuỗi Taylor (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt)
1 0
