Bài giảng Giải tích 1: Tích phân suy rộng (Phần 2)

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

198
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1: Tích phân suy rộng (Phần 2)" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân suy rộng loại 2, công thức Newton-Leibnitz, tích phân hàm không âm. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Tích phân suy rộng (Phần 2)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG (phần 2)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 Điểm kỳ dị: Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0}. Nếu lim f ( x ) = x x0 ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b] b Tích phân suy rộng loại 2 là f ( x )dx a với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b]
Định nghĩa. Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi >0 đủ nhỏ, kỳ dị tại b b b −ε � f ( x )dx = lim � f ( x )dx a ε 0+ a b b Nếu f kỳ dị tại a � f ( x )dx = lim � f ( x )dx a ε 0+ a + ε b Nếu giới hạn hữu hạn: f ( x )dx hội tụ a Ngược lại: phân kỳ.
Nếu f kỳ dị tại a và b b c b � f ( x )dx = � f ( x )dx + �f ( x )dx a a c Nếu f kỳ dị tại x0 (a, b) b x0 b � f ( x )dx = �f ( x )dx + �f ( x )dx a a x0 (vế trái hội tụ các tp vế phải đều hội tụ)
Công thức Newton-Leibnitz Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi > 0 đủ nhỏ, kỳ dị tại b, F(x) là nguyên hàm của f(x). b f ( x )dx = F (b) − F (a) a Với F (b) = lim F ( x ) x b− Lưu ý: các pp đổi biến số và tp từng phần vẫn dùng như tp xác định.
Ví dụ 1 dx 1 π = arcsin x 0 = 0 1− x 2 2 1 ln x dx kỳ dị tại x = 0 0 x 2 1 = 1 ln x.d ( ln x ) ln x 0 = =− 2 0 Vậy tp trên phân kỳ.
Ví dụ 1 ln x dx f kỳ dị tại x = 0 0 x 1 12 x = 2 x .ln x − dx 0 0 x 1 = 0 − 4 x = −4 0
Ví dụ −1/ 4 dx f kỳ dị tại x = 1/2. I= −1/ 2 x 2 x + 1 2 t = 2 x + 1 � 2tdt = 2dx 1/ 2 tdt 1/ 2 dt I= 2 = 2 2 0 t −1 0 t −1 t 2 1/ 2 1/ 2 �1 1 � t −1 � 2 −1� = � − � dt = ln = ln � � 0 �t − 1 t + 1 � t +1 0 � 2 +1�
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b - ], >0, kỳ dị tại b Nếu f ( x ) kg ( x ), ∀x , a x
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1 f (x) Đặt k = lim (giới hạn tại điểm kỳ dị) x b− g ( x ) b b Cùng hội tụ • 0 k � a f ( x )dx , �g ( x )dx a hoặc phân kỳ b b •k=0 g ( x )dx hội tụ f ( x )dx hội tụ a a b b •k= g ( x )dx phân kỳ f ( x )dx phân kỳ a a
Tích phân cơ bản dxb b dx Iα = � , Jα = � a (b − x )α a ( x − a )α Hội tụ khi và chỉ khi
Sự hội tụ tuyệt đối (hàm có dấu tùy ý) b Cho f(x) khả tích trên [a, b - ], 0, nếu f a b b hội tụ thì f hội tụ. Khi đó ta nói f a a hội tụ tuyệt đối. • Sự hội tụ tuyệt đối là sự hội tụ của tích phân |f| • Hội tụ tuyệt đối hội tụ
Ví dụ 1x Khảo sát sự hội tụ: I = dx 0 sin x f kỳ dị tại x = 0 x x 1 1 0 f (X) = : = = 1/2 sin x x x ( x − 0) 1 Chọn g ( x ) = ( x − 0)1/2
1 Chọn g ( x ) = ( x − 0)1/2 f (x) x x x 0+ = 1 g ( x ) sin x 1 1 dx I cùng bản chất với � 0 g ( x )dx =�0 ( x − 0)1/2 nên hội tụ.
Ví dụ π /2 dx Khảo sát sự hội tụ: I= 0 sin x cos x f(x) ≥ 0, kỳ dị tại /2 và 0, tách I thành 2 tp π /3 dx π /2 dx I=� +� 0 sin x cos x π /3 sin x cos x I1 I2
Xét I1: f kỳ dị tại x = 0 1 1 + f (x) = : , khi x 0 sin x cos x x 1 Chọn g ( x ) = x f (x) x x 0+ = 1 g (x) sin x cos x π I1 cùng bản chất với 3 g ( x )dx nên hội tụ. 0
Xét I2: f kỳ dị tại x = /2 1 1 f (x) = = , sin x cos x �π � sin x sin � − x � �2 � − 1 π : khi x π 2 −x 2 1 Chọn g (x) = π −x 2
1 Chọn g (x) = 1 �π � � − x� �2 � π π− f (x) − x x = 2 2 1 g (x) sin x cos x π I2 cùng bản chất với 2 g ( x )dx nên pkỳ π /3 I1 hội tụ, I2 phân kỳ I hội tụ
Ví dụ + dx Khảo sát sự hội tụ: I= 0 xα Tổng quát I không phải là tích phân suy rộng loại 1. 1 dx dx + I = �α + � α = I1 + I2 0x 1 x I1 hội tụ � α 1
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I= + (x 3/2 +1 ) x dx 0 ex −1 f kỳ dị tại x = 0, tách I thành 2 tích phân: I=� (1 ) x 3/ 2 + 1 x dx + � ( + x 3/2 + 1 ) x dx x x 0 e −1 1 e −1 I1 I2 (do x = 0 quyết định) (do x = + quyết định)