Tóm tắt Luận văn thạc sĩ khoa học: Lý thuyết tích phân và ứng dụng

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

151
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong phạm vi về lý thuyết tích phân theo độ đo, khuếch độ đo và các ứng dụng của tích phân trong vật lý. Sau đó các tác giả có đưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối để minh họa cho việc ứng dụng của chúng đến việc giải toán ở bậc trung học phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn thạc sĩ khoa học: Lý thuyết tích phân và ứng dụng

1 2 Công trình ñược hoàn thành tại BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG XAYAPHET KEODAVANH Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN Phản biện 2: PGS. TSKH. Trần Quốc Chiến VÀ ỨNG DỤNG Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học họp tại Đại học Đà Nẵng, vào ngày…..tháng …… Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp năm ……. Mã số : 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có thể tìm hiểu tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng – Năm 2012
3 4 MỞ ĐẦU chứng tôi có xét một vài trường hợp mở rộng ñể chứng tỏ lĩnh vực I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Trong chương trình toán của Lào, lý thuyết tích phân ñược học từ IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU lớp 10, 11, 12, vậy có thể nói lý thuyết tích phân ñóng một vai trò Nội dung nghiên cứu của luận văn này ñược giới hạn trong phạm khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán. Trong vi về lý thuyết tích phân theo ñộ ño, khuyếch ñộ ño và các ứng dụng chương trình toán ở bậc trung học, phần kiến thức về tích phân chiếm của tích phân trong vật lý. Sau ñó chúng tôi có ñưa ra một số ví dụ cụ một tỷ lệ lớn. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát thể trong chương cuối ñể minh họa cho việc ứng dụng của chúng ñến hiện ra rằng thông thường các học sinh ñều cảm thấy lúng túng khi việc giải toán ở bậc trung học phổ thông. giải các bài toán về tích phân, chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một V. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI phần lý thuyết tích phân nhằm góp phần phục vụ cho công việc giảng 5.1. Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức về tiếp cận lý thuyết tích dạy ở trường phổ thông. Đó là lý do ñể tôi chọn ñể tài “Lý thuyết tích phân và sử dụng tích phân vào việc giải một số bài toán thực tế. phân và ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. 5.2. Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên ở các trường ñại học, cao ñẳng Dựa vào sự ứng dụng sau này của ñề tài nên chúng tôi sử dụng và học sinh ở trường trung học phổ thông, các bạn yêu toán các phương pháp giải quyết vấn ñề thiên về cách chứng minh của VI. CẤU TRÚC LUẬN VĂN toán sơ cấp. Mặc dù thế trong một vài tinh huống ñặc biệt chúng tôi Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau: cũng mạnh dạn mở rộng vấn ñề theo hướng toán học hiện ñại. • Mở ñầu Phương pháp chủ yếu ñược sử dụng trong luận văn này là kết hợp các • Chương 1: Độ ño dương kết quả ñã có trong các tài liệu chuyên khảo có liên quan ñến ñề tài • Chương 2: Lý thuyết tích phân và sự liên hệ ñến các ứng dụng của nó trong chương trình toán phổ • Chương 3: Các ứng dụng của tích phân thông. • Kết luận III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là lý thuyết tích phân và sự ứng dụng của chúng ñể giải toán ở bậc phổ thong trung học và có thể dùng ñể giảng dạy cho các sinh viên ñại học. Ngoài ra
5 6 Chương 1- ĐỘ ĐO DƯƠNG Định lý 1.2.1 [ 2] Giả sử { X 1 , X 2 ,..., X n } là một phân hoạch của 1.1 TẬP HỢP tập S . Khi ñó: S = X 1 + X 2 + ... + X n Định lý 1.1.1 [ 2] Nếu A = n , thì |P ( A) | = 2n . • Hệ quả: A ∪ B = A + B − A ∩ B . Định lý 1.1.2 [ 2] Quan hệ bao hàm có các tính chất sau ñây Định lý 1.2.2 [ 2] Cho các tập A, B,C trong tập vũ trụ U, khi ñó ta có: - Phản xạ: Với mọi tập A thì A ⊂ A . - Luật kết hợp: - Phản ñối xứng: Với mọi tập A, B sao cho A⊂B và B ⊂ A thì A = B . ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) , sao cho A ⊂ B và B ⊂ C thì A⊂C . - Bắc cầu: Với mọi tập A, BC ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP - Luật giao hoán: Cho các tập A và B . Ta ñịnh nghĩa các phép toán sau: A∪ B = B ∪ A • phép hiệu: Hiệu của A và B , ký hiệu A \ B là tập A∩ B = B ∩ A A \ B = { x x ∈ A và x ∉ B }. - Luật phân bố: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) • Phần bù: Cho tập X và A ⊂ X . Phần bù của A (trong X ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) là tập ký hiệu bởi C X ( A ) và ñược xác ñịnh bởi: CX ( A) = X \ A. - Luật bù kép (ñối hợp): • Phép hợp: Hợp của A và B , ký hiệu A ∪ B là tập ñược { xác ñịnh bởi: A ∪ B = x x ∈ A hoặc x ∈ B} . A= A (trong ñó: A = U \ A . ) - Luật ñối ngẫu De Morgan: • Phép giao: Giao của A và B , ký hiệu A ∩ B là tập ñược A∪ B = A∩ B, A∩ B = A∪ B { xác ñịnh bởi: A ∩ B = x x ∈ A và x ∈ B} A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An • Phân hoạch một tập hợp: A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An . Nếu A∩B=φ, ta nói A và B rời nhau. Nếu các tập X1, X2 ,..., Xn 1.3. CÁC CẤU TRÚC TRONG DẠI SỐ TẬP HỢP thỏa mãnvà chúng rời nhau từng ñôi một, ta nói { X 1 , X 2 ,..., X n } là 1.3.1. Vành Boole (Boole, Boolean ring). một phân hoạch của tập hợp A . Định nghĩa 1.3.1 [1] Một vành Boole (Boole, Boolean ring), các tập
7 8 hợp là một tập hợp ℜ Các tập hợp thỏa mãn nếu A ∈ ℜ, B ∈ ℜ thì Định lý 1.4.3 [1] Nếu ε là một lớp ñếm ñược các tập hợp, thì ℜ ( ε ) A ∪ B ∈ ℜ và A \ B ∈ ℜ . là ñếm ñược. Mệnh ñề 1.3.1 [1] cho ℜ là một vành Boole, khi ñó φ ∈ ℜ , các Định nghĩa 1.4.2 [1] Một lợp không rỗng S các tập hợp ñược gọi là phép hiệu ñối xứng và giao của hai tập hợp là ñóng trong ℜ . σ - vành nếu nó thỏa mãn: 1.3.2. Đại số Boole (Boolean algebra). a / Nếu E ∈ S và F ∈ S thì E \ F ∈ S . Định nghĩa 1.3.2 [1] Một lớp các tập hợp A ñược gọi là một ñại số b / Nếu { En }n∈N ⊂ S thì ∈S . UE n∈N n Boole nếu thỏa mãn: a / Nếu A ∈ ℜ và B ∈ ℜ thì A ∪ B ∈ ℜ . Định nghĩa 1.4.3 [1] Cho một lớp bất kỳ các tâp hợp ε , σ - vành nhỏ b / Nếu A ∈ ℜ thì Ac ∈ ℜ , ( Ac là phần bù của A ). nhất chứa lớp ε ñược gọi là σ - vành sinh bởi lớp ε là ñược ký hiệu Rõ rang mỗi ñại số Boole là một vành Boole vì: bởi σ ( ε ) . ( ) Định lý 1.4.4 [1] Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp và E là một c A \ B = A ∩ B c = Ac ∪ B . Mệnh ñề 1.3.2 [1] cho ℜ là một vành Boole các tập con của X . tập bất kỳ trong σ ( ε ) thì tồn tại một lớp ñếm ñược D của ε sao Vành ℜ là một ñại số khi và chỉ khi X ∈ ℜ . cho E ∈ σ ( D ) . 1.4. VÀNH SINH (generated ring), σ - VÀNH ( σ - ring ) Định lý 1.4.5 [1] Nếu ε là lớp bất kỳ các tập hợp con của tập X và Định nghĩa 1.4.1 [1] cho ε là một lớp các tập hợp. Vành nhỏ nhất A là tập con bất kỳ của X thì σ ( ε ) ∩ A = σ ( ε ∩ A ) . chứa ε ñược gọi là vành sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi R ( ε ) . 1.5. CÁC LỚP ĐƠN ĐIỆU (monotone classes) Định lý 1.4.1 [1] Nếu ε là lớp các tập hợp bất kỳ thì tồn tại một vành 1.5.1. Giới hạn trên (the superior limit) sinh bởi lớp ε duy nhất R ( ε ) . Định nghĩa 1.5.1 [1] Cho { En }n∈N là một dãy các tập con của X , Định lý 1.4.2 [1] Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp thì mỗi tập tập E ∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc En với vô hạn các giá trong R ( ε ) ñược phủ bởi một họ hữu hạn các tập trong ε . trị của n ñược gọi là giới hạn trên của dãy { En } và ký hiệu: E ∗ = lim. sup En n
9 10 1.5.2. Giới hạn dưới (the inferior limit) Định nghĩa 1.6.1 [1] Ánh xạ µ : A → [ 0, +∞ ] ñược gọi là một ñộ ño Định nghĩa 1.5.2 [1] Cho { En }n∈N là một dãy các tập con của X , tập dương trên σ - ñại số A nếu với mọi họ ñếm ñược các tập ñôi một E∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc mọi En trừ một số hữu hạn không giao nhau { Ak }k∈N , trong ñó Ak ∈ A với mọi k ∈ N , ta có: các giá trị của n ñược gọi là giới hạn dưới của dãy { En } và ký hiệu:   và µ (φ ) = 0 . µ U Ak  = ∑ µ (A ) k  k∈N  k∈N E∗ = lim inf En Định nghĩa 1.6.2 [1] Tập X với σ - ñại số A các tập con của X và n Nếu xảy ra trường hợp E ∗ = E∗ thì ta ký hiệu E ∗ = E∗ = lim En và n ñộ ño dương µ trên A thì bộ ba ( X , A, µ ) ñược gọi là một không gọi là giới hạn của dãy { En } . gian ño. - Dãy các tập hợp { En } ñược gọi là tăng (ñồng biến) nếu Định nghĩa 1.6.3 [1] Ta nói µ là σ - hữu hạn nếu X là hợp của một En ⊂ En +1, ∀n ∈ N . họ ñếm ñược các tập có ñộ ño hữu hạn. Định nghĩa 1.6.4 [1] Nếu với mọi A∈ A thỏa mãn µ ( A) = 0 và với - Dãy các tập hợp { En } ñược gọi là giảm (nghịch biến) nếu mọi A' ⊂ A ta có: A' ∈ A, thì ta nói rằng σ - ñại số A là µ − ñủ En +1 ⊂ En , ∀n ∈ N . Một dãy các tập hợp tăng hay là giảm ñược (tức là ñủ theo ñộ ño µ ). gọi dãy ñơn ñiệu (monotone). Định nghĩa 1.5.3 [1] Một lớp không rỗng M các tập ñược gọi là ñơn Định nghĩa 1.6.5 [1] Bộ ba ( X , A, µ ) ñược gọi là một không gian có ñộ ño ñủ, σ - hữu hạn nếu µ là ñộ ño dương σ - hữu hạn và A là ñiệu nếu mọi dãy ñơn ñiệu các tập { En } trong M ta có lim En ∈ M. µ − ñủ. n Định nghĩa 1.5.4 [1] Lớp ñơn ñiệu nhỏ nhất chứa lớp ε ñược gọi là 1.7 . CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO CẢM SINH lớp ñơn ñiệu sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi M ( ε ) . 1.7.1. Độ ño ngoài Định nghĩa 1.7.1.1 [1] Một lớp không rỗng các tập hợp ε ñược gọi là Định lý 1.5.1 [1] Một lớp ε là một σ - vành khi và chỉ khi nó là vành ñơn ñiệu. lớp di truyền nếu với mọi tập E ∈ ε và F ⊂ E thì F ∈ ε . 1.6 . ĐỘ ĐO; KHÔNG GIAN ĐO; ĐỘ ĐO ĐỦ; ĐỘ ĐO σ - HỮU HẠN .
11 12 Định nghĩa 1.7.1.2 [1] σ - vành di truyền nhỏ nhất chứa lớp ε ñược Nếu µ là (hoàn toàn) σ - hữu hạn thì µ ∗ cũng vậy. Độ ño ngoài gọi là σ -vành di truyền sinh ra bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi H ( ε ) . µ ∗ ñược gọi là cảm sinh bởi ñộ ño µ . Định nghĩa 1.7.1.3 [1] Một hàm tập µ ∗ có giá trị trên tập số thực mở 1.7.2. Các tập ño ñược Định nghĩa 1.7.2.1 [1] Cho µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di rộng, xác ñịnh trên lớp ε ñược gọi là: - Dưới cộng tính nếu với mọi tập E ∈ ε , F ∈ ε và E ∪ F ∈ ε truyền H . Một tập E ∈ H ñược gọi là µ ∗ ño ñược nếu với mọi tập thì: µ ∗ ( E ∪ F ) ≤ µ ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) . ( A ∈ H , ta có: µ ∗ ( A) = µ ∗ ( A ∩ E ) + µ ∗ A ∩ E c ) - Dưới công tính hữu hạn nếu với mọi hữu hạn tập E1 , E2 , ... , En E c là phần bù của E. n  n  n Định lý 1.7.2.1 [1] Nếu µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên một σ - vành di và U Ei ∈ ε thì: µ ∗  U Ei  ≤ ∑ µ ∗ ( Ei ) . i =1  i =1  i =1 truyền H và nếu S là một lớp tất cả các tập µ ∗ - ño ñược thì S là - σ - dưới công tính (dưới cộng tính ñếm ñược) nếu với mọi dãy các một vành. ∞ ∞ n   tập { Ei } mà UE ∈ ε i thì: µ ∗  U E  ≤ ∑ µ ( E ). i ∗ i Định lý 1.7.2.2 [1] Nếu µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di i =1   i =1 i =1 truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ ∗ ño ñược, thì S là một - Đơn ñiệu nếu E ∈ ε , F ∈ ε và E ⊂ F thì µ ( E ) ≤ µ ( F ) . σ - vành. Nếu A ∈ H và nếu { En } là dãy rời nhau các tập trong S Định nghĩa 1.7.1.4 [1] Một hàm tập µ ∗ nhận giá trị trên tập số thực ∞ ∞ mở rộng, xác ñịnh trên σ - vành di truyền H ñược gọi là một ñộ ño với U En = E , thì: µ ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ ∗ ( A ∩ En ) . n =1 n =1 ngoài nếu nó không âm, ñơn ñiệu, σ - dưới cộng tính và µ ∗ (φ ) = 0. Định lý 1.7.2.3 [1] Nếu µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di Định lý 1.7.1.1 [1] Nếu µ là một ñộ ño trên vành ε và nếu với mọi truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ ∗ - ño ñược, thì mỗi tập có ∞ ∞  tập E ∈ H ( ε ) ñặt: µ ∗ ( E ) = inf ∑ µ ( Ei ) : Ei ∈ ε , ∀i : E ⊂ UEi  . ñộ ño ngoài bằng 0 thuộc vào S và hàm tập µ xác ñịnh trên S  i =1 i =1  Thì µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên H ( ε ) và là một mở rộng của µ . ñược cho bởi µ ( E ) = µ ∗ ( E ) , ∀E ∈ S là một ñộ ño ñủ trên S .
13 14 Độ ño µ ñược gọi là ñộ ño cảm sinh bởi ñộ ño ngoài µ ∗ . Độ ño µ Định lý 1.8.1 [1] Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε , thì tồn là hạn chế của ñộ ño ngoài µ ∗ trên S và ñược ký hiệu µ = µ ∗ . S tại một ñộ ño duy nhất µ trên σ - vành σ ( ε ) sao cho µ = µ . ε Định lý 1.7.1 [1] Mọi tập trong σ ( ε ) là các tập µ ∗ ño ñược. Định lý 1.8.2 [1] Cho µ là ñộ ño trên σ - vành K và ñặt: Định lý 1.7.2 [1] Nếu E ∈ H ( ε ) thì: K = { E ∆N : E ∈ K , ∃B ∈ K , N ⊂ B, µ ( B ) = 0} . { } µ ∗ ( E ) = inf µ ( E ) : E ⊂ F ∈ S Khi ñó K là một σ - vành và hàm tập µ xác ñịnh bởi = inf {µ ( F ) : E ⊂ F ∈ σ ( ε )} µ ( E ∆N ) = µ ( E ) là một ñộ ño ñủ trên K . Nghĩa là, ñộ ño ngoài cảm sinh bởi µ trên σ ( ε ) và ñộ ño ngoài Định lý 1.8.3 [1] Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε và µ ∗ là cảm sinh bởi µ trên S trùng nhau. ñộ ño ngoài ñược cảm sinh bởi ñộ ñô µ thì tính ñủ của ñộ ño mở Định nghĩa 1.7.1 [1] Tập F∈σ ( ε ) ñược gọi là một phủ ño ñược của rộng của µ trên σ ( ε ) ñồng nhất với tính ñủ của µ ∗ trên lớp tất cả tập E∈H ( E) nếu mọi tập G ∈σ ( ε ) mà G ⊂ F \ E thì µ ( G ) = 0 . các tập µ ∗ - ño ñược. Định lý 1.8.4 [1] Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε , thì với Định lý 1.7.3 [1] Nếu một tập E ∈ H ( ε ) có ñộ ño ngoài σ - hữu mọi tập E có ñộ ño hữu hạn trong σ ( ε ) và với mọi số dương ε , hạn thì tồn tại một phủ ño ñược F ( ε ) ∈ σ ( ε ) sao cho: µ∗ ( E) = µ( F) . tồn tại tập E0 ∈ ε sao cho µ ( E ∆E0 ) ≤ ε . Định lý 1.7.4 [1] Nếu F1 , F2 là các phủ ño ñược của E ∈ H ( ε ) thì 1.9. ĐỘ ĐO TRONG (Inner measures) µ ( F1∆F2 ) = 0 , nếu F là phủ ño ñược của E thì µ ∗ ( E ) = µ ( F ) . Định lý 1.9.1 [1] Nếu E ∈ H ( S ) , thì: Định lý 1.7.5 [1] Nếu ñộ ño µ trên σ - vành ε là σ - hữu hạn thì { µ∗ ( E ) ≤ sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S } (1.12 ) µ và µ cũng σ - hữu hạn. σ (ε ) S Mặt khác do ñịnh lý 2.3.1 với mọi F ∈ S tồn tại tập G ∈ S sao cho 1.8. KHUYẾCH , ĐẦY ĐỦ VÀ XẤP XỈ MỘT ĐỘ ĐO G ⊂ F và µ ( F ) = µ ( G ) . Nên:
15 16 { } sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S = sup {µ ( G ) : E ⊃ G ∈ S} Định lý 1.9.8 [1] Nếu E ∈ S thì với mọi tập con A ⊂ X có: = µ∗ ( E ) (1.13) µ ( A ∩ E ) + µ ∗ ( Ac ∩ E ) = µ ( E ) . Từ ( 2.3.1) và ( 2.3.2 ) suy ra ñiều phải chứng minh. 1.10. ĐỘ ĐO LEBESGUE (Lebesgue measure) Định nghĩa 1.9.1 [1] Tập F ∈ S ñược gọi là hạt nhân ño ñược của Định lý 1.10.1 [1] Mỗi tập ñếm ñược trong ℜ là một tập Borel có ñộ tập E∈H ( S ) nếu F ⊂Evà mọi tập G ∈S mà G ⊂ E \ F thì µ ( G) = 0 . ño khong (tập A ñược gọi là có ñộ ño không nếu µ ( A ) = 0 ). Định lý 1.9.2 [1] Mọi tập E ∈ H ( S ) có một hạt nhân ño ñược. Định lý 1.10.2 [1] Gọi u là lớp tất cả các tập mở rộng ℜ . khi dó: Định lý 1.9.3 [1] Nếu E ∈ H ( S ) và F là hạt nhân ño ñược của E σ ( P ) = σ (u ) . thì µ ( F ) = µ∗ ( E ) , nếu F1 và F2 ñều là các hạt nhân ño ñược của Định lý 1.10.3 [1] Nếu E ⊂ ℜ thì: µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊂ U ∈ u} . E thì µ ( F1∆F2 ) = 0 . Định lý 1.10.4 [1] Nếu T là một hàm từ ℜ ñược xác ñịnh bởi Định lý 1.9.4 [1] Nếu {En } là dãy các tập rời nhau trong H ( S ) T ( x ) = ax + β , trong ñó α ∈ ℜ, β ∈ ℜ và α ≠ 0 , thì:  ∞  ∞ µ ∗ ( E ) = α .µ ∗ ( E ) và µ∗ (T ( E ) ) = α .µ∗ ( E ) . thì: µ∗  U En  ≥ ∑ µ∗ ( En ) .  n =1  n =1 Định lý 1.9.5 [1] Nếu A ∈ H ( S ) và nếu { En } là dãy các tập rời Chương 2- LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN ∞ ∞ (The Theory of the Integral) nhau với UE n = E thì: µ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ∗ ( A ∩ En ) . 2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM n =1 n =1 Định nghĩa 2.1.1 [3] Nếu f là ño ñược không âm trên không gian Định lý 1.9.6 [1] Nếu E ⊂ S thì µ ∗ ( E ) = µ∗ ( E ) = µ ( E ) . ño ( χ :F: µ ) thì tích thân của f theo ñộ ño µ ñược xác ñịnh như Ngược lại nếu E ∈ H ( S ) và µ ∗ ( E ) = µ∗ ( E ) < ∞ thì E ∈ S . Định lý 1.9.7. [1] Nếu E ∈ H ( S ) .F ∈ H ( S ) và E ∩ F = φ thì: sau: ∫ f ( x )µ ( dx ) = lim ∫ f ( x ) µ ( dx ) . n n lim ∫ f n ( x ) µ ( dx ) = lim ∫ g m ( x ) µ ( dx ) . µ ( E ∪ F ) ≤ µ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) ≤ µ ∗ ( E ∪ F ) . Suy ra: n m
17 18 Định nghĩa 2.1.2 [3] Tích phân bất ñịnh của một hàm ño ñược f là v ( E ) = lim vn ( E ) và λ ( E ) = lim λn ( E ) n n hàm tập xác ñịnh trên lớp các tập ño ñược E bởi v ( E) = ∫ f ( x)µ ( dx) . Thì các hàm tập v và λ trùng nhau. E Định nghĩa 2.1.3 [3] Với f là hàm ño ñược ta ñặt f + = max ( f ;0 ) Định lý 2.1.5 [3] Nếu { f n } là một dãy các hàm khả tích hội tụ theo và f −1 = − min ( f ;0 ) . trung bình tới f thì { f n } hội tụ tới f theo ñộ ño. (∫ f ) 2.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Giả sử min + µ ( dx ) : ∫ f −1µ ( dx ) < ∞ , ta xác ñịnh tích phân Định lý 2.2.1 [3] của f theo ñộ ño bởi: f ( x)µ( dx) = f ∫ ( x) µ( dx) −∫ f ( x)µ( dx) . + − ∫ a / Nếu f là một hàm ño ñược và c là một hằng số thì: ∫ c. f ( x )µ ( dx ) = c.∫ f ( x )µ ( dx ) Dãy cơ bản theo trung bình và sự hội tụ theo ñộ ño. Định lý 2.1.1 [3] Một dãy hàm cơ bản theo trung bình { f n } các hàm b / Nếu f và g các hàm ño ñược và f ≤ g thì: khả tích cũng là dãy hàm cơ bản theo ñộ ño. Định lý 2.1.2 [3] Nếu { f n } là dãy cơ bản theo trung bình các hàm ∫ f ( x )µ ( dx ) ≤ ∫ g ( x )µ ( dx ) . Định lý 2.2.2 [3] ñơn giản khả tích và tích phân bất ñịnh của f n là vn , n ∈ N thì v ( E ) = lim vn ( E ) . Tồn tại với mỗi tập ño ñược E và hàm tập v có n a / Nếu ∫ f ( x )µ ( dx ) tồn tại thì ∫ f ( x ) µ ( dx ) ≤ ∫ f ( x ) µ ( dx ) . giá trị hữu hạn và cộng tính ñếm ñược ( σ cộng tính). b / Nếu ∫ f ( x )µ ( dx ) tồn tại thì ∫ f ( x ).χ ( x ) µ ( dx ) tồn tại A Định lý 2.1.3 [3] Nếu { fn } với mỗi A ∈ χ ; nếu f ( x )µ ( dx ) hữu hạn thì f ( x ).χ A ( x ) µ ( dx ) là dãy cơ bản theo trung bình các hàm ∫ ∫ khả tích và tích phân bất ñịnh của f n là vn , n ∈ N thì hàm tập vn là cũng hữu hạn. liên tục tuyệt ñối ñều. c / Nếu f và g là các hàm ño ñược không âm hay Định lý 2.1.4 [3] Nếu { fn } {gn } và là các dãy hàm cơ bản theo ∫ f ( x ) µ ( dx ) < ∞ và ∫ g ( x ) µ ( dx ) < ∞ thì: trung bình các hàm ñơn giản khả tích hội tụ theo ñộ ño tới cùng một giới hạn là hàm ño ñược f và nếu vn và λn lần lượt là các tích ∫  f ( x ) + g ( x ) µ ( dx ) = ∫ f ( x )µ ( dx ) + ∫ g ( x )µ ( dx ) . Định lý 2.2.3 [3] Nếu f là một hàm khả tích không âm hẩu khắp phân bất ñịnh của f n và g n . Với mỗi tập ño ñược E , ta ñặt:
19 20 Có ϕ : I → ℜ liên tục từng khúc, không âm khả tích trên I nơi, thì diều kiện cần và ñủ ñể ∫ f ( x )µ ( dx ) = 0 là f = 0 a. e • sao cho: ∀n ∈ N , f n ≤ ϕ (giả thiết bị chặn) Định lý 2.2.4 [3] Nếu f là hàm khả tích và dương hầu khắp nơi Thì: trên tập ño ñược E và f ( x )µ ( dx ) = 0 , thì µ ( E ) = 0 . ∫ E • Với mọi n thuộc N , f n khả tích trên I . Định lý 2.2.5 [3] Nếu f là hàm khả tích sao cho ∫ f ( x )µ ( dx ) = 0 • f khả tích trên I . F với mọi tập ño ñược f , thì f = 0 hầu khắp nơi. • ∫ f ( x )dx → ∫ f ( x ) dx . I n n →∞ I Định lý 2.2.6 [3] Nếu f là một hàm khả tích thì Mệnh ñề 2.4.1 [ 4] Cho một dãy ánh xạ ( f n : I → K )n∈N . Nếu: { tập N ( f ) = x : f ( x) ≠ 0} • Với mọi n thuộc N , f n liên tục và khả tích trên I . có ñộ ño σ -hữu hạn. • ( f n )n∈N hội tụ ñều trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f . 2.3. ĐÃY CÁC HÀM KHẢ TÍCH (Sequences of integrable function) • I bị chặn Định lý 2.3.1 [ 4] Nếu { fn } là dãy hàm cơ bản theo trung bình các Thì: hàm ñơn giản khả tích hội tụ. Theo ñộ ño tới hàm khả tích f thì: • f liên tục và khả tích trên I . ρ ( f , f n ) = ∫ f ( x ) − f n ( x ) µ ( dx ) → 0 khi n → ∞ . • ∫ f ( x ) dx → ∫ f ( x ) dx . I n n →∞ I Định lý 2.3.2 [ 4] Nếu { f n } là dãy hàm cơ bản khả tích tồn tại hàm 2.5. HỘI TỤ ĐỀU VÀ LẤY TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN Định lý2.5.1 [ 4] Giả sử ( a, b ) ∈ ℜ2 sao cho a ≤ b và ∑( f : [a; b] → E) khả tích f sao cho ρ ( f n , f ) → 0 . n≥0 n 2.4. ĐỊNH LÝ VỀ HỘI TỤ BỊ CHẶN là một chuỗi ánh xạ. Nếu: Cho dãy ánh xạ ( f n : I → ℜ )n∈N . Nếu: • Với mọi n ∈ N , f n liên tục trên [ a; b ] . • Với mọi n thuộc N , f n liên tục từng khúc trên I . • ∑f n hội tụ ñều trên [ a; b ] . n≥0 • ( f n )n∈N hội tụ ñơn trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f . Thì: • f liên tục từng khác trên I .
21 22 +∞ Cho f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc. • ∑f n liên tục trên [ a; b ] . n =0 ∫ f ( t )e b ixt dt  → 0 . Cho ε > 0 . Theo ñịnh lý 3.1.1, có một ∑(∫ ) hội tụ trong E . x →+∞ f n ( x ) dx b a • a ε ánh xạ bậc thang ϕ : [ a; b ] → N sao cho f − ϕ n≥0 ≤ . Ký hiệu  +∞  +∞ ∞ b−a ∫  ∑ f ( x )  dx = ∑ ∫ f n ( x ) dx . b b • a n=0 n n=0 a ( ak )0≤k ≤ N là mọt phần hoạch của [ a; b ] tương thích với ϕ và λk là Mệnh ñề 2.5.1 [ 4] Cho chuỗi ánh xạ liên tục ∑ ( f : [ a; b ] → E ) n≥0 n giá trị của ϕ trên ]ak ; ak +1 [ với mọi k thuộc {0,..., N − 1} .Khi ñó, N−1 eixak+1 − eixak N−1 ∀x ∈]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t )e dt = ∑λk ∫ e dt = ∑λk +∞ b bk+1 hội tụ chuẩn tắc trên [ a; b ] . Khi ñó, ixt ixt ∑ n ≥0 f n 1 hội tụ trong ℜ , ∑f n =0 n ta có: a k=0 ak k=0 ix +∞ +∞ eixak +1 − eixak 2 NM N −1 Từ ñó : ∀x ∈ ]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t ) e dt = ∑ λk b liên tục trên [ a; b ] và ∑f ≤ ∑ fn 1 . ≤ ixt n n =0 n =0 a k =0 x x 1 Trong ñó: M = Max λk . Vì N cổ ñịnh nên có x0 ∈ ]0; +∞[ ( ) sao Nhắc lại, nhận xét với g ∈C [ a;b] , E , ta kýhiệu: g 1 = N1 ( g) = ∫ g(t) dt . b 0≤ k ≤ N a 2 NM Chương 3- CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN cho : ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ , ≤ ε . Khi ñó, với mọi x thuộc [ x0 ; +∞[ x Định lý 3.1.1 [5] Với mọi ánh xạ f : [ a; b ] → E liên tục từng khúc, ∫ f (t ) e ∫ ( f (t ) − ϕ (t )) e ∫ ϕ (t ) e b b b ta có: ixt dt ≤ ixt dt + ixt dt ( có một dãy en : [ a; b ] → E ) n∈N những ánh xạ bậc thang trên [ a; b ] a a a ≤ (b − a ) f − ϕ + ε ≤ 2ε hôi tụ ñều ñến f trên [ a; b ] . ∞ Vậy, ta ñã chứng minh: Định lý 3.1.2 [5] Với mọi ánh xạ f : [ a; b ] → E lien tục, có một dãy ∀ε > 0, ∃x0 ∈ ]0; +∞[ , ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ , ∫ f (t ) e b ixt dt ≤ ε ( ϕ : [ a; b ] → E ) n n∈N những ánh xạ afin từng khúc và liên tục, hội tụ a ñều ñến f trên [ a; b ] . ∫ f ( t )e b Tức là: ixt dt  x →+∞ →0 . a 3.1. ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT ĐOẠN 3.2. ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT KHOẢNG Bồ ñề Lebesgue:
23 24 Cho ( a, b ) ∈ ℜ2 sao cho a ≤ b, f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc. phận của ℜ : {∫ ϕ;ϕ ∈ E ( a,b) ,ϕ ≤ f } và {∫ ψ ;ψ ∈E ( a,b) , f ≤ψ} a b a b ∫ f ( t )e b iλ t Khi ñó: dt  λ →+∞ →0 theo thứ tự biên trên và Biên dưới trong ℜ , và các biên ñó bằng a a/ Tính chất ñó là ngay tức khắc khi f = 1 , vì: nhau. Ta gọi biên chung ñó là tích phân của f (trên [ a, b ] ) và ký ei λ b − e i λ a ∫ f ( x )dx b b 2 ∫ ∫[ b ∫ eiλt dt = ≤ → 0 . hiệu: f hay: a ,b ] f hay: a iλ λ λ →+∞ a a b/ sử dụng hệ thức Chasles , suy ra từ ñó rằng tính chất vẫn ñúng khi ∫ f ( x )dx = ∫ a b b a f = Sup ϕ∈E ( a ,b ) (∫ ϕ ) = b a Inf ψ ∈E ( a ,b ) (∫ ψ ) a b f là hàm bậc thang trên [ a; b] . ϕ ≤≤ f f ≤ψ Mệnh ñề 3.3.2 Cho e ∈ E ( a, b ) , s = ( ai )0≤i ≤ n ∈ S , tương thích với c/ Cuối cùng, cho f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc, cho ε > 0 , có một ánh xạ bậc thang e : [ a; b ] → C sao cho f − e < ε . Khi ñó e , và với mọi i ∈ {0,..., ( n − 1)} , λi là giá trị của e trên ]ai , ai +1 [ . ∞ n −1 ta có: ∀λ ∈ℜ+ , ∫ a b ( f ( t ) − e ( t ) ) eiλt dt ≤ ∫ f ( t ) − e ( t ) dt ≤ ( b − a) ε b a Số thực ∑ (a i =0 i +1 − ai )λi không phụ thuộc phân hoạch s tương tích với e số thực này ñược gọi là tích phân của e trên [ a, b ] và ñược ký Mặt khác, có ∀λ0 ∈ ℜ+ sao cho: ∀λ ∈ℜ+ , λ ≥ λ0 ⇒ ∫ e( t ) e dt ≤ ε  b iλt  a  ∫ e ( x )dx . b b Vậy với mọi λ ∈ ℜ+ sao cho λ ≥ λ0 , ta có: hiệu là ∫ a e hay a 3.4. Các tịnh chất ñại số f ( t ) eiλt dt ≤ ∫( ) ∫ f ( t ) − e ( t ) eiλt dt + e ( t ) eiλt dt b b b ∫a a a Mệnh ñề 3.4.1 Ánh xạ CM  b →ℜ là một dạng tuyền tính, fa ∫a f ( x )dx ≤ (1 + ( b − a ) ) ε nghĩa là: ∀( f , g) ∈( CM )2 ∫ f ( t )e dt  b λ Nó chứng tỏ →0 . i t ∀λ ∈ℜ, ∫ ( λ f ( x) dx + g ( x) dx) = λ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx . a λ →+∞ b b b a a a 3.3. TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN MỘT ÁNH XẠ LIÊN TỤC TỪNG KHÚC 3.5 CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VẬT LÝ Mệnh ñề 3.3.1 [ 4] Cho f : [ a, b ] → ℜ , liên tục từng khúc. Các bộ 3.5.1 Tích phân mặt ur Định nghĩa 3.5.1.1 [5] Giả sử D là một compăc của ℜ . F : D→ℜ3
25 26 là một lớp tham số hóa thuộc lớp C1 . f : D → ℜ là một ánh xạ uuur 1 uuuur một ñiểm G thuộc ℜ3 xác ñịnh bởi: OG = ∫∫ σ ( M)OMdS . µ( S,σ ) S thuộc lớp C1 . Ta gọi tích phân kép: ur ur 3.5.5. Moment quán tính của một bản ghềnh ∂F ∂F ∫∫ f ( u, v ) ∧ dudv là tích phân mặt. Định nghĩa 3.5.5.1 [5] Giả sử H là một ñường thẳng hoặc một mặt D ∂u ∂v phẳng của ℜ3 , với mọi M thuộc ℜ3 ta ký hiệu d ( M , H ) là 3.5.2. Diện tích một phần của mặt khoảng cách từ M ñến H . Moment quán tính của một bản ghềnh Định nghĩa 3.5.2 [5] Giả sử S là một mặt có biểu diễn tham số ( S,σ ) ñối với H là số thực IH xác ñịnh bởi: IH = ∫∫sσ ( M) ( d ( M, H) ) 2 dS , ur F : D → ℜ3 thuộc lớp C1 Ta gọi số thực ký hiệu là: Trong ñó M chạy trên S và dS là yếu tố diện tích của S . ur ur ∂F ∂F A ( S ) = ∫∫ ∧ dudv là diện tích của S . D ∂u ∂v KẾT LUẬN 3.5.3. Khối lượng của một bản ghềnh Luận văn ñã trình bày lý thuyết tích phân dựa trên lý thuyết tập Định nghĩa 3.5.3.1 [5] Ta gọi, số thực µ xác ñịnh bởi tích phân hợp một cách chặc chẽ. Luận văn ñã thực hiện ñược các nội dung mặt: µ = ∫∫ σ ( M )dS , trong ñó S M là một ñiểm chạy của S và sau: 1. Trình bày các cấu trúc về tập hợp như σ - vành, σ - ñại số, dS là một yếu tố diện tích, là khối lượng của một bản ghềnh ( S , σ ) vành ñơn ñiệu… ur của ℜ3 . Như vậy, nếu S có một biểu diễn tham số F : D → ℜ3 2. Trình bày lý thuyết ñộ ño và các vấn ñề liên quan. ( u ,v ) a F ( u ,v ) 3. Trình bày lý thuyết tích phân và các ứng dụng của chúng. thì khối lượng của ( S , σ ) . Thời gian thực hiện luận văn có hạn nên nhiều vấn ñề sâu sắc ur ur ur ∂F ∂F ( ) hơn chưa ñược ñề cập và chắc chắn không tránh khỏi những kiếm Sẽ là: µ = ∫∫ σ F ( u, v ) ∧ dudv . D ∂u ∂v khuyết, chúng tôi rất mong nhận ñược sự ñóng góp ý kiến của quý thầy cô giao và các ñồng nghiệp. 3.5.4. Tâm quán tính của một bản ghềnh Định nghĩa 3.5.4.1 [5] Tâm quán tính của một bản ghềnh ( S , σ ) là