Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

101
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm, vi phân, định lý giá trị trung bình, công thức Taylor, công thức Maclaurint. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 2: Đạo hàm và vi phân • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Đạo hàm 2 – Vi phân. 3 – Định lý giá trị trung bình 4 – Công thức Taylor, Maclaurint
I. Đạo hàm Định nghĩa (đạo hàm) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 . ' f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim x  0 x f ' ( x0 ) được gọi là đạo hàm của f tại điểm x0 .
Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm f ( x)  cos x tại điểm x0 ' f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim x  0 x cos( x0  x)  cos x0  lim x  0 x  x  x sin  x0    sin  2  2   lim x  0 x 2   sin( x0 )
Ví dụ  2 1 '  x sin   , x  0 Tìm f (0) , biết f ( x)    x  0, x0  ' f (0  x)  f (0) f (0)  lim x  0 x 2  x  sin 1/ x   0  lim x  0 x   1   0 (bị chặn x vô cùng bé)  lim  x  sin    x  0   x  
Định nghĩa (đạo hàm phải) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 . ' f ( x0  x)  f ( x0 ) f  ( x0 )  lim x  0 x ' f  ( x0 ) được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 . Định nghĩa (đạo hàm trái) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 . ' f ( x0  x)  f ( x0 ) f  ( x0 )  lim x  0 x ' f  ( x0 ) được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x0 .
Định lý Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 , khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và hai đạo hàm này bằng nhau. Định nghĩa (đạo hàm vô cùng) f ( x0  x)  f ( x0 ) Nếu lim   , thì ta nói hàm x  0 x có đạo hàm vô cùng tại điểm x0 .
Ví dụ e1/ x , x  0 Tìm f ' (0); f ' (0) , biết f ( x)    0, x  0 1/ x ' f (0  x )  f (0) e 0 f  (0)  lim  lim   x  0 x x  0 x f (0  x)  f (0) 1/ x ' f  (0)  lim e 0  lim 0 x  0 x x  0 x Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
Ví dụ Tìm f ' ( x) , biết f ( x)  x 2  3 | x | 2  x 2  3x  2, x  0 '  2 x  3, x  0 f ( x)   2  f ( x)    x  3 x  2, x  0  2 x  3, x  0 ' ' Tại điểm x = 0: f (0)  3; f (0)  3   Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0.
Ví dụ Tìm f ' (0); f ' (0) , biết f ( x)  sin 2 x ' f (0  x)  f (0) sin 2x f (0)  lim   lim 2 x  0 x x  0 x ' f (0  x)  f (0) sin 2x f (0)  lim   lim  2 x  0 x x  0 x Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
Ví dụ  sin x  , x  0 Tìm f ' ( x), biết f ( x)   x  1, x0  x cos x  sin x '  2 , x0 f ( x)   x  ?, x0 0, sin x ' f (0  x )  f (0)  1 (0)  lim  lim x x  0 x x  0 x sin x  x  lim 2 0 x  0  x 
Ví dụ  1 ' ' arctan x , x  0 Tìm f (0); f (0) , biết   f ( x)     , x0  2 1  arctan  ' f  (0)  lim x 2   x  0 x 1  arctan  ' f  (0)  lim x 2  1 x  0 x
Đạo hàm hàm hợp ' 1. a 0  ' 2.  ' x  x  1 2. u    u  1 u ' u ' 3. e   e x ' x 3. e   e  u u ' ' ' 4.  sin u   cos  u   u ' 4.  sin x   cos x ' ' 5.  cos x    sin x ' 5.  cos u     sin u   u ' 1 ' u 6.  ln x   ' 6.  ln u   x u ' 1 ' u ' 7.  tan x   7.  tan u   cos 2 x cos 2 u ' ' 1 ' u 8.  cot x   8.  cot u   sin 2 x sin 2 u
Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic ' 1 ' 1.  arcsin x   2 5.  sinh x   cosh x 1 x ' 1 ' 2.  arccos x   6.  cosh x   sinh x 2 1 x 1 ' ' 1 3.  arctan x   7.  tanh x   2 1  x2 cosh x 1 ' '1 .  arccot x   2 8.  coth x    2 1 x sinh x
Công thức tính đạo hàm Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp. ' ' 1.  u    u ' 2.  u  v   u '  v ' ' ' ' ' ' ' u   u  v  u  v 3.  u  v   u  v  u  v 5.    2 v v ' ' ' ' 4.  u  v  w   u  v  w  u  v  w  u  v  w Đạo hàm của hàm hợp f  f (u ), u  u ( x)  f ' ( x)  f ' (u )  u ' ( x)
Đạo hàm của hàm ngược. Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y). Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x0, thì hàm g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và ' 1 g ( y0 )  ' f ( x0 ) ' 1 x ( y)  ' y ( x)
Ví dụ 3 Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm f ( x)  x  x ' 2 f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm f ( x )  1  3 x  0, x dx 1 1  '  dy y ( x) 1  3 x 2 Ví dụ y y ' e  e Tìm ( x ) , biết x  sinh y  y 2 ' x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm x ( y )  1/ cosh y  0, y ' dy 1 1 1 y ( x)   '   dx x ( y ) 1  sinh 2 y 1  x2
Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số.  x  x(t ) Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số:   y  y (t ) Giả sử hàm x  x(t ) có hàm ngược t  t ( x) Khi đó y  y (t )  y (t ( x)) là hàm y theo biến x. ' ' ' ' dy y (t ) dt y (t ) ' y (t ) y ( x)   '  '  y ( x)  ' dx x (t )dt x (t ) x (t )
Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số x  a  cos3 t , y  b  sin 3 t , t  (0,  / 2). ' 2 x (t )  3a cos t sin t  0, t  (0,  / 2) ' 2 y (t )  3b sin t cos t ' 2 ' y (t ) 3b sin t cos t b y ( x)  '  2   tan t x (t ) 3a cos t sin t a
Đạo hàm của hàm ẩn. Hàm y = y(x) với x  (a, b) cho ẩn bởi phương trình F ( x, y )  0 nếu F ( x, y ( x))  0 với x  (a, b). Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi x à biến, y là hàm theo x. Ví dụ Tìm y ' ( x), biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình e 2 x  y  x3  cos y 2 2 x y 3 x  2e e 2x y  '  2 ' ' 2  y ( x)  3 x  y ( x)  sin y  y ( x)  2 x  y e  sin y