Bài giảng Giải tích 1: Tích phân bất định

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

300
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1: Tích phân bất định" trình bày các nội dung: Bảng công thức nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân, một số lưu ý khi dùng tích phân từng phần, tích phân các phân thức cơ bản, định lý phân tích,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Tích phân bất định

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
ĐỊNH NGHĨA F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) F’(x) = f(x) f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM dx dx 1 x 1 / � 2 = arctan x + C 2 / �2 2 = arctan + C 1+ x a +x a a dx dx x 3/ � = arcsin x + C 4 / � = arcsin + C 1− x 2 2 a −x 2 a dx 5/ = ln x + x 2 + k + C x2 + k 2 2 2 x 2 2 a x 6 / a − x dx = a − x + arcsin + C 2 2 a 2 x 2 k 7 / x + kdx = x + k + ln x + x 2 + k + C 2 2
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 8 / chx dx = shx + C 9 / shx dx = chx + C dx 10 / 2 = thx + C ch x dx 11 / 2 = −cothx + C sh x dx x 12 / = ln tan + C sin x 2 dx � x π� 13 / = ln tan � + �+ C cos x �2 4 �
Ví dụ dx x 2 = arcsin + C 4−x 2 dx 1 x 2 = arctan + C x +4 2 2 x x x 1 x 3 e dx = (3e ) dx = (3e ) + C ln 3 + 1
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Đổi biến: Đổi biến 1: x = u(t) dx = u’(t) dt f(x) dx = f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t u’(x) dx = dt f(u(x))u’(x) dx = f(t) dt 2. Tích phân từng phần: u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) u’(x)v(x) dx
Ví dụ 2 x3 1 x3 3 1 x3 x e dx = e d(x ) = e +C 3 3 x arctan 1 x � x� 2 dx = arctan d � arctan � 2 2 2 � 2� 4+x
Một số lưu ý khi dùng tp từng phần Pn ( x ) là đa thức bậc n. Pn .ln(α x )dx Pn .arctan xdx dv = Pndx, u là phần còn lại Pn .arcsin xdx αx Pn .e dx u = Pn ( x ), dv là phần còn lại Pn .sin xdx
Ví dụ dx u = arcsin x � du = I = arcsin xdx 2 1− x dv = dx , chon v = x & 2 xdx 1 d (1 − x ) I = x arcsin x − = x arcsin x + 1− x2 2 2 1− x2 1 = x arcsin x + 1 − x 2 + C 2
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản dx ( Ax + B )dx � ( x − a) m �2 , x + px + q Trong đó: * m là các số tự nhiên, * Các tam thức bậc 2 có = p2 4q< 0
Tích phân các phân thức cơ bản dx = ln x − a + C x −a dx 1 1 = m −1 + C (m > 1) ( x − a) m 1 − m ( x − a)
Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B )dx Đạo hàm của MS (lấy hết Ax) 2 x + px + q A 2x + p � Ap � dx = 2 dx + �B − � 2 2 x + px + q � 2 � x + px + q 2x + p du 2 dx = = ln u + C x + px + q u
Tích phân các phân thức cơ bản dx dx 2 = 2 x + px + q �x + p �+ q − p 2 � � � 2� 4 dv 1 v = 2 2 = arctan + C v +a a a
Ví dụ x- 1 ￲ dx 2 x - x +1 1 2x - 1 �1 � dx = ￲ dx + ￲￲ - 1￲￲￲ ￲ 2 x2 - x +1 �2 � x2 - x + 1 1 2 1 dx = ln( x - x + 1) - ￲ 2 2 2 � 1� 3 ￲￲ x - ￲￲ + � 2� ￲ 4 1 1 1 2 x - 2 = ln( x - x + 1) - . arctan2. 2 +C 2 2 3 3
Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B)dx A (2 x + p)dx Ap dx � 2 n = �2 n + ( B − ) �2 ( x + px + q) 2 ( x + px + q) 2 ( x + px + q) n (2 x + p)dx du � 2 n = �n ( x + px + q) u dx dv � 2 n = �2 2 n = In ( x + px + q) (v + a ) 1 � v � I n+1 = 2� 2 2 n + (2n − 1) I n � (v + a ) 2na � �
Chứng minh quy nạp In dx u = ( x 2 + a 2 −n ) � du = −2 nx ( x 2 + a 2 − n −1 ) dx In = ( x 2 + a 2 ) n dv = dx , chon � v = x I n = x ( x 2 + a 2 ) − n + 2n x 2 ( x 2 + a 2 ) − n−1 dx I n = x ( x 2 + a 2 ) − n + 2n ( x 2 + a 2 − a 2 )( x 2 + a 2 ) − n−1 dx = x ( x 2 + a 2 ) − n + 2n � ( x 2 + a 2 ) − n dx − 2na 2 � ( x 2 + a 2 ) − n−1 dx I n = x ( x 2 + a 2 ) − n + 2nI n − 2na 2 I n+1 1 � x � � I n+1 = 2� 2 2 2 + (2n − 1) I n � (x + a ) 2na � �
ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH p( x ) Hàm hữu tỷ: f ( x ) = m n 2 r ( x − a) ( x − b) ( x + px + q ) Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức ở mẫu có < 0, sẽ được phân tích ở dạng A1 A2 Am B1 Bn f (x) = + 2 + ... + + + ... + x − a ( x − a) ( x − a) m x −b ( x − b)n C1x + D1 C2 x + D2 Cr x + Dr + 2 + 2 2 + ... + 2 x + px + q ( x + px + q ) ( x + px + q )r
MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH 2x − 1 2x − 1 A B f (x) = 2 = = + x + 2 x − 3 ( x − 1)( x + 3) x − 1 x + 3 Tính A: nhân 2 vế với (x1), sau đó thay x bởi 1 x =1 2x − 1 B 1 = A+ ( x − 1) � A = x +3 x +3 4 Để tính nhanh, trong biểu thức 2 x − 1 − 1)( x ( x + 3) Che (x1) rồi cho x = 1 ta tìm được A Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3 (hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu) B = 7/4
2x − 1 A B C f (x) = 2 = + 2 + ( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x + 3 Tính B: vế trái che (x1)2, sau đó thay x bởi 1
2x − 1 A 1/ 4 C f (x) = 2 = + 2 + ( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x + 3 Tính B: vế trái che (x1)2, sau đó thay x bởi 1 Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi 3