intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 1: Chương 4 - TS. Đặng Văn Vinh

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST
Báo xấu
126
lượt xem 21
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1: Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, các dạng phương trình vi phân, phương trình vi phân tách biến, phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Chương 4 - TS. Đặng Văn Vinh

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1. • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa. II – Các dạng phương trình vi phân: 1 – Phương trình vi phân tách biến 2 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 3 – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 4 – Phương trình vi phân toàn phần 5 – Phương trình Bernoulli
  3. I. Các khái niệm cơ bản Cho mạch điện như hình bên. Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry) Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampe Theo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t được tính bởi công thức: dI (t ) L  RI (t )  E (t ) dt Ptrình vi phân cấp 1.
  4. I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân. Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi là phương trình vi phân thường (Differential Equation) Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE).
  5. I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của phương trình vi phân. ' y y '' ( x)  3  x sin x phương trình vi phân cấp 2 x d3y d2y 2x 3 3 e phương trình vi phân cấp 3. dx dx 2 2 u u 2  1 phương trình đạo hàm riêng cấp 2 x xy
  6. I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n ' (n) F ( x, y, y ,..., y )  0 (1) Ví dụ: 2 y ' 3 (3 y x  e ) y  ( y  2 x)  0 Nếu giải ra được y ( n ) : y ( n )   ( x, y, y ' ,..., y ( n1) ) Ví dụ:    x 2  xy dy  2 x 2  y 2 dx  2 2 ' dy 2 x  y Giải ra được: y   2 dx x  xy
  7. I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm y   ( x) xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được đồng nhất thức. Đồ thị của nghiệm y   ( x) gọi là đường cong tích phân 1 ' Ví dụ: Phương trình vi phân y  y  0 có nghiệm là x y  Cx, C  R vì thỏa phương trình vi phân đã cho.
  8. I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 F ( x, y , y ' )  0 (2) Nếu giải ra được y ' : y '   ( x, y ) (3) Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1: ' y  y  xe x dạng (3) ( y 2  x 2 )dy  ( xy  y 2 )dx  0 dạng (3) ' 2 ' y  xy  1  y   phương trình Clairaut, dạng (2)
  9. I. Các khái niệm cơ bản ài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương rình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên) y ( x0 )  y0 (4) ghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong ch phân phụ thuộc hằng số C. Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân đi qua điểm cho trước ( x0 , y0 )
  10. I. Các khái niệm cơ bản 3' Ví dụ: Phương trình vi phân y  y  0 x nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân: 3 y  Cx , C  R 3 ' Xét bài toán Cauchy y  y  0, y (1)  3 x Ta có 3  C 13  C  3 Nghiệm của bài toán Cauchy y  3 x3
  11. I. Các khái niệm cơ bản ường cong tích phân trong vài trường hợp y  2 x3 y  3x3 Nghiệm của bài toán y   x3 Cauchy là đường cong màu đỏ. Đường cong qua điểm (1,3). 3 yx
  12. I. Các khái niệm cơ bản ịnh lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy) 2 Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở D  R , thì với mọi điểm  x0 , y0   D , bài toán Côsi (3) với điều kiện (4) có nghiệm xác định trong lân cận của x0. f Ngoài ra nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trong D, thì y nghiệm này là duy nhất.
  13. I. Các khái niệm cơ bản ịnh nghĩa Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C. Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1: y   ( x, C ) Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quá bằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toán Côsi). Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào.
  14. I. Các khái niệm cơ bản Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó. Trong chương trình này, ta giải phương trình theo cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia cho y không biết y có triệt tiêu không). Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thể tham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4
  15. II.1 Phương trình vi phân tách biến Dạng f ( x) dx  g ( y )dy  0 Cách giải: tích phân hai vế ta được  f ( x)dx   g ( y )dy  C dy dx Ví dụ Giải pt 2  2 0 1 y 1 x dy dx  2  2 C 1 y 1 x Nghiệm của phương trình: arctan y  arctan x  C
  16. arctan y  arctan x  C arctan y  arctan x  C
  17. Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến Dạng 1 f1 ( x) g1 ( y ) dx  f 2 ( x) g 2 ( y ) dy  0 Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến Nếu g1 ( y )  0 tại y = b, thì y = b là một nghiệm riêng. Nếu f 2 ( x)  0 tại x = a, thì x = a là một nghiệm riêng. Nếu f 2 ( x) g1 ( y )  0, chia hai vế cho f 2 ( x) g1 ( y )  0 f1 ( x ) g2 ( y) Phương trình tách biến dx  dy  0 f 2 ( x) g1 ( y )
  18. II.1 Phương trình vi phân tách biến 2 2 Ví dụ Giải pt tan x  sin ydx  cos x  cot ydy  0 tan x cot y tan x cot y 2 dx  2 dy  0  2 dx   2 dy  C cos x sin y cos x sin y Nghiệm của phương trình: tan 2 x  cot 2 y  C 2 2 Ví dụ Giải pt x  (1  x )dy  (1  y )dx  0 dy dx dy dx  0  2  2 C 2 2 1 y x(1  x ) 1 y x(1  x ) 1 Nghiệm của phương trình: arctan y  ln | x |  ln(1  x 2 )  C 2
  19. 3 2 Ví dụ Giải phương trình ( x  1) dy  ( y  2) dx  0 Phương trình trên được viết lại: dy dx 2  3 0 ( y  2) ( x  1) dy dx Tích phân hai vế  2  3 C ( y  2) ( x  1) 2 3  ( y  2) d ( y  2)   ( x  1) d ( x  1)  C Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là: 1 1 1   2 C y  2 2 ( x  1)
  20. Ví dụ Giải phương trình   ' xy  x y  y  0 Phương trình trên được viết lại: dy y 1 dx x  y 1  dx y0  y dy  x 0 y 1 dx Tích phân hai vế  dy   C y x  1/ 2 1  1/ 2   y  dy   x dx  C y Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là: 2 y  ln | y | 2 x  C
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
6=>0